Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.12 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.12

கேள்வி 1.
ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் \(\frac { 24 }{ 5 }\) எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.
தீர்வு :
அந்த எண் x என்க
அதன் தலைகீழி \(\frac { 1 }{ x }\)
கணக்கின் படி
x – \(\frac{1}{x}=\frac{24}{5}\)
⇒ \(\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{24}{5}\)
⇒ 5(x² – 1) = 24x
⇒ 5x² – 24x – 5 = 0
⇒ (5x + 1) (x – 5) = 0
∴ x = 5 (அ) – \(\frac { 1 }{ 5 }\)
அந்த எண் 5 (or) – \(\frac { 1 }{ 5 }\)

கேள்வி 2.
12 மீ x 16 மீ அளவுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வக வடிவப் பூங்காவைச் சுற்றி ‘ ‘ மீட்டர் அகலமுள்ள நடைபாதை அமைக்கப்படும்போது, அதன் மொத்த பரப்பு 285 சதுர மீட்டராக அதிகரிக்கிறது. நடைபாதையின் அகலத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விபரங்களின் படி
(2ω + 16) (2ω + 12) = 285
= 4ω² + 56ω + 192 = 285
= 4ω² + 56ω – 93 = 0
= (2ω + 31) (2ω – 3) = 0

2ω + 31 = 0
ω = \(-\frac{31}{2}\)
& 2ω – 3 = 0
ω = \(\frac{3}{2}\)
அகலம் ω = \(-\frac{31}{2}\) (குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது)
∴ பாதையின் அகலம் ω = 1.5 மீ

கேள்வி 3.
ஒரு பேருந்து 90 கி.மீ தொலைவைச் சீரான வேகத்தில் கடக்கிறது. அதன் வேகம் 15 கி.மீ/ மணி அதிகரிக்கப்பட்டால், பயண நேரம் 30 நிமிடங்கள் குறைகிறது எனில், பேருந்தின் வேகத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :
பேருந்தின் வேகத்தை x கி.மீ/மணி என்க
∵ 90 கி.மீ தொலைவை சீரான வேகத்தில் கடக்க ஆகும் நேரம் (T₁) = \(\frac{90}{x}\) hrs
அதன் வேகம் 15கி.மீ/மணி அதிகரிக்கும் போது, பேருந்தின் புதிய வேகம் = (x + 15) கி.மீ/ மணி
∵ 90 கி.மீ தொலைவை கடக்க ஆகும் நேரம் (T₂) = \(\frac{90}{x+15}\)
கணக்கின் படி, பயண நேரம் 30 நிமிடங்கள் குறைகிறது.
∵ T₁ – T₂ = \(\frac{1}{2}\)
[∵ 30 நிமிடங்கள் = \(\frac{1}{2}\) மணிநேரம்]

2700 = x² + 15x
x² + 15x – 2700 = 0
(x + 60) (x – 45) = 0
∵ x = – 60, 45
∵ x = ஆனது குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது
∵ x = 45
பேருந்தின் உண்மையான
வேகம் 45 கி.மீ/மணி

கேள்வி 4.
ஒரு பெண்ணிண் வயது அவரது சகோதரியின் வயதைப் போல இருமடங்கு ஆகும். ஐந்து ஆண்டுகளுக்கப் பின் இரு வயதுகளின் பெருக்கற்பலன் 375 எனில், சகோதரிகளின் தற்போதைய வயதைக் காண்க.
தீர்வு :
தற்போதைய வயது
அவரது சகோதரியின் வயதை x என்க
∵ அந்த பெண்ணின் வயது 2x
ஜந்து ஆண்டுகளுக்குப் பின்
அவரது சகோதரியின் வயது = x + 5
அந்த பெண்ணின் வயது = 2x + 5
கணக்கின் படி,
இரு வயதுகளின் பெருக்கற்பலன் = 375

= (x + 5) (2x + 5) = 375
= 2x² + 15x – 350 = 0 –
= (2x + 35) (x – 10)= )
x = 10, \(-\frac{35}{2}\)
∵ x ஆனது குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது
∵ x = 10
சகோதரியின் தற்போதைய வயது 10
பெண்ணின் வயது 20

கேள்வி 5.
20 மீ விட்டமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் கம்பம் ஒன்று பொருத்தப்பட வேண்டும். ஏதேனும் ஒரு விட்டத்தின் இரு முனைகளில் பொருத்தப்பட்டுள்ள மற்றும் Q எனும் கதவுகளில் இருந்து கம்பத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வித்தியாசம் 4 மீ உள்ளவாறு கம்பம் நடமுடியுமா? ஆம் எனில், இரு கதவுகளிலிருந்து கம்பத்தை எவ்வளவு தொலைவில் பொருத்த வேண்டும்?
தீர்வு :

ஆம், இருக்க இயலும்
கம்பத்திற்கும், கதவு p க்கும் இடைப்பட்ட |தொலைவை x என்க
∵ கம்பத்திற்கும், கதவு Q க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு x – 4
படத்திலிருந்து x² + (x – 4)² = 20² (பிதாகரஸ் தேற்றப்படி)

⇒ x² + x² – 8x + 16 = 400
⇒ 2x² – 8x – 384 = 0
÷ 2 ⇒ x² – 43 – 192 = 0
⇒ (x – 16) (x +12) = 0
தூரம் குறை எண்ணாக இருக்காது ∴ x = 16
∴ P மற்றும் Q என்ற இரு கதவுகளிலிருந்து 16மீ, மற்றும் 12மீ தொலைவில் கம்பத்தை பொருத்த வேண்டும்

கேள்வி 6.
2x² எண்ணிக்கையுடைய கருப்பு தேனீக்களின் கூட்டத்திலிருந்து கூட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கமூலம் எண்ணிக்கை கொண்ட தேனீக்கள் ஒரு மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீண்டும் கூட்டத்திலிருந்து ஒன்பதில் எட்டுப் பங்கு கொண்ட தேனீக்கள் அதே மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீதமுள்ள இரண்டு தேனீக்கள் மணம் கமழும் மலரில் சிக்கிக் கொண்டன எனில், மொத்தத் தேனீக்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை?
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட விபரங்களின் படி,
2x² – x – \(\frac{8}{9}\) (2x²) = 2
⇒ 18x² – 9x – 16x² = 18
⇒ 2x² – 9x – 18 = 0
⇒ (x – 6) (2x + 3) = 0
∴ x = 6, \(\frac{-3}{2}\)
இங்கு x = \(\frac{-3}{2}\) இருக்க இயலாது, x = 6
∴ மொத்த தேனீக்களின் எண்ணிக்கை 72 [2x² = 2 x 6² = 72]

கேள்வி 7.
70 மீ இடைப்பட்ட தொலைவில் உள்ள இரு அரங்குகளில் இசை ஒலிக்கப்படுகிறது. முதல் அரங்கில் 4 பாடகர்களும் இரண்டாம் அரங்கில் 9 பாடகர்களும் பாடுகிறார்கள். சம ஒலி அளவில் இசையைக் கேட்க விரும்பும் ஒரு நபர் இரு அரங்கங்களுக்கு இடையே எங்கு நிற்க வேண்டும்?(குறிப்பு ஒலி அளவுகளின் விகிதமும், இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வர்க்கத்தின் விகிதமும் சமம்).
தீர்வு :
படத்திலிருந்து

⇒ 5x = 140
∴ x = 28
∴ சம ஒலி அளவில் இசையைக் கேட்க அந்த நபர் இரு அரங்கங்களில் இருந்து 28மீ.
42மீ இடையில் நிற்க வேண்டும்.

கேள்வி 8.
10 மீ பக்க அளவுள்ள சதுர வடிவ நிலத்தின் நடுவில், ஒரு சதுர மலர் மேடையும் அதனைச் சுற்றிச் சீரான அகலமுள்ள சரளை பாதையும் அமைக்கப்படுகிறது. ஒரு சதுர மீட்டர் மேடை மற்றும் பாதை அமைக்க முறையே ₹ 3 மற்றும் ₹ 4 என்றவாறு மொத்தச் செலவு ₹ 364 எனில், சரளை பாதையின் அகலம் என்ன?
தீர்வு :
சதுர மலர் மேடையின் பக்கத்தை x என்க கணக்கின் படி.
ஒரு சதுர மீட்டர் மேடை மற்றும் பாதை அமைக்க முறையே ₹ 3 மற்றும் ₹ 4 என்றவாறு மொத்தச் செலவு ₹364.
∴ 3x² + 4(10² – x²) = 364
⇒ 3x² + 4(100 – x²) = 364
⇒ 3x² + 400 – 4x² = 364
⇒ – x² = – 36
x² = 36
∴ x = 6

∴ சரளை பாதையின் அகலம் \(\frac{10-x}{2}=\frac{10-6}{2}\) = 2மீ

கேள்வி 9.
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் 25 செ.மீ மற்றும் அதன் சுற்றளவு 56 செ.மீ எனில், முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் நீளத்தை x செ.மீ என்க.
கணக்கின் படி, சுற்றளவு = 56 செ.மீ
⇒ AB + BC + AC = 56
⇒ x + BC + 25 = 56
∴ BC = 31 – x

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (31 – x)² = 25²
= x² + 961 – 62x + x² = 625
= 2x² – 623 + 336 = 0
÷2 = x² – 31x + 168 = 0
(x – 24) (x – 7) = 0
∴ x = 24, 7
x ஆனது சிறியது ∴ x = 7செ.மீ சி:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.11 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.11

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கப் பூர்த்தி முறையில் தீர்க்க
i) 9x² – 12x + 4 = 0
ii) \(\frac{5 x+7}{x-1}\) = 3x + 2
தீர்வு :
9x² – 12x + 4 = 0
÷ 9 ⇒ x² – \(\frac{12}{9} x+\frac{4}{9}\) = 0
⇒ x² – \(\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}\) = 0
⇒ x² – \(\frac{4}{3} x\) = \(-\frac{4}{9}\)
இருபுறமும் \(\frac{4}{9}\) ஐ கூட்ட

ii) \(\frac{5 x+7}{x-1}\) = 3x + 2
⇒ 5x + 7 = (x – 1) (3x + 2)
= 3x² – x – 2
⇒ 3x² – 6x – 9 = 0
÷ by 3 ⇒ x² – 2x – 3 = ()
x² – 2x = 3
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட
x² – 2x + 1 = 3 + 1
⇒ (x – 1)² = 4
∴ x – 1 = ± 2
x = ± 2 +1
x = 3, – 1

கேள்வி 2.
சூத்திர முறையைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
i) 2x² – 5x + 2 = 0
ii) √2 f² – 6f + 3√2 = 0
iii) 3y² – 20y – 23 = 0
iv) 36y² – 12ay + (a² – b²) = 0
தீர்வு :
i) 2x² – 5x + 2 = 0
[இங்கு a = 2, b = -5, c = 2]

ii) √2 f² – 6f + 3√2 = 0
[இங்கு a = √2, b = -6, c = 3√2]

iii) 3y² – 20y – 23 = 0
[இங்கு a = 3, b = -20, c = -23]

iv) 36y² – 12ay + (a² – b²) = 0
[இங்கு a = 36, b = -12a, c = -a² – b²]

கேள்வி 3.
சாய்வு தளத்தில் – வினாடிகளில் ஒரு பந்து கடக்கும் தூரம் d = t² – 0.75t அடிகளாகும். 11.25 அடி தொலைவைக் கடக்கப் பந்து எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் எவ்வளவு?
தீர்வு :
கணக்கின் படி d = t² – 0.75t
= 11.25 = t² – 0.75t
= t² – 0.75 – 11.75 = 0
= (t – 3.75) (t + 3) = 0
t – 3.75 = 0 | t + 3 = 0
t = 3.75 | t = -3
11.25 அடி தொலைவைக் கடக்க எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் 3.75 வினாடி.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.10 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.10

கேள்வி 1.
காரணிப்படுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க.
i) 4x² – 7x – 2 = 0
ii) 3(P²– 6) = P(P + 5)
iii) \(\sqrt{a(a-7)}=3 \sqrt{2}\)
iv) \(\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0\)
v) 2x² – x + \(\frac { 1 }{ 8 }\) = 0
தீர்வு : i)
4x² – 7x – 2 = 0
⇒ (x – 2) (4x + 1)
⇒ x – 2 = 0 (அ) 4x + 1 = 0
x = 2 (அ) 4x = -1
∴ மூலங்கள் x = 2, \(-\frac { 1 }{ 4 }\)

ii) 3(P² – 6) = P(P + 5)
3P² – 18 = p² + 5p
3P² – 18 – p² – 5p = 0
2P² – 5P – 18 = 10
(2P – 9) (P + 2) = 0
∴ P = \(\frac { 9 }{ 2 }\) – 2

iii) \(\sqrt{a(a-7)}=3 \sqrt{2}\)
இருபுறமும் வர்க்கம் காண
= a(a – 7) = 9 x 2
= a² – 7a = 18
a² – 7a – 18 = 0
∴ (a – 9) (a + 2) = 0
∴ a = 9,- 2

v) 2x² – x + \(\frac { 1 }{ 8 }\) = 0
இருபுறமும் 8 ஆல் பெருக்க
= 16x² – 8x + 1 = 0
= (4x – 1)² = 0
= (4x – 1) (4x – 1) = 0
4x – 1 = 0 (அ) 4x – 1 = 0
x + \(\frac { 1 }{ 4 }\) (அ) x \(\frac{1}{4}\)
∴ மூலங்கள் \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)

கேள்வி 2.
n அணிகள் பங்குபெறும் ஒரு கையுந்து விளையாட்டு (volley ball) போட்டியில் ஒவ்வோர் அணியும் மற்ற அனைத்து அணிகளோடும் விளையாட வேண்டும். 15 போட்டிகள் கொண்ட தொடரில் மொத்தப் போட்டிகளின் எண்ணிக்கை G(n) = \(\frac{n^{2}-n}{2}\) எனில் , பங்கேற்கும் அணிகளின் எண்ணிக்கை எத்தனை?
தீர்வு :
கணக்கின் படி \(\frac{n^{2}-n}{2}\) = 15
⇒ n² – n = 30
⇒ n² – n – 30 = 0
⇒ (n – 6) (n + 5) = 0
∴ n = 6 (அ) – 5
பங்கேற்கும் அணிகளின் எண்ணிக்கை 6.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.9

கேள்வி 1.
மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
i) – 9, 20
ii) \(\frac{5}{3}\), 4
iii) \(\frac{-3}{2}\),-1
iv) – (2 – a)², (a + 5)²
தீர்வு :
i) மூலங்களின் கூடுதல் = -9
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 20
∴ இருபடிசமன்பாடு
x² – (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல் = 0
⇒ x² + 9x + 20 = 0

மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac { 5 }{ 3 }\)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 4
∴ இருபடிச் சமன்பாடு
x² – (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல் = 0
= x² – \(\frac { 5 }{ 3 }\) x + 4 = 0
= 3x² – 5x + 12 = 0

iii) மூலங்களின் கூடுதல்= \(\frac { -3 }{ 2 }\)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = -1
∴ இருபடிச் சமன்பாடு
x² – \(\frac { -3 }{ 2 }\) x – 1 = 0
⇒ x² + \(\frac { 3 }{ 2 }\)x – 1 = 0
⇒ 2x² + 3x – 2 = 0

மூலங்களின் கூடுதல் (S.R) = – (2 – α)²
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (P. R) = (α + 5)²
∴ இருபடிச் சமன்பாடு
x² + (2 – a)² x + (a + 5)² = 0

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் காண்க.
i) x² + 3x – 28 = 0
ii) x² + 3x = 0
iii) 3 + \(\frac{1}{a}=\frac{10}{a^{2}}\)
iv) 3y² – y – 4 = 0
தீர்வு :
i) x² + 3x – 28 = 0
இங்கு a = 1, b = 3, c = – 28
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}\) = -3
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\frac{c}{a}=\frac{-28}{1}\)= -28

ii) x² + 3x = 0
இங்கு a = 1, b = 3, c = 0
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}\) = -3
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\frac{c}{a}=\frac{0}{1}\) = 0

iii) 3 + \(\frac{1}{a}=\frac{10}{a^{2}}\)x² + 3x = 0
\(a^{2}\left(3+\frac{1}{a}\right)=a^{2}\left(\frac{10}{a^{2}}\right)\)
⇒ 3a² + a = 10
⇒ 3a² + a – 10 = 0
(இங்கு a = 3, b = 1, c = -10)
∴ மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{b}{a}=\frac{-1}{3}\)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\frac{c}{a}=\frac{-10}{3}\)

iv) 3y² – y – 4 = 0
இங்கு a = 3, b = -1, c = -4
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{-b}{a}=\frac{1}{3}\) = -3
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\frac{c}{a}=\frac{-4}{3}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6

கேள்வி 1.
கூட்டுக
(i) \(\frac{x(x+1)}{x-2}+\frac{x(1-x)}{x-2}\)
(ii) \(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-1}{x-2}\)
(iii) \(\frac{x^{3}}{x-y}+\frac{y^{3}}{y-x}\)
தீர்வு :

கேள்வி 2.
கழிக்க
(i) \(\frac{(2 x+1)(x-2)}{(x-4)}-\frac{2 x^{2}-5 x+2}{x-4}\)
(ii) \(\frac{4 x}{x^{2}-1}-\frac{x+1}{x-1}\)
தீர்வு :

கேள்வி 3.
\(\frac{2 x^{3}+x^{2}+3}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\) யிலிருந்து \(\frac{1}{x^{2}+2}\) -ஐக் கழிக்க.
தீர்வு :

கேள்வி 4.
\(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{3}+8}\) யிலிருந்து எந்த விகிதமுறு கோவையைக் கழித்தால் \(\frac{3}{x^{2}-2 x+4}\) என்ற கோவை கிடைக்கும்.
தீர்வு :
விகிதமுறு கோவையை f(x) என்க கணக்கின் படி, \(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{3}+8}\) – f(x)

கேள்வி 5.
A = \(\frac{2 x+1}{2 x-1}\) மற்றும் B = \(\frac{2 x-1}{2 x+1}\) எனில் \(\frac{1}{A-B}-\frac{2 B}{A^{2}-B^{2}}\) காண்க
தீர்வு :

கேள்வி 6.
A = \(\frac{x}{x+1}\) மற்றும் B = \(\frac{1}{x+1}\) எனில், \(\frac{(A+B)^{2}+(A-B)^{2}}{A \div B}=\frac{2\left(x^{2}+1\right)}{x(x+1)^{2}}\) என் நிரூபிக்க.
தீர்வு :

கேள்வி 7.
ஒரு வேலையை 4 மணி நேரத்தில் பாரி செய்கிறார். யுவன் அதே வேலையை மெணி நேரத்தில் செய்கிறார் எனில் இருவரும் சேர்ந்து அந்த வேலையைச் செய்து முடிக்க எத்தனை மணி நேரமாகும்?
தீர்வு :
இருவரும் சேர்ந்து அந்த வேலையை செய்து முடிக்க ஆகும் X நேரம் என்க
பாரி செய்து மடிக்கும் நேரம் = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
யுவன் செய்து முடிக்கும் நேரம் = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
கணக்கின் படி \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{x}\)
= \(\frac{3+2}{12}=\frac{1}{x}\)
= \(\frac{5}{12}=\frac{1}{x}\)
x = \(\frac{12}{5}\) = 2.4
= 2 மணி 24 நிமிடங்கள்

கேள்வி 8.
இனியா 50கி.கி எடையுள்ள ஆப்பிள்கள் மற்றும் வாழைப்பழங்கள் வாங்கினார். ஒரு கிலோகிராமுக்கு ஆப்பிள்களின் விலை வாழைப்பழங்களின் விலையைப் போல இருமடங்கு ஆகும். வாங்கப்பட்ட ஆப்பிள்களின் விலை ₹ 1800 மற்றும் வாழைப்பழங்களின் விலை ₹ 600 எனில், இனியா வாங்கிய இருவகை பழங்களின் எடையைக் கிலோகிராமில் காண்க.
தீர்வு :
இனியா வாங்கிய ஆப்பிள்களின் எடையைக் X கி.கி என்க .
∴ இனியா வாங்கிய வாழைப்பழங்களின் எடை (50 – X) கி.கி
ஆப்பிள்களின் விலை ₹1800
கணக்கின் படி.
ஒரு கி.கி ஆப்பிள்களின் விலை
வாழைப்பழங்களின் விலையைப் போல இரு மடங்கு
∴ \(2\left(\frac{600}{50-x}\right)=\frac{1800}{x}\)
∴ 1 கி.கி ஆப்பிள்களின் விலை = \(\frac{1800}{\mathrm{x}}\)
மேலும் அவள் வாங்கிய வாழைப்பழத்தின் விலை ₹600
∴ 1 கி.கி வாழைப்பழத்தின் விலை = \(\frac{600}{50-x}\)
\(\frac{1200}{50-x}=\frac{1800}{x}\)
12x = 18 (50 – x)
= 900 – 18x
∴ 30x = 900
x = 30
∴ இனியா வாங்கிய இரு வகை பழங்களின் எடைகள்
ஆப்பிளின் எடை = 30 கி.கி
வாழைப்பழங்களின் எடை = 20 கி.கி

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் விகிதமுறு கோவைகளை எளிய வடிவிற்குச் சுருக்குக.
(i) \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x}\)
(ii) \(\frac{x^{2}-11 x+18}{x^{2}-4 x+4}\)
(iii) \(\frac{9 x^{2}+81 x}{x^{3}+8 x^{2}-9 x}\)
(iv) \(\frac{p^{2}-3 p-40}{2 p^{3}-24 p^{2}+64 p}\)
தீர்வு :
i) \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}\)
= \(\frac{x-1}{x}\)

ii) \(\frac{x^{2}-11 x+18}{x^{2}-4 x+4}=\frac{(x-9)(x-2)}{(x-2)(x-2)}\)
= \(\frac{x-9}{x-2}\)

கேள்வி 2.
கீழ்க்கண்ட கோவைகளுக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் இருப்பின் அவற்றைக் காண்க.
(i) \(\frac{y}{y^{2}-25}\)
(ii) \(\frac{t}{t^{2}-5 t+6}\)
(iii) \(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{2}+x-2}\)
(iv) \(\frac{x^{3}-27}{x^{3}+x^{2}-6 x}\)
தீர்வு :
i) \(\frac{y}{y^{2}-25}\) என்ற கோவையானது y² – 25 = 0 எனும் போது வரையறுக்க இயலாததாகிறது
y² – 25 = 0
⇒ y² = 25
∴ y = ± 5
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 5, – 5

ii) \(\frac{t}{t^{2}-5 t+6}\) என்ற கோவையானது t² – 5t + 6 = 0 ல் வரையறுக்க இயலாது
t² – 5t + 6 = 0
⇒ (t – 2) (t – 3) = 0 ,
⇒ t = 2,3
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 2, 3

iii) \(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{2}+x-2}=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+2)(x-1)}=\frac{(x+4)}{(x-1)}\) என்பது x – 1 = 0 ல் வரையறுக்க இயலாததாகிறது.
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்பு x = 1

iv) \(\frac{x^{3}-27}{x^{3}+x^{2}-6 x}=\frac{x^{3}-3^{2}}{x\left(x^{2}+x-6\right)}\)
= \(\frac{(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}{x(x+3)(x-2)}\)
இது x (x + 3) (x – 2) = 0 ல் வரையறுக்க இயலாததாகிறது
∴ x = 0, – 3, 2
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 0, – 3, 2.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றில் முறையே f(x) மற்றும் g(x) ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம காண்க. மேலும், f(x)x g(x) = (மீ.பொ.ம) x (மீ.பொ.வ) என்பதைச் சரிபார்க்க.
i) 21x²y, 35xy²
ii) (x³ – 1) (x + 1), (x³ + 1)
iii) (x²y = xy²), (x² + xy)
தீர்வு :
i) f(x) = 21x²y மற்றும் g(x) = 35xy² என்க
மீ.பொ.ம (21, 35) = 105
மீ.பொ.ம (x²y, xy² ) = x²y²
மீ.பொ.ம (21x²y, 35xy²) = 105x²y²
மீ.பொ.வ (21, 35) =7
மீ.பொ .வ (x²y, xy²) = xy
∴ மீ.பொ .வ = 7xy

இப்பொழுது f(x) x g(x) = 21x²y x 35xy²
= 735x³y³ —(1)
மீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ = 105x²y² x 7xy
= 735x³y³ — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) x g(x) = மீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ மீ.பொ.வ =7xy

ii) f(x) = (x³ – 1) (x + 1) மற்றும் g(x) = x³ + 1 என்க
f(x) = (x³ – 1) (x + 1)
= (x – 1) (x² + x + 1) (x + 1)
g(x) = x³ +1
= (x + 1) (x² – x + 1)
மீ.பொ .ம [ f(x), g(x)] = (x + 1)(x – 1)(x² + x + 1)(x² – x + 1)
மீ.பொ .வ[( f(x), g(x)] = x + 1
இப்பொழுது f(x) xg(x) = (x – 1) (x² + x + 1)(x + 1) (x + 1) (x² – x + 1) — (1)
மீ.பொ.ம . மீ.பொ.வ = (x + 1) (x – 1) (x² + x + 1)(x² – x + 1)(x + 1) — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) xg(x) = மீ.பொ.ம X மீ.பொ.வ

iii) f(x) = x²y + xy² மற்றும் g(x) = x²y + xy² என்க
f(x) = x²y + xy²
= xy (x + y)
g(x) = x² + xy
= x (x + y)
மீ.பொ.ம ( f(x), g(x)] =xy (x + y)

மீ.பொ.வ [ f(x), g(x)] = x (x + y)
இப்பொழுது f(x) xg(x) = xy (x + y) xx(x + y) = x²y(x + y)² — (1)
மீ.பொ.ம X மீ.பொ .வ = xy (x + y) x x (x + y)
= x²y (x + y)² — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) x g(x) = மீ.பொ.ம X மீ.பொ.வ

கேள்வி 2.
கீழ்க்கண்ட ஒவ்வொரு சோடி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம காண்க.
i) a² + 4a – 12, a² – 5a + b இவற்றின் மீ.பொ.வ a – 2
ii) x⁴ – 27a³x, (x – 3a)² இவற்றின் மீ.பொ.வ (x – 3a)
தீர்வு :
i) f(x) = a² + 4a – 12 என்க
= (a + 6) (a – 2) மற்றும்
g(x) = a² – 5a + 6 என்க
= (a – 2) (a – 3)

f(x),g(x) ன் மீ.பொ.வ = a – 2
WKTமீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ =
மீ.பொ.ம x (a – 2) = (a + 6)(a – 2)(a – 2)(a – 3)
∴ மீ.பொ.ம = \(\frac{(a+6)(a-2)(a-2)(a-3)}{(a-2)}\)
= (a + 6) (a – 2) (a – 3)

ii) f(x) = x⁴ – x⁴ – 27a³x என்க
= x (x³ – 27a³)
= x [x³ – (3a)³]
= x(x – 3a) (x² + 3ax + 9a²) மற்றும் g(x)= (x – 3a) ²என்க
f(x),g(x) ன் மீ.பொ.வ = (x – 3a)

WKTமீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ =
= \(\frac{x(x-3 a)\left(x^{2}+3 a x+9 a^{2}\right)(x-3 a)^{2}}{(x-3 a)}\)
= x (x² + 3ax + 9a²)(x – 3a)²

கேள்வி 3.
பின்வரும் ஒவ்வொரு சோடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.
i) 12 (x⁴ – x³), 8 (x⁴ – 3x³ + 2x²) இவற்றின் மீ.பொ.ம 24x³ (x – 1) (x – 2)
ii) (x³ + y³), (x⁴ + x²y² + y⁴) இவற்றின் மீ.பொ.ம (x³ + y³) (x² + xy + y² )
தீர்வு :
i) f(x) = 12 (x⁴ – x³) என்க
= 12x³ (x – 1) மற்றும்
g(x) = 8(x⁴ – 3x³ + 2x²) என்க
= 8x² (x² – 3x + 2)
= 8x² (x – 1)(x – 2)

f(x),g(x) ன் மீ.பொ .ம 24x³ (x – 1) (x – 2)
WKT மீ.பொ.வ =
= \(\frac{12 x^{3}(x-1) \times 8 x^{2}(x-1)(x-2)}{24 x^{3}(x-1)(x-2)}\)
= 4x² (x – 1)

ii) f(x) = x³ + y³ மற்றும்
g(x) = x⁴ + x²y² + y⁴ என்க
= x⁴ + x²y² + y⁴ + x²y² – x²y²
= (x²)² + 2x²y² + (y²)² – (xy)²
= (x² + y²)² – (xy)²
= (x² + xy + y²) = (x² -xy + y² )
f(x),g(x) ன் மீ.பொ.ம (x³ + y³) (x² + xy + y² )

WKT மீ.பொ.ம =
= \(\frac{\left(x^{3}+y^{3}\right) \times\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}\)
= x² – xy + y²

கேள்வி 4.
P(x), q(x) என்ற இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம மற்றும் மீ.பொ.வ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றிலிருந்து கீழ்க்கண்டவற்றைக் கண்டறிந்து நிரப்புக.

தீர்வு :
i) மீ.பொ.ம = a³ – 10a² + 11a + 70
= (a – 7) (a – 5) (a + 2)

மீ.பொ.வ = (a – 7)
P(x) = a² – 12a + 35
= (a – 7) (a – 5)

ii) மீ.பொ.ம = (x² + y²) (x⁴ + x²y² + y⁴)
= (x² + y²) (x² + xy + y² ) (x² – xy + y² )
மீ.பொ.வ = x² – y²

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க
i) x⁴ + 3x³ – x – 3, x⁴ + x² – 5x + 3
ii) x⁴ – 1, x³ – 11x² + x – 11
iii) 3x⁴ + 6x³ – 12x² – 24x, 4x⁴ + 14x³ + 8x² – 8x
iv) 3x³ + 3x² + 3x + 3, 6x³ + 12x² + 6x + 12 தீர்வு :
i)

மீதி = 3x² + 6x – 9
= 3(x² + 2x – 3)

மீதி = 0
x⁴ + 3x³ – x – 3 மற்றும் x³ + x² – 5x +3ன் மீ.பொ.வ
x³ + 2x – 3

ii)

மீதி = 120x² + 0x + 120
= 120 (x² + 0x + 1)

மீதி = 0
x⁴ – 1, x³ – 11x² + x – 11ன் மீ.பொ.வ x² + 1

iii) 3x⁴ + 6x³ – 12x² – 24x = 3x (x³ + 2x² – 4x – 8)
4x⁴ + 14x³ + 8x² – 8x = 2 x (2x³ + 7x² + 4x – 4)
WKT, 3x, 2x ன் மீ.பொ.வ x

மீதி = 3x² + 12x + 12
= 3 (x² + 4x + 4)

iv) 3x³ + 3x² + 3x + 3 = 3 (x³ + x2 + x + 1)
6x³ + 12x² + 6x + 12 = 6 (x³ + 2x² + x + 2) WKT, 3, என் மீ.பொ.வ 3

மீதி = 0
∴ (x³ + x² + x + 1, x³ + 2x² + x + 2) ன் மீ.பொ.வா x² + 1
∴ 3x³ + 3x² + 3x + 3 மற்றும் 6x³ + 12x² + 6x + 12 ன் மீ.பொ.வ 3 (x² + 1)

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றிற்கு மீ.பொ.ம காண்க.
i) 4x²y, 8x³y²
ii) 9a³b², 12a²2b²2c
iii) 16m, – 12m² n², 8n²
iv) p² – 3p + 2, p² -4
v) 2x² – 5x – 3, 4x² – 36
vi) (2x² – 3xy)², (4x – 6y)³, 8x³ – 27y³
தீர்வு :
i) மீ.பொ.ம (4, 8) = 8
மீ.பொ.ம (x²y, x³y²) = x³y²
∴ மீ.பொ.ம (4x² y, 8x³ y²) = 8x³y²

ii) மீ.பொ.ம (9, 12) = 36
மீ.பொ.ம (a³ b², a²b²c) = a³ b²c
∴ மீ.பொ.ம (9a³ b², 12a²b²c) = 36a³b²c

iii) மீ.பொ.ம (16, 12, 8) = 48
மீ.பொ.ம (m, m² n², n²) = m² n²
∴ மீ.பொ.ம (16m, 12m² n², 8n²)
= 48m² n²

iv) p² – 3p + 2 = (p – 1) (p – 2)
p² – 4 = (p + 2) (p – 2)
∴ மீ.பொ.ம = (p – 2)(p+2)(p-1) (அல்லது)
= (p² – 4) (p – 1) |

v) 2x² – 5x – 3 = (x – 3) (2x + 1)
4x² – 36 = 4 (x² – 9)
= 4(x + 3) (x – 3)
∴ மீ.பொ .ம = 4(x – 3) (x + 3) (2x + 1)

vi) (2x² – 3xy)² = 4x⁴ – 12x³y + 9x²y²
= x² (4×2 -12xy + 9y) |
=x2 (2x – 3y)² — (1)
(4x – 6y)³ = 64x³ – 288x²y + 432xy² +216y³
= 8(8x³ – 36x²y + 54xy² + 27y³)
=8 (2x – 3y)³ — (2)
8x³ – 27y³ = (23)³ – (3y)³
= (2x – 3y) (4x² + 6xy + 9y²) –(3)
(1), (2) & (3) லிருந்து
மீ.பொ.ம = 8x² (2x – 3y)³ (4x² + 6xy + 9y²)