Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் விகிதமுறு கோவைகளை எளிய வடிவிற்குச் சுருக்குக.
(i) \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x}\)
(ii) \(\frac{x^{2}-11 x+18}{x^{2}-4 x+4}\)
(iii) \(\frac{9 x^{2}+81 x}{x^{3}+8 x^{2}-9 x}\)
(iv) \(\frac{p^{2}-3 p-40}{2 p^{3}-24 p^{2}+64 p}\)
தீர்வு :
i) \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}\)
= \(\frac{x-1}{x}\)

ii) \(\frac{x^{2}-11 x+18}{x^{2}-4 x+4}=\frac{(x-9)(x-2)}{(x-2)(x-2)}\)
= \(\frac{x-9}{x-2}\)

கேள்வி 2.
கீழ்க்கண்ட கோவைகளுக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் இருப்பின் அவற்றைக் காண்க.
(i) \(\frac{y}{y^{2}-25}\)
(ii) \(\frac{t}{t^{2}-5 t+6}\)
(iii) \(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{2}+x-2}\)
(iv) \(\frac{x^{3}-27}{x^{3}+x^{2}-6 x}\)
தீர்வு :
i) \(\frac{y}{y^{2}-25}\) என்ற கோவையானது y² – 25 = 0 எனும் போது வரையறுக்க இயலாததாகிறது
y² – 25 = 0
⇒ y² = 25
∴ y = ± 5
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 5, – 5

ii) \(\frac{t}{t^{2}-5 t+6}\) என்ற கோவையானது t² – 5t + 6 = 0 ல் வரையறுக்க இயலாது
t² – 5t + 6 = 0
⇒ (t – 2) (t – 3) = 0 ,
⇒ t = 2,3
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 2, 3

iii) \(\frac{x^{2}+6 x+8}{x^{2}+x-2}=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+2)(x-1)}=\frac{(x+4)}{(x-1)}\) என்பது x – 1 = 0 ல் வரையறுக்க இயலாததாகிறது.
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்பு x = 1

iv) \(\frac{x^{3}-27}{x^{3}+x^{2}-6 x}=\frac{x^{3}-3^{2}}{x\left(x^{2}+x-6\right)}\)
= \(\frac{(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}{x(x+3)(x-2)}\)
இது x (x + 3) (x – 2) = 0 ல் வரையறுக்க இயலாததாகிறது
∴ x = 0, – 3, 2
∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 0, – 3, 2.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றில் முறையே f(x) மற்றும் g(x) ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம காண்க. மேலும், f(x)x g(x) = (மீ.பொ.ம) x (மீ.பொ.வ) என்பதைச் சரிபார்க்க.
i) 21x²y, 35xy²
ii) (x³ – 1) (x + 1), (x³ + 1)
iii) (x²y = xy²), (x² + xy)
தீர்வு :
i) f(x) = 21x²y மற்றும் g(x) = 35xy² என்க
மீ.பொ.ம (21, 35) = 105
மீ.பொ.ம (x²y, xy² ) = x²y²
மீ.பொ.ம (21x²y, 35xy²) = 105x²y²
மீ.பொ.வ (21, 35) =7
மீ.பொ .வ (x²y, xy²) = xy
∴ மீ.பொ .வ = 7xy

இப்பொழுது f(x) x g(x) = 21x²y x 35xy²
= 735x³y³ —(1)
மீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ = 105x²y² x 7xy
= 735x³y³ — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) x g(x) = மீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ மீ.பொ.வ =7xy

ii) f(x) = (x³ – 1) (x + 1) மற்றும் g(x) = x³ + 1 என்க
f(x) = (x³ – 1) (x + 1)
= (x – 1) (x² + x + 1) (x + 1)
g(x) = x³ +1
= (x + 1) (x² – x + 1)
மீ.பொ .ம [ f(x), g(x)] = (x + 1)(x – 1)(x² + x + 1)(x² – x + 1)
மீ.பொ .வ[( f(x), g(x)] = x + 1
இப்பொழுது f(x) xg(x) = (x – 1) (x² + x + 1)(x + 1) (x + 1) (x² – x + 1) — (1)
மீ.பொ.ம . மீ.பொ.வ = (x + 1) (x – 1) (x² + x + 1)(x² – x + 1)(x + 1) — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) xg(x) = மீ.பொ.ம X மீ.பொ.வ

iii) f(x) = x²y + xy² மற்றும் g(x) = x²y + xy² என்க
f(x) = x²y + xy²
= xy (x + y)
g(x) = x² + xy
= x (x + y)
மீ.பொ.ம ( f(x), g(x)] =xy (x + y)

மீ.பொ.வ [ f(x), g(x)] = x (x + y)
இப்பொழுது f(x) xg(x) = xy (x + y) xx(x + y) = x²y(x + y)² — (1)
மீ.பொ.ம X மீ.பொ .வ = xy (x + y) x x (x + y)
= x²y (x + y)² — (2)
(1) = (2)
∴ f(x) x g(x) = மீ.பொ.ம X மீ.பொ.வ

கேள்வி 2.
கீழ்க்கண்ட ஒவ்வொரு சோடி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம காண்க.
i) a² + 4a – 12, a² – 5a + b இவற்றின் மீ.பொ.வ a – 2
ii) x⁴ – 27a³x, (x – 3a)² இவற்றின் மீ.பொ.வ (x – 3a)
தீர்வு :
i) f(x) = a² + 4a – 12 என்க
= (a + 6) (a – 2) மற்றும்
g(x) = a² – 5a + 6 என்க
= (a – 2) (a – 3)

f(x),g(x) ன் மீ.பொ.வ = a – 2
WKTமீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ =
மீ.பொ.ம x (a – 2) = (a + 6)(a – 2)(a – 2)(a – 3)
∴ மீ.பொ.ம = \(\frac{(a+6)(a-2)(a-2)(a-3)}{(a-2)}\)
= (a + 6) (a – 2) (a – 3)

ii) f(x) = x⁴ – x⁴ – 27a³x என்க
= x (x³ – 27a³)
= x [x³ – (3a)³]
= x(x – 3a) (x² + 3ax + 9a²) மற்றும் g(x)= (x – 3a) ²என்க
f(x),g(x) ன் மீ.பொ.வ = (x – 3a)

WKTமீ.பொ.ம x மீ.பொ.வ =
= \(\frac{x(x-3 a)\left(x^{2}+3 a x+9 a^{2}\right)(x-3 a)^{2}}{(x-3 a)}\)
= x (x² + 3ax + 9a²)(x – 3a)²

கேள்வி 3.
பின்வரும் ஒவ்வொரு சோடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.
i) 12 (x⁴ – x³), 8 (x⁴ – 3x³ + 2x²) இவற்றின் மீ.பொ.ம 24x³ (x – 1) (x – 2)
ii) (x³ + y³), (x⁴ + x²y² + y⁴) இவற்றின் மீ.பொ.ம (x³ + y³) (x² + xy + y² )
தீர்வு :
i) f(x) = 12 (x⁴ – x³) என்க
= 12x³ (x – 1) மற்றும்
g(x) = 8(x⁴ – 3x³ + 2x²) என்க
= 8x² (x² – 3x + 2)
= 8x² (x – 1)(x – 2)

f(x),g(x) ன் மீ.பொ .ம 24x³ (x – 1) (x – 2)
WKT மீ.பொ.வ =
= \(\frac{12 x^{3}(x-1) \times 8 x^{2}(x-1)(x-2)}{24 x^{3}(x-1)(x-2)}\)
= 4x² (x – 1)

ii) f(x) = x³ + y³ மற்றும்
g(x) = x⁴ + x²y² + y⁴ என்க
= x⁴ + x²y² + y⁴ + x²y² – x²y²
= (x²)² + 2x²y² + (y²)² – (xy)²
= (x² + y²)² – (xy)²
= (x² + xy + y²) = (x² -xy + y² )
f(x),g(x) ன் மீ.பொ.ம (x³ + y³) (x² + xy + y² )

WKT மீ.பொ.ம =
= \(\frac{\left(x^{3}+y^{3}\right) \times\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}\)
= x² – xy + y²

கேள்வி 4.
P(x), q(x) என்ற இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம மற்றும் மீ.பொ.வ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றிலிருந்து கீழ்க்கண்டவற்றைக் கண்டறிந்து நிரப்புக.

தீர்வு :
i) மீ.பொ.ம = a³ – 10a² + 11a + 70
= (a – 7) (a – 5) (a + 2)

மீ.பொ.வ = (a – 7)
P(x) = a² – 12a + 35
= (a – 7) (a – 5)

ii) மீ.பொ.ம = (x² + y²) (x⁴ + x²y² + y⁴)
= (x² + y²) (x² + xy + y² ) (x² – xy + y² )
மீ.பொ.வ = x² – y²

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க
i) x⁴ + 3x³ – x – 3, x⁴ + x² – 5x + 3
ii) x⁴ – 1, x³ – 11x² + x – 11
iii) 3x⁴ + 6x³ – 12x² – 24x, 4x⁴ + 14x³ + 8x² – 8x
iv) 3x³ + 3x² + 3x + 3, 6x³ + 12x² + 6x + 12 தீர்வு :
i)

மீதி = 3x² + 6x – 9
= 3(x² + 2x – 3)

மீதி = 0
x⁴ + 3x³ – x – 3 மற்றும் x³ + x² – 5x +3ன் மீ.பொ.வ
x³ + 2x – 3

ii)

மீதி = 120x² + 0x + 120
= 120 (x² + 0x + 1)

மீதி = 0
x⁴ – 1, x³ – 11x² + x – 11ன் மீ.பொ.வ x² + 1

iii) 3x⁴ + 6x³ – 12x² – 24x = 3x (x³ + 2x² – 4x – 8)
4x⁴ + 14x³ + 8x² – 8x = 2 x (2x³ + 7x² + 4x – 4)
WKT, 3x, 2x ன் மீ.பொ.வ x

மீதி = 3x² + 12x + 12
= 3 (x² + 4x + 4)

iv) 3x³ + 3x² + 3x + 3 = 3 (x³ + x2 + x + 1)
6x³ + 12x² + 6x + 12 = 6 (x³ + 2x² + x + 2) WKT, 3, என் மீ.பொ.வ 3

மீதி = 0
∴ (x³ + x² + x + 1, x³ + 2x² + x + 2) ன் மீ.பொ.வா x² + 1
∴ 3x³ + 3x² + 3x + 3 மற்றும் 6x³ + 12x² + 6x + 12 ன் மீ.பொ.வ 3 (x² + 1)

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றிற்கு மீ.பொ.ம காண்க.
i) 4x²y, 8x³y²
ii) 9a³b², 12a²2b²2c
iii) 16m, – 12m² n², 8n²
iv) p² – 3p + 2, p² -4
v) 2x² – 5x – 3, 4x² – 36
vi) (2x² – 3xy)², (4x – 6y)³, 8x³ – 27y³
தீர்வு :
i) மீ.பொ.ம (4, 8) = 8
மீ.பொ.ம (x²y, x³y²) = x³y²
∴ மீ.பொ.ம (4x² y, 8x³ y²) = 8x³y²

ii) மீ.பொ.ம (9, 12) = 36
மீ.பொ.ம (a³ b², a²b²c) = a³ b²c
∴ மீ.பொ.ம (9a³ b², 12a²b²c) = 36a³b²c

iii) மீ.பொ.ம (16, 12, 8) = 48
மீ.பொ.ம (m, m² n², n²) = m² n²
∴ மீ.பொ.ம (16m, 12m² n², 8n²)
= 48m² n²

iv) p² – 3p + 2 = (p – 1) (p – 2)
p² – 4 = (p + 2) (p – 2)
∴ மீ.பொ.ம = (p – 2)(p+2)(p-1) (அல்லது)
= (p² – 4) (p – 1) |

v) 2x² – 5x – 3 = (x – 3) (2x + 1)
4x² – 36 = 4 (x² – 9)
= 4(x + 3) (x – 3)
∴ மீ.பொ .ம = 4(x – 3) (x + 3) (2x + 1)

vi) (2x² – 3xy)² = 4x⁴ – 12x³y + 9x²y²
= x² (4×2 -12xy + 9y) |
=x2 (2x – 3y)² — (1)
(4x – 6y)³ = 64x³ – 288x²y + 432xy² +216y³
= 8(8x³ – 36x²y + 54xy² + 27y³)
=8 (2x – 3y)³ — (2)
8x³ – 27y³ = (23)³ – (3y)³
= (2x – 3y) (4x² + 6xy + 9y²) –(3)
(1), (2) & (3) லிருந்து
மீ.பொ.ம = 8x² (2x – 3y)³ (4x² + 6xy + 9y²)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த ஒருங்கமை நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்க்க .
i) x + y + z = 5, 2x – y + z = 9; x – 2y + 3z = 16
ii) \(\frac{1}{x}-\frac{2}{y}+4=0 ; \frac{1}{y}-\frac{1}{z}+1=0, \frac{2}{z}+\frac{3}{x}=14\)
iii) x + 20 = \(\frac{3 y}{2}\) + 10 = 2z + 5 = 110 – (y + z )
தீர்வு :
x+y + z = 5 — (1)
2x – y + z = 9 — (2)
x – 2y + 3z = 16 — (3)

(1) x (2) ⇒ 2x + 2y + 2z = 10
(3) x- 2y + 3z = 16
3x + 5z = 26 —— (5)
(5) – (4) 3x + 5z = 26
3x + 2z = 14 (-)
3z = 12
z = 4

z = 4 ஜ (4) ல் பிரதியிட
3x + 2 × 4 = 14
3x + 8 = 14
3x = 14 – 8 = 16
x = 2

x = 2, z = 4 ஐ (1) ல் பிரதியிட
2 + y + 4 = 5
6+ y = 5
y = 5 – 6
y = -1
∴ x = 2, y = -1, z = 4

ii) \(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b, \(\frac{1}{z}\) = c என்க
\(\frac{1}{x}-\frac{2}{y}\) + 4 = 0 = a – 2b + 4 = 0 — (1)
\(\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\) + 1 = 0 = b – c + 1 = 0 — (2)
\(\frac{2}{z}+\frac{3}{x}\)= 14 = 2c + 3a – 14 = 0 — (3)

a = 2 ஐ (1)ல் பிரதியிட
2 – 2b + 4 = 0
2b = 6
b = 3

b = 3 ஐ (2)ல் பிரதியிட
3 – c + 1 = 0
c = 4
∴ \(x=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{b}=\frac{1}{3}, z=\frac{1}{c}=\frac{1}{4}\)

iii) x + 20 = \(\frac{3 y}{2}\) + 10 எனில்
⇒ x + 20 – 10 = \(\frac{3 y}{2}\)
⇒ x + 10 = \(\frac{3 y}{2}\)
⇒ 2(x + 10) = 3y
⇒ 2x + 20 – 3y = 0
⇒ 2x – 3y + 20 = 0 — (1)

x + 20 = 2z + 5 எனில்
⇒ x – 2z + 20 – 5 = 0
⇒ x – 2z + 15 = 0 —– (2)
x + 20 = 110 – (y + z) எனில்
x + y + z = 90 — (3)

z = 25 ஐ (2)ல் பிரதியிட
x – 2 × 25 + 15 = 0
x – 50 + 15 =0
x – 35 = 0
x = 35

x = 35, z = 25 ஐ (3) ல் பிரதியிட
35 + y + 25 = 90
60 + y = 90
y = 90 – 60
y = 30
∴ x = 35, y = 30, Z = 25

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளின் தீர்வுகளின் தன்மையைக் காண்க.
i) x + 2y – z = 6; – 3x – 2y + 5z = -12; x – 2z = 3
ii) 2y + z = 3 (-x + 1); – x + 3y – z = -4; 3x + 2y + z = \(-\frac { 1 }{ 2 }\)\
iii) \(\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{3}=\frac{x+y}{2}\), x + y + z = 27
தீர்வு :
i) x + 2y = z = 6 —(1)
– 3x – 2y + 5z = -12 — (2)
x – 27 = 3 — (3)

(4) ⇒ – 2x + 4z = – 6
(3) × 2 ⇒ 2x – 4z = 6 (+)
0 = 0
கொடுக்கப்ட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டு

ii) 2y + z = 3 (- x + 1)
⇒ 2y + z = -3x +3
⇒ 3x + 2y + z = 3 — (1)
– x +3y – z = 4 — (2)
3x + 2y + z = \(-\frac{1}{2}\) —–(3)

இத்தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது மேலும் இச்சமன்பாடுக்கு தீர்வு இல்லை

iii) x + y + z = 27 – —(1)
\(\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{3}\)என்க
3y + 3z = 4z + 4x
4x – 3y + z = 0 — (2)
\(\frac{y+z}{4}=\frac{x+y}{2}\) என்க
⇒ 2y + 2z = 4x + 4y
⇒ 4x + 2y – 2z = 0 — (3)

இச்சமன்பாடுக்கு ஒரேயொரு தீர்வு உண்டு

கேள்வி 3.
தாத்தா , தந்தை மற்றும் வாணி ஆகிய மூவரின் சராசரி வயது 53. தாத்தாவின் வயதில் பாதி, தந்தையின் வயதில் மூன்றில் ஒரு பங்கு மற்றும் வாணியின் வயதில் நான்கில் ஒரு பங்கு ஆகியவற்றின் கூடுதல் 65. நான்கு ஆண்டுகளுக்கு முன் தாத்தாவின் வயது வாணியின் வயதைப்போல் நான்கு மடங்கு எனில் மூவரின் தற்போதைய வயதைக் காண்க?
தீர்வு :
வாணி , வாணியின் தந்தை மற்றும் வாணியின் தாத்தா ஆகியோரின் தற்போதைய வயதுகள் முறையே x, y, z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விபரங்களின் படி
\(\frac{x+y+z}{3}\)= 53
⇒ x + y + z = 159 —— (1)
⇒ \(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}\) = 65
⇒ \(\frac{3 x+4 y+6 z}{12}\) = 65
⇒ 3x + 4y + 6z = 780 —(2)

நான்கு ஆண்டுகளுக்கு முன்
z – 4 = 4(x – 4)
⇒ 4x – z = 12 —— (3)


x = 24
x = 24 ஐ சமன்பாடு (3)
பிரதியிட
4 × 24 – z = 12
96 – a = 12
z = 84
x = 24, z = 84 ஐ (1)ல்
பிரதியிட
24 + y + 84 = 159
y = 51

∴ வாணியின் வயது 24
வாணியின் தந்தையின் வயது 51
வாணியின் தாத்தாவின் வயது 84

கேள்வி 4.
ஒரு மூவிலக்க எண்ணில், இலக்கங்களின் கூடுதல் 11. இலக்கங்களை இடமிருந்து வலமாக வரிசை மாற்றினால் புதிய எண் பழைய எண்ணின் ஐந்து மடங்கைவிட 46 அதிகம். பத்தாம் இட இலக்கத்தின் இரு மடங்கோடு நூறாம் இட இலக்கத்தைக் கூட்டினால் ஒன்றாம் இட இலக்கம் கிடைக்கும் எனில், அந்த மூவிலக்க எண்ணைக் காண்க?
தீர்வு :
அந்த மூவிலக்க எண் xyz என்க
கணக்கின் படி, இலக்கங்களின் கூடுதல் = 11
∴ x + y + z = 11 — (1)
இலக்கங்களை இடமிருந்து வலமாக வரிசை மாற்றினால் புதிய எண் பழைய எண்ணிண் ஐந்து மடங்கை விடை 46 அதிகம், zyx = 5xyz + 46
⇒ 100z + 10y + x = 500x + 50y + 5z + 46
⇒ 499x + 40y – 95z = – 46 — (2)
கணிதம் கணக்கின் படி, x + 2y = z
⇒ x + 2y – z = 0 — (3)
(1) & (3) ஐ கூட்ட

x = 1 ஐ (4) ல் பிரதியிட
2 × 1 + 3y = 11
3y = 9
y = 3

x = 1, y = 3 ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 + 3 + z = 11
z = 7
∴ அந்த மூவிலக்க எண் 137

கேள்வி 5.
ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ₹105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ₹ 20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன? தீர்வு :
ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை முறையே x, y, z என்க. கணக்கின் படி x + y + z = 12 — (1)
5x + 10y + 20z = 105
⇒ x + 2y +4z = 21 — (2)
முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ₹20 அதிகரிக்கிறது
10x + 5y + 20z = 125
2x + y + 4z = 25 — (3)

x = 7 ஐ (4) ல் பிரதியிட
7 – y = 4
∴ y = 3

x = 7, y = 3 ஐ (1) ல் பிரதியிட
7 + 3 + z = 12
∴ z = 2
∴ ஜந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 7, 3, 2 ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Unit Exercise 2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Unit Exercise 2

கேள்வி 1.
எல்லா மிகை முழுக்கள் n-க்கும் n² – n ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
தரவு:- n² – n
தீர்வு வகை (i): n ஒரு இரட்டை எண் என்க. எனவே n = 2k என்க
n² – n = (2k)² -2k
= 4k² – 2k
= 2(2k² – k)
2 ஆல் வகுபடும்
வகை (ii): n ஒரு ஒற்றை எண் என்க.
எனவே n = 2k+1
n² – n = (2k+1)² – (2k+1)
= 4k² +4k+1 -2k-1
= 4k² + 2k
= 2(2k² + k)
= 2 ஆல் வகுபடும்
n² – 1 என்பது 2 ஆல் வகுபடும்.

கேள்வி 2.
ஒரு பால்காரரிடம் 175 லிட்டர் பசும் பாலும் 105 லிட்டர் எருமைப்பாலும் உள்ளது இவற்றை அவர் சம கொள்ளளவுக் கொண்ட இருவகையான கலன்களில் அடைத்து விற்க விருப்பப்படுகிறார். (i) இவ்வாறு விற்பதற்குத் தேவைப்படும் கலன்களின் அதிகபட்ச கொள்ளளவு எவ்வளவு? இவ்வாறாக (ii) எத்தனை கலன் பசும்பால் மற்றும் (iii) எருமைப்பால் விற்கப்பட்டிருக்கும்?
தீர்வு:
தரவு பசும்பால் = 175 லி
எருமைப்பால் = 105 லி
i) கலனில் கொள்ளளவு = a = bq + r
175 = 105(1)+70
105 = 70(1)+35
70 = 35(2 )+ 0
கலனின் கொள்ளளவு = 35

ii) பசும்பால் கலனின் எண்ணிக்கை
175 = 35(7) + 0
எனவே பசும்பால் கலனின் எண்ணிக்கை = 7

iii) எருமைப்பால் கலனின் எண்ணிக்கை
105 = 35(3) + 0
பசும்பால் கலன்களின் எண்ணிக்கை = 3

கேள்வி 3.
a, b, c என்ற எண்களை 13 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள் முறையே 9, 7 மற்றும் 10. a + 2b + 3c ஐ 13 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
தீர்வு:
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி
a = 13m+9
b = 13m+7
c = 13m+10
a+2b+3c = 13m+9+26m+14+39m+30
= 78m+53
78 = 53(1)+25
53 = 25(2)+3
25 = 3(8)+1
எனவே மீதி = 1.

கேள்வி 4.
107 ஆனது 4q + 3, q என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு என்ற வடிவில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
107 என்பதை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
107 = 104+3
= 4(26)+3
= 4q+3 இங்கே q = 26

கேள்வி 5.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் (m +1) வது உறுப்பானது (n +1) வது உறுப்பின் இரு மடங்கு எனில், (3m+1) வது உறுப்பானது. (m +n +1)வது உறுப்பின் இரு மடங்கு என நிறுவுக.
தீர்வு:
தரவு t_m+1 = 2t_n+1
a+(m+1-1)xd = 2[a+(n+1-1)d]
a+md = 2[a+nd]
a+md = 2a+2nd
md = 2a+2nd-a
md = a+2nd

நிரூபி t_3m+1 = t_m+n+1
t_3m+1 = a+(3m+1-1)d
=a+3(a+2nd) (md=a+2nd ஏனெனில்)
= a+3a+6nd
= 4a+6nd
= 2(2a+3nd)
= 2[a+a+2nd+nd]
= 2[a+md+nd] ([a+2nd = md]
ஏனெனில்)
= 2[a+d(m+n)]
= 2[a+(m+n-1+1)d]
= 2t_m+n+1
t_3m+1 = 2t_m+n+1

கேள்வி 6.
-2,-4,-6….100 என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் இறுதி உறுப்பிலிருந்து 12வது உறுப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
-100, -98, …………..-2
a = -100,
d = t₂ – t₁ = -98 – (-100) = -98+100 = 2
t₁₂ = a + (n – 1)d
= -100 + (12 – 1) x 2
= -100 + 11 x 2
= -100 + 22 = -78

கேள்வி 7.
இரண்டு கூட்டுத் தொடர்வரிசைகள் ஒரே பொதுவித்தியாசம் கொண்டுள்ளன. ஒரு தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு 2 மற்றும் மற்றொரு தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு 7. இரு தொடர்வரிசைகளின் 10வது உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசம், 21-வது உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என நிரூபித்து உள்ளது. இந்த வித்தியாசம் அந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமமாக உள்ளது என நிறுவுக.
தீர்வு:
முதல் கூட்டுத்தொடர் வரிசை
a = 2, பொதுவித்தியாசம் = d
t₁₀ = a+9d = 2+9d
இரண்டாவது கூட்டுத்தொடர் வரிசை
a = 7, பொதுவித்தியாசம் = d
t₁₀ = a+9d = 7+9d
இவை இரண்டின் 10வது உறுப்புகளின் வித்தியாசம்
= 7 + 9m – (2 + 9m)
= 7 + 9m – 2 – 9m)
= 5

t₂₁ = a+(n-1)d=7+(21-1)d=7+20d
21 வது உறுப்புகளின் வித்தியாசம்
= 7 + 20d – 2 – 20d
= 5
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
ஒரு நபர் 10 வருடங்களில் 116500 ஐ சேமிக்கிறார். ஒவ்வொரு வருடமும் அவர் சேமிக்கும் தொகையானது அதற்கு முந்தைய வருடம் சேமிக்கும் தொகையை விட ₹100 அதிகம். அவர் முதல் வருடம் எவ்வளவு சேமித்திருப்பார்?
தீர்வு:
கூட்டுத்தொடர் வரிசை = 1, a+100, a+200 ….
S₁₀ = 16500
\(\frac{n}{2}\)[2a+(n-1)d] = 16500
\(\frac{10}{2}\)[2+(10-1)x4] = 16500
5[2a+9×100] = 16500
2a + 900 = 3300
2a = 3300 – 900
2a = 2400
a = 1200
எனவே அவர் முதல் வருடம் ₹ 1200 சேமித்திருப்பார்.

கேள்வி 9.
ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் 2-வது உறுப்பு √6 மற்றும் 6-வது உறுப்பு 916 எனில் அந்தத் தொடர்வரிசையைக் காண்க.
தீர்வு:
தரவு t₂ = √6 and t₆ = 9√6
ar = √6 –(1) ar⁵ = 9√6 —(2)
(2) ÷ (1)
\(\frac{a r^{5}}{a r}=\frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{6}}\)
r⁴ = 9
r⁴ = (√3)⁴
r = √3
பெருக்குத்தொடர் வரிசை r = √3 ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 ⇒ ar = √6
a√3 = √6
a = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\)
a = √2
பெருக்குத்தொடர் வரிசை a, ar, ar²..
√2, √2 √3, √2(√3)²…
√2, √6, 3√2….

கேள்வி 10.
ஒரு வாகனத்தின் மதிப்பு ஒவ்வோர் ஆண்டும் 15% குறைகிறது. வாகனத்தின் தற்போதைய மதிப்பு 145,000 எனில், 3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு வாகனத்தின் மதிப்பு என்ன?
தீர்வு:
தரவு a = 45000, n = 4, r = \(\frac { 85 }{ 100 }\) (15%)
t_n = ar^n-1
t₄ = 45000\(\left(\frac{85}{100}\right)^{4}\)
= 45000\(\left(\frac{85}{100}\right)^{3}\)
= 27635.6
= ₹27636

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9

கேள்வி 1.
பின்வரும் தொடர்களின் கூடுதலைக் காண்க.
(i) 1+2 + 3 +….. + 60
(ii) 3 + 6 + 9 +…..+ 96
(iii) 51+ 52 + 53 +…..+ 92
(iv) 1+ 4 + 9 +16 + +225
(v) 6² + 7² + 8² +… + 21²
(vi) 10³ + 11³ + 12³ +……. +20³
(vii) 1+ 3 + 5 +… + 71
தீர்வு :
i) 1+2 + 3 +….. + 60
Σn = \(\frac{n(n+1)}{2}\) இங்கே n = 60
= \(\frac{60(60+1)}{2}\)
= \(\frac{60 \times 61}{2}\)
= 30 x 61
= 1830
So 1+2+3+ +60 = 1830

ii) 3 + 6 + 9 + ….. + 96
தீர்வு :
= 3(1 + 2 + 3 + … + 32)
= 3 x Σn
= 3 x \(\frac{n(n+1)}{2}\) இங்கே n = 32
= 3 x \(\frac{32(32+1)}{2}\)
= \(\frac{3 \times 32 \times 33}{2}\)
32(32+1) = 3x 2 – 3x32x33
= 3 x 16 x 33
= 1584
3+6+9+12+…+96 = 1584

iii) 51 + 52 + 53 + ….. + 92
தீர்வு :
= (1 + 2 + 3 + … + 92) – (1 + 2 + 3 + ….. + 50)
= \(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}\)
= \(\frac{92 \times 93}{2}-\frac{50 \times 51}{2}\)
= 46 x 93 – 25 x 51
= 4278-1275
51 + 52 + 53 + …. + 92 = 3003

iv) 1 + 4 + 9 + 16 + … + 225
தீர்வு :
= 1² + 2² + 3² + 4²+ ………….. +15²
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) இங்கே n = 15
= \(\frac{15 \times 16 \times 31}{6}\)
= 1240
எனவே 1+4+9+16+… +225 = 1240

v) 6² + 7² + 8² + …………….. + 21²
= (1² + 2² + 3² + ………. + 21²) – (1² + 2² + 3² +… + 5²)
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
= \(\frac{21 \times 22 \times 43}{6}-\frac{5 \times 6 \times 11}{6}\)
= 3311 – 55
= 3256
எனவே 6² + 7² + 8² + ……………..+21² = 3256

vi) 10³ + 11³ + 12³ +.. +20³
தீர்வு :
= (1³ + 2³ + 3³ + ……………. + 20³) –
(1³ + 2³ + 3³+ …………..+9³)
= \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\)
= \(\left[\frac{20 \times 21}{6}\right]^{2}-\left[\frac{9 \times 10}{6}\right]^{2}\)
= (210)² – (45)²
= 44100 – 2025
= 42075
எனவே 10³ + 11³ + 12³ + ………… +20³ = 42075

vii) 1+ 3 + 5 + ………….. + 71
இங்கு a = 1, d = 2, l = 71
= \(\frac{l-a}{d}\) + 1
= \(\frac{71-1}{2}\) + 1
= \(\frac{70}{2}\) + 1
n = 36
1 + 3 + 5 +…+ 71 = n² = 36² = 1296

கேள்வி 2.
1+2 + 3 +…..+k = 325, எனில்
1³ + 2³ + 3³ +… + k³ யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
1 + 2 + 3 + ………………+ k = 325
Σn = 325
\(\frac{n(n+1)}{2}\) = 325 —–(1)
1³ + 2³ + 3³ + ……………..+ k³ = Σn³
= \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\)
= (325)²
= 105625 ((1)லிருந்து)
எனவே 1³ + 2³ + 3³ + …………. + k³ = 105625

கேள்வி 3.
1³ + 2³ + 3³ +…. + k³ = 44100 எனில் 1 + 2 + 3 +….+k யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
தரவு :-1³ + 2³ + 3³ + ……………….+k³ = 44100
Σk³ = 44100
im 11
2 1+2 + 3 +…+ k = 210

கேள்வி 4.
1³ + 2³ + 3³ +….. என்ற தொடரின் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 14400 கிடைக்கும்?
தரவு:-
1³ + 2³ + 3³ + ……………… +n³ = 44100
Σn³ = 14400
im 12
n² + n – 240 = 0
(n + 16)(n – 15) = 0
n = -16 என்பது பொருந்தாது
n = 15

கேள்வி 5.
முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதல் 2025 எனில் n-யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கணக்கின் படி Σn² = 285
\(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) = 285 ——(1)
மேலும் Σn<sup3 = 2025
\(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\) = 2025
\(\frac{n(n+1)}{2}\) = 45
n(n+1) = 90——(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{90(2 n+1)}{6}\) = 285
2n+1 = \(\frac{285 \times 6}{90}\)
2n+1 = 1990
2n = 18
n = 9

கேள்வி 6.
ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ , 12 செ.மீ…… 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண க் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
தீர்வு :
தரவு:- 10² + 11² + 12² + …………. + 24² = (1² + 2² + 3² + …………. +24²) –
(1² + 2² + 3² + …………….+9²)
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
= \(\frac{24 \times 25 \times 49}{6}-\frac{9 \times 10 \times 19}{6}\)
= 4900 – 285
= 4615 ச.செ.மீ

கேள்வி 7.
(2³ – 1³) + (4³ – 3³)-(6³ – 5³) + …. என்ற
தொடர்வரிசையின் (i) n உறுப்புகள் வரை (i) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.
தீர்வு :
தரவு:- (2³ – 1³) + (4³ – 3³)-(6³ – 5³) + …. n உறுப்புகள்
(i.e) Σ[(இரட்டைப்படை எண்)³
-(ஒற்றைப்படை எண்)³]
= Σ[(2n)³ – (2n – 1)³]
= Σ[8n³ (8n³-12n² + 6n – 1)]
= Σ[8n³ – 8n³ + 12n² – 6n + 1)]
= Σ[12n³ – 6n + 1]
= 12Σn² – 6Σn + Σ1
= \(\frac{12 \times n \times(n+1)(2 n+1)}{6}-6 \frac{n(n+1)}{2}+\mathrm{n}\)
= 2n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1)+n
= 2n[2n² + n + 2n + 1] – 3n² – 3n + n
= 4n³ + 2n² + 4n² + 2n – 3n² – 3n + n
= 4n³ + 3n²

ii) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண் n
உறுப்புகள் கூடுதல் = 4n³ + 3n² 8
உறுப்புகள் வரை கூடுதல் = 4(8)³ + 3(8)²
= 4 x 512 + 3 x 64
= 2048 + 192
= 2240

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.8

கேள்வி 1.
பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
(i) 5,-3, \(\frac{9}{5},-\frac{27}{25}\) ….
(ii) 256,64, 16,…
தீர்வு :
(i) 5,-3, \(\frac{9}{5},-\frac{27}{25}\) ….
தரவு: 5, -3 \(\frac{9}{5},-\frac{27}{25}\) …. என்பவை பெருக்குத் தொடர்வரிசை

ii) 256, 64, 16 …
தீர்வு :

கேள்வி 2.
5, 15, 45, ….. என்ற பெருக்குத்
தொடர்வரிசையின் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு :
தரவு : a = 5, r = 15/3 = 3 > 1, n = 6

கேள்வி 3.
ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது விகிதம் 5 மற்றும் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூடுதல் 46872 எனில், அதன் முதல் உறுப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
தரவு : r = 5, S₆ = 46872 எனில்
a = ?
S_n = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\)
46872 = \(\frac{a\left[5^{6}-1\right]}{5-1}\)
46872 = \(\frac{a[15625-1]}{4}\)
46872 = a x \(\frac{15624}{4}\)
46872 = 39069
a = \(\frac{46872}{3906}\)
a = 12

கேள்வி 4.
பின்வரும் முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காண்க.
(i) 9 + 3 +1+…..
(ii) 21+14+ 28…………..
தீர்வு:
i) 9+3+1+…………….

ii) 21 + 14 + \(\frac{28}{3}\) + …………
தரவு a = 9, r = \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) < 1
S_r = \(\frac{a}{1-r}\)
= \(\frac{21}{1-\frac{2}{3}}\)
= \(\frac{21}{\frac{1}{3}}\)
= 21 x \(\frac{3}{1}\)
S_∞ = 63

கேள்வி 5.
ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு 8 மற்றும் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் \(\frac { 32 }{ 3 }\) எனில் அதன் பொது விகிதம் காண்க.
தீர்வு :
தரவு : a = 8, S_∞ = \(\frac { 32 }{ 3 }\)
r = ?
S_∞ = \(\frac{a}{1-r}\)
\(\frac{32}{3}=\frac{8}{1-r}\)
32(1-r) = 24
32-32r = 24
32r = 32-24
32r = 8
r = \(\frac { 8 }{ 32 }\)
r = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் தொடர்களின் n உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.
(i) 0.4 +0.44 +0.444 + ……….. n உறுப்புகள்
வரை (ii) 3 + 33 + 333 +………. n உறுப்புகள் வரை
தீர்வு :
i) 0.4 + 0.44 + 0.444 +. .. n உறுப்புகள் வரை
தரவு : 0.4 + 0.44 + 0.444 +….. n உறுப்புகள் வரை

ii) 3 + 33 + 333 +…. n உறுப்புகள் வரை
தரவு :
3 + 33 + 333 +…. n உறுப்புகள் வரை
= 3[1 + 11 + 111 + n உறுப்புகள் வரை)
= \(\frac { 3 }{ 9 }\)[9+99+999+…. n உறுப்புகள்]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)[(10-1)+(100-1)+(1000-1)….nஉறுப்புகள்]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)[(10 + 100+1000+ …)-(1+1+1+ – n உறுப்புகள்)]
= \(\frac{1}{3}\left[\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}-n\right]\)
இங்கே a = 10, r = 10 > 1

கேள்வி 7.
3 + 6 +12 +…..+ 1536 என்ற பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு :
தரவு:- a = 3, r = \(\frac { 6 }{ 3 }\) = 2 > 1
t_n = 1536
ar^n-1 = 1536
3(2)^n-1 = 1536
2^n-1 = 1536/3
2^n-1 = 512
2^n-1 = 2⁹
n-1 = 9
n = 9 + 1
n = 10

S₁₀ = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\) இங்கே a = 3, r = 2
= \(\frac{3\left[2^{10}-1\right]}{2-1}\)
= 3[1024-1]
= 3 x 1023
S₁₀ = 3069

கேள்வி 8.
குமார் தனது நான்கு நண்பர்களுக்கு கடிதம் எழுதுகிறார். மேலும் தனது நண்பர்களை அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் நான்கு வெவ்வேறு நண்பர்களுக்குக் கடிதம் எழுதுமாறும் மற்றும் இந்தச் செயல்முறையைத் தொடருமாறும் கூறுகிறார். இந்தச் செயல்முறை தொடர்ச்சியாக நடைபெறுகின்றது. ஒரு கடிதத்தற்கான செலவு ₹2 எனில் 8 நிலைகள் வரை கடிதங்கள் அனுப்புவதற்கு ஆகும் மொத்தச் செலவைக் காண்க.
தீர்வு :
4 + 16 + 64 + …… 8 நண்ப ர்கள்
a = 4, r = \(\frac { 16 }{ 4 }\) = 4> 1, n = 8

= 87380 கடிதங்கள்.
ஒரு கடிதத்திற்கான செலவு = ₹2
87380 கடிதங்களுக்கான செலவு = 87380 x 2
=₹174760

கேள்வி 9.
\(0 . \overline{123}\) என்ற எண்ணின் விகிதமுறு வடிவம் காண்க.
தீர்வு :
\(0 . \overline{123}\) = 0.123123123………
= 0.123 + 0.000123 + 0.000000123….

கேள்வி 10.
S_n = (x+y) + (x² + xy + y²) +
(x³ + x²y + xy² + y³)+ …….. n உறுப்புகள் வரை எனில் (x-y)S_n
= \(\left[\frac{x^{2}\left(x^{n}-1\right)}{x-1}-\frac{y^{2}\left(y^{n}-1\right)}{y-1}\right]\) என நிறுவுக.
தரவு:
S_n = (x+y) + (x²+xy+y²)
+(x³+x²y+xy² +y³)+ ………….n
உறுப்புகள்
(x-y)S_n = (x-y) [ (x+y) + (x² +xy+y²) + (x³+x²y +xy² + y³)+…..n உறுப்புகள்]
= (x-y)(x+y)+(x-y)(x²+xy+y²)+(x-y) –
(x³+x²y+xy²+y³)+ ……n உறுப்புகள் =x²-y² +x³-y³+ x⁴-y⁴+ ………… n உறுப்புகள்
= (x²+x³+x⁴ +…….. )-(y² + y³ + y⁴+………………… )
a = x² , r = \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x, a = y², r = \(\frac{y^{3}}{y^{2}}\) = y
(x – y)S_n = \(\left[\frac{x^{2}\left(x^{n}-1\right)}{x-1}-\frac{y^{2}\left(y^{n}-1\right)}{y-1}\right]\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் தொடர் வரிசைகள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையா எனச் சோதிக்கவும்.
(i) a-3, 4-5, a-7,…
(ii) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\)
(iii) 9, 13, 17, 21, 25,…..
(iv) \(\frac{-1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \ldots\)
(v) 1, -1, 1-1,1,-…
தீர்வு :
i) a-3, a-5, a-7
t₂ – t₁ = (a – 5) – (a – 3) = a – 5 – a + 3 = -2
t₃ – t₂ = (a – 7) – (a – 5) = a – 7 – a + 5 = -2
t₂ – t₁ = t₃ – t₂
பொது வித்தியாசங்கள் சமம்.
எனவே a-3, a-5, a-7…. என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை A.P.

அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் இல்லை
இல்லை \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\),… என்பது கூட்டுத்தொடர் 2 3 4 5 வரிசை அல்ல.
iii) 9, 13, 17, 21, 25…
t₂ – t₁ = 13-9 = 4
t₃ – t₂ = 17-13 = 4
t₃ – t₂ = t₂ – t₁
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்
எனவே 9, 13, 17, 21, 25…. என்பது கூட்டுத் தொடர் வரிசை.

iv) \(\frac{-1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \ldots\)
t₂ – t₁ = 0 – \(\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\)
t₃ – t₂ = \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)
t₂ – t₁ = t₃ – t₂
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
எனவே \(\frac{-1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\) என்பது கூட்டுத் தொடர் வரிசை.

v) 1, -1, 1, -1, 1, -1…
t₂ – t₁ = -1-1 = -2
t₃ – t₂ = 1-(-1) = 1+1 = 2
t₂ – t₁ ≠ t₃ – t₂
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் அல்ல.
எனவே 1,-1,1,-1,1,-1……… என்ப து கூட்டுத் தொடர் வரிசை அல்ல.

கேள்வி 2.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள முதல் உறுப்பு a மற்றும் பொது வித்தியாசம் d-க்குக் கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளைக் காண்க.
(i) a = 5, d = 6
(ii) a =7, d=-5
(iii) a = \(\frac { 3 }{ 4 }\), d = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
தீர்வு:
i) a = 5, d = 6
கூட்டுத் தொடர் வரிசை a, a+d, a+2d,… 5, 5+6, 5+2(6), 5+3(6)+….. கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 5, 11, 17, 23….. a =

ii) a = 7, d = -5
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 7, 7+(-5), 7+2(5), 7+3(-5), …
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = 7, 7-5, 7-10, 7-15,….
கூட்டுத் தொடர் = 7, 2, -3, -8…..

iii) a = \(\frac { 3 }{ 4 }\) d = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = \(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\frac{3}{4}+2\left(\frac{1}{2}\right)+\ldots\)
கூட்டுத் தொடர் வரிசை = \(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \ldots\)

கேள்வி 3.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள பொது
உறுப்புகளையுடைய கூட்டுத்
தொடர்வரிசைகளின் முதல் உறுப்பு மற்றும்
பொது வித்தியாசம் காண்க.
(i) t_n = -3 + 2n
(ii) t₁ = 4-7n
தீர்வு :
i) t_n =-3+2n
t₁ = -3+2(1) = -3+2 = -1
t₂ = -3+2(2) = -3+4 = 1
எனவே d = t₂ – t₁ = 1-(-1) = 2
எனவே a = -1, d = 2

ii) t_n = 4-7n
t₁ = 4-7(1) = 4-7 = -3
t₂ = 4-7(2) = 4-14 = -10
எனவே d = t₂ – t₁ = -10-(-3) = -10+3 = -7
ஆகையால் a = -3, d = -7

கேள்வி 4.
-11, -15, -19, …… என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 19-வது உறுப்பைக் காண்க .
தீர்வு :
-11, -15,-19… என்பது A.P
இங்கே a = -11,
d = t₂ – t₁ = -15-(-11) = -15+11 = -4
t_n = a+(n-1)d
t₁₉ = -11+(19-1)(-4)
= -11+(183-4)
= -11-72
= -83
கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 19வது உறுப்பு =-83.

கேள்வி 5.
16, 11,6, 1,… என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு?
தீர்வு :
கூட்டுத்தொடர் வரிசை = 16, 11,6,….-54
இங்கே a = 16, d = -5
t_n = -54 என்க
= a + (n – 1) d =-54
16 + (n – 1)(-5) = -54
21-5n = -54|
-5n = -54-21
-5n = -75
5n = 75
n = 75/5
n = 15
15வது உறுப்பு = -54 ஆகும்.

கேள்வி 6.
9, 15, 21, 27 …… 183 என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் நடு உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கூட்டுத்தொடர் வரிசை = 9, 15, 21, 27, …., 183
இங்கே a = 9, d = 15-9 = 6
t_n = a + (n – 1)d = 183
9+(n-1)6 = 183
9+6n-6 = 183
3+6n = 183
6n = 183 – 3
6n = 180
n = 180/6
n = 30
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 30
எனவே நடு உறுப்புகள் = t₁₅ மற்றும் t₁₆
t₁₅ = 9+(15-1)6 = 9+(14×6) = 9+84 = 93
t₁₆ = 9+(16-1)6 = 9+(15×6) = 9+900 = 99
எனவே நடு உறுப்புகள் = 93, 99.

கேள்வி 7.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் ஒன்பதாவது உறுப்பின் ஒன்பது மடங்கும், பதினைந்தாவது உறுப்பின் பதினைந்து மடங்கும் சமம் எனில் இருபத்து நான்காவது உறுப்பின் ஆறு மடங்கானது பூச்சியம் என நிறுவுக.
தீர்வு:
தரவு :- 9t₉ = 15t₁₅
நிரூபி :- 6t₂₄ = 0
9t₉ = 15t₁₅
9(a+(9-1)d) = 15(a+(15-1)d)
9(a+8d) = 15(a+14d)
9a+72d = 15a+210d
5a+210d-9a-72d = 0
6a+138d = 0
6(a+23d) = 0
6(a+(24-1)d) = 0
எனவே 6t₂₄ = 0

கேள்வி 8.
3 +k, 18 -k, 5k +1 என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், k-யின் மதிப்புக் காண்க.
தீர்வு:
தரவு:- 3+k, 18-k, 5k+1 என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை.
எனவே அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
t₂ – t₁ = 18-k-(3+k) = 18-k-3-k = 15-2k
t₃ – t₂ = 5k+1-(18-k) = 5k+1-18+k = 6k-17
6k-17 = 15-2k
6k+2k = 15+17
8k = 32
k = \(\frac{32}{8}\)
k = 4

கேள்வி 9.
x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க. தீர்வு:\
x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம்.
t₂ – t₁ = 10
t₃ – t₂ = y-10
t₄ – t₃ = 24-y
t₅ – t₄ = z-24

t₃ – t₂ = t₄ – t₃
y – 10 = 24 – y
y + y = 24 + 10
2y = 34
y = 34/2
y = 17
t₂ – t₁ = t₃ – t₂ எனில்
10-x = y-10
10-x = 17-10 ( y = 17)
10-x = 7
-x = 7-10
-x = -3
x= 3
t₄ – t₃ = t₅ – t₄ எனில்
24 – y = z – 24
24 – 17 = z – 24
7 = z – 24
z = 7 + 24
x = 31
ஆகையால் . = 3, v = 17, 7 = 31

கேள்வி 10.
ஒரு சினிமா அரங்கின் முதல் வரிசையில் 20 இருக்கைகளும் மொத்தம் 30 வரிசைகளும் உள்ளன. அடுத்தடுத்த ஒவ்வொரு வரிசையிலும் அதற்கு முந்தைய வரிசையைவிட இரண்டு இருக்கைகள் கூடுதலாக உள்ளன. கடைசி வரிசையில் எத்தனை இருக்கைகள் இருக்கும்?
தீர்வு:
தரவு : a = 20, n = 30, d = 2
t_n = a+(n-1)d
t₃₀ = 20+(30-1)2
= 20+29×2
= 20+58
= 78
எனவே கடைசி வரிசையில் உள்ள இருக்கைகளின் எண்ணிக்கை = 78.

கேள்வி 11.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகள் a-d, a, a+d என்க.
உறுப்புகளின் கூடுதல் = 27
a – d + a + a + d = 27
3a = 27
a = 27/3
a = 9
பெருக்கற்பலன் = 288
(a-d) x a x (a+d) = 288
(a²-d²) x a = 288
(9²-d²)x9 =
81-d² = 288/9
81-d² = 32
-d² = 32-81
-d² = -49
d² = 49
d = 7
∴ அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகள் = 2, 9, 16

கேள்வி 12.
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7:9 எனில், 9-வது மற்றும் 13- வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க.
தீர்வு:
தரவு t₆:t₈ = 7 : 9
a+(6-1)d a+(8-1)d = 7:9
(a+5d) : (a+7d) = 7:9
\(\frac{a+5 d}{a+7 d}=\frac{7}{9}\)
9(a+5d) = 7(a+7d)
9a+45d = 7a+49d
9a-7a = 49d-45d
2a = 4d
a = 2d —–(1)
எனவே t₉ :t₁₃ = 9+(9-1)d : a+(13-1)d
= a+8d : a+12d
= 2d+8d : 2d+12d
= 10d : 14d|
= 5:7
ஆகையால் t₉ :t₁₃ = 5:7

கேள்வி 13.
ஒரு குளிர்காலத்தில் திங்கள்கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை ஊட்டியின் வெப்பநிலை கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன. திங்கள் கிழமை முதல் புதன்கிழமை வரை உள்ள வெப்பநிலைகளின் கூடுதல் 0°C மற்றும் புதன்கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை உள்ள வெப்பநிலைகளின் கூடுதல் 18°C எனில், ஐந்து நாட்களின் வெப்பநிலைகளைக் காண்க.
தீர்வு:
திங்கள் கிழமை முதல் வெள்ளிக்கிழமை வரை ஊட்டியின் வெப்பநிலை a, b,c,d,e என்க. தரவு: a, b, c,d, e என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை.
a+b+c = ) ——(1)
c+d+e = 18 —–(2)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமம் எனில் b-a = c-b = d-c=e-d b-a = c-b எனில்
2b = c+a ——(3)
c-b = d – c எனில்
2c = b + d ——(4)
If d – c = e – d எனில்
2d = c + e ——(5)
a + b + c = 0 எனில்
2b + b = 0
3b = 0
b = 0

c + d + e = 18 எனில்
2d + d = 18 ((5)லிருந்து)
3d = 18
d = 18/3
d = 6
(4) லிருந்து 2c = 0 + 6 எனில்
c= 6/2
c = 3

a + b + c = 0 எனில்
a + 0 + 3 = ()
c + d + e = 18 எனில்
3 + 6 + e = 18 (எனில் (5))
9 + e = 18
e = 18 – 9
e = 9
5 நாட்களின் வெப்பநிலைகள் = -3°C, 0°C, 3°C,6°C 9°C.

கேள்வி 14.
பிரியா தனது முதல் மாத வருமானமாக ₹15,000 ஈட்டுகிறார். அதன் பிறகு ஒவ்வோர் ஆண்டும் அவரது மாத வருமானம் ₹1500 உயர்கிறது. அவளுடைய முதல் மாத செலவு ₹13,000 மற்றும் அவளது மாதாந்திரச் செலவு ஒவ்வோர் ஆண்டும் ₹900 உயர்கிறது. பிரியாவின் மாதாந்திரச் சேமிப்பு ₹20,000 அடைய எவ்வளவு காலம் ஆகும்.
தீர்வு:
a = 15000-13000 = 2000
d = 1500-900 = 600
t_n = 20000
t_n = a+(n-1)d
2000+(n-1)(600) = 20000
(n-1)(600) = 20000-2000 600n-600 = 18000
600n = 18000+600
600n = 18600
n = \(\frac{18600}{600}\)
n = 31
பிரியாவின் மாதாந்திர சேமிப்பு = ₹20,000 ஐ அடைய ஆகும் காலம் 31 வருடங்கள் ஆகும்.