Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.2

கேள்வி 1.
n ஓர் இயல் எண் எனில், எந்தா மதிப்புகளுக்கு 4ⁿ ஆனது 6 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும்?
தீர்வு :
n = 2, எனில் 4ⁿ = 4² = 16
n = 4, எனில் 4ⁿ = 4⁴ = 256
n = 6, எனில் 4ⁿ = 4⁶ = 4096
எனவே 4ⁿ ன் மதிப்பு இறுதி இலக்கம் 6ல் முடிவு பெறும்.
ஆகையால் n என்பது ஓர் இரட்டை எண் ஆகும்.

கேள்வி 2.
m மற்றும் n இயல் எண்கள் எனில், எந்த m-யின் மதிப்புகளுக்கு 2ⁿ × 5^m என்ற எண் 5 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும்?
தீர்வு :
n ∈ N, எனில் 2ⁿ என்பது இரட்டை எண்.
m ∈ N, 5^m என்பது ஒற்றை எண்
(மேலும் இறுதி இலக்கம் 5ல் முடிவுறும்)
எனவே 2ⁿ × 5^m என்பதன் மதிப்பு “0” என்ற இலக்கத்தில் முடிவுறும்.
எனவே m, n என்பவற்றிற்கு மதிப்புகள் காண இயலாது.

கேள்வி 3.
252525 மற்றும் 363636 என்ற எண்களின் மீ.பொ.வ காண்க.
தீர்வு :
252525 = 5² × 10101
363636 = 6² × 10101
252525 மற்றும் 363636 ன் மீ.பொ.வ = 10101

கேள்வி 4.
13824 = 2^a × 3^b எனில், a மற்றும் b-யின் மதிப்புக் காண்க.
தீர்வு :
13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
=2⁹ × 3³
13824 = 2^a × 3^b
எனவே a = 9 மற்றும் b = 3

கேள்வி 5.
\(\mathrm{p}_{1}^{x_{1}} \times \mathrm{p}_{2}^{x_{2}} \times \mathrm{p}_{3}^{x_{3}} \times \mathrm{p}_{4}^{x_{4}}\)= 113400 இங்கு P₁, P₂, P₃ P₄, என்பன ஏறு வரிசையில் அமைந்த பகா எண்கள் மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄என்பன முழுக்கள் எனில், P_1, P_2, P_3, P₄ மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :
13824 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7
= 2³ × 3⁴ × 5² × 7¹
எனவே p₁ = 2, P₂ = 3, p₃= 5, p₄ = 7 மற்றும்
x₁ = 3, x₂ = 4, x₃ = 2, x₄ = 1

கேள்வி 6.
அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 408 மற்றும் 170 என்ற எண்க ளின் மீ.பொ.ம மற்றும் மீ.பொ.வ காண்க.
தீர்வு :
408 = 2³ × 3 × 17
170 = 2 × 5 × 17
408, 170 ன் மீ.பொ.ம = 2³ × 3 × 5 × 17
= 2040
408, 170 ன் மீ.பொ.வ = 2 × 17
மீ.பொ.வ = 34

கேள்வி 7.
24, 15, 36 ஆகிய எண்களால் மீதியின்றி வகுபடும் மிகப்பெரிய ஆறிலக்க எண்ணைக் காண்க.
தீர்வு :
24 = 2³ × 3
15 = 3 × 5
36 = 2³ × 3³
(24, 15 மற்றும் 36 ன் மீ.பொ.வ) = 2³ × 3² × 5
= 360
மிகப்பெரிய ஆறிலக்க எண் = 999999
24, 15, 36 ஆகிய எண்களால் மீதியின்றி வகுபடும் மிகப்பெரிய ஆறிலக்க எண்.
= 999720
குறிப்பு : (999999 + 360 = 2777.775
எனவே 360 × 2777 = 999720)

கேள்வி 8.
35, 56 மற்றும் 91 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 7 ஐத் தரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் எது?
தீர்வு :
35 = 5 × 7
56 = 2 × 2 × 2 × 7
91 = 7 × 13
35, 56 மற்றும் 91 = 2³ × 5 × 7 × 13
= 3640
35, 56 மற்றும் 91 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 7 ஐத் தரக்கூடிய மிகச் சிறிய எண்
= 3640 + 7
= 3647

கேள்வி 9.
முதல் 10 இயல் எண்களால் மீதியின்றி வகுப்படக்கூடிய சிறிய எண் எது?
தீர்வு :
முதல் 10 இயல் எண்கள்
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
= 1, 2, 3, 2², 5, 2 × 3, 7, 2³, 3², 2 × 5
முதல் 10 இயல் எண்க ளின் மீ.பொ.ம.
= 2 × 3 × 5 × 7 = 2520

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 2 எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.1

கேள்வி 1.
3 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 2 – ஐத் தரக்கூடிய அனைத்து மிகை முழுக்களையும் காண்க.
தீர்வு :
a மற்றும் b (a>b) இரு மிகை முழுக்கள் எனில்
a = bq + r,0 ≤ r < b என்றவாறு , r எனும் தனித்த மிகை முழுக்கள் கிடைக்கும். இங்கு a = b(3)+2)
b = 0, எனில் = 0(3) + 2 = 2
b = 1, எனில் = 1(3) + 2 = 5
b = 2, எனில் = 2(3) + 2 = 8
b = 3, எனில் = 3(3) + 2 = 11.
எனவே மிகை முழுக்கள் = 2, 5, 8, 11…..

கேள்வி 2.
ஒருநபரிடம் 532 பூந்தொட்டிகள் உள்ளன. அவர் வரிசைக்கு 21 பூந்தொட்டிகள் வீதம் அடுக்க விரும்பினார். எத்தனை வரிசைகள் முழுமை பெறும் எனவும் மற்றும் எத்தனை பூந்தொட்டிகள் மீதமிருக்கும் எனவும் காண்க.
தீர்வு :
a மற்றும் b (a > b) என்பன ஏதேனும் இரு மிகை முழுக்கள் எனில் a = bq+r,0≤r<b
என்றவாறு q, r எனும் தனித்த மிகை முழுக்கள் கிடைக்கும்.
இங்கு a = 532, b = 21
532 = 25 x 21 + 7
எனவே முழுமை பெறும் வரிசைகள் = 25
மீதமிருக்கும் பூந்தொட்டிகள் எண்ணிக்கை = 7

கேள்வி 3.
தொடர்ச்சியான இரு மிகை முழுக்களின் பெருக்கற்பலன் 2 ஆல் வகுபடும் என நிறுவுக.
தீர்வு: அடுத்தடுத்த இரண்டு மிகை முழுக்கள் x, x+1 என்க.
இதன் பெருக்கல் பலன் = x(x + 1) = x² + x
தீர்வுவகை 1:
x ஒரு இரட்டை எண் எனில்,x = 2k
இப்பொழுது x + x = (2k)² +2k
= 4k² +2k
= 2(2k + 1)
= 2 ஆல் வகுபடும்.

தீர்வுவகை 2:
x ஒரு ஒற்றை எண் எனில் x = 2k +1
இப்பொழுது x² + x = (2k + 1)² + 2k + 1
= 4k² + 4k + 1 + 2k +1
= 4k² + 6k + 2
= 2(2k² + 3k + 1)
= 2 ஆல் வகுப்படும்.
எனவே தொடர்ச்சியான இருமிகை முழுக்களின் பெருக்கல்பலன் 2 ஆல் வகுப்படும்.

கேள்வி 4.
a, b மற்றும் C என்ற மிகை முழுக்களை 13 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள் முறையே 9, 7 மற்றும் 10 எனில் a+b+c ஆனது 13 ஆல் வகுபடும் என நிரூபி.
தீர்வு:
a மற்றும் b (a > b) என்பன ஏதேனும் இரு மிகை முழுக்கள் எனில் a = bq+r,0<r இங்கே a = 13q + 9
b = 13q + 7
c = 13q + 10
எனவே a + b + c = 13q + 9 + 13q + 7 + 13q + 10
= 39q + 26
= 13 (3q +2)
13 ஆல் வகுபடும்.
எனவே a+b+c ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்.

கேள்வி 5.
எந்த மிகை முழுவின் வர்க்கத்தையும் 4 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே கிடைக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
k என்பது ஏதேனும் மிகை முழு என்க
k = 4k எனில்
k² = 16k²
k² = 4 x 4k² + 0
(மீதி r = 0)
k = 4k + 1 எனில்
k² = (4k + 1)
k² = 16k² + 8k + 1
= 4(4k² + 2k) + 1
(மீதி r = 1)
எனவே எந்த மிகை முழுஎண் வர்க்கத்தையும் 4 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே கிடைக்கும்.

கேள்வி 6.
யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.
(i) 340 மற்றும் 412
(ii) 867 மற்றும் 255
(iii) 10224 மற்றும் 9648
(iv) 84, 90 மற்றும் 120.
தீர்வு :
(i) 340 மற்றும் 412
a, b என்பவை ஏதேனும் இரண்டு மிகை முழுக்கள் மற்றும் (a>b) எனில்
a = bq + r,0 ≤ r < b
இங்கு 412 = 340 x 1 + 72
340 = 72 x 4 + 52
72 = 52 x 1 + 20
52 = 20 x 2 + 12
20 = 12 x 1 + 8
12 = 8 x 1 + 4
8 = 4 x 2 + 0
340 மற்றும் 412 ன் மீ.பொ.வ = 4

(ii) 867 மற்றும் 255
867 = 255 x 3 + 102
255 = 102 x 2 + 51
102 = 51 x 2 + 0
867 மற்றும் 255 ன் மீ.பொ,வ 81

(iii) 10224 மற்றும் 9648
10224 = 9648 x 1 + 576
9648 = 576 x 16 + 432
576 = 432 x 1 + 144
432 = 144 x 3 + 0
10224 மற்றும் 9648 ன் மீ. பொ. வ = 144

(iv) 84, 90 மற்றும் 120
90 = 84 x 1 +6
84 = 6 x 14 + 0
84, மற்றும் 90 மீ.பொ.வ = 6
120 = 6 x 20 + 0
84, 90 மற்றும் 120 ன் மீ. பொ. வ = 6

கேள்வி 7.
1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும்போது மீதி 12 – ஐத் தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணைக் காண்க. தீர்வு :
1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும் போது மீதி 12 எனில் நமக்கு தேவையான எண் 1230 -12 =1218, 1926-12 =1914 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகத்தான் இருக்கும்.
எனவே 1914 = 1218 x 1 + 696
1218 = 696 x 1 + 522
522 = 174 x 3 + 0
1218 மற்றும் 1914 ன் மீ.பொ.வ = 174

கேள்வி 8.
32 மற்றும் 60 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி d என்க . d = 32x + 60y எனில் x மற்றும் y என்ற முழுக்களைக் காண்க.
தீர்வு :
‘d’ என்பது 32 மற்றும் 60ன் மீ. பொ. வ என்க.
60 = 32 x 1 + 28
32 = 28×1+4|
28 = 4×7 +0

எனவே 32 மற்றும் 60ன் மீ. பொ. வ = 4
d = 4
ஆகையால் 4 = 32x + 60y
4 = 32(2) + 60(-1)
= 64 – 60
= 4
எனவே x = 2 மற்றும் y = -1

கேள்வி 9.
ஒரு மிகை முழுவை 88 ஆல் வகுக்கும் போது 61 கிடைக்கிறது. அதே மிகை முழுவை 11 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
தீர்வு :
a = 88q + 61
61 = 11 x 5 + 6 எனவே இதே மிகை முழுவை 11 ஆல் வகுக்கும்
போது கிடைக்கும் மீதி = 6.

கேள்வி 10.
எந்த இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் சார்பகா எண்கள் என நிறுவுக.
தீர்வு :
15, 16 என்பவை அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் என்க.
இப்பொழுது 16 = 15 x 1 + 1
15 = 1 x 15 + 0
எனவே 15, 16 சார்பகா எண்கள் ஆகும்.
28, 29 என்பவை அடுத்தடுத்த மிகை முழுக்கள் என்க.
இப்பொழுது 29 = 28 x 1 + 1
28 = 1 x 28 + 0
எனவே 28, 29 என்பவை சார்பகா எண்கள். எனவே எந்த இரு அடுத்தடுத்த மிகை முழுவும் சார்பகா எண்கள் ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.6

பலவுள் தெரிவு வினாக்கள்

கேள்வி 1.
n(A × B) = 6 மற்றும் A = {1, 3} எனில் n(B) ஆனது
அ) 1
ஆ) 2
இ) 3
ஈ) 6
விடை :
இ) 3
n(A × B) = 6
n(A) = 2
n(B) = \(\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}\) = 3

கேள்வி 2.
A= {a, b, p}, B = {2, 3} C = {p, q, r, s} எனில், n[(A ∪ C) × B] ஆனது
அ) 8
ஆ) 20
இ) 12
ஈ) 16
விடை :
இ) 12

A∪C = {a, b, p, q, r, s} = n(A∪C) = 6
B = {2,3} ⇒ n (B) = 2
n[(A ∪ C × B)] = 6 × 2 = 12

கேள்வி 3.
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} மற்றும் D = {5, 6, 7, 8} எனில் கீழே
கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது சரியான கூற்று?
அ) (A × C) ⊂ (B × D)
ஆ) (B × D) ⊂ (A X C)
இ) (A × B) ⊂ (A × D)
ஈ) (D × A) ⊂ (B × A)
விடை :
அ) (A × C) ⊂ (B × D)
A × C = {1, 2} x {5, 6}
= {(1, 5) (1, 6) (2, 5) (2, 6)}
B × D = {1, 2, 3, 4} × {5, 6, 7, 8}
= {(1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 8) (2, 5) (2, 6) (2, 7) (2,8) (3, 5) (3, 6) (3, 7) (3, 8) (4, 5) (4, 6) (4, 7) (4, 8)}
∴ (A × C) ⊂ (B × D)

கேள்வி 4.
A = {1, 2, 3, 4, 5} -லிருந்து, B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B -ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.
அ) 3
ஆ) 2)
இ) 4
ஈ) 8
விடை :
ஆ) 2

n(A) = 5 = p
n(B) = ? = q
2pq = 1024
2^5q = 10
5q = 10
q = 2

கேள்வி 5.
R = {(x, x² ) |X ஆனது 13 – ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் } என்ற உறவின் வீச்சகமானது
அ) {2, 3, 5,7}
ஆ) {2, 3, 5, 7, 11}
இ) {4, 9, 25, 49, 121}
ஈ) {1, 4, 9, 25, 49, 121}
விடை :
இ) {4, 9, 25, 49, 121}
13 விட குறைவான பகா எண்கள் {2,3, 5, 7, 11}
தரவு f(x) = x²
f(2) = 2² = 4
f(3) = 3² =9
f(5) = 5² = 25
f(7) = 7² = 49
f(11) = 11² = 121
வீச்சகம் = {4, 9, 25, 49, 121}

கேள்வி 6.
(a + 2, 4) மற்றும் (5, 2a + b) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், (a, b) என்பது
அ) (2, -2)
ஆ) (5, 1)
இ) (2, 3)
ஈ) (3, -2)
விடை :
ஈ) (3, -2)
a + 2 = 5
a = 5- 2
a = 3
2a + b = 4
2(3) + b = 4
6 + b = 4
b = 4 – 6
b = -2

கேள்வி 7.
n(A) = m மற்றும் n(B) = n என்க. A -லிருந்து B-க்குவரையறுக்கப்பட்ட வெற்றுகணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
அ) mⁿ
ஆ) n^m
இ) 2^mn – 1
ஈ) 2^mn
விடை :
ஈ) 2^mn
உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
= 2Pq = 2^mnA

கேள்வி 8.
{(a, 8), (6, b)} ஆனது ஒரு சமனிச்சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே
அ) (8, 6)
ஆ) (8, 3)
இ) (6, 8)
ஈ) (6, 6)
விடை :
அ) (8, 6)

கேள்வி 9.
A = {1, 2, 3, 4} B = {4, 8, 9, 10} என்க. சார்பு f: A → B ஆனது f = {(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} எனக் கொடுக்கப்பட்டால் f – என்பது
அ) பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு
ஆ) சமனிச்சார்பு
இ) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு
ஈ) உட்சார்பு
விடை :
இ) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு

கேள்வி 10.
f(x) = 2x² மற்றும் g(x) = [LATEX]\(\frac { 1 }{ 3x }\)[/LATEX] எனில் fog ஆனது
அ) \(\frac{3}{2 x^{2}}\)
ஆ) \(\frac{2}{3 x^{2}}\)
இ) \(\frac{2}{9 x^{2}}\)
ஈ) \(\frac{1}{6 x^{2}}\)
விடை :
இ) \(\frac{2}{9 x^{2}}\)

கேள்வி 11.
f: A → B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது
அ) 7
ஆ) 49
இ) 1
ஈ) 14
விடை :
அ) 7

கேள்வி 12.
f மற்றும் g என்ற இரண்டு சார்புகளும்
f = {(0, 1), (2, 0), (3, -4), (4, 2), (5, 7)}
g = {(0, 2), (1, 0), (2, 4), (-4, 2), (7, 0)}
எனக் கொடுக்கப்பட்டால் fog-ன் வீச்சகமானது
அ) {0, 2, 3, 4, 5}
ஆ) {-4, 1, 0, 2, 7}
இ) {1, 2, 3, 4, 5}
ஈ) {0, 1, 2}
விடை :
{0, 1, 2}
g யில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளுக்கும் f ல் தொடர்பு உள்ளது.
fog = {0, 1, 2}

கேள்வி 13.
f(x) = \(\sqrt{1+x^{2}}\)எனில்
அ) f(xy) = f(x). f(y)
ஆ) f(xy) ≥ f(x). f(y)
இ) f(xy) ≤ f(x). f(y)
ஈ) இவற்றில் ஒன்றுமில்லை
விடை :
ஆ) ஆ) f(xy) ≥ f(x). f(y)

இருபுறமும் வர்க்கம் காண
1 + x²y² = (1 + x²) (1+y²)
1 + x²y² = 1 + x² + y² + x²y²
எனவே 1+x²y² < 1 + x² + y² + x²y²

கேள்வி 14.
g = {(1, 1) (2, 3) (3, 5) (4, 7) என்ற சார்பானது
g(x) = ax + B எனக் கொடுக்கப்பட்டால் a மற்றும் -வின் மதிப்பானது
அ) (-1, 2)
ஆ) (2, -1)
இ) (-1, -2)
ஈ) (1, 2)
விடை :
(2, -1)
g(x) = ax + β

g(1) = α + β
x, y
(1,1)
g(1) = α + β ………………… (1)
g(2) = 2α + β = 3 ……………….. (2)
x, y
(2, 3)
1, 2 லிருந்து
α = 2
β = -1

கேள்வி 15.
f(x) = (x + 1)³ – (x -1)³ குறிப்பிடும் சார்பானது
அ) நேரிய சார்பு
ஆ) ஒரு கனச் சார்பு
இ) தலைகீழச் சார்பு
ஈ) இருபடிச் சார்பு
விடை :
இருபடிச் சார்பு

f(x) = (x + 1)³ – (x – 1)³
= x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ + 3x² -3x + 1
= 6x² + 2 ஒரு இருபடிச்சார்பு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.5

கேள்வி 1.
கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள f மற்றும் g எனும் சார்புகளைப் பயன்படுத்தி fog மற்றும் gof – ஐக் காண்க fog = gof என்பது சரியா சோதிக்க.
i) f(x) = x – 6, g(x) = x²
ii) f(x) = \(\frac{2}{x}\) = g(x) = 2x² – 1
ii) f(x) = \(\frac{x+6}{3}\) g(x) = 3 – x
iv) f(x) = 3 + x, g(x) = x – 4
v) f(x) = 4x² – 1, g(x) = 1 + x
தீர்வு :
i) f(x) = x-6, g(x) = x² [∵ f(x) = x -6]
fog(x) = f(g(x)) = f(x²)
= x² – 6
gof(x) =g[f(x)) = g(x-6)
= (x-6)²
∴ fog ≠ gof

ii) f(x) = \(\frac{2}{x}\) g(x) = 2x² – 1
fog(x) = f(g(x)) = f(2x² – 1)
= \(\frac{2}{2 x^{2}-1}\)
gof (x) = g(f(x)) = g(\(\frac{2}{x}\))
= 2( \(\frac{2}{x}\) )² – 1
= 2 x \(\frac{4}{x^{2}}\) – 1
= \(\frac{8}{x^{2}}\) – 1
∴ fog ≠ gof

iii) f(x) = \(\frac{x+6}{3}\), g(x) = 3 – x
fog(x) = f(g(x)) = f(3-x)

iv) f(x) = 3 + x; g(x) = x – 4
fog(x) = f(g(x)) = f(x-4)
= 3 + x -4
= x -1
gof(x) = g(f(x)) = g(3 + x)
= 3 + x – 4
= x – 1
எனவே fog = gof

v) f(x) = 4x² – 1, g(x) = 1 + x
fog(x) = f(g)(x)) = f(1 + x)
= 4(1 + x)² – 1
= 4(1 + 2x + x²) – 1
= 4 + 8x + 4x² – 1
= 4x² + 8x + 3
gof(x) = g(f(x)) = g(4x² – 1)
= 1 + 4x² – 1
= 4x²
எனவே fog ≠ gof

கேள்வி 2.
fog = gof எனில் K – யின் மதிப்பைக் காண்க
i) f(x) = 3x + 2, g(x) = 6x – K
ii) f(x) = 2x – K, g(x) = 4x + 5
தீர்வு :
i) f(x) = 3x + 2
g(x) = 6x – K
fog = gof (தர்வு)
fog(x) = gof(x)
f(g(x) = g(f(x))
f(6x – k) = g(3x + 2)
3(6.x – k) + 2 = 6(3.x + 2) – k
18x-3k + 2 = 18.x + 12 – k
2k = -10
k =-5

ii) f(x) = 2x-k, g(x) = 41 + 5
தரவு fog = gof
fog(x) = gof(x)
f(g)(x) = g(f(x)
f(4x + 5) = g(2x-k)
2(4x + 5) -k = 4(2x – k) + 5
8x + 10 – k = 8x -4k + 5
3k = -5
k = -5/3

கேள்வி 3.
f(x) = 2x -1; g(x) = \(\frac{x+1}{2}\) எனில், fog = gof = x எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
fog (x) = f(g(x)))
= f( \(\frac{x+1}{2}\) )
= \(2\left(\frac{x+1}{2}\right)-1\)
= x + 1 -1
= x gof = gof(x)
=g(f(x))
=g(2x – 1) = 2x/2
= x
எனவே fog = gof = x
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 4.
f(x) = x² – 1, g(x) = x – 2 மற்றும் gof (a) = 1 எனில் , a ஐக் காண்க
தீர்வு :
i) f(x) = x² – 1;
g (x) = x – 2
தரவு gof(a) =1
g(f(a)) =1
g(a² – 1) = 1
a² – 1 – 2 = 1
a² – 3 = 1
a² = 4
a = ±2

கேள்வி 5.
A, B, C ⊆ N மற்றும் f: A → B என்ற சார்பு f(x) = 2x +1 எனவும் மற்றும்g : B → C ஆனது g(x) = x² எனவும் வரையறுக்கப்பட்டால், fog மற்றும் gof- யின் வீச்சகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
தரவு f(x) = 2x +1
g(x) = x²
fog = fog(x)
= f(g(x)))
= f(x²)
= 2x² + 1
gof = gof(x)|
= g(f(x))
= g(2x + 1)
= (2x +1)²
fog மற்றும் gof ன் வீச்சகம்
{y/y = 2x² + 1, x ∈ N }, {y/y = (2x + 1)², x∈N}

கேள்வி 6.
f(x) = x² – 1 எனில் i) fof ii) fofof – ஐக் காண்க
தீர்வு:
தரவு f(x) = x² – 1
a) fof(x) = f(f(x)
= f(x² – 1)
= (x² – 1)² – 1
= x⁴ – 2x² + 1 – 1
=x⁴ -2x²

b) fofof = fofof(x)
= fof(f(x))
= fof(x² – 1)
= f(f(x2-1))
= f[[x² – 1)² -1)
= f[x⁴ – 2x² + 1 – 1]
= f[x⁴ – 2x²] ⇒ (x⁴ – 2x²)² – 1

கேள்வி 7.
f: R – R மற்றும் g:R – R ஆனது முறையே,
f(x) = x⁵, g(x)= x⁴ என வரையறுக்கப்பட்டால், fg ஆகியவை ஒன்றுக்கு ஒன்றானதா மற்றும் fog ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகுமா என்று ஆராய்க .
தீர்வு : f(x) = f(y)
x⁵ = y⁵
எனவே x = y
ஆகையால் f ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு
g(x) = g(y) எனில்
x⁴ = y⁴
ஆகையால் x = y
எனவே g ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு
fog = fog(x)
= f(g(x))
= f(x⁴)
= (x⁴)⁵
= x²⁰
fog(x) = fog(y) எனில்
x²⁰ = y²⁰
∴ fog ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 8.
கொடுக்கப்பட்ட f(x), g(x), h(x) ஆகியவற்றைக் கொண்டு (fog)oh = fo(goh) எனக் காட்டுக.
i) f(x) = x-1, g(x) = 3x + 1 மற்றும் h(x) = x²
ii) f(x) = x² , g(x) = 2x மற்றும் h(x) = x + 4
iii) f(x) = x-4, g(x) = x² மற்றும் h(x) = 3.x – 5
தீர்வு :
i) f(x) = x-1 g(x) = 3x + 1 h(x) = x²
fog(x) = f(g(x)) = f(3x+1)
= (3x + 1 -1)
= 3x
(fog)oh = (fog) oh (x)
= fog(h(x))
= fog(x² )
= 3x² ……………… (1)

goh(x) = g(h(x)) = g(x² )
= 3x² + 1
fo(goh) = fo(goh(x))
= f(3x² + 1)
fo(goh)= fo(goh(x))
= f(3x² + 1)
= 3x² + 1 – 1
= 3x² ……………….. (2)
(1) , (2) லிருந்து
(fog)oh = fo(goh)

ii) f(x) = x²
g(x) = 2x
h(x) = x + 4
fog(x) = f(g(x)= f(2x)
= (2x)²
= 4x²
(fog)oh = (fog) oh(x)
= fog(h(x)
= fog(x + 4)
= 4(x+4)² =
4(x² + 8x + 16)
= 4x² + 32x + 64
goh = goh = (x) = g(h(x))
=g (x + 4)
= 2 (x + 4) = 2x + 8
fo (goh)= fo (goh)(x)
= fo (2x+8)
= (2x + 8)²
= 4x² + 32x + 64 …………………… (2)
1, 2 லிருந்து

iii) (fog)oh = fo(goh).
f(x) = x – 4
g(x) = x²
h(x) = 3x – 5
fog(x) = fo(x²)
= x² – 4
(fog)oh = (fog)oh(x)
= fog(3x – 5)
= (3x –5)² – 4
= 9x² – 30x + 25 -4
= 9x² -30x + 21 …………….. (1)

goh(x) = go(3x-5)
= (3x – 5)²
= 9x² – 30x + 25

fo(goh)x = fo(9x² -30x + 25)
= 9x² -30x + 25 -4
= 9x² -30x + 21…………………(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
(fog)oh = fo(goh)

கேள்வி 9.
f = {{-1, 3), (0, -1), (2, -9)} ஆனது I -லிருந்து Z -க்கான ஒரு நேரிய சார்பு எனில், f(x) -ஐக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = ax + b என்க
கணக்கின்படி f(-1) = 3
a(-1) + b = 3
-a + b = 3 ……………… (1)
மேலும் f(0) = -1
o + b = -1
b = -1
b ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட a = -4
∴ f(x) = -4x – 1

கேள்வி 10.
ஒரு மின்சுற்றுக் கோட்பாட்டின் C(t) என்ற ஒரு நேரிய சுற்று, C(at₁ +bt₂ ) = aC(t₁) +bC(t₂) ஐ பூர்த்தி செய்கிறது. மேலும் இங்கு a, b ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், C(t) = 3t ஆனது ஒரு நேரிய சுற்று எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
கணக்கின்படி c(t) = 3t
c(at₁) = 3at₁ ……………. (1)
c(bt₂) = 3bt₂
1 + 2
c(at₁) + c(bt₂ ) = 3at₁ + 3bt₂
c(at₁ + bt₂ ) = 3at₁ + 3bt₂
= c(at₁) + c(bt₂)
=c(at₁ + bt₂)
மின்சுற்றுக்கோட்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது.
∴ c(t) = 3t என்பது ஒரு நேரிய சுற்று ஆகும்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.4

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் சார்பைக் குறிக்கின்றனவா எனத் தீர்மானிக்கவும். விடைகளுக்கான காரணத்தையும் கொடுக்கவும்.

தீர்வு:
(i)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே இது சார்பு அல்ல.

(ii)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே இது ஒரு சார்பு.

(iii)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது இது ஒரு சார்பு அல்ல.

(iv)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே இது ஒரு சார்பு

கேள்வி 2.
f : A → B என்ற சார்பானது f(x) = \(\frac { x }{ 2 }\) -1, என
வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2, 4, 6, 10, 12} B = {0, 1, 2, 4, 5, 9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
(ii) அட்டவணை
(iii) அம்புக்குறி படம்
(iv) வரைபடம்
தீர்வு :
f(x) = \(\frac { x }{ 2 }\) – 1 எனில்
f(2) = \(\frac { 2 }{ 2 }\) – 1 = 1 – 1 = 0
f(4) = \(\frac { 4 }{ 2 }\) – 1 = 2 – 1 = 1
f(6) = \(\frac { 6 }{ 2 }\) – 1 = 3 – 1 = 2
f(10) = \(\frac { 10 }{ 2 }\) – 1 = 5 – 1 = 4
f(12) = \(\frac { 12 }{ 2 }\) – 1 = 6 – 1 = 5

i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
f = {(2, 0) (4, 1) (6, 2) (10, 4) (12, 5)}
ii) அட்டவணை

iii) அம்புக்குறி படம்

iv) வரைபடம்

கேள்வி 3.
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} என்ற சார்பினை
i) அம்புக்குறி படம்
ii) அட்டவணை
iii) வரைப்படம் மூலமாகக் குறிக்கவும்.
தீர்வு :
i) அம்புக்குறி படம்

ii) அட்டவணை

iii) வரைபடம்

கேள்வி 4.
f: N → N என்ற சார்பு f(x) = 2x – 1 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான ஆனால் மேல் சார்பு இல்லை எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
f(x) = 2) – 1
f(1) = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 6-1 = 5
f(4) = 2 x 4 – 1 = 8 – 1 = 7
துணை மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4, ………..} —– (1)
வீச்ச கம் = {1, 3, 5, …………….} ——– (2)
(1) ≠ (2)
∴ எனவே இது 1 – 1 சார்பு ஆனால் மேல் சார்பு இல்லை .

கேள்வி 5.
f : N → N என்ற சார்பு f(m) = m2 + m + 3 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
N = {1,2,3,……..}
f(m) = m² + m + 3
f(1) = 1² + 1 + 3 = 5
f(2) = 2² + 2 + 3 = 9
f(3) = 3² + 3 + 3 = 15
∴ f = {(1,5), (2,9), (3,15) ……}
∴ f ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 6.
A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = N என்க. மேலும் f : A → B ஆனது f(x) = x³ என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில்.
i) f -யின் வீச்சகத்தைக் காண்க.
ii) f எவ்வகை சார்பு எனக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = x³ எனில்
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27
f(4) = 4³ = 64

i) வீச்சகம் = {1, 8, 27, 64}
ii) ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு

கேள்வி 7.
கீழே கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு சார்பும் இருபுறச் சார்பா, இல்லையா? உன் விடைக்கான காரணத்தைக் கூறுக. i) f : R → R ஆனது f(x) = 2x + 1
ii) f : R – R ஆனது f(x) = 3 – 4x²
தீர்வு :
i) f(x) = 2(x) = 1
f(0) = 2 x (0 + 1 = 1
f(1) = 2 x 1+1 = 3
f(2) = 2 x 2+ 1 = 5
f(3) = 2 x 3+ 1 = 7
வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறான உருவங்களைக் கொண்டுள்ளது.
∴ இது 1 – 1 சார்பு
மேலும் n (A) = n (B) என்பதால் இது மேல் சார்பு ஆகும்.
∴ f(x) = 2x+1 ஆனது இருபுறச் சார்பு ஆகும்.
(ii) f(x) = 3 – 4x²
f(1) = 3 – 4(1²) = -1
f(2) = 3 – 4(2²) = -13
f(3) = 3 – 4(3²) = -33
f(4) = 3 – 4(4²) = -61
f(-1) = 3 – 4(-1)² = -1
இங்கு f(1) = f (-1)
ஆனால் 1 ≠ -1
∴ f(x) ஆனது இரு புறச் சார்பு அல்ல

கேள்வி 8.
A = {-1, 1} மற்றும் B = {0, 2} என்க மேலும், f : A → B ஆனது f(x) = ax + b. என் வரையறுக்கப்பட்ட மேல் சார்பு எனில் , a மற்றும் b ஐக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = ax + b
கணக்கின் படி f(-1) = 0
⇒ a(-1) + b = 0
-a + b = 0 …………………….(1)
மேலும் f(1) = 2
⇒ a(1) + b = 2
a + b = 2 ……………………. (2)
1 + 2
– a + b + a + b = 0 + 2
⇒ 2b = 2
b = 1
b ன் மதிப்பை (உ)ல் பிரதியிட
a = 1

கேள்வி 9.
f என்ற சார்பானது
\(f(x)=\left\{\begin{aligned}
x+2 ; & x>1 \\
2 ; &-1 \leq x \leq 1 \\
x-1 ; &-3<x<-1
\end{aligned}\right.\)
என வரையறுக்கப்பட்டால்
i) f(3)
ii) f (0)
iii) f(-1.5)
iv) f(2) + f(-2)
ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
x+2 & \text { if } x=\{2,3,4,5 \ldots \ldots\} \\
2 & \text { if } x=\{-1,0,1\} \\
x-1 & \text { if } x=\{-2\}
\end{array}\right.\)

(i) f(3) = x + 2
= 3 + 2 = 5
ii) f(0) = 2
iii) f(-1.5) = x – 1
= -1.5 – 1
= -2.5
iv) f(2) + f (-2)
= x + 2 + x – 1
= 2 + 2 + (- 2) – 1
= 4 – 3

கேள்வி 10.
f : [-5,9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
6 x+1 ; & -5 \leq x<2 \\
5 x^{2}-1 ; & 2 \leq x<6 \\
3 x-4 ; & 6 \leq x \leq 9
\end{array}\right.\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
(i) f(-3) + f(2)
ii) f(7) – f(1)
iii) 2f(4) + f(8)
iv) \(\frac{2 f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)}\)
தீர்வு :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
6 x+1 \text { if } x=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\} \\
5 x^{2}-1 \text { if } x=\{2,3,4,5\} \\
3 x-4 \text { if } x=\{6,7,8,9\}
\end{array}\right.\)
f(-3) = 6x +1
= 6 (-3) + 1 = -18 + 1 = -17
f(2) = 5x² – 1
= 5(2²) – 1 = 5 x 4 – 1 = 20 – 1 = 19
f(7) = 3x – 4)
= 3(7) – 4 = 21 – 4 = 17

f(1) = 6x + 1
= 6 (1) + 1 = 7

f(4) = 5x² -1
= 5 x 4² – 1 = 5 x 16 – 1 = 80 – 1 = 79

f(8) = 3x – 4
= 3(8) – 4 = 24 – 4 = 20

f(-2) = 6x + 1
= 6 (-2) + 1 = -12 + 1 = -11

f(6) = 3x – 4)
= 3(6) – 4 = 18 – 4 = 14

i) f(-3) + f(2) = -17 + 19 = 2
ii) f (7) – f(1) = 17 – 7 = 10
iii) 2f(4) + f(8) = 2 x 79 + 20
= 158 + 20 )
= 178

கேள்வி 11.
புவியீர்ப்பு விசையின் காரணமாக : வினாடிகளில் ஒரு பொருள் கடக்கும் தூரமானது S(t) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² + at + b எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு a, b ஆகியவை மாறிலிகள் (8 ஆனது புவியீர்ப்பு விசையின் காரணமாக ஏற்படும் முடுக்கம்). S(t) ஆனது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பாகுமா என ஆராய்க.
தீர்வு :
s{t) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² + at + b என்க
t = 0 எனில் S (o) = b
t = 1 எனில் s(1) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) g x 1² + a x 1 + b
\(\frac { 1 }{ 2 }\) = g + a + b
S(t₁) = S(t₂) எனில்
t = 2 எனில் S(2) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) g(2²) + a x 2 + b
= \(\frac { 4g }{ 2 }\) + 2a + b
இங்கு ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் S(t)ன் மதிப்பு வேறுபட்டுள்ளது.
∴ S(t) ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 12.
t என்ற சார்பானது செல்சியஸில் (C) உள்ள வெப்பநிலையையும், பாரன்ஹீட்டில் (F) உள்ள வெப்பநிலையையும் இணைக்கும் சார்பாகும். மேலும் அது t(C) = F என வரையறுக்கப்பட்டால், (இங்கு F = \(\frac { 9C }{ 5 }\) + 32)
(i) t(0)
(ii) t(28)
(iii) t(-10)
(iv) t(C) = 212 ஆக இருக்கும் போது C – ன் மதிப்பு
(v) செல்சியஸ் மதிப்பும் பாரன்ஹீட் மதிப்பும் சமமாக இருக்கும் போது வெப்பநிலை ஆகியவற்றைக் கண்டறிக. தீர்வு :
கணக்கின் படி t(C) = F
F = \(\frac { 9C }{ 5 }\) + 32
(i) t(0) = \(\frac { 0 }{ 5 }\) + 32 = 32°F
(ii) t(28) =\(\frac{9 \times 28}{5}\) + 32
= \(\frac{252}{5}\) + 32
= 50.4 + 32 = 82.4°F

(iii) \(\frac{9(-10)}{5}\) + 32
= \(\frac{-90}{5}\) + 32
= -18 + 32 = 24

iv) t(C) = 212
c = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\) + 32 = 212
= 180
9C = 180 x 5
= 900
∴C = 100°C

v) செல்சியஸ் மதிப்பும் பாரன்ஹீட் மதிப்பும்
சமமாக இருக்கும் போது வெப்பநிலை
C = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\) +32
C – 32 = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\)
5(C – 32) = 9C
5C – 160 = 9C
5C – 9C = 160
-4C = 160
C = -40

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Unit Exercise 1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Unit Exercise 1

கேள்வி 1.
(x² – 3x, y² + 4y) மற்றும் (-2, 5) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில் , x மற்றும் y -ஐக் காண்க.
தீர்வு :

தரவு x² -3x = -2
x² -3x + 2 = 0
(x-1) (x – 2) = 0
x = 1 மற்றும் x = 2
தரவு y² + 4y = 5
y² + 4y -5 = 0
(y-1) (y+5) = 0
y-1 மற்றும் y =-5

x ன் மதிப்பு 1 மற்றும் 2
yன் மதிப்பு 1 மற்றும் -5

கேள்வி 2.
A × A கார்டீசியன் பெருக்கல் பலனின், 9 உறுப்புகளில், உறுப்புகள் (-1, 0) மற்றும் (0, 1)-யும் இருக்கிறது எனில், A-யில் உள்ள உறுப்புகளைக் காண்க. மற்றும் A × A-ன் மீதமுள்ள உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :
A = {-1, 0, 1}
A × A = {(-1, -1) (-1, 1) (0, -1) (0, 0) (1, -1) (1, 0) (1, 1)}

கேள்வி 3.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\sqrt{x-1} & x \geq 1 \\
4 & x<1
\end{array}\right.\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால்,
i) f(0)
ii) f(3)
iii) f(a+1)
(a ≥ 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) ஆகியவற்றை காண்க.
தீர்வு :
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ccc}
\sqrt{x-1} & \text { if } & x=\{1,2,3,4 \ldots \ldots \ldots\} \\
4 & \text { if } & x=\{0,-1,-2 \ldots \ldots \ldots\}
\end{array}\right.\)
i) f(0) = 4
ii) f(3) =\(\sqrt{x-1}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\)
iii) f(a+1) = \(\sqrt{x-1}=\sqrt{a+1-1}=\sqrt{a}\)

கேள்வி 4.
A = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} என்க. மற்றும் f : A →N ஆனது f(n) ∈ == n-ன் அதிகப்பட்சப் பகாகாரணி (n ∈ A) என வரையறுக்கப்பட்டால் f – ன் வரிசைச் சோடிகளின் கணத்தை எழுதுக மற்றும் f – ன் வீச்சகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
f(n) = அதிகபட்ச பகாக்காரணி
f(9) = 3 (காரணிகள் 1, 3, 9)
f(10) = 5 (காரணிகள் 1, 2, 5)
f(11) = 11 (காரணிகள் 1, 11)
f(12) = 3 (காரணிகள் 1, 2, 3, 4, 6, 12)
f(13) = 13 (காரணிகள் 1, 13)
f(14) = 7 (காரணிகள் 1, 2, 7, 14)
f(15) = 5 (காரணிகள் 1, 3, 5, 15)
f(16) = 2 (காரணிகள் 1, 2, 4, 8, 16)
f(17) = 17 (காரணிகள் 1, 17)
வரிசை ஜோடிகளின் கணம் {(9, 3) (10, 5) (11, 11) (12, 3) (13, 13) (14, 7) (15, 5) (16, 2) (17, 7)}
fன் வீச்சகம் = {(2, 3, 5, 11, 13, 17}

கேள்வி 5.
f(x) = \(\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}}\) என்ற சார்பின்
மதிப்பகத்தை காண்க:
தீர்வு :
f(x) = \(\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}}\)

இங்கு
\(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{(1+x)(1-x)}\)
x = 1 (or) x = -1
= -1 ≤ x ≤ 1
∴ மதிப்ப கம் f(x) – {-1, 0, 1}

கேள்வி 6.
f(x) = x², g(x) = 3x மற்றும் h(x) = x-2 எனில், (fog)oh = fo(goh) என நிறுவுக.
தீர்வு :
fog(x) = f(g(x)) = f(3x)
= (3x)²
=9x²
(fog)oh(x) = fog(h(x)
= fog(x-2)
= 9 (x-2)²
= 9[x² – 4x + 4)
=9×2 – 36x + 36 …………… (1)
goh(x) = g(h(x) = g(x-2)
= 3(x-2)
= 3x -6

fo(goh) (x) = fo(3x – 6)
= (3x – 6)²
= 9x² – 36x + 36………………. (2)
(1) nd (2) லிருந்து
(fog)oh = fo(goh) என்பதை பெறாலாம்.

கேள்வி 7.
A = {1, 2} B = {1, 2, 3, 4} C = {5, 6} மற்றும் D = {5, 6, 7, 8} எனில் A × C ஆனது B × D உட்கணமா எனச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
A × C = {1, 2}x {5, 6}
= {(1, 5) (1,6) (2, 5) (2, 6)} —– (1)
B × D = {1, 2, 3, 4}x {5, 6, 7, 8}
= \(\left\{\begin{array}{l}
(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(2,5)(2,6) \\
(2,7)(2,8)(3,5)(3,6) \\
(3,7)(3,8)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)
\end{array}\right\}\) …………….. (2)
(1), (2) லிருந்து
A x C ⊂ B X D என்பதை அறியலாம்.

கேள்வி 8.
f(x) = –, x≠ -1 என்க. x ≠ 0 எனில்,
f(x))= \(\frac{-1}{x}\) எனக் காட்டுக.

தீர்வு :

கேள்வி 9.
சார்பு f மற்றும் 8 ஆகியவை f(x) = 6x + 8,
ste) = \(\frac{x-2}{3}\) எனில்,
i) gg ( \(\frac { 1 }{ 2 }\) ) (H) -யின் மதிப்பைக் காண்க.
ii) gf(x) – ஐ எளிய வடிவில் எழுதுக.
தீர்வு :
தரவு f(x) = 6x + 8

ii) g f(x) ஐ எளிய வடிவில் எழுதுக.
தரவு : f(x) = 6x + 8
g(x) = \(\frac{x-2}{3}\)
f(x) = g(6x + 8)

கேள்வி 10.
பின்வருவனவற்றின் மதிப்பகங்களை எழுதுக.
i) f(x) = \(\frac{2 x+1}{x-9}\)
ii) P(x) = \(\frac{-5}{4 x^{2}+1}\)
iii) g(x) = \(\sqrt{x-2}\)
iv) h(x) = x + 6
தீர்வு :
i) f(x) = \(\frac{2 x+1}{x-9}\)
மதிப்பகம் = R – {9}

குறிப்பு x = 9 எனில்
f (x) = \(\frac{2(9)+1}{0}\)
வரையறுக்கப்
– படவில்லை

ii) p(x) = \(\frac{-5}{4 x^{2}+1}\)
மதிப்பகம் = R

குறிப்பு
x = 0 மற்றும் x < 0
g(0) = \(\sqrt{0-2}=\sqrt{-2}\) ∉ R

iii) g(x) = \(\sqrt{x-2}\)
மதிப்பகம் = {2, 3, 4, 5………..)

iv) h(x) = x + 6
மதிப்பகம் = R

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.3

கேள்வி 1.
f = { (x,y)/x, y ∈ N மற்றும் y = 2x } ஆனது N-ன் மீதான ஒரு உறவு என்க. மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க. இந்த உறவு சார்பாகுமா?
தீர்வு :
x, y ∈N
x = {1,2,3 ……}
y = {1,2,3….}
கணக்கின்படி y = 2x
x = 1 எனில் y = 2 x 1 = 2
x = 2 எனில் y = 2 x 2 = 4
x = 3 எனில் y = 2 x 3 = 6
∴ R = {(1,2), (2,4), (3,6), …….)
மதிப்பகம் = {1, 2, 3, ……………….}
துணை மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4……….}
சார்பகம் = {2, 4, 6, ………………}
இந்த உறவு சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 2.
x = {3, 4, 6, 8) என்க . R ={(x, f(x) | x ∈ X, f(x) = x² + 1} என்ற உறவானது X- லிருந்து N க்கு ஒரு சார்பாகுமா?
தீர்வு :
தரவு f(x) = x² + 1 இங்கே X = {3, 4, 6, 8}
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10
f(4) = 4² + 1 = 16 + 1 = 17
f(6) = 6² + 1 = 36 + 1 = 37
f(8) = 8² + 1 = 64 + 1 = 65
இது ஒரு சார்பு ஆகும்
காரணம் : Xல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும்
N ல் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் தொடர்புள்ளது.

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f 😡 → x² – 5x + 6, எனில்
(i) f(-1)
(ii) f(2a)
(iii) f(2)
(iv) f(x-1)
ஆகியவற்றை மதிப்பிடுக.
தீர்வு :
f(x) = x² – 5x + 6)
i) x = -1 எனில்
f(-1) = (-1)² – 5(-1) + 6
= 1 + 5 + 6
= 12

ii) x = 2a எனில்
f(2a) = (2a)² – 5(2a) = 6
= 4a² -10a + 6

iii) x = 2 எனில்
f(2) = (2)² – 5(2) + 6 = 4-10+6
= 0

iv) x = x-1 எனில்
f(x-1) = (x-1)² – 5(x-1) + 6
= x² – 2x + 1 -5x + 5 + 6
= x² – 7x + 12

கேள்வி 4.
படம் 1.16 ல் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் f(x) யின் மூலமாக f(9) = 2 என்பது தெளிவாகிறது.

i) பின்வரும் சார்புகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(அ) f (0) (ஆ) f (7) (இ) f (2) (ஈ) f (10)
ii) x-இன் எம்மதிப்பிற்கு f(x) = 1 ஆக இருக்கும்?
iii) படம் 1.16 யில் (i) மதிப்பகம் (ii) வீச்சகம் காண்க.
iv) f என்ற சார்பில் 6 -ன் நிழல் உரு என்ன?
தீர்வு :
i) (a) f (0) = 9)
(b) f (7) = 6
(c) f (2) = 6
(d) f (10) = 0

ii) f (x) = 1 எனில் x ன் மதிப்பு 9.5
iii) மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
வீச்சகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
iv) 6ன் நிழல் உரு 5

கேள்வி 5.
f(x) = 2x + 5 என்க. x ≠ 0 எனில், \(\frac{f(x+2)-f(2)}{x}\) ஐக் காண்க.
தீர்வு :
தரவு f(x) = 2x + 5
f(x + 2) = 2(x+2) + 5
= 2x + 4 + 5
= 2x +9

f(2) = 2(2) + 5
= 4 + 5 = 9
\(\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=\frac{2 x+9-9}{x}=\frac{2 x}{x}\) = 2

கேள்வி 6.
ஒரு சார்பு f ஆனது f(x) = 2x – 3 என வரையறுக்கப்பட்டால்
i) \(\frac{f(0)+f(1)}{2}\) ஐக் காண்க
ii) f(x) = 0 எனில், x – ஐக் காண்க
iii) f(x) = x எனில், x – ஐக் காண்க
iv) f(x) = f(1-x) எனில், x – ஐக் காண்க
தீர்வு :
தரவு f(x) = 2x – 3 எனில்
f(0) = 2(0) – 3 = 0 – 3 = -3
f(1) = 2(1) – 3 = 2 – 3 = -1
(i) \(\frac{\mathrm{f}(0)+\mathrm{f}(1)}{2}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}\) = -2
ii) தரவு f(x) = 0 எனில்
2x – 3 = 0
2x = 3 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)

iii) தரவு f(x) = x எனில்
2x – 3 = x
2x – x = 3
x = 3

iv) தரவு f(x) = f(1-x) எனில்
2x – 3= 2(1-x) -3
2x – 3 = 2 – 2x -3
2x – 3 = -1 – 2x
2x + 2x = -1 +3
4x = 2 ⇒ x = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

கேள்வி 7.
24 செ.மீ பக்க அளவுள்ள சதுர வடிவத் துண்டிலிருந்து நான்கு மூலைகளிலும் சம அளவுள்ள சதுரங்களை வெட்டிப்படம் 1.17 ல் உள்ளவாறு மேல் புறம் திறந்த ஒரு பெட்டி செய்யப்படுகிறது. இந்தப் பெட்டியின் கன அளவு Vஎனில், V ஐx -யின் சார்பாகக் குறிப்பிடுக.

தீர்வு :
நீளம் = 24 – 2x
அகலம் = 24 – 2x
உயரம் = x
பெட்டியின் கன அளவு = l x b x h
= (24 – 2x) x (24 – 2x) x x
= (24 – 2x)² x x
= (576 – 96x + 4x²) x x
= 4x³ – 96x² + 576x

கேள்வி 8.
f என்ற சார்பு f(x) = 3 – 2x என வரையறுக்கப்படுகிறது. f(x²) = (f(x))² எனில் Xஐக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = 3 – 21 எனில்
f(x) = 3 – 2x²
[f(x)]? = (3 – 23)²
கணக்கின் படி f(x2) = [f(x)]²
3 – 2x² = (3 – 2x)² |
3 – 2x² = 9 – 12x + 4x²
4x² + 2x² – 12x = 3 – 9
6x² – 12x = -6
6x² – 12x + 6 = 0
÷6 ⇒ x² – 2x + 1 = 0
⇒ (x – 1)² = 0
⇒ x- 1 = 0
∴ x = 1

கேள்வி 9.
ஒரு விமானம் 500 கி.மீ / மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. விமானம் ‘d’ தொலைவு செல்வதற்கு ஆகும் காலத்தை f (மணியில்)-ன் சார்பாக வெளிப்படுத்துக.
தீர்வு :
வேகம் = 500 கி.மீ / மணி
காலம் = t நேரம் என்க
தூரம் = வேகம் X நேரம்
= 500 x t = 500 t

கேள்வி 10.
அருகில் உள்ள அட்டவணையில் நான்கு நபர்களின் முன்னங்கைகளின் நீளம் மற்றும் அவர்களுடைய உயரங்களின் தகவல்கள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. அந்த விவரங்களின் அடிப்படையில் ஒரு மாணவர், உயரம் (y) மற்றும் முன்னங்கை நீளம் (x)-க்கான உறவை y = ax + b எனக் கண்டுபிடித்தார். இங்கு a மற்றும் b ஆகியவை மாறிலிகள்.
i) இந்த உறவானது சார்பாகுமா என ஆராய்க.
ii) a மற்றும் b – ஐக் காண்க.
iii) முன்ன ங்கையின் நீளம் 40 செ.மீ எனில், அந்த நபரின் உயரத்தைக் காண்க.
iv) உயரம் 53.3 அங்குலம் எனில், அந்த நபரின் முன்னங்கையின் நீளத்தைக் காண்க

தீர்வு :
உறவு V = 0.9.x + 24.5 ஆகும்
i) இது ஒரு சார்பு
ii) y = ax + b உடன் ஒப்பிடுகையில்
a = 0.9, b = 24.5
iii) முன்னங்கையின் நீளம் 40 செ.மீ எனில் பெண்ணின் உயரம் 60.5 அங்குலம் ஆகும்.
y = (0.9 x 40 + 24.5
= 36 + 24.5
= 60.5
iv) உயரம் 53.3 அங்குலம் எனில் பெண்ணின் முன்னங்கையின் நீளம் 32 செ.மீ
53.3 = 0.9x + 24.5
∴ x = 32

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.2

கேள்வி 1.
A = {1, 2, 3, 7} மற்றும் B = {3, 0, -1, 7} எனில் பின்வருவனவற்றில் எவை A-லிருந்து B க்கான உறவுகளாகும்?
i) R = {(2, 1), (7, 1)}
ii) R, = {(-1, 1)}
iii) Rs = {(2, -1), (7, 7), (1,3)}
iv) RA = {(7, -1), (0, 3), (3,3), (0, 7)}
தீர்வு :
i) இங்கு (2, 1) மற்றும் (7, 1) ∉ A X B எனவே உறவு இல்லை
ii) இங்கு (-1, 1) ∉ A X B எனவே உறவு இல்லை
iii) R₃ ∈ A X B எனவே இது ஒரு உறவு ஆகும்.
iv) இங்கே (0, 3), (0, 7) ∉ A X B எனவே உறவுஇல்லை

கேள்வி 2.
A = {1, 2, 3, 4, ……… 45} மற்றும் R என்ற உறவு “A- யின் மீது ஓர் எண்ணின் வர்க்கம்” என வரையறுக்கப்பட்டால் R-ஐ A X A-யின் உட்கணமாக எழுதுக. மேலும் R-க்கான மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் காண்க.
தீர்வு :
1² = 1;
2² = 4;
3² = 9;
4² = 16;
5² = 25;
6² = 36
R = {(1, 1) (2, 4) (3, 9) (4, 16) (5, 25) (6, 36}
R ∈ A X A
R ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Rன் வீச்சகம் = {1, 4, 9, 16, 25, 36)

கேள்வி 3.
R என்ற ஒரு உறவு {(x, y) / y = x + 3,
x ∈ {0,1,2,3,4, 5) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் கண்டறிக.
தீர்வு :
தரவு y = x + 3
x = 0; எனில் y = 0 + 3 = 3
x = 1; எனில் y = 1 + 3 = 4
x = 2; எனில் y = 2 + 3 = 5
x = 3; எனில் y = 3 + 3 = 6
x = 4; எனில் y = 4 + 3 = 7
x = 5; எனில் y = 5 + 3 = 8
R ன் மதிப்பகம் = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
R ன் வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட உறவுகள் ஒவ்வொன்றையும்
(1) அம்புக்குறி படம்
(2) வரைபடம்
(3) பட்டியல் முறையில் குறிக்க.
i) {(x,y)/x = 2y, x ∈ {2,3,4,5), y ∈ {1, 2, 3,4
ii) {(x,y) /y = x + 3, x, y ஆகியவை இயல் எண்க ள் < 10}
தீர்வு :
i) x = 2y ⇒ y = \(\frac{x}{2}\)
x = 2; எனில் y = \(\frac{2}{2}\) = 1
x = 3; எனில் y = \(\frac{3}{2}\)
x = 4 ; எனில் y = \(\frac{4}{2}\) = 2
x= 5 ; எனில் y = \(\frac{5}{2}\)

i) அம்புக்குறி படம்

ii) வரைபடம்

iii) பட்டியல் முறை
{(2, 1), (4, 2)}

ii) {(x, y)/y = x+3, x,y என்ப வை இயல் எண்க ள் < 10}
x = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
கணக்கின் படி y = x + 3
x = 1; எனில் y = 1 + 3 = 4
x = 2; எனில் y = 2 + 3 = 5
x = 3; எனில் y = 3 + 3 = 6
x = 4; எனில் y = 4 + 3 = 7
x = 5; எனில் y = 5 + 3 = 8
x = 6; எனில் y = 6 + 3 = 9

i) அம்புக்குறி படம்

ii) வரைபடம்

iii) பட்டியல் முறை
{(1, 4) (2, 5) (3, 6) (4, 7) (5, 8) (6, 9)}

கேள்வி 5.
ஒரு நிறுவனத்தில் உதவியாளர்கள் (A) எழுத்தர்கள் (C), மேலாளர்கள் (M) மற்றும் நிர்வாகிகள் (E) ஆகிய நான்கு பிரிவுகளில் பணியாளர்கள் உள்ளனர். A, C, M மற்றும் E பிரிவு பணியாளர்களுக்கு ஊதியங்கள் முறையே ₹ 10,000, ₹ 25,000, ₹50,000 மற்றும் ₹1,00,000 ஆகும். A₁, A₂ A₃ A₄ மற்றும் A₅ ஆகியோர் உதவியாளர்கள் C₁, C₂ C₃ C₄ ஆகியோர் எழுத்தர்கள் M₁, M₂, M₃, ஆகியோர்கள் மேலாளர்கள் மற்றும் E₁, E₂, ஆகியோர் நிர்வாகிகள் ஆவர்.xRy என்ற உறவில் x என்பது y என்பவருக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஊதியம் எனில் R – என்ற உறவை, வரிசைச் சோடிகள் மூலமாகவும் அம்புக்குறி படம் மூலமாகவும் குறிப்பிடுக.
தீர்வு :
வரிசைச் சோடிகளின் கணம் :
{(10000, A₁) (10000, A₂) (10000, A₃ )
(10000, A₄) (10000, A₅) (25000, C₁)
(25000, C₂) (25000, C₃) (25000, C₄)
(50000, M₁) (50000, M₂) (50000, M₃) (100000, E₁) (100000, E₂)}
அம்புக்குறி படம்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.1

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றிற்கு A × B, A × A மற்றும் B × A ஐக் காண்க.
i) A = {2, -2, 3} மற்றும் B = {1, -4}
ii) A = B = {p, q}
iii) A = {m, n}; B = Φ
தீர்வு:
i) A= {2, -2, 3} மற்றும் B = {1, -4}
A × B = {2, -2, 3} × {1,-4}
= {(2, 1), (2, -4), (-2, 1), (-2, -4), (3, 1), (3, -4)}
A × A = {2, -2, 3} × {2, -2, 3}
= {(2, 2), (2, -2), (2, 3), (-2, 2), (-2, -2), (-2, 3), (3, 2), (3, -2), (3, 3)}
B × A = {1, -4} × {2, -2, 3}
= {(1, 2), (1, -2), (1, 3), (-4, 2), (-4, -2), (-4, 3)}

குறிப்பு : இங்கே A × A = A × B = B × A
ஏனெனில் A மற்றும் B என்ற
கணங்களின் உறுப்புகள் சமம்.

ii) A = B = {p, q}|
A × B = {p, q} × {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
A × A = {p, q} × {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
B × A = {p, q} × {p, q}
= {(p,p), (p, q), (q p), (q, q)}

iii) A = {m, n}; B = Φ
A × B = {}
A × A = {m, n} × {m, n}
= {(m, m), (m, n), (n, m), (n, n)}
B × A = {}
குறிப்பு :
A × B = Φ எனில்
A = Φ அல்லது B =Φ

கேள்வி 2.
A = {1, 2, 3} மற்றும் B = {x|x என்பது 10-ஐ விடத் சிறிய பகா எண்).எனில், A × B மற்றும் B × A
ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 5, 7} என்க
A × B = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B × A= {2, 3, 5, 7} × {1, 2, 3}
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}

கேள்வி 3.
B × A = {(-2, 3) (-2, 4) (0, 3) (0, 4) (3, 3) (3, 4)} எனில், A மற்றும் B ஐ காண்க
தீர்வு :
B = {B × A ல் உள்ள × அச்சுத் தூரங்களின் கணம்}
∴ B = {(-2, 0, 3)}
A = (B× Aல் உள்ள y அச்சுத் தூரங்களின் கணம்)
∴ A = {3, 4}

கேள்வி 4.
A = {5, 6}, B = {4, 5, 6), C = {5,6,7} எனில், A × A = (B × B) ∩ (C × C) எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
L.H.S = A × A
= {5,6} × {5,6}
A × A = {(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6)} ………………(1)
RHS = (B × B) ∩ (C × C)
B × B = {4, 5, 6} x {4, 5, 6}
= {(4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6,4) (6, 5) (6, 6)}
C × C = {5,6,7} × {5,6,7}

= {(5, 5) (5, 6) (5, 7) (6, 5) (6, 6) (6, 7) (7, 5) (7, 6) (7, 7)}
(B X B) ∩(Cx C) = {(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6)} …………………….(2)
(1) = (2)
A × A = (B × B) ) (C × C)

கேள்வி 5.
A = {1, 2, 3} , B = {2, 3, 5} C = {3, 4} மற்றும் D = {1, 3, 5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D)
= (A × B) ∩( C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.
தீர்வு :
L.H.S (A ∩ C) × (B ∩ D)
A∩C= {1, 2, 3} ∩ {3, 4}
= {3}

B ∩ D = {2, 3, 5} ∩ {1, 3, 5}
= {3, 5}

(A∩C) × (B∩D) = {3} × {3, 5}
= {(3,3) (3, 5) ……………..(1)
R.H.S (A × B) ∩ (C × D)
A × B = {1, 2, 3} × {2, 3, 5}
= {(1, 2) (1, 3) (1, 5) (2, 2) (2, 3) (2, 5) (3, 2) (3, 3) (3, 5)}
C × D = { (3, 4)} × {(1, 3, 5)}
= {(3, 1) (3, 3) (3, 5) (4, 1) (4, 3) (4, 5)}

(A × B) ∩ (C × D) = { (3, 3) (3, 5) }
(1) = (2)
(A∩C) × (B∩D) = (A × B) ∩ (COD) என்பது உண்மை

கேள்வி 6.
A = {x ∈ W/x < 2}, B = {x ∈ N/1 < x ≤ 4} மற்றும் c = {3, 5} எனில் கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகளைச் சரி பார்க்க.
i) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

குறிப்பு
A = {0, 1}
B = {2, 3, 4}

ii) A × (B ∪ C) = (A × B) ∩ (A × C)
iii) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
தீர்வு :
i) L.H.S = A × (B∪C)
B ∪ C = {2, 3, 4} ∪ {3, 5}
= {2, 3, 4, 5}

A× (B ∪ C) = {0, 1} × {2, 3, 4, 5}
= {(0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)} ………………… (1)
RHS = (A × B) ∪ (A × C)

A × B = {0, 1} × {2,3,4}
= {(0, 2) (0, 3) (0, 4) (1, 2) (1, 3) (1, 4)}

A × C = {0, 1} {3,5}
= {(0,3), (0,5) (1, 3) (1,5)}
(A × B) ∪ (A × C) = {(0, 2) (0, 3) (0,4) (0,5) (1, 2) (1,3) (1,4) (1,5)} ………………….. (2)
∴ L.H.S = R.H.S

ii) A × (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
L.H.S = A × (B ∩ C)
B ∩ C = {2,3,4} , {3,5}
= {3}

A × (B C) = {0, 1} {3}
= {(0,3) (1, 3) } …………………… (1)
R.H.S = (A × B) ∩ (A × C)
A × B = {0, 1} x {2,3,4}
= {(0, 2) (0,3) (0, 4) (1, 2) (1, 3) (1,4)}
A × C = {0, 1} R {3,5}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5)}

(A × B) ∩ (A × C) = {(0, 3) (1,3)} …………….. (1)
∴ L.H.S = R.H.S

iii) (A∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
L.H.S = (A ∪ B) × C
A ∪ B = {0, 1} ∪ {2,3,4}
= {0, 1, 2, 3,4}

(A ∪ B) × C = {0, 1, 2, 3, 4} * {3,5}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5) (2, 3) (2,5) (3,3) (3,5) (4, 3) (4,5)} ……………….. (1)

R.H.S = (A × C) ∪ (B × C)
(A × C) = {(0, 1) × (3,5)}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5)}
B × C = {2,3,4} × {3,5}
= {(2,3) (2,5) (3,3) (3,5) (4,3) (4,5)}

(A × C) ∪ (B × C) = {(0, 3) (0,5) (1,3) (1,5) (2, 3) (2,5) (3, 3) (3,5) (4, 3) (4,5)} ………………. (2)
∴ L.H.S = R.H.S

கேள்வி 7.
A என்பது 8 – ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான
பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் கீழ்க்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க.

i) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
ii) A × (B – C)= (A × B) – (A × C)
தீர்வு :
கணக்கின் படி A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2}
i) LHS = (A ∩ B) × C
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7} {2,3,5,7}
= {2, 3, 5, 7}
(A ∩ B) × C = {2, 3, 5, 7} × {2}
= {(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2) …………….. (1)
R.H.S = (A × C) (B × C)
A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2}
= {(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (7, 2)}
B × C = {2, 3, 5, 7} × {2}
={(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2)}
(A × C) B × C = {(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2)
L.H.S = R.H.S

ii) L.H.S = A × (B – C)
B – C = {2, 3,5,7} – {2}
= {3, 5, 7}
A × (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {3, 5, 7}
= {(1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 3) (3, 5) (3, 7) (4, 3) (4, 5) (4, 7
(5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 3) (7, 5) (7, 7)} ……………….(1)

R.H.S = (A × B) – (A × C)
(A × B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2, 3, 5, 7}
= {(1, 2) (1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 2) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 2) (3,3) (3, 5) (3, 7) (4, 2) (4, 3) (4, 5) (4, 7) (5, 2) (5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 2) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 2) (7, 3) (7, 5) (7, 7)}
A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7} x {2}
= {(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (7, 2)}
(A × B) – (A × C))
={(1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 3) (3, 5) (3, 7) (4, 3) (4, 5) (4, 7) (5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 3) (7, 5) (7, 7)} ……………… (2)
L.H.S = R.H.S (1 மற்றும் 2 லிருந்து)