Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x² + 10x + 24
விடை:
x² + 10x + 24
=x² + 4x + 6x + 24
= x (x + 4) + 6(x + 4)
= (x + 4) (x + 6)

(ii) z² + 4z – 12
விடை : z² + 4z – 12
= z² + 6z – 2z – 12
= z (z + 6) – 2(z + 6)
= (z + 6) (z – 2)

(iii) p² – 6p – 16
விடை:
p² – 6p – 16
= p² – 8p + 2p – 16
= p (p – 8) + 2(p – 8)
= (p – 8) (p + 2)

(iv) t² +72 – 17t
விடை : t² +72 – 17t
= t² – 8t – 9t + 72

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றை காரணிப்படுத்துக.
i) 2a² + 9a + 10
விடை:
2a² + 9a + 10
= 2a² + 4a + 5a + 10
= 2a (a + 2) + 5(a +2)
= (a + 2) (2a +5)

(ii) 5x² – 29xy – 42y²
விடை:
5x² – 29xy – 42y²
= 5x² – 35xy + 6xy – 42y²
= 5x (x – 7y) + 6y (x – 7y)
= (5x + 6y) (x – 7y)

(iii) 8x² – 18x + 9
விடை:
8x² – 18x + 9
(2x – 3) (4x – 3)

(iv) 6x² + 16xy + 8y²
விடை:
6x² + 16xy + 8y²
= 6x² + 12xy +4xy + 8y²
= 3x (2x + 4y) + 2y (2x + 4y)
= (3x + 2y) (2x + 4y)

(v) 12x² + 36x²y + 27x²y²
விடை:
12x² + 36x²y + 27x²y²
= 3x² (4 + 12y + 9y²)
= 3x² (9y² + 12y + 4)
= 3x² (9y² + 6y + 6y + 4)
= 3x² (3y (3y + 2) + 2 (3y + 2)
= 3x² (3y + 2) (3y + 2)

(vi) (a + b)² + 9(a + b) + 18
விடை:
(a + b)² + 9(a + b) = 18
a + b = x என்க.
x² + 9x + 18
x² + 6x + 3x + 18
x (x + 6) + 3 (x + 6)
(x + 3) (x + 6)
(a + b + 3) (a + b + 6)

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றை காரணிப்படுத்துக.
(i) (p – q)² – 6(p – q) – 16
விடை:
(p – q)² – 6(p – q) – 16
p – q = y என்க.
= y² – 6y – 16
= y² – 8y + 2y – 16
= y (y – 8) + 2(y – 8)
= (y – 8) (y + 2)
= (p – q – 8) (p – q + 2)

(ii) m² + 2mn – 24n²
விடை:
m² + 2mn – 24n²
m² + 6mn – 4mn – 24n²
m (m + 6n) – 4n (m + 6n)
(m – 4n) (m + 6n)

(iii) √5 a² + 2a – 3√5
விடை:
√5a² + 2a – 3√5
= √5a² + 5a – 3a – 3√5
= a√5 (a + √5 )-3(a + √5)
= (a√5 – 3) (a + √5)

(iv) a⁴ – 3a² + 2
விடை:
a⁴ – 3a² + 2
= a⁴ – 2a² – a² + 2.
= a² (a² – 2) -1 (a² – 2)
= (a² – 1) (a² – 2)
= (a – 1) (a + 1) (a² – 2)

(v) 8m³ – 2m²n – 15mn²
விடை:
8m³ – 2m²n – 15mn²
= m (8m² – 2mn – 15n²)
= m (8m² – 12mn + 10mn – 15n²)
= m (4m (2m – 3n) + 5n (2m – 3n)
= m (4m + 5n) (2m – 3n)

(vi) \(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x y}\)
விடை:
\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x y}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
i) 2a² + 4a²b + 8a²c
விடை:
2a² + 4a²b + 8a²c
= 2a² (1 + 2b + 4c)

(ii) ab – ac – mb + mc
விடை:
ab – ac – mb + mc
= a(b – c) – m(b – c)
= (a – m) (b – c)

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x² + 4x +4
விடை:
x² + 4x + 4
= x² + 2x + 2x + 4
= x (x + 2) + 2 (x + 2)
= (x + 2) (x + 2)

(ii) 3a² – 24ab + 48b²
விடை:
3a² – 24ab + 48b²
= 3(a² – 8ab + 16b²)
= 3(a² – 4ab – 4ab + 16²)
= 3(a(a – 4b) – 4b (a – 4b))
= 3 (a – 4b) (a – 4b)
= 3 (a – 4b)²

(iii) x⁵-16x
விடை: x⁵ – 16x
= x(x⁴ – 16)
= x((x²)² – (4)²
= x(x² + 4) (x² – 4)
= x (x² + 4) (x² – 2²)
= x (x⁴ + 4) (x + 2) (x – 2)

(iv) m²+ \(\frac{1}{m^{2}}\) – 23
விடை:

(v) 6 – 216x²
விடை:
6 – 216x²
= 6 (1 – 36x²)
= 6 (1² – (6x)²)
= 6 (1 – 6x) (1 + 6x)

(vi) a² + \(\frac{1}{a^{2}}\) -18
விடை:

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
i) 4x² + 9y² + 25z² + 12xy + 30yz + 20xz
விடை:
4x² + 9y² + 25z² + 12xy + 30yz + 20xz
= (2x)² + (3y)² + (5z)² + 2 × 2x × 3y +2 × 3y × 5z + 2 × 5z × 2x
= (2x + 3y + 5z)²

(ii) 25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
விடை:
25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
விடை:
25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
= (-5x)² + (2y)² + (3z)² + 2 × (-5x) × 2y + (2 × 2y × 3z) + 2 × 3z × – 5x
= (-5x + 2y + 3z)²
= (5x – 2y – 3z)²

கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) 8x³ + 125y³
விடை:
8x³ + 125y³
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)
= (2x)³ + (5y)³
= (2x + 5y)³ – 3 × 2x × 5y (2x + 5y)
= (2x + 5y)³ – 30xy (2x + 5y)
(அல்லது)

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
8x³ + 125y³
= (2x)³ + (5y)³
= (2x + 5y) (2x)² – 2x × 5y + (5y)²
= (2x + 5y) (4x² – 10xy + 25y²)

(ii) 27x³ – 8y³
விடை:
27x³ – 8y³
= (3x)³ – (2y)³
= (3x – 2y) (3x)² + 3x × 2y + (2y)²)
– = (3x – 2y) (9x² + 6xy + 4y)²

(iii) a⁶ – 64
விடை :
a⁶ – 64
= a⁶ – 2⁶
= (a + 2) (a – 2) (a² – 2a + 4) (a² + 2a + 4)

கேள்வி 5.
பின்வருவனற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x³ + 8y³ + 6xy -1
விடை:
x³ + 8y³ + 6xy – 1
= x³ + (2y)³ – (1)³ + 6xy
= (x + 2y – 1) (x² +4y² + 1 – 2xy + 2y +x)

(ii) l³ – 8m³ – 27n³ – 18lmn
விடை:
l³– 8m³ – 27n³ – 18lmn
= (l³ + (-2m)³ + (-3n)³ – 3 × l × -2m × -3n
= (l – 2m – 3n) (l² + 4m² + 9n² + 2lm – 6mn + 3nl)
= t (t – 8) – 9(t – 8)
= (t – 8) (t – 9)

(v) y² – 16y – 80
விடை: y² – 16y – 80
= y² – 20y + 4y – 80
= y (y – 20) + 4(y – 20)
= (y + 4) (y – 20)

(vi) a² + 10a – 600
விடை:
a² + 10a – 600
= a² + 30a – 20a – 600
= a (a + 30) – 20(a+ 30)
= (a – 20) (a + 30)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.4

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

i) 77 இன் வர்க்கத்திலுள்ள ஒன்றுகள் இலக்கமானது ………………… ஆகும்
விடை :
9

ii) 242 மற்றும் 252 ஆகியவற்றிற்கிடையே …………… எண்ணிக்கையிலான வர்க்கமற்ற எண்கள் உள்ளன
விடை :
48

iii) 300 இக்கும் 500 இக்கும் இடையே ………………… முழு வர்க்க எண்கள் உள்ளன
விடை :
5

iv) ஓர் எண்ணில் 5 அல்லது 6 இலக்கங்கள் இருப்பின், அந்த எண்ணின் வர்க்கமூலத்தில் ……… இலக்கங்கள் இருக்கும்.
விடை :
3

v) \(\sqrt{180}\) இன் மதிப்பானது ……… மற்றும் …… என்ற முழுக்களிடையே இருக்கும்
விடை :
13,14

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக :

i) ஒரு வர்க்க எண்ணானது 6 இல் முடியும் எனில், அதன் வர்க்கமூலமானது ஒன்றாம் இலக்கமாக எண் 6 ஐப் பெற்றிருக்கும்.
விடை :
சரி

ii) ஒரு வர்க்க எண்ணானது கடைசியில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களைப் பெற்றிருக்காது.
விடை :
சரி

iii) 961000 இன் வர்க்கத்தில் உள்ள பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 9 ஆகும்.
விடை :
தவறு

iv) 75 இன் வர்க்கமானது 4925 ஆகும்
விடை :
தவறு

v) 225 இன் வர்க்க மூலம் 15 ஆகும்
விடை :
சரி

கேள்வி 3.
பின்வரும் எண்களின் வர்க்கம் காண்க
(i) 17 (ii) 203 (iii) 1098
தீர்வு :
(i) 17² = 289
(ii) 203² = 41209
(iii) 1098² = 1205604

கேள்வி 4.
பின்வரும் எண்களில் ஒவ்வொன்றும் முழு வர்க்கமா என ஆராய்க.
(i) 725
(ii) 190
(iii) 841
(iv) 1089
தீர்வு :
(i) 725 = 5 x 5 x 29

= 5² x 29
இரண்டாவது பகாக் காரணியான 29 க்கு சோடி இல்லை
எனவே 725 ஆனது ஒரு முழுவர்க்க எண் அல்ல

(ii) 190 = 2 x 5 x 19
பகக் காரணிகளான 2,5,29
க்கு சோடிகள் இல்லை எனவே 190 ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் அல்ல

(iii) 841 = 29 x 29
= 29²

841 என்பது முழுவர்க்க எண் ஆகும்.

(iv) 1089 = 3 x 3 x 11 x 11
= 3² x 11²
எனவே 1089 என்பது
முழுவர்க்க எண் ஆகும்

கேள்வி 5.
பகாக் காரணிப்படுத்துதல் முறையில் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க.
(i) 144
(ii) 256
(iii) 784
(iv) 1156
(v) 4761
(vi) 9025
தீர்வு :
\(\sqrt{144}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}\)
= 2 x 2 x 3 = 12

(ii) \(\sqrt{256}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\)
= 2 x 2 x 2 x 2
= 16

(iii) \(\sqrt{784}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7}\)
= 2 x 2 x 7
= 28

(iv) \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7}\)
= 2 x 17
= 34

(v) \(\sqrt{4761}=\sqrt{3 \times 3 \times 23 \times 23}\)
= 3 x 23 = 69

(vi) \(\sqrt{9025}=\sqrt{5 \times 5 \times 19 \times 19}\)
= 5 x 19 = 95

கேள்வி 6.
நீள் வகுத்தல் முறையில் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
i) 1764
ii) 6889
iii) 11025
iv) 17956
v) 418609
தீர்வு :

கேள்வி 7.
பின்வரும் எண்களின் வர்க்க மூலங்களின் தோராய மதிப்பை, அருகிலுள்ள முழு எண்ணிற்கு மதிப்பிடவும்:
i) </440 ii) 1/800 iii) 1020
தீர்வு :
(i) \(\sqrt{440} \simeq 21\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 21 ஆகும்

ii) \(\sqrt{800}=28\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 28 ஆகும்

iii) \(\sqrt{1020}=32\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 32 ஆகும்

கேள்வி 8.
பின்வரும் தசம எண்கள் மற்றும் பின்னகளின் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
i) 2.89
ii) 67.24
iii) 2.0164
iv) \(\frac{144}{225}\)
v) \(7 \frac{18}{49}\)
தீர்வு :

கேள்வி 9.
6666 இலிருந்து எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கழித்தால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும் எனக் காண்க. அவ்வாறு கிடைத்த முழு வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் காண்க.
தீர்வு :

6666லிருந்து 105 ஐக் கழித்தால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும்.
∴ 6666 – 105 = 6561 என்பது முழு வர்க்க எண். அவற்றின் வர்க்க மூலம் 81 ஆகும்.

கேள்வி 10.
1800 ஐ எந்த மிகச் சிறிய எண்ணால் பெருக்கினால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும் எனக் காண்க. அவ்வாறு கிடைத்த முழு வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் காண்க.
தீர்வு :
1800 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 3 x 3
= 2² x 5² x 3² x 2
பகா காரணி 2 க்கு சோடி இல்லை 1800 ஐ 2 ஆல் பெருக்கவும்
1800 x 2 = 3600
= 2² x 2² x 5² x 3²
= 6² x 10² = 602
∴ \(\sqrt{3600}\) = 60

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 11.
43இன் வர்க்க மானது …….. என்ற இலக்கத்தில் முடியும்.
(அ) 9
(ஆ) 6
(இ) 4
(ஈ) 3
விடை :
(அ) 9

கேள்வி 12.
24² உடன் …….. ஐக் கூட்டினால் 25² ஐ பெறலாம்.
(அ) 4²
(ஆ) 5²
(இ) 6²
(ஈ) 7²
விடை :
(ஈ) 7²

கேள்வி 13.
\(\sqrt{48}\) இன் தோராய மதிப்பானது ………………. இக்குச் சமம்
(அ) 5
(ஆ) 6
(இ) 7
(ஈ) 8
விடை :
(இ) 7

கேள்வி 14.
\(\sqrt{128}-\sqrt{98}+\sqrt{18}=\)
(அ) \(\sqrt{2}\)
(ஆ) \(\sqrt{8}\)
(இ) \(\sqrt{48}\)
(ஈ) \(\sqrt{32}\)
விடை :
(ஈ) \(\sqrt{32}\)

கேள்வி 15.
123454321 இன் வர்க்கமூலத்திலுள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையானது ……………… ஆகும்.
(அ) 4
(ஆ) 5
(இ) 6
(ஈ) 7
விடை :
(ஆ) 5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பவற்றை விரிவாக்குக.
(i) (2x +3y + 4z)²
(ii) (-p + 2q + 3r)²
(iii) (2p + 3) (2p – 4) (2p – 5)
(iv) (3a + 1) (3a – 2) (3a + 4)
விடை:
(i) (2x + 3y + 4z)²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(2x + 3y + 4z)²
= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2 × 2x × 3y + 2 × 3y
× 4z + 2 × 4z × 2x
= 4x² + 9y² + 16z² + 12xy + 24yz + 16zx

(ii) (-p + 2q + 3r)²
= (-p)² + (2q)² + (3r)² + 2 × -p × 2q + 2 × 2q
× 3r + 2 × 3r × -p
= p² + 4q² + 9r² – 4pq + 12qr – 6rp

(iii) (2p + 3) (2p – 4) (2p – 5)
= (2p)³ + (3 – 4 – 5) (2p)² + (3 × (-4) + -4 × -5 + -5 × 3 ) 2p + 3 × -4 × -5
= 8p³ – 24p² + (-12 + 20 – 15) 2p + 60
= 8p³ – 24p² -7 × 2p + 60
= 8p³ – 24p² – 14p + 60

(iv) (3a + 1) (3a – 2) (3a + 4)
= (3a)³ + (4 – 2 + 4) (3a)² + 1 × -2 + (-2) × 4 + 4 × (1) 3a + 1 × -2 4
= 27a³ + 54a² + (-2 – 8 + 4) 3a – 8
= 27a³ + 54a² – 18a – 8)

கேள்வி 2.
முழுவதும் விரிவாக்காமல் x² இன் கெழு , x இன் கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளை இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திக் காண்க.
(i) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
(ii) (2x + 3) (2x – 5) (2x – 6)
விடை :
(i) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
x³ + 18x² + 107x + 210
x² இன் கெழு = 18
x இன் கெழு = 107
மாறிலி = 210

(ii) (2x + 3) (2x – 5) (2x – 6)
= (2x)³ + (3 – 5 – 6) (2x)² + (3 × -5 + (-5 × -6) + (-6 × 3) 2x + 3 × -5 × -6
= 8x³ – 32x² + (-15 + 30 – 18) 2x + 90
= 8x³ – 32x² – 6x + 90
x ²இன் கெழு = -32
x இன் கெழு = -6
மாறிலி = 90

கேள்வி 3.
(x + a) (x + b) (x + c) = x³ + 14x² + 59x + 70 எனில், கீழ்க்காண்பனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
(i) a + b + c
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
(iii) a² + b² + c²
(iv) \(\frac{a}{b c}+\frac{b}{a c}+\frac{c}{a b}\)
விடை :
(x + a) (x + b) (x + c)
= x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc a + b + c = 14
= x³ + 14x² + 59x + abc
x² இன் கெழு = 14
x இன் கெழு = 59
மாறிலி = abc
(i) a + b + c = 14
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
(iii) \(\frac{b a+b c+a c}{a b c}=\frac{59}{70}\)

(iii) a² + b² + c² + 2ab + 2ca + 2bc = (a + b + c)²
a² + b² + c² + 2ab + 2ca + 2bc = (a + b + c)²
a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2ab – 2bc – 2ca (14)² – 2(ab + bc + ca) = (a² + b² + c²)
196 – 2(59) = a² + b² +c²
196 – 118 = a² + b² + c²
a² + b² + c² = 78

(iv) = a(a²cb) + b(bcab) + c(bc × ac)/(abc)²
= a³cb + b³ca + c³ab / (abc)²
= a²(abc) + b²(abc) + c²(abc) / (abc)²
\(=\frac{a b c\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)}{(a b c)(a b c)}\)
\(=\frac{78}{70}\)

கேள்வி 4.
விரிவுப்படுத்துக.
(3a – 4b)³
(a – b)3 = a³ – b³ – 3ab (a – b)
(3a – 4b)³ = (3a)³ – (4b)3 – 3 x 3a × 4b (3a – 4b)
= 27a³ – 64b³ – 36ab (3a – 4b)
27a³ – 64b³ – 108a²b + 144ab²

கேள்வி 5.
இயற்கணித முற்றொருமைகளைப்பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
(98)³ = (100 – 2)³
(100 – 2)³ = (100)³ – (2)³ – 3 × 100 × 2 (100 – 2)
= 1000000 – 8 – 60000 + 1200
= 1001200 – 60008
= 941192

(ii) (1001)³ = (1000 + 1)³
= (1000)³ + (1)³ + 3 × 1000 × (1000 + 1 )
= 1000000000 + 1 + 3000000 + 3000
= 1003003001

கேள்வி 6.
(x + y + z) = 9 மற்றும் (xy + yz + zx) = 26 எனில்,x² + y² + z² இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
(9)² = x² + y² + z² + 2(26)
81 = x² + y² + z² + 52
81 – 52 = x² + y² + z²
x² + y² + z² = 29

கேள்வி 7.
3a + 4b = 10 மற்றும் ab = 2 எனில்,27a³ + 64b³ இன் மதிப்புக் காண்க
விடை:
27a³ + 64b³ = (3a)³ + (4b)³
(3a)³ + (4b)³ = (3a + 4b)³ – 3 × 3a × 4b(3a + 4b)
= (10)³ – 36ab × (3a + 4b)
= 1000 – 36 × 2 × 10
= 1000 – 720
= 280

கேள்வி 8.
x – y = 5 மற்றும் xy = 14 எனில், x³ – y³ இன் மதிப்புக் காண்க.
விடை:
x³ – y³ = (x – y)³ + 3 × x × y (x – y)
= (5)³ + 3xy (x – y)
= 125 + 3 × 14 × 5
= 125 + 210
= 335

கேள்வி 9.
(a + \(\frac{1}{a}\)) = G எனில், a³+ \(\frac{1}{\mathrm{a}^{3}}\) இன் மதிப்புக் காண்க.
விடை:

கேள்வி 10.
(x² + \(\frac{1}{x^{2}}\)) = 23 எனில், x + \(\frac{1}{x}\) மற்றும்
= x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\)ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
விடை:

கேள்வி 11.
(y – \(\frac{1}{y}\))³ = 27 எனல், y³ – \(\frac{1}{x^{3}}\) இன் மதிப்பு காண்க.
விடை:

கேள்வி 12.
சுருக்குக.
(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² – 6ab – 12bc-8ca)
(ii) (x – 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz – 3xz)
விடை:
(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² +16c² – 6ab – 12bc – 8ca)
a³ + b³ + c³ – 3abc
= (2a)³ + (3b)³ + (4c)³ – 3 × 2a × 3b × 4c
= 8a³ +27b³ + 64c³ – 72abc

(ii) (x – 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz – 3xz)
a³ + b³ + c³ – 3abc
= (x)³ = (-2y)³ + (3z)³ – 3 × x × -2y × 3z
= x³ – 8y³ + 27z³ + 18xyz

கேள்வி 13.
முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க.
(i) 7³ – 10³ + 3³
(ii) 729 – 216 – 27
(iii) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
(iv) 1 + \(\frac{1}{8}-\frac{27}{8}\)
விடை:
(i) 7³ – 10³ + 3³
x = 7
y = -10
z = 3 என்க
x + y + z = 7 – 10 + 3
= 0
x + y + z = 0 எனில்
x³ + y³ + Z³ = 3xyz
7³ – 10³ + 3 = 3 × 7 × -10 × 3
= -630

(ii) 729 – 216 – 27
= 9³ – 6³ – 3³
x = 9, y = -6, z = -3 என்க
x + y + z = 9 – 6 – 3
= 0
x + y + z = 0 எனில் x³ + y³ + z³ = 3xyz
9³ – 6³ – 3³ = 3 × 9 × -6 × -3
= 486

கேள்வி 14.
2x – 3y – 4z = 0 எனில், 8x³ – 27y³ – 64z³) ஐக்காண்க.
விடை:
8x³ – 27y³ – 64z³
=(2x)³ – (3y³ – (4z)³
2x – 3y – 4z = 0 எனில்,
8x³ – 27y³ – 64z³
= 3 × 2x × -3y × -4z
= 72xyz

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
\(\frac{-5}{7}\) மற்றும் \(\frac{8}{9}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான அடைவுப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
a = \(\frac{-5}{7}\), b = \(\frac{8}{9}\) என்க
a + b = \(\frac{-5}{7}+\frac{8}{9}=\frac{-45+56}{63}=\frac{11}{63}\) ∈ Q
ab = \(\frac{-5}{7} \times \frac{8}{9}=\frac{-40}{63} \mathrm{Q}\)

கேள்வி 2.
\(\frac{-10}{11}\) மற்றும் \(\frac{-8}{33}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கானப் பரிமாற்றுப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
கூட்டல் பரிமாற்றுப் பண்பு
a + b = b + a
இடப்பக்கம் = a+b =
\(\left(\frac{-10}{11}\right)+\left(\frac{-8}{33}\right)=\frac{(-30)+(-8)}{33}=\frac{-38}{33}\)
வலப்பக்கம் = b+a= \(\left(\frac{-8}{33}\right)+\left(\frac{-10}{11}\right)=\frac{(-8)+(-30)}{33}=\frac{-38}{33}\)
பெருக்கல் பரிமாற்றப் பண்பு. இடப்பக்கம்
a x b = \(\left(\frac{-10}{11}\right) \times\left(\frac{-8}{33}\right)=\frac{80}{363}\)
வலப்பக்கம்
= b x a = \(\left(\frac{-8}{33}\right) \times\left(\frac{-10}{11}\right)=\frac{80}{363}\)
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 3.
\(\frac{-7}{9}, \frac{5}{6}\) மற்றும் \(\frac{-4}{3}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கானச் சேர்ப்புப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
a = \(\frac{-7}{9}\) b = \(\frac{5}{6}\) மற்றும் C = \(\frac{-4}{3}\)
கூட்டல் சேர்ப்பு பண்பு :
a + ( b + c ) = (a + b) + c

(1), (2) லிருந்து a+(b+c)=(a+b) + c நிரூபிக்கப்பட்டது.
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்
பெருக்கல் சேர்ப்பு பண்பு :
a x (b x c) = (a x b) x c
இடப்பக்கம்

வலப்பக்கம்

(1), (2) லிருந்து
a x (b x c) = (a x b) x c நிரூபிக்கப்பட்டது இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 4.
விகிதமுறு எண்களுக்கான a x (b + c)= (axb) +(a x c) என்ற பங்கீட்டுப் பண்பினை a = \(\frac { -1 }{ 2 }\)
b = \(\frac { 2 }{ 3 }\), c = \(\frac { -5 }{ 6 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்கு சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
பங்கீட்டுப் பண்பு
a x (b+c) = (a x b) + (a x c)
இடப்பக்கம் ⇒ b + c
\(\frac{2}{3}+\frac{(-5)}{6}=\frac{4+(-5)}{6}=\frac{-1}{6}\)
வலப்பக்கம் a x (b+c)
= \(\left(\frac{-1}{2}\right) \times\left(\frac{-1}{6}\right)=\frac{1}{12}\)
வலப்பக்கம்

இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 5.
கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான சமனிப் பண்பினை \(\frac { 15 }{ 9 }\) மற்றும் \(\frac { -18 }{ 25 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குச் சரிபார்க்க வும்.
தீர்வு :
a = \(\frac { 15 }{ 9 }\), b = \(\frac { -18 }{ 25 }\)
கூட்டலுக்கான சமனிப் பண்பு
0 + a = a + 0 = a
இடப்பக்கம்
= 0 + a = 0 + \(\frac { 15 }{ 9 }\) = \(\frac { 15 }{ 9 }\) = a
வலப்பக்கம்
= a + 0 = \(\frac { 15 }{ 9 }\) + 0 = \(\frac { 15 }{ 9 }\) = a ……. (2)
(1), (2) லிருந்து
0 + a = a + 0 = a
0 + b = b + 0 = b
இடப்பக்கம்
= 0 + b = 0 + ( \(\left(\frac{-18}{25}\right)=\frac{-18}{25}\) ) = b ……………… (1)
வலப்பக்கம்
= b + 0 = \(\left(\frac{-18}{25}\right)+0=\frac{-18}{25}\) = b ……………. (2)
(1) & (2) லிருந்து 0 + b = b + 0 = b
பெருக்கலுக்கான சமனிப்பண்பு :
1 x a = a x 1 =a
இடப்பக்கம் = 1 x a = 1 x \(\frac{15}{19}=\frac{15}{19}\) = a ….. (1)
வலப்பக்கம் = a x 1 = \(\) = a ………(2)
(1) & (2) லிருந்து 1 x a = a x 1 = a
1 x b = b x 1 = b
இடப்பக்கம்
1 x b = 1 x \(\left(\frac{-18}{25}\right)=\frac{-18}{25}\) = b …………………(1)
வலப்பக்கம்
= b x 1 = \(\left(\frac{-18}{25}\right) \times 1=\frac{-18}{25}\) = b ……………….(2)
(1) & (2) லிருந்து
1 x b = b x 1 = b

கேள்வி 6.
கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான நேர்மாறு பண்பினை \(\frac { -7 }{ 17 }\) மற்றும் \(\frac { 17 }{ 27 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குச் சரிபார்க்கவும்.
கூட்டலுக்கான நேர்மாறு பண்பு :
தீர்வு :
a + (-a) = 0 = (-a) + a
a = \(\frac { -7 }{ 17 }\) b = \(\frac { 17 }{ 27 }\)
இடப்பக்கம் = a + (-a)
\(\left(\frac{-7}{17}\right)+\left(\frac{7}{17}\right)=\frac{-7+7}{17}=\frac{0}{17}\) = 0 ….(1)

(1) & (2) லிருந்து a + (-a) = 0 = (-a) + a
(ii) இடப்பக்கம் = b + (-b)

(1) & (2) லிருந்து b + (-b) = 0 = (-b) + b
பெருக்கலுக்கான நேர்மாறு பண்பு :
a x \(\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\) x a = 1
(i) இடப்பக்கம் =

(1) & (2) லிருந்து
a x \(\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\) x a = 1

(ii) இடப்பக்கம் =


(1) & (2) லிருந்து
b x \(\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\) x b = 1

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 7.
விகிதமுறு எண்களுக்கு, ………. என்ற எண்ணால் அடைவுப் பண்பானது வகுத்தலுக்கு உண்மையாகாது.
(அ) 1
(ஆ)-1
(இ) 0
(ஈ) 1/2
விடை :
(இ) 0

கேள்வி 8.
\(\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right) \neq\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right)-\frac{5}{6}\) என்பது, கழித்தலானது, விகிதமுறு எண்களின் ……… பண்பினை நிறைவு செய்யாது என்பதை விளக்குகிறது.
(அ) பரிமாற்று
(ஆ) அடைவு
(இ) பங்கீட்டு
(ஈ) சேர்ப்பு
விடை :
(ஈ) சேர்ப்பு

கேள்வி 9.
பின்வருவனவற்றுள் எது கூட்டலின் நேர்மாறுப் பண்பினை விளக்குகிறது?
\(\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\) = 0
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{8}+0=\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{8}-0=\frac{1}{8}\)
விடை :
\(\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\) = 0

கேள்வி 10.
\(\frac{3}{4} \times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}-\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}\) என்பது, பெருக்கலானது …………….. இன் மீது பங்கீடு செய்கிறது என்பதை
விளக்குகிறது.
(அ) கூட்டல்
(ஆ) கழித்தல்
(இ) பெருக்கல்
(ஈ) வகுத்தல்
விடை :
(ஆ) கழித்தல்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.2

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக :
(i) \(\frac{-5}{12}+\frac{7}{15}\) இன் மதிப்பு ……… ஆகும்
(ii) \(\frac{16}{-30}, \frac{-8}{15}\) இன் மதிப்பு ……….. ஆகும்
(iii) \(\frac{-18}{36}, \frac{-20}{44}\) இன் மதிப்பு ………… ஆகும்
(iv) …………… என்ற விகிதமுறு எண்ணிற்கு தலைகீழி கிடையாது.
(v) -1 இன் பெருக்கல் நேர்மாறு ………….. ஆகும்.
விடை :
(i) \(\frac{1}{20}\)
(ii) 1
(iii) 1
(iv) 0
(v) -1

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக. –
(i) எல்லா விகிதமுறு எண்களும் ஒரு கூட்டல் தலைகீழியைப் பெற்றிருக்கும்.
(ii) 0 மற்றும் -1 ஆகியன அவற்றின் கூட்டல் நேர்மாறுகளுக்குச் சமமான விகிதமுறு எண்கள் ஆகும்.
(iii) \(\frac{-11}{-17}\) இன் கூட்டல் நேர்மாறு \(\frac{11}{17}\) ஆகும்
(iv) தன்னைத்தானே தலைகீழியாகக் கொண்ட விகிதமுறு எண் -1 ஆகும்.
(v) அனைத்து விகிதமுறு எண்களுக்கும் பெருக்கல் நேர்மாறு உண்டு.
விடை :
(i) சரி
(ii) தவறு
(iii) தவறு
(iv) சரி
(v) தவறு

கேள்வி 3.
கூடுதலைக் காண்க
(i) \(\frac{7}{5}+\frac{3}{5}\)
(ii) \(\frac{7}{5}+\frac{5}{7}\)
(iii) \(\frac{6}{5}+\left(\frac{-14}{15}\right)\)
(iv) \(-4 \frac{2}{3}+7 \frac{5}{12}\)
விடை :

கேள்வி 4.
\(\frac{-17}{11}\) இலிருந்து \(\frac{-8}{44}\) ஐக் கழிக்கவும்.
தீர்வு :

கேள்வி 5.
மதிப்பு காண்க.
(i) \(\frac{9}{132} \times \frac{-11}{3}\)
(ii) \(\frac{-7}{27} \times \frac{24}{-35}\)
தீர்வு :
(i) \(\frac{9}{132} \times \frac{-11}{3}\)
= \(\frac{-1}{4}\)
(ii) \(\frac{-7}{27} \times \frac{24}{-35}\)
= \(\frac{8}{45}\)

கேள்வி 6.
வகுக்கவும் (i) \(\frac{-21}{5}\) ஜ \(\frac{-7}{-10}\) ஆல்
(ii) \(\frac{-3}{-13}\) ஜ – 3 ஆல் (iii) -2 ஜ \(\frac{-6}{15}\)ஆல்
தீர்வு :

கேள்வி 7.
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\) , b = \(\frac { 2 }{ 3 }\), (ii) a = \(\frac { -3 }{ 5 }\) ,b = \(\frac { 2 }{ 15 }\) எனில் (a + b) = (a – b) ஐக் காண்க.
தீர்வு :
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\) , b = \(\frac { 2 }{ 3 }\)

(ii) a = \(\frac { -3 }{ 5 }\) ,b = \(\frac { 2 }{ 15 }\)

கேள்வி 8.
\(1 / 2+(3 / 2-2 / 5) \div 3 / 10 \times 3\) ஐச் சுருக்கி, அது 11 மற்றும் 12க்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு விகிதமுறு எண் என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு :
im 2
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை சுருக்கும் போது 11.5 கிடைப்பதால் அது 11 மற்றும் 12க்கு இடையில் அமையும்.

கேள்வி 9.
சுருக்குக.
(i) \(\left[\frac{11}{8} \times\left(\frac{-6}{33}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{5} \div \frac{9}{20}\right)\right]-\left[\frac{4}{7} \times \frac{-7}{5}\right]\)
தீர்வு :

(ii) \(\left[\frac{4}{3} \div\left(\frac{8}{-7}\right)\right]-\left[\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}\right]+\left[\frac{4}{3} \times\left(\frac{-1}{4}\right)\right]

கேள்வி 10.
ஒரு மாணவர் ஓர் எண்ணை [latex]\frac { 4 }{ 3 }\) ஆல் வகுப்பதற்குப் பதிலாக \(\frac { 4 }{ 3 }\) ஆல் பெருக்கி சரியான விடையைக் காட்டிலும் 70ஐக் கூடுதலாகப் பெற்றார். அந்த எண்ணைக் காண்க. தீர்வு :

அந்த எண் 120

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 11.
\(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\left(\frac{-7}{12}\right)\) இன் திட்ட வடிவம் …………………….. ஆகும்.
(அ) 1
(ஆ) \(\frac{-1}{2}\)
(இ) \(\frac{-1}{12}\)
(ஈ) \(\frac{1}{22}\)
விடை :
(அ) 1

கேள்வி 12.
\(\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{2}\) = ………………..
(அ) \(\frac{15}{64}\)
(ஆ) 1
(இ) \(\frac{5}{8}\)
(ஈ) \(\frac{1}{16}\)
விடை :
(இ) \(\frac{5}{8}\)

கேள்வி 13.
\(\frac{3}{4} \div\left(\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\right)\) = …………………
(அ) \(\frac{13}{10}\)
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)
(இ) \(\frac{3}{2}\)
(ஈ) \(\frac{5}{8}\)
விடை :
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)

கேள்வி 14.
\(\frac{3}{4} \times\left(\frac{5}{8} \div \frac{1}{2}\right)\) = ………………………….
(அ) \(\frac{5}{8}\)
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)
(இ) \(\frac{15}{32}\)
(ஈ) \(\frac{15}{16}\)
விடை :
(ஈ) \(\frac{15}{16}\)

கேள்வி 15.
இவற்றுள் எந்த விகிதமுறு எண்ணிற்கு கூட்டல் நேர்மாறு உள்ளது?
(அ) 7
(ஆ) \(\frac{-5}{7}\)
(இ) 10
(ஈ) இவை அனைத்திற்கும்
விடை :
(ஈ) இவை அனைத்திற்கும்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை g(x) = x – 2 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மடங்கா எனச் சரிபார்க்க.
(i) p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3; g(x) = x – 2
விடை:
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3
g(x) = x – 2 எனில் x = 2
p(2) = (2)³ – 5 × (2)² + 4 × 2 – 3
= 8 – 5 × 4 + 8 – 3
= 16 – 23
= -7 ≠ 0
p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை g(x) இன் மடங்கு அல்ல.

கேள்வி 2.
மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, p(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
i. p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1; g(x) = x + 1
ii. p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3;g(x) = 2x – 1
iii. p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50; g(x) = x – 3
விடை:
(i) p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1 g(x) = x + 1               g(x) = 0
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – 4(-1) – 1                        x + 1 = 0
=-1 – 2(1) + 4 – 1                                              x = -1
= -1 – 2 + 4 – 1                                                = 0
= 0
p(-1) = 0
மீதி = o

(ii) p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3
விடை:

(iii) p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50
p(3) = (3)³ – 3 × (3)² + 4 × 3 + 50
= 27 – 3 × 9 + 12 + 50
= 27 – 27 + 12 + 50
= 62
மீதி = 62

கேள்வி 3.
3x³ – 4x² + 7x – 5 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x + 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 3x³ – 4x² + 7x – 5 என்க
p(-3) = 3(-3)³ – 4 × (-3)² + 7 × (-3) – 5
= 3 × (-27) – 4 × 9 + (-21) – 5
= – 81 – 36 – 21 – 5
= – 143
மீதி = -143

கேள்வி 4.
x²⁰¹⁸ + 2018 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை x – 1 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
x²⁰¹⁸ + 2018 = p(x) என்க g(x) = x – 1
g(x) = x – 1                             g(x) = 0
p(1) = 1²⁰¹⁸ + 2018               x – 1 = 0
= 1 + 2018                             x = 1
= 2019
மீதி = 2019

கேள்வி 5.
2x³ – kx² + 3x + 10 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால் k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 2x³ – kx² + 3x + 10 என்க
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால்,
மீதி = 0
p(2) = 0
p(2) = 2(2)³ – k(2)² + 3(2) + 10
0 = 2 × 8 – k × 4 + 6 + 10
0 = 16 – 4k + 16
0 = 32 – 4k
4k = 32
k = \(\frac{32}{4}\)
k= 8
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுக்கும் போது k = 8

கேள்வி 6.
2x³ + ax² + 4x – 12 மற்றும் x³ + x² – 2x + a என்ற இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளை (x – 3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதிகள் சமமானால், a இன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும், அதன் மீதியைக் காண்க.
விடை:
மீதித் தேற்றத்தின்படி, மீதி = f(3)
f(x) = 2x³ + ax² + 4x – 12
f(3) = 2(3)³ + a(3)² + 4(3) – 12
f(3) = 2 × 27 + a(9) + 12 – 12
f(3) = 54 + 9a + 12 – 12
= 54 + 9a …………… (1)
g(x) = x³ + x² – 2x + a
g(3) = (3)³ + (3)² – 2 × 3 + a
g(3) = 27 + 9 – 6 + a
g(3) = 30 + a …………….(2)
மீதிகள் சமமாக இருப்பதால்
(1) = (2)
f(3) = g(3)
54 + 9a = 30 + a
9a – a = 30 – 54
8a = -24
a = \(\frac{-24}{8}\)
a = -3
a = -3 ஐ ? இல் பிரதியிட
30 + a = g(3)
30 + (-3) = g(3)
27 = g(3)
மீதி = 27

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு (x – 1) என்பது காரணியா எனக் காண்க.
(i) x³ + 5x² – 10x + 4
(ii) x⁴ + 5x² – 5x + 1
விடை :
i) p(x) = x³ + 5x² – 10x + 4 என்க .
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி. எனில்
P(1) = 0. x – 1 இன் பூஜ்ஜியம் காண
P(1) = 1+ 5 – 10 + 4                     x – 1 = 0
= 10 – 10                                       x = 1
= 0
ஆகவே, x – 1 என்பது x³ + 5x² – 10x + 4 இன் ஒரு காரணியாகும்.

(ii) p(x) = x⁴ + 5x² – 5x + 1 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
மீதி P(1) = 0
P(1) = 1 + 5 – 5 + 1
= 2
ஆகவே, x – 1 என்பது x⁴ + 5x² – 5x + 1 இன் ஒரு காரணியல்ல.

கேள்வி 8.
காரணித் தோற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 5) என்பது ஒரு காரணி எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 5) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(5) = 0.
P(5) = 2 × (5)³ – 5(5)² – 28 × 5 + 15
= 2 × 125 – 5 × 25 -28 × 5 + 15
= 250 – 125 – 140 + 15
= 265 – 265
= 0
எனவே, x – 5 என்பது 2x³ – 5x² – 28x + 15 இன் ஒரு காரணி ஆகும்.

கேள்வி 9.
x³ – 3x² – mx + 24 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x + 3) என்பது ஒரு காரணி எனில், m இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = x³ – 3x² – mx + 24 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 3) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(-3) = 0
P(-3) = (-3)³– 3(-3)² – m(-3) + 24
0 = -27 – 3 × 9 + 3m + 24
0 = -27 – 27 + 3m + 24
0 = -54 + 24 + 3m
0 = -30 + 3m
3m = 30
m = 10

கேள்வி 10.
ax² + 5x + b என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 2) மற்றும் (x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)) ஆகியவை காரணிகள் எனில், a = b எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = ax² + 5x + b என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(2) = 0.
P(2) = a × (2)² + 5 × 2 + b
P(2) = 4a + 10 + b …………… (1)
x – \(\frac { 1 }{ 2 }\) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில் மீதி
P(\(\frac { 1 }{ 2 }\)) = 0.

\(\frac { a }{ 2 }\) = -1
a = -2
a = -2 ஐ (1) இல் பிரதியிட
4a + 10 + b = 0
4 × (-2) + 10 + b = 0
-8 + 10 + b = 0
2 + b = 0
b = -2 ∴ a = b

கேள்வி 11.
(x – 1) என்பது kx³– 2x² + 25x – 26 மீதியின்றி வகுக்குமெனில் (வகுத்தி) k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = kx³ – 2x² + 25x – 26 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
p(1) = 0.
P(1) = k(1)³ – 2(1)² + 25 × 1 – 26
0 = k – 2 + 25 – 26
0 = k – 28 + 25
0 = k – 3
k = 3

கேள்வி 12.
x² – 2x – 8 என்பது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு எனில், (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன அவற்றின் பக்கங்களா என்பதைக் காரணித்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சரிபார்க்க.
விடை:
p(x) = x² – 2x – 8 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
P(-2) = 0.
P(-2) = (-2)² – 2 (-2) – 8
= 4 + 4 – 8|
= 0
(x – 4) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்,
P(4) = 0.
P(4) = (4)² – 2 × (4) – 8
= 16 – 8 – 8
= 16 – 16)
= 0
எனவே (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.1

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக :

i) \(\frac{-19}{5}\) ஆனது………….. மற்றும்…………….. என்ற முழுக்களுக்கிடையே இருக்கும்.
ii) \(\frac{15}{-4}\)என்ற விகிதமுறு எண்ணின் தசம வடிவம் …….. ஆகும்.
iii) \(\frac{-8}{3}\) மற்றும் \(\frac{8}{3}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்கள்….. இலிருந்து சம தொலைவில் இருக்கும். iv) \(\frac{-15}{24}, \frac{20}{-32}, \frac{-25}{40}\) என்ற வரிசையின் அடுத்த விகிதமுறு எண் ………. ஆகும்.
v) \(\frac{+58}{-78}\) இன் திட்டவடிவம் ………. ஆகும்.
விடை :
(i) -4 மற்றும் – 3
(ii) -3.75
(iii) 0
(iv) \(\frac{30}{-48}\)
(v) \(\frac{-29}{39}\)

கேள்வி 2.
சரியா தவறா எனக் கூறுக :
i) 0 ஆனது மிகச் சிறிய விகிதமுறு எண் ஆகும்.
ii) \(\frac{-4}{5}\) ஆனது \(\frac{-3}{4}\) இன் இடதுபுறமாக உள்ளது.
iii) \(\frac{-19}{5}\) ஆனது \(\frac{15}{-4}\) ஐ விடப் பெரியது
iv) இரு விகிதமுறு எண்களின் சராசரியானது அவற்றிற்கிடையே அமையும்.
v) 10 மற்றும் 11 இக்கு இடையில் எண்ணிலடங்கா விகிதமுறு எண்கள் உள்ளன.
விடை :
i) தவறு
ii) சரி
iii) தவறு
iv) சரி
v) சரி

கேள்வி 3.
எண்கோட்டின் மீது கேள்விக் குறியிட்டுள்ள இடங்களில் அமைந்த விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.

தீர்வு :

கேள்வி 4.
ஒர் எண்கோட்டின் மீது S, Y, N, C, R, A,T, I மற்றும் 0 ஆகிய புள்ளிகள் CN = NY=YS மற்றும் RA= AT=TI =I0 என்றுள்ளவாறு இருக்கின்றன. Y, N, A, T மற்றும் 1 ஆகிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்பெறும் விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.

விடை :

Y = \(\frac { -5 }{ 3 }\)
N = \(\frac { -4 }{ 3 }\)
A = \(\frac { 9 }{ 4 }\)
T = \(\frac { 10 }{ 4 }\)
I = \(\frac { 11 }{ 4 }\)

கேள்வி 5.
ஓர் எண்கோட்டினை வரைந்து, அதன்மீது பின்வரும் விகிதமுறு எண்களைக் குறிக்கவும்.
(i) \(\frac { 9 }{ 4 }\)
(ii) \(\frac { -8 }{ 3 }\)
(iii) \(\frac { -17 }{ -5 }\)
(iv) \(\frac { 15 }{ -4 }\)
தீர்வு :
(i) \(\frac { 9 }{ 4 }\)

(ii) \(\frac { -8 }{ 3 }\)

(iii) \(\frac { -17 }{ -5 }\)

(iv) \(\frac { 15 }{ -4 }\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் விகிதமுறு எண்களின் – தசம வடிவத்தை எழுதவும்.
(i) \(\frac { 1 }{ 11 }\)
(ii)\(\frac { 13 }{ 4 }\)
(iii) \(\frac { -18 }{ 7 }\)
(iv) 1\(\frac { 2 }{ 5 }\)
(v) -3\(\frac { 1 }{ 2 }\)
விடை :
(i) \(\frac { 1 }{ 11 }\) = 0.090909
(ii)\(\frac { 13 }{ 4 }\) = 3.25
(iii) \(\frac { -18 }{ 7 }\) = -2.5714285714
(iv) 1\(\frac { 2 }{ 5 }\) = \(\frac { 7 }{ 5 }\) = 1.4
(v) -3\(\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { -7 }{ 2 }\) = -3.5

கேள்வி 7.
கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையில் ஏதேனும் ஐந்து விகிதமுறு எண்களைப் பட்டியலிடுக.
(i) -2 மற்றும் 0
(ii) \(\frac{-1}{2}\) மற்றும் \(\frac{-3}{5}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\) மற்றும் \(\frac{7}{20}\)
(iv) \(\frac{-6}{4}\) மற்றும் \(\frac{-23}{10}\)
தீர்வு :
(i) -2 மற்றும் 0

(ii) \(\frac{-1}{2}\) மற்றும் \(\frac{-3}{5}\)

(iii) \(\frac{1}{4}\) மற்றும் \(\frac{7}{20}\)
4 மற்றும் 20 ன் மீ.சி.ம. 20 ஆகும்

(iv) \(\frac{-6}{4}\) மற்றும் \(\frac{-23}{10}\)

கேள்வி 8.
சராசரிகள் முறையைப் பயன்படுத்தி \(\frac{14}{5}\) மற்றும் \(\frac{16}{3}\) ஆகியவற்றுக்கு இடையே 2 விகிதமுறு எண்களை எழுதவும்.
தீர்வு :

கேள்வி 9.
பின்வரும் விகிதமுறு சோடிகளை ஒப்பிடுக.
(i) \(\frac{-11}{5}, \frac{-21}{8}\)
(ii) \(\frac{3}{-4}, \frac{-1}{2}\)
(iii) \(\frac{2}{3}, \frac{4}{5}\)
தீர்வு :
(i) \(\frac{-11}{5}, \frac{-21}{8}\)
பகுதி 5, 8 ன் மீ.சி.ம 40.
\(\frac{-11}{5} \times \frac{8}{8}=\frac{-88}{40}\)

(ii) \(\frac{3}{-4}, \frac{-1}{2}\)
பகுதி 4மற்றும் 2 ன் மீ.சி.ம 4.

(iii) \(\frac{2}{3}, \frac{4}{5}\)
பகுதி 3 மற்றும் 5 இன் மீ.சி.ம 15

கேள்வி 10.
பின்வரும் விகிதமுறு எண்களை ஏறுவரிசை மற்றும் இறங்கு வரிசையில் எழுதுக.
(i) \(\frac{-5}{12}, \frac{-11}{8}, \frac{-15}{24}, \frac{-7}{-9}, \frac{12}{36}\)
(ii) \(\frac{-17}{10}, \frac{-7}{5}, 0, \frac{-2}{4}, \frac{-19}{20}\)
தீர்வு :
(i) \(\frac{-5}{12}, \frac{-11}{8}, \frac{-15}{24}, \frac{-7}{-9}, \frac{12}{36}\)

ஏறு வரிசை :
\(\frac{-11}{8}<\frac{-5}{8}<\frac{-5}{12}<\frac{1}{3}<\frac{7}{9}\) இறங்கு வரிசை : \(\frac{7}{9}>\frac{1}{3}>\frac{-5}{12}>\frac{-5}{8}>\frac{-11}{8}\)

ii) \(\frac{-17}{10}, \frac{-7}{5}, 0, \frac{-2}{4}, \frac{-19}{20}\)
10, 5, 4, 20, ன் மீ.சி.ம 20.
\(\frac{-17}{10} \times \frac{2}{2}=\frac{-34}{20}\)

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 11.
\(\frac { 8 }{ 9 }\) கிடைக்க ……. என்ற எண்ணை \(\frac { -6 }{ 11 }\) இலிருந்து கழிக்க வேண்டும்
(ஆ) \(\frac { 34 }{ 99 }\)
(ஆ) \(\frac { -142 }{ 99 }\)
(இ) \(\frac { 142 }{ 99 }\)
(ஈ) \(\frac { -34 }{ 99 }\)
விடை :
(ஆ) \(\frac { -142 }{ 99 }\)

கேள்வி 12.
பின்வரும் சோடிகளில் எது சமான எண்களின் சோடியாகும்?
(ஆ) \(\frac{-20}{12}, \frac{5}{3}\)
(ஆ) \(\frac{16}{-30}, \frac{-8}{15}\)
(இ) \(\frac{-18}{36}, \frac{-20}{44}\)
(ஈ) \(\frac{7}{-5}, \frac{-5}{7}\)
விடை :
(ஆ) \(\frac{16}{-30}, \frac{-8}{15}\)

கேள்வி 13.
\(\frac { -5 }{ 4 }\) என்ற விகிதமுறு எண்ணானது ……….. ஆகியவற்றின் இடையில் அமையும்
(அ) 0 மற்றும் \(\frac { -5 }{ 4 }\)
(ஆ) -1 மற்றும் 0
(இ) -1 மற்றும் -2
(ஈ) -4 மற்றும் -5
விடை :
(இ) -1 மற்றும் – 2

கேள்வி 14.
பின்வரும் விகிதமுறு எண்க ளில், எது மிகப் பெரியது?
(ஆ) \(\frac { -17 }{ 24 }\)
(ஆ) \(\frac { -13 }{ 16 }\)
(இ) \(\frac { 7 }{ -8 }\)
(ஈ) \(\frac { -31 }{ 32 }\)
விடை :
(ஆ) \(\frac { -17 }{ 24 }\)

கேள்வி 15.
\(\frac { 112 }{ 528 }\) இன் எளிய வடிவில் உள்ள பகுதியின் இலக்கங்களின் கூடுதல்
(அ) 4
(ஆ) 5
(இ) 6
(ஈ) 7
விடை :
(இ) 6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Unit Exercise 8

கேள்வி 1.
பின்வரும் நிகழ்வெண் பரவலின் சராசரியானது 62.8 மற்றும் அனைத்து நிகழ்வெண்களின் கூடுதல் 50 விடுபட்ட நிகழ்வெண்கள் f₁ மற்றும் f₂ ஐக் காண்க.

தீர்வு :
Σf = 50
\(\bar{x}\) = 62.8


-7.2 x 50 = -40 – 40f₁
-360 = -40-40f₁
-360 + 40 = -40f₁
-40f₁ = -320
f₁ = \(\frac{-320}{-40}\)f₁ = 8
Σf = 30 + f₁ + f₂
50 = 30 + f₁ + f₂
f₁ + f₂ = 50 – 30
f₁ + f₂ = 20
8 + f₂ = 20
f₂ = 20 – 8 = 12
விடை :
f₁ = 8, f₂ = 12

கேள்வி 2.
ஒரு வடிவமைப்பில் வரையப்பட்ட வட்டங்களின் விட்ட அளவுகள் (மி.மீல்) கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

திட்டவிலக்கத்தைக் கணக்கிடுக
தீர்வு :


விடை :
திட்டவிலக்கம் σ = 5.55

கேள்வி 3.
ஒரு நிகழ்வெண் பரவல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அட்டவணையில், K ஒரு மிகைமுழு விலக்க வர்க்கச் சராசரியானது 160 எனில், K ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
விலக்க வர்க்க சராசரி = 160


விடை :
k ன் மதிப்பு = 7

கேள்வி 4.
செல்சியஸில் குறிக்கப்பட்ட வெப்பநிலை தரவின் திட்டவிலக்கமானது 5. இந்த வெப்பநிலை
தரவை ஃபாரன்ஹீட் ஆக மாற்றும் பொழுது கிடைக்கும் தரவின் விலக்க வர்க்கச் சராசரியைக் காண்க.
தீர்வு :
திட்டவிலக்கம் . = 5°C
பாரன்ஹீட் ஆக மாற்ற,
F = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\) +32 (எத்த எண்னை கூட்டினாலோ (அ) கழித்தாலோ
திட்டவிலக்கம் மாறாது)
SF = \(\frac{9}{5}\) SC
SF = \(\frac{9}{5}\) x 5 = 9
SF² = 9² = 81
விடை :
விலக்க வர்க்க சராசரி = 81

கேள்வி 5.
ஒரு பரவலில் Σ(x-5) = 3, Σ(x-5)² = 43 மற்றும் மொத்த தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 18 எனில் சராசரி , திட்டவிலக்கத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
Σ(x – 5) = 3
Σ(x-5)2 = 43 n = 18
Σ(x-5) = 3
Σx – 5Σ1 = 3
Σx – 5 x 18 = 3
Σx-90 = 3
Σx = 3+90 = 93
சராசரி \(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{93}{18}\) = 5.17
Σ(x – 5)² = 43
Σ(x² – 10x + 25) = 43
Σx² – 10Σx + 25Σ1 = 43
Σx² – 10 x 93 + 25 x 18 = 43
Σx² – 930 + 450 = 43
Σx² = 43 + 930 – 450
Σx² = 523

விடை :
சராசரி = 5.17, திட்டவிலக்கம் = 1.53

கேள்வி 6.
இரண்டுநகரங்களின் பல்வேறு இடங்களில் விற்பனை செய்யும் நிலக்கடலைபொட்டலங்களின் விலைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. எந்த நகரத்தில் விலைகளானது மிகவும் நிலையானதாக உள்ளது?

தீர்வு :


C.V₁ = 12.25
C.V₂ = 24.6
CV₁ < C.V₂
விடை :
நகரம் A ன் விலைகளானது மிகவும் நிலையானதாக உள்ளது.

கேள்வி 7.
ஒரு புள்ளிவிவரத்தின் வீச்சு மற்றும் வீச்சுக்கெழு முறையே 20 மற்றும் 0.2 எனில் விவரங்களின் மிகப்பெரிய மதிப்பு மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :
வீச்சு = 20
L – S = 20 —–(1)
வீச்சுக்கெழு = 0.2
\(\frac{\mathrm{L}-\mathrm{S}}{\mathrm{L}+\mathrm{S}}\) = 0.2
\(\frac{20}{L+S}\) = 0.2
L + S = \(\frac{20}{0.2}\)
= \(\frac{200}{2}\) = 100
L + S = 100 —-(2)
(1) & (2) ஐ தீர்க்க

L = \(\frac{120}{2}\) = 60
S = 100 – 60 = 40
விடை :
மிகப்பெரிய மதிப்பு = 60
மிகச்சிறிய மதிப்பு = 40

கேள்வி 8.
இரண்டு முறையான பகடைகள் உருட்டப்படும் பொழுது, முக மதிப்புகளின் பெருக்கல் 6 ஆகவோ அல்லது முகமதிப்புகளின் வித்தியாசம் 5 ஆகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றது.
S = { (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)}
n(S) = 36
A ஆனது முகமதிப்புகளின் பெருக்கல் 6
கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
A = {(1, 6) (2, 3) (3, 2) (6, 1)}
n(A) = 4
P(A) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{4}{36}\)
B ஆனது முகமதிப்புகளின் வித்தியாசம் 5
கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
B = {(1, 6) (6, 1)} ⇒ n(B) = 2
P(B) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{2}{36}\)
A ∩ B = {(1, 6) (6, 1)}
n(A∩B) = 2
P(A ∩ B) = \(\frac{2}{36}\)
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றப்படி
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{4}{36}+\frac{2}{36}-\frac{2}{36}\)
= \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
P(A∪B) = \(\frac{1}{9}\)
விடை :
முகமதிப்பின் பெருக்கற்பலன் 6 (அ) முகமதிப்பின் வித்தியாசம் 5 கிடைக்க நிகழ்தகவு = \(\frac{1}{9}\)

கேள்வி 9.
இரண்டு குழந்தைகள் உள்ள ஒரு குடும்பத்தில் குறைந்தது ஒரு பெண்ணாவது இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
S = { அப்பா, அம்மா, இரண்டு குழந்தைகள்}
n(S) = 4
A ஆனது குறைந்தது ஒரு பெண்ணாவது இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
n(A) = 3 [இரண்டு குழந்தைகளும் பெண்ணாக இருந்தால் மற்றும் அம்மாவும் சேர்ந்து]
P(A) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{4}\)
விடை :
ஒரு பெண்ணை தேர்ந்தெடுக்க நிகழ்தகவு = \(\frac{3}{4}\)

கேள்வி 10.
ஒருபையில் 5 வெள்ளை மற்றும் சில கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. பையிலிருந்து கருப்பு பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது வெள்ளைப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைப் போல் இருமடங்கு எனில் கருப்புப் பந்துகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு :
பையில் 5வெள்ளை மற்றும் சில கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.
கருப்புபந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க n(S) = 5 + x
B மற்றும் W என்பது கருப்பு மற்றும் வெள்ளைப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
கொடுக்கப்பட்டது P(B) = 2P(W)

விடை :
கருப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10

கேள்வி 11.
ஒரு மாணவன் இறுதித் தேர்வில் ஆங்கிலம் மற்றும் தமிழில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.5, ஒன்றிலும் தேர்ச்சி அடையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.1 ஆங்கிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி அடைவதற்கான நிகழ்தகவு 0.75 எனில் தமிழ்தேர்வில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு :
E மற்றும் T ஆனது ஆங்கிலம் மற்றும் தமிழ் தேர்வில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(E ∩ T) = P\(P(\bar{E} \cap \bar{T})\) (E T) = 0.1
P(E) = 0.75
\(\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}} \cap \overline{\mathrm{T}})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E} \cup \mathrm{T}})\) = 1 – P(E∪T)
P(E∪T) = P(E) + P(T) – P(E∩T)
= 0.75 + P(T) – 0.5
P(E∪T) = 0.25 + P(T)
\(\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}} \cap \overline{\mathrm{T}})\) = 1 – P(E∪T)
0.1 = 1 – (0.25 + P(T))
0.1 = 1 – 0.25 – P(T)
0.1 = 0.75 – P(T)
P(T) = 0.75 – 1
P(T) = 0.65
P(T) = \(\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}} \cap \overline{\mathrm{T}})\)
விடை :
தமிழில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac{13}{20}\)

கேள்வி 12.
52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டில் ஸ்பேடு சீட்டுகளிலிருந்து இராசா , இராணி மற்றும் மந்திரி சீட்டுகள் நீக்கப்படுகின்றன. மீதமுள்ள சீட்டுகளிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது
(i) ஒரு டைமண்ட்
(ii) ஓர் இராணி
(iii) ஒரு ஸ்பேடு
(iv) 5 என்ற எண் கொண்ட ஹார்ட் சீட்டு ஆகியவனவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.
தீர்வு :
52 சீட்டுகளிலிருந்து ஸ்பேடு சீட்டில்
இராசா, இராணி மற்றும் மந்திரி சீட்டுகள் நீக்கப்படுகிறது.
n(S) = 52 – 3 = 49
i) A ஆனது டைமண்ட் சீட்டு எடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(A) = 13
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{13}{49}\)

ii) B ஆனது இராணி சீட்டு எடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(B) = 3
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{49}\)

iii) C ஆனது ஸ்பேடு சீட்டு எடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(C) = 10
P(C) = \(\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{10}{49}\)

iv) D ஆனது 5 என்ற எண் கொண்டு சீட்டு எடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(D) = 1
P(D) = \(\frac{n(D)}{n(S)}=\frac{1}{49}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.2

கேள்வி 1.
f(y) = 6y – 3y² + 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பைக் காண்க.
(i) y = 1
(ii) y = -1
(iii) y = 0
விடை:
f(y) = 6y – 3y² + 3
y = 1 எனும் போது f(y)
(i) f(1) = 6 × 1 – 3 × (1)² + 3 = 6

(ii) y = – 1 எனும் போது f(y)
f(-1) = 6 × (-1) – 3 × (-1)² + 3
= -6 – 3 + 3
= – 6

(iii) y = 0 எனும் போது f(y)
f(0) = 6 × 0 – 3(0) + 3
= 0 – 0 + 3
= 3

கேள்வி 2.
p(x) = x² -2\(\sqrt{2 x}\) + 1. எனில் p(2√2 )ஐக் காண்க.
விடை:
P(x) = x² – 2\(\sqrt{2 x}\) + 1
ρ(2√2) = (2√2)² -2√2 × 2√2 + 1
= 4 × 2 – 4 × 2 + 1
= 8 – 8 + 1
= 1

கேள்வி 3.
கீழ்க்காணும் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களைக் காண்க.
(i) P(x) = x – 3
(ii) P(x) = 2x + 5
(iii) q(y) = 2y – 3
(iv) f (z) = 8z
(v) P (x) = ax எனில் a ≠ 0
(vi) h(x) = ax + b,a ≠ 0,a,b ∈ R
விடை:
(i) P(x) = x – 3
P(3) = 3 – 3 = 0
எனவே x = 3 என்பது P(x) இன் பூச்சியமாகும்.

(ii) P(x) = 2x+5
\(=2\left(x+\frac{5}{2}\right)\)
\(P\left(\frac{-5}{2}\right)=2\left(\frac{-5}{2}+\frac{5}{2}\right)\)
= 2(0)
= 0
எனவே x = \(\frac{-5}{2}\) என்பது p(x) இன் பூச்சியமாகும்.

(iii) q (y) = 2y – 3
\(\mathrm{q}\left(\frac{3}{2}\right)=2\left(\frac{3}{2}\right)\) – 3 = 3 – 3 = 0
∴ y = \(\frac{3}{2}\) என்பது q (y) இன் பூச்சியமாகும்.

(iv) f (z) = 8z
= 8z – 0
\(=8\left(z-\frac{0}{8}\right)\)
\(f\left(\frac{0}{8}\right)=8\left(\frac{0}{8}-\frac{0}{8}\right)\)
f (0) = 0
எனவே Z = 0 என்பது f (z)இன் பூச்சியமாகும்.

(v) P(x) = ax, a ≠ 0 எனும்போது
P(x) = ax – 0
\(=a\left(x-\frac{0}{a}\right)\)
\(\mathrm{P}\left(\frac{0}{a}\right)=a\left(\frac{0}{a}-\frac{0}{a}\right)\)
P(0) = a × 0
P(0) = 0
எனவே x = 0 என்பது p(x)இன் பூச்சியமாகும்.

(vi) h(x) = ax + b,a ≠ 0,a,b ∈ R
h(x) = ax + b
\(=a\left(x+\frac{b}{a}\right)\)
\(h\left(\frac{-b}{a}\right)=a\left(\frac{-b}{a}+\frac{b}{a}\right)\)
= a x 0 = O
எனவே x = \(\frac{-b}{a}\) என்பது h(x) இன் பூச்சியமாகும்.

கேள்வி 4.
பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களைக் காண்க.
(i) 5x – 6 = 0
(ii) x + 3 = 0
(iii) 10x + 9 = 0
(iv) 9x – 4 = 0
விடை:
(i) 5x – 6 = 0
5x = 6
x = \(\frac{6}{5}\)

(ii) x + 3 = 0
x = -3

(iii) 10x + 9 = 0
10x = -9
x = \(\frac{-9}{10}\)

(iv) 9x – 4 = 0
9x = 4
x = \(\frac{4}{9}\)

கேள்வி 5.
பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு அவற்றின் எதிரே குறிப்பிட்டுள்ளவை பூச்சியங்களா எனச் சரிபார்க்க.
(i) p(x) = 2x – 1, x = \(\frac{1}{2}\)
விடை:
p(x) = 2x -1
\(p\left(\frac{1}{2}\right)=2 x \frac{1}{2}-1\)
= 1 – 1
= 0
x = \(\frac{1}{2}\) என்பது 2x – 1 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூச்சியம் ஆகும்.

(ii) p(x) = x³ – 1, x = 1
விடை:
P(x) = x³ – 1
P(1) = 1 – 1 = 0
x = 1 என்பது x³ – 1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம் ஆகும்.

(iii) p(x) = ax + b, x = \(-\frac{b}{a}\)
விடை:
p(x) = ax + b
\(p\left(\frac{-b}{a}\right)=a \times\left(\frac{-b}{a}\right)+b\)
\(=\frac{-\not a b}{a}+b\)
= -b +b = 0
x = \(-\frac{b}{a}\) என்பது ax + b என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம் ஆகும்.

(iv) p(x) = (x + 3) (x – 4), x = 4, x = -3
விடை:
p(x) = (x + 3) (x – 4)
p(x) = x² – 4x + 3x – 12
p(x) = x² – x – 12
p(4) = (4)² – 4 – 12
= 16 – 16 = 0
p(x) = x² – x – 12
P(-3) = (-3)² – (-3) – 12
= 9 + 3 – 12
= 9 – 9 = 0
x = 4, x = -3 என்ப து (x – 4) (x + 3) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம் ஆகும்.

கேள்வி 6.
பின்வரும் வரை படங்களால் குறிக்கப்படும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

விடை:
நேர்க்கோடு அல்லது வளைவரையானது x அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளைப் பொருத்தே அதன் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை அமையும்.
பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை
(i) 2
(ii) 3
(iii) 0
(iv) 1
(v) 1