Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை g(x) = x – 2 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மடங்கா எனச் சரிபார்க்க.
(i) p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3; g(x) = x – 2
விடை:
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3
g(x) = x – 2 எனில் x = 2
p(2) = (2)³ – 5 × (2)² + 4 × 2 – 3
= 8 – 5 × 4 + 8 – 3
= 16 – 23
= -7 ≠ 0
p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை g(x) இன் மடங்கு அல்ல.

கேள்வி 2.
மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, p(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
i. p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1; g(x) = x + 1
ii. p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3;g(x) = 2x – 1
iii. p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50; g(x) = x – 3
விடை:
(i) p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1 g(x) = x + 1               g(x) = 0
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – 4(-1) – 1                        x + 1 = 0
=-1 – 2(1) + 4 – 1                                              x = -1
= -1 – 2 + 4 – 1                                                = 0
= 0
p(-1) = 0
மீதி = o

(ii) p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3
விடை:

(iii) p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50
p(3) = (3)³ – 3 × (3)² + 4 × 3 + 50
= 27 – 3 × 9 + 12 + 50
= 27 – 27 + 12 + 50
= 62
மீதி = 62

கேள்வி 3.
3x³ – 4x² + 7x – 5 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x + 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 3x³ – 4x² + 7x – 5 என்க
p(-3) = 3(-3)³ – 4 × (-3)² + 7 × (-3) – 5
= 3 × (-27) – 4 × 9 + (-21) – 5
= – 81 – 36 – 21 – 5
= – 143
மீதி = -143

கேள்வி 4.
x²⁰¹⁸ + 2018 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை x – 1 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
x²⁰¹⁸ + 2018 = p(x) என்க g(x) = x – 1
g(x) = x – 1                             g(x) = 0
p(1) = 1²⁰¹⁸ + 2018               x – 1 = 0
= 1 + 2018                             x = 1
= 2019
மீதி = 2019

கேள்வி 5.
2x³ – kx² + 3x + 10 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால் k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 2x³ – kx² + 3x + 10 என்க
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால்,
மீதி = 0
p(2) = 0
p(2) = 2(2)³ – k(2)² + 3(2) + 10
0 = 2 × 8 – k × 4 + 6 + 10
0 = 16 – 4k + 16
0 = 32 – 4k
4k = 32
k = \(\frac{32}{4}\)
k= 8
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுக்கும் போது k = 8

கேள்வி 6.
2x³ + ax² + 4x – 12 மற்றும் x³ + x² – 2x + a என்ற இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளை (x – 3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதிகள் சமமானால், a இன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும், அதன் மீதியைக் காண்க.
விடை:
மீதித் தேற்றத்தின்படி, மீதி = f(3)
f(x) = 2x³ + ax² + 4x – 12
f(3) = 2(3)³ + a(3)² + 4(3) – 12
f(3) = 2 × 27 + a(9) + 12 – 12
f(3) = 54 + 9a + 12 – 12
= 54 + 9a …………… (1)
g(x) = x³ + x² – 2x + a
g(3) = (3)³ + (3)² – 2 × 3 + a
g(3) = 27 + 9 – 6 + a
g(3) = 30 + a …………….(2)
மீதிகள் சமமாக இருப்பதால்
(1) = (2)
f(3) = g(3)
54 + 9a = 30 + a
9a – a = 30 – 54
8a = -24
a = \(\frac{-24}{8}\)
a = -3
a = -3 ஐ ? இல் பிரதியிட
30 + a = g(3)
30 + (-3) = g(3)
27 = g(3)
மீதி = 27

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு (x – 1) என்பது காரணியா எனக் காண்க.
(i) x³ + 5x² – 10x + 4
(ii) x⁴ + 5x² – 5x + 1
விடை :
i) p(x) = x³ + 5x² – 10x + 4 என்க .
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி. எனில்
P(1) = 0. x – 1 இன் பூஜ்ஜியம் காண
P(1) = 1+ 5 – 10 + 4                     x – 1 = 0
= 10 – 10                                       x = 1
= 0
ஆகவே, x – 1 என்பது x³ + 5x² – 10x + 4 இன் ஒரு காரணியாகும்.

(ii) p(x) = x⁴ + 5x² – 5x + 1 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
மீதி P(1) = 0
P(1) = 1 + 5 – 5 + 1
= 2
ஆகவே, x – 1 என்பது x⁴ + 5x² – 5x + 1 இன் ஒரு காரணியல்ல.

கேள்வி 8.
காரணித் தோற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 5) என்பது ஒரு காரணி எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 5) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(5) = 0.
P(5) = 2 × (5)³ – 5(5)² – 28 × 5 + 15
= 2 × 125 – 5 × 25 -28 × 5 + 15
= 250 – 125 – 140 + 15
= 265 – 265
= 0
எனவே, x – 5 என்பது 2x³ – 5x² – 28x + 15 இன் ஒரு காரணி ஆகும்.

கேள்வி 9.
x³ – 3x² – mx + 24 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x + 3) என்பது ஒரு காரணி எனில், m இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = x³ – 3x² – mx + 24 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 3) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(-3) = 0
P(-3) = (-3)³– 3(-3)² – m(-3) + 24
0 = -27 – 3 × 9 + 3m + 24
0 = -27 – 27 + 3m + 24
0 = -54 + 24 + 3m
0 = -30 + 3m
3m = 30
m = 10

கேள்வி 10.
ax² + 5x + b என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 2) மற்றும் (x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)) ஆகியவை காரணிகள் எனில், a = b எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = ax² + 5x + b என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(2) = 0.
P(2) = a × (2)² + 5 × 2 + b
P(2) = 4a + 10 + b …………… (1)
x – \(\frac { 1 }{ 2 }\) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில் மீதி
P(\(\frac { 1 }{ 2 }\)) = 0.

\(\frac { a }{ 2 }\) = -1
a = -2
a = -2 ஐ (1) இல் பிரதியிட
4a + 10 + b = 0
4 × (-2) + 10 + b = 0
-8 + 10 + b = 0
2 + b = 0
b = -2 ∴ a = b

கேள்வி 11.
(x – 1) என்பது kx³– 2x² + 25x – 26 மீதியின்றி வகுக்குமெனில் (வகுத்தி) k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = kx³ – 2x² + 25x – 26 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
p(1) = 0.
P(1) = k(1)³ – 2(1)² + 25 × 1 – 26
0 = k – 2 + 25 – 26
0 = k – 28 + 25
0 = k – 3
k = 3

கேள்வி 12.
x² – 2x – 8 என்பது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு எனில், (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன அவற்றின் பக்கங்களா என்பதைக் காரணித்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சரிபார்க்க.
விடை:
p(x) = x² – 2x – 8 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
P(-2) = 0.
P(-2) = (-2)² – 2 (-2) – 8
= 4 + 4 – 8|
= 0
(x – 4) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்,
P(4) = 0.
P(4) = (4)² – 2 × (4) – 8
= 16 – 8 – 8
= 16 – 16)
= 0
எனவே (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் ஆகும்.