Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் கோணம் B ஐப் பொறுத்து அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.

விடை:

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில்
i) sin B
ii) sec B
iii)cot B
iv) cos C
v) tan C
vi) cosecC
ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை:

AB² = BD² + DA²
(13)² = (5)² + DA²
169 = 25 + DA²
169 – 25 = DA²
144 = DA²
\(\sqrt{144}\) = DA
12 = DA

AC² = AD² + DC²
(AC)² = (12)² + (16)²
(AC)² = 144 + 256
AC² = 400
AC = \(\sqrt{400}\)
AC = 20

கேள்வி 3.
2cos θ = \(\sqrt{3}\) எனில் , வின் அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.
விடை:
2 cos θ = \(\sqrt{3}\)

AB² = BC² +CA²
AB² = (\(\sqrt{3}\))² + CA²
(2)² = (\(\sqrt{3}\))² +CA²
4 = 3 + CA²
4 – 3 = CA²
1 = CA²
CA = 1

கேள்வி 4.
cos A = \(\frac{3}{5}\) எனில், \(\frac{\sin A-\cos A}{2 \tan A}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:

= \(\frac{3}{40}\)

PQ² = PR² + RQ²
(5)² = (3)² + RQ²
25 = 9 + RQ²
25 – 9 = RQ²
16 = RQ
RQ = \(\sqrt{16}\)
RQ = 4

கேள்வி 5.
cos A = \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) எனில், sin A மற்றும் tan A இன் மதிப்புகளை X இல் காண்க.
விடை:

PQ² = PR² + RQ²
(1 + x²)² = (2x)² + RQ²
1 + x⁴ + 2x² = 4x² + RQ²
1 + x⁴ – 2x² = RQ²
RO = \(\sqrt{1+x^{4}-2 x^{2}}\)
RQ = \(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\)
RQ = 1 – x²

கேள்வி 6.
sin θ = \(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\), எனில், b sin θ = a cos θ என நிறுவுக.
விடை:

b sin θ = a cos θ (நிறுவப்பட்டது)
AC² = AB² + BC²
\(\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\) = AB² + a²
a² + b² = AB² + a²
AB² = a² + b² – a²
AB² = b²
AB = b

கேள்வி 7.
3 cot A = 2 எனில், \(\frac{4 \sin A-3 \cos A}{2 \sin A+3 \cos A}\) மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
3 cot A = 2
cot A = \(\frac{2}{3}\)



PQ² = PR² + RQ²
PQ² = (2)² + (3)²
PQ² = 4 + 9
PQ² = 16
PQ = \(\sqrt{16}\)
PQ = 4

கேள்வி 8.
cos θ : sin θ = 1 : 2, எனில், \(\frac{8 \cos \theta-2 \sin \theta}{4 \cos \theta+2 \sin \theta}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
cos θ : sin θ = 1 : 2

கேள்வி 9.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் θ + Φ = 90° என மெய்பிக்க. இப்படத்தில் மேலும் இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன என்பதை மெய்ப்பித்து, sin α, cos β மற்றும் tan Φ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளையும் காண்க.

விடை:
∆ ACB இல்,
∠C = θ + Φ
sin (θ + Φ)= sin θ cos Φ + cos θ sin Φ
= \(\frac{9}{15} \times \frac{12}{20}+\frac{12}{15} \times \frac{16}{20}\)
= \(\frac{108}{300}+\frac{192}{300}\)
= \(\frac{108+192}{300}\)

= \(\frac{16}{12}\)
= \(\frac{4}{3}\)

கேள்வி 10.
ஒரு மாணவன் ‘0’ என்ற புள்ளியில் தரையில் நின்று கொண்டு ‘P’ என்ற புள்ளியில் உள்ள பட்டத்தை OP = 25மீ என்றவாறு காண்கிறான். P இலிருந்து மேலும் 10மீ தொலைவு நகர்ந்து Q என்ற புள்ளியில் பட்டம் உள்ள போது, தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் ‘கேள்வி’ ஐக் காண்க. (முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்துக).

விடை:
∆ QON இல்
sin θ = \(\frac{\mathrm{கேள்வி}}{\mathrm{OQ}}=\frac{\mathrm{h}}{25+10}\)
sin θ = \(\frac{\mathrm{h}}{35}\) …………… (1)
∆ POM இல்,
sin θ = \(\frac{5}{25}\) ……………… (2)
1 மற்றும் 2 இலிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{5}{25}\)
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{1}{5}\)
h = \(\frac{35}{5}\)
h = 7
தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் = 7 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
i) \(\left(\frac{\cos 47^{0}}{\sin 43^{\circ}}\right)^{2}+\left(\frac{\sin 72^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}\right)^{2}-2 \cos ^{2} 45^{\circ}\)
ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°

விடை:

= 1 + 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 + 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 + 1 – \(\frac{2}{2}\)
= 1 + 1 – 1
= 0

ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
= \(\frac{\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos \left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-\) \(8 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\sin 31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-8 \times\left(\frac{1}{4}\right)\)
= 1 + 1 + 1 – 2
= 3 – 2
= 1

iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°
= tan (90° – 75°) tan30° tan 45o tan 60° tan 75°
= cot 75° × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 1 × \(\sqrt{3}\) × tan 75°
= \(\frac{1}{\tan 75^{\circ}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times 1 \times \sqrt{3} \times \tan 78^{\circ}\)
= 1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்க.
i) sin² 60° + cos² 60° = 1
ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
விடை:
i) LHS = sin² 60° + cos² 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\)
= \(\frac{4}{4}\)
= 1
RHS = 1 (சரிபார்க்கப்பட்டது)

ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
LHS = 1 + tan² 30°
= 1 + \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= 1 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)
sec² 30° = \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= \(\frac{4}{3}\)
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
1 – 2 sin² 45° = 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 – 1
= 0
2 cos² 45° – 1 = 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) – 1
= 2 × \(\frac{1}{2}\) – 1
= \(\frac{2}{2}\) – 1
= 1 – 1
= 0
cos 90° =0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
LHS = sin 30° cos 60° + cos30° sin60°
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}\) = 1
sin 90° = 1
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 2.
கீழ்க்காண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
i)
ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
விடை:
i)
= \(\frac{1}{2}+\frac{2}{1}-\frac{5 \times 1}{2 \times 1}\)
= \(\frac{1+4}{2}-\frac{5}{2}\)
= \(\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\)
= 0

ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
= \(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{1}{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= \(\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{9-2}{4}\)
= \(\frac{7}{4}\)

iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3 \times 1\)
= \(\frac{1}{4}\) – 2(\(\frac{1}{8}\)) + 3
= \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{4}\) + 3
= 3

கேள்வி 3.
A = 30° எனில், cos 3A = 4 cos³ A – 3 cosA, என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
விடை:
4 cos³A – 3 cosA மற்றும் A = 30° எனில்,
4 cos³ 30° – 3 cos 30°
= \(4 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}-3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= 0
cos 3 A = cos (3 × 30°) = cos 90°
= 0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 4.
x = 15° எனில், 8 sin 2x. cos 4x. sin 6x இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
8 sin 2x cos 4 x sin 6x, x = 15°
8 sin (2 × 15°) cos (4 × 15°) sin (6 × 15°)
= 8 sin 30° cos 60° sin 90°
= 8 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{8}{4}\) = 2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4

கேள்வி 1.
முதன்மை மதிப்பு காண்க
(i) sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
(ii) cot^-1\((\sqrt{3})\)
(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:

(ii)
cot^-1\((\sqrt{3})\)
cot^-1\((\sqrt{3})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{3}\) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{6}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ \(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)]
∴ cot^-1\((\sqrt{3})\) = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
cosec^-1\((-\sqrt{2})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{2}\) = cosec θ
⇒ sin θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ sin θ = –\(\frac{\pi}{4}\)
⇒ sin θ = sin\(\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) [∵ sin(-θ) = -sin θ]
⇒ θ = \(\frac{-\pi}{4}\) [∵ \(\frac{\pi}{4}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)\{0} ]

கேள்வி 2.

(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)
(ii) sin^-1(1) + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)
(iii) cot^-1(1)+ sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:
(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)

(ii) sin^-1 + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)

= –\(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\) + cot^-1(2)
= cot^-1(2) + \(\frac{-3 \pi+2 \pi}{6}\) = cot^-1(2) – \(\frac{\pi}{6}\)

(iii)

⇒ y = –\(\frac{\pi}{3}\)
sec^-1\((-\sqrt{2})\) = z என்க
⇒ sec z = –\(\sqrt{2}\) ⇒ cos z = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ cos z = -cos\(\frac{\pi}{4}\) ⇒ cos z = cos \(\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\)
⇒ cos z = cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\) ⇒ z = \(\frac{3 \pi}{4}\)
∴ cot^-1(-1) + sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1(-\(\sqrt{2}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) – \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{3 \pi}{4}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றம் ஏன் ! பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
(iii) f(x) = x – 2 log x, x ∈ [2, 7]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\) x ∈ [-1, 1]
[-1, 1] ல் f (x) = \(\left(\frac{1}{x}\right)\), x = 0 -ல் தொடர்ச்சி அற்றது மற்றும் (-1, 1)-ல் வகையிடத்தக்கது அல்ல. ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = tan x, x ∈ [0, π]
x = \(\frac{\pi}{2}\) ;-ல் tan x தொடர்ச்சி அற்றது ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது.
[∵ tan \(\frac{\pi}{2}\) = ∞]

(iii) f(x) = x – 2 log.x, x ∈ [2, 7]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x- 2 log x ∈ [2, 7]
(i) f (x), [2, 7] ல் தொடர்ச்சியானது
(ii) f (x), (2, 7) ல் வகையிடத்தக்கது
f(2) = 2 – 2 log 2
= 2 – log 2² = 2 – log 4
f(7) = 7 – 2 log 7
= 7 – log 7² = 7 – log 49
ஆதலால் f (2) ≠ f (7) ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

கேள்வி 2.
ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x -ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x- அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்?
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(i) [0, 1]ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
(ii) (0, 1) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
(iii) f(0) = 0² – 0 = 0
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0
∴ f(0) = f (1) ரோலின் தேற்றப்படி C ∈ [0, 1] பின்வருமாறு உள்ளது
f'(c) = 0
⇒ 2c – 1 = 0
⇒ 2c = 1
c = \(\frac{1}{2}\) ∈ [0, 1]

(ii) (ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
அ) [-1, 6] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-1, 6) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ) f(-1) = \(\frac{(-1)^{2}-2(-1)}{-1+2}=\frac{1+2}{1}\) = 3
f(6) = \(\frac{6^{2}-2(6)}{6+2}\)
= \(\frac{36-12}{8}=\frac{24}{8} \) = 3
∴ f(-1) = f(6)
ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-1, 6] பின்வருமாறு உள்ளது.
f'(c) = 0

(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
அ) [0, 9] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (0, 9) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0
f(9) = \(\sqrt{9}-\frac{9}{3}\) = 3 – 3 = 0
f(0) = f (9)
∴ ரோலின் தேற்றப்படி C E [0, 9] பின்வருமாறு
அமைந்துள்ளது f'(c) = 0

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த c = \(\frac{9}{4}\) ∈ [0, 9]

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
x = 0 ல் f (x) தொடர்ச்சியற்றதால் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு பயன்படுத்த முடியாது.

(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
[-1, 3] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது ஆனால் x = \(\frac{-1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

கேள்வி 4.
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு! இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 3x +2, x ∈ [-2, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
அ) [-2, 2] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-2, 2)ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
f(-2) = (-2)³ – 3 (-2) +2
= -8 + 6 + 2 = 0
f(2) = 2³ – 3 (2) + 2
= 8 – 6 + 2 = 4
லெக்ராஞ்சியின் C ∈ [-2, 2] எனுமாறு
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ 3c² – 3 = \(\frac{4-0}{2-(-2)}=\frac{4}{4}\) = 1
⇒ 3c² – 3 = 1
⇒ 3c² = 4 = c² = \(\frac{4}{3}\)
⇒ c = \(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\) ∈ (-2, 2)

(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = (x- 2)(x – 7),x ∈ [3, 11] ;
அ) [3, 11] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (3, 11) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(11) = (11 – 2) (11 –7)
= (9) (4) = 36
f(3) = (3 – 2) (3 – 7)
= (1) (4) =- 4
∴ லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி c ∈ [3, 11] ஒரு ஆனது f ‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) எனுமாறு உள்ளது.
f (x) = (x – 2) (x – 7)
= x² – 7x – 2x + 14
= x² – 9x + 14
⇒ 2c – 9 = \(\frac{36+4}{11-3}\)
⇒ 3c – 9 = \(\frac{40}{8}\)
⇒ 2c = 14
⇒ c = 7 ∈ [3, 11]

கேள்வி 5.
(i) f(x) = \(\frac{1}{x}\) என்ற சார்பிற்கு [a, b] – யை மிகை முழு எண்களாக கொண்ட மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\sqrt{ab}\) என நிறுவுக.
(ii) f(x) = Ax² + Bx + C என்ற சார்பிற்கு எந்த ஒரு மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\frac{a+b}{2}\) என நிறுவுக .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{1}{x}\), x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
அ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = \(\frac{1}{b}\), f(a) = \(\frac{1}{a}\)
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட f (x) = Ax² + Bx + C, x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
ஆ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = Ab² + Bb + c,
f(a) = Aa² + Ba + c
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

கேள்வி 6.
ஒரு பந்தய மகிழுந்து ஓட்டுநர் 20-ஆம் கிலோமீட்டரில் இருந்து புறப்படுகிறார். அதன் வேகம் எப்பொழுதும் 150 கி.மீ/மணி-யை தாண்டவில்லை எனில், அடுத்த இரண்டு மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச வேகம் காண்க.
தீர்வு:
‘t’ காலத்தில் கடந்த தூரம் f (t)
என்க. கொடுக்கப்பட்ட f (0) = 20 மற்றும் f (2) = ?
மேலும் வேகம் = f'(t) ≥ 150 தூர சார்பு தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி C ஆனது
⇒ f’ (c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ f'(c) = \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
எனுமாறு உள்ளது.
[ஓட்டுநர் வேகம் 150 கி.மீ/மணி மற்றும் f’ (c) வேகத்தை குறிக்கிறது]
⇒ \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
⇒ f(2) – 20 ≥ 300
⇒ f(2) ≥ 320 ஆதலால் அடுத்த 2 மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச தூரம் 320 கி.மீ.

கேள்வி 7.
f(x) சார்பானது, f'(x) ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 4 எனில், f(4) – f(1) ≤ 3 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
f'(x) = ≤ 1; 1 ≤ x ≤ 4
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\)
[∵ 1, 4] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது மற்றும் (1,4) ல் வகையிடத்தக்கது]
f'(x) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) = f'(x)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) ≤ 1 [∵ f'(x) ≤ 1]
⇒ f(4) – f (1) ≤ 3

கேள்வி 8.
f(x) என்ற வகையிடத்தக்க சார்பானது f(0) = -1, f(2) = 4 மற்றும் f(x) ≤ 2 ∀ x என்றவாறு இருக்க முடியுமா? எனது பதிலுக்கு தகுந்த விளக்கம் தருக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (0) = -1, f(2) = 4
∴ [0, 2] ல் f (x) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)
\(\frac{4-(-1)}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5
= 2.5 ∈ [0, 2]
f'(x) ஆனது 2.5ல் எந்த புள்ளி [0, 2), ஆக முடியாது, வகையிடத்தக்க சார்பு f (x) இருக்க முடியாது.

கேள்வி 9.
f(x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு x-அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடை வெளியில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0
அ) [-3, 0] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-3, 0) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0 (0 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
f(-3) = -3 (-3 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
∴ ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-3, 0] எனுமாறு f'(c) = 0 உள்ள து.
(2c + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
[∵ f(x) = (x² + 3x) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} f'(x) = (2c + 3) ^{\(-\frac{\pi}{2}\)}]
⇒ 2c + 3 = 0
⇒ 2c = -3
⇒ c \(\frac{-3}{2}\) ∈ [-3, 0]
எனவே f (x) = x (x + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு -அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடைவெளியில் அமையும்.

கேள்வி 10.
சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி a > 0, b > 0, |e^-a – e^-b|< |a – b| என நிறுவுக.
தீர்வு:
f(x) = e^-x, .x ∈ [a, b] என்க
அ) [a, b] ல் e^-x தொடர்ச்சியானது
ஆ) (a, b) ல் e “வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = e^-b, f (a) = e^-a,
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ள து.
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-b}-e^{-a}}{b-a}\)
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\)
⇒ |-e^-c| = \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\)
⇒ \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\) < 1
[∵ |-a^-c|< 1 -க்கு c ∈ [a, b], a > 0, b > 0]
⇒ |e^-a – e^-b| < |a – b| எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளின் சார்பகம் காண்க.
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\)
(ii) \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\)
தீர்வு:
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\) என்க.
\(\sqrt{9-x^{2}}\) ∈ ℝ ஆனால் \(\sqrt{9-x^{2}}\) ≥ 0
∴ 9 – x² ≥ 0

⇒ x² – 9 ≤ 0
⇒ (x + 3)(x – 3) ≤ 0
∴ சார்பகம் [-3, 3]

(ii) g(x) = \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) என்க
tan^-1x, ன் வரையறைப்படி அது மெய்யெண் கோட்டின் முழுவதுமான (-∞, ∞) ஐ சார்பாக கொண்டுள்ளது.
∴ g(x) சார்பகம் = \(\frac{1}{2}\)tan^-1(1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) R ல்.
∴ g(x) – ன் சார்பகம் R.

கேள்வி 2.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan^-1\(\left(\tan \frac{5 \pi}{4}\right)\)
(ii) tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right)\)
தீர்வு:

கேள்வி 3.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\)
(ii) tan(tan^-1(1947))
(iii) tan(tan^-1(-0.2021))
தர்வு:
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = \(\frac{7 \pi}{4}\)
[∵ tan (tan^-1(x)) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்.]

(ii) tan(tan^-1(1947)) = 1947

(iii) tan(tan^-1(-0.2021)) = -0.2021
[∵ tan (tan^-1x) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்]

கேள்வி 4.
மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:
(i)

⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\)

(ii)

(iii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8

சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையினை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
ஒரு வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் 10 செ.மீ. ஆரத்தின் அளவில் தோராயமாக 0.02 செ.மீ பிழை உள்ளது எனில் அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க.
(1) 0.2%
(2) 0.4%
(3) 0.04%
(4) 0.08%
விடை:
(2) 0.4%

குறிப்பு:
வட்டத்தின் பரப்பு = πr²
தோராயமான பரப்பு = 2πrdr
= 2π (10) (0.02) [∵ r = 10, dr = 0.02]
சதவீத பிழை = \(\frac{2 \pi(10)(0.02)}{\pi\left(10^{2}\right)} \times 100\)
= \(\frac{0.04}{10} \times 100\) = 0.4%

கேள்வி 2.
31-ன் 5ஆம்படி மூலசதவீதப்பிழைதோராயமாக, 31-ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் எத்தனை மடங்காகும்?
(1) \(\frac{1}{31}\)
(2) \(\frac{1}{5}\)
(3) 5
(4) 31
விடை:
(2) \(\frac{1}{5}\)

குறிப்பு:
31-ன் 5ஆம் படி மூல சதவீதப் பிழை தோராயமாக, 31 -ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் \(\frac{1}{5}\) மடங்காகும்.

கேள்வி 3.
u (x, y) = e^x2+y2, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\) ன் மதிப்பு
(1) e^x2+y2
(2) 2xu
(3) x²u
(4) y²u
விடை:
(2) 2xu

குறிப்பு:
u (x, y) = e^x2+y2
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = e^x2+y2 (2x) = 2

கேள்வி 4.
v (x, y) = log (e^x + e^y) எனில், \(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) e^x + e^y
(2) \(\frac{1}{e^{x}+e^{y}}\)
(3) 2
(4) 1
விடை:
(4) 1

குறிப்பு:
v (x, y) = log (e^x + e^y)

கேள்வி 5.
w (x, y) = x^y, x > 0, எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}\) உன் மதிப்பு
(1) x^y logx
(2) y logx
(3) yx^y-1
(4) x logy
விடை:
(3) yx^y-1

குறிப்பு:
w (x, y) = x^y
\(\frac{\partial w}{\partial x}\) = yx^y-1

கேள்வி 6.
f(x, y) = e^xy, எனில் \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy^xy
(2) (1 + xy)e^xy
(3) (1 +y)e^xy
(4) (1 +x)e^xy
விடை:
(2) (1 + xy)e^xy

குறிப்பு:
\(\frac{\partial f}{\partial y}\) = e^xy (x) = xe^xy
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\)
= x. e^xy (y) + e^xy (1)
= e^xy (1 + xy)

கேள்வி 7.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செ.மீ மற்றும் அதன் பிழை 0.1 செ.மீ எனில் கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை
(1) 0.4 கன செ.மீ
(2) 0.45 கன செ.மீ
(3) 2 கன செ.மீ
(4) 4.8 கன செ.மீ
விடை:
(4) 4.8 கன செ.மீ

குறிப்பு :
V = a³
⇒ கன அளவில் ஏற்படும் பிழை
= 3a² da = 3 (4)² (0.1)
= 48 (0.1) = 4.8 கன செ.மீ.

கேள்வி 8.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு x₀ இலிருந்து x₀ + dx ஆக மாறும் போது அதன் வளைபரப்பு S = 6x² இல் ஏற்படும் மாற்றம்.
(1) 12 x₀ + dx
(2) 12x₀ dx
(3) 6x₀ dx
(4) 6x₀ + dx
விடை:
(2) 12x₀ dx

குறிப்பு:
s = 6x²
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 12 xdx = 12x₀ dx

கேள்வி 9.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 1% அதிகரிக்கும் போது அதன் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(1) 0.3xdx மீ³
(2) 0.03 x மீ’³
(3) 0.03.x. மீ’³
(4) 0.03x மீ’³
விடை:
(3) 0.038 மீ³

குறிப்பு:
v = x³ தோராயமாக கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= 3x² dx
= 3x² (1%) = 3x² (0.01)
= 0.03 x² மீ³

கேள்வி 10.
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y², x(t) = e^t மற்றும் y(t) = cost , எனில் \(\frac{d g}{d t}\) -ன் மதிப்பு
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t
(2) 6e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
(3) 3e^2t + 5 sin t + 4 cos t sin t
(4) 3e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
விடை:
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

குறிப்பு:
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y²
x = e^t, y = cos t
\(\frac{\partial g}{\partial x}\) = 6x; \(\frac{\partial g}{\partial y}\) = -5 + 4y
\(\frac{d x}{d t}\) = e^t; \(\frac{d y}{d t}\) = -sin t
∴ \(\frac{d g}{d t}=\frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial g}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= 6x (e^t) + (-5 + 4y)(- sin t)
= 6e^t e^t + 5 sin t – 4 cos t sin t
= 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

கேள்வி 11.
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\), எனில் அதன் வகையீடு
(1) \(\frac{-1}{(x+1)^{2}} d x\)
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)
(3) \(\frac{1}{x+1} d x\)
(4) \(\frac{-1}{x+1} d x\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

குறிப்பு:
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\)
df = \(\frac{(x+1)(1)-x(1)}{(x+1)^{2}} d x\)
= \(\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}} d x=\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

கேள்வி 12.
u(x, y) = x² + 3xy + y – 2019, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) -மதிப்பு |
(1) -4
(2) -3
(3) -7
(4) 13
விடை:
(3) -7

குறிப்பு:
u (x, y) = x² + 3xy + y – 2019
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = 2x + 3y + 0 – 0 = 2x + 3y
∴ \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) = 2(4) + 3(-5) = 8 – 15 = -7

கேள்வி 13.
சார்பு.g(x) = cosx-ன் தோராய மதிப்பு x = \(\frac{\pi}{2}\) இல்
(1) x + \(\frac{\pi}{2}\)
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)
(3) x – \(\frac{\pi}{2}\)
(4) -x – \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட g (x) = cosx
g(\(\frac{\pi}{2}\)) = cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
g'(x) = – sinx
⇒ g(\(\frac{\pi}{2}\)) = – sin \(\frac{\pi}{2}\) = -1
∴ L (x) = g(x₀) + g'(x₀)(x – x₀)
= 0 – 1 (x – \(\frac{\pi}{2}\))
= -x + \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 14.
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y), எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy + yz + zx
(2) x(y + z)
(3) y(z + x)
(4) 0
விடை:
(4) 0

குறிப்பு:
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y)

கேள்வி 15.
f(x, y, z) = xy + yz + zx, எனில் f_x – f_z .-ன் மதிப்பு
(1) z – x
(2) y – z
(3) x – z
(4) y – x
விடை:
(1) z – x

குறிப்பு:
f(x, y, z) = xy + yz + zx
f_x = \(\) y + 0 + z = y + z
f_z = \(\) = 0 + y + x = y + x
∴ f_x – f_z = y + z – y – x = z – x

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் கணங்களின் ஆதி எண்ணைக் காண்க.
(i) M = {p, q, r, s, t, u}
விடை:
n(M) = 6

(ii) P = {x : x = 3n + 2, n ∈ W மற்றும் x < 15}
விடை:
n(P) = 5

(iii) Q = {y : y = [lat∈x]\frac{4}{3 n}[/lat∈x], n ∈ N மற்றும் 2 < n ≤ 5}
விடை:
n(Q) = 3

(iv) R = {x : x ஆனது முழுக்கள், x ∈ Z மற்றும் -5 ≤ x < 5}
விடை:
n(R) = 10

(v) S = 1882 முதல் 1906 வரை உள்ள அனைத்து நெட்டாண்டுகளின் (Leap year) கணம்.
விடை:
n(S) = 5

கேள்வி 2.
பின்வரும் கணங்களில் எவை முடிவுறு கணம்,எவை முடிவுறாக் கணம் எனக் கூறுக
(i) X = தமிழகத்தில் உள்ள மாவட்டங்களின் கணம்.
விடை:
முடிவுறு

(ii) Y = ஓரு புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் கணம்.
விடை:
முடிவுறா

(iii) A = {x : x ∈ Z மற்றும் x < 5}
விடை:
முடிவுறா

(iv) B = {x : x² – 5x + 6 = 0, x ∈ N}
விடை:
முடிவுறு பின்வருவனவற்றில் எவை சமான கணங்கள் அல்லது சமமற்ற கணங்கள் அல்லது சமகணங்கள் எனக் கூறுக.
(i) A=ஆங்கில உயிரெழுத்துகளின் கணம். B = ‘VOWEL என்ற சொல்லில் உள்ள எழுத்துகளின் கணம்.
விடை:
சமான கணங்கள்.

(ii) C = {2, 3, 4, 5}
D= x : x ∈ W, 1 < x < 5}
விடை:
சமமற்ற கணங்கள்

(iii) X = x : x என்பது “LIFE” என்ற சொல்லில் உள்ள எழுத்துகளின் கணம். Y = {F, I, L, E}
விடை:
சம கணங்கள்

(iv) G = {x : x ஒரு பகா எண் 3 < x < 23}
H = {x : x என்பது 18 இன் வகு எண்க ள்
விடை:
சமான கணங்கள்

கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றில் எவை வெற்றுக்கணம்; எவை ஒருறுப்புக்கணம் எனக் காண்க.
(i) A = {x : x ∈ N, 1 < x < 2}
விடை:
வெற்றுக்கணம்.

(ii) B = 2 ஆல் வகுபடாத அனைத்து இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம். விடை:
வெற்றுக்கணம்.

(iii) C = {0}
விடை:
ஒருறுப்புக்கணம்.

(iv) D = நான்கு பக்கங்களை உடைய முக்கோணங்களின் கணம்.
விடை:
வெற்றுக் கணம்.

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட கணச் சோடிகள் வெட்டும் கணங்களா? இல்லை வெட்டாக் கணங்களா?

(i) A = {f, i, a, s} மற்றும் B = {a, n, f, h, s}
விடை:
A = { f, i, a, s}
B = {a, n, f , h, s}
A ∩B = { f, a, s}
A மற்றும் B வெட்டும் கணங்கள்

(ii) C = {x : x ஒரு பகா எண், x > 2} மற்றும் D = {x : x ஓர் இரட்டைப்படை பகாஎண் }
விடை:
C = {3}
D = {2}
C ∩ D = {φ}
C மற்றும் D வெட்டாக் கணங்கள்

(iii) E = {x : x என்பது 24 இன் காரணி} மற்றும் F = {x : x ஆனது 3இன் மடங்கு, x < 30}
விடை:
E = {2, 4, 6, 8, 12, 24}
F = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
E ∩ F = {6, 12, 24}
E மற்றும் F வெட்டும் கணங்கள்.

கேள்வி 6.
S = {சதுரம், செவ்வகம், வட்டம், சாய்சதுரம், முக்கோணம்} எனில் பின்வரும், S இன் உட்கணங்களின் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக
(i) நான்கு சமபக்கங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{சதுரம், சாய்சதுரம்)

(ii) ஆரங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{வட்டம்}.

(iii) உட்கோணங்களின் கூடுதல் 180° ஆக உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{முக்கோணம்}.

(iv) 5 பக்கங்களை உடைய தள வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{}

கேள்வி 7.
A = {a,{a,b}} எனில், A – இன் எல்லா உட்கணங்களையும் எழுதுக.
விடை:
A இன் உட்கணங்கள் f,{a}, {a,b}, {a,{a,b}}

கேள்வி 8.
பின்வருவனவற்றின் அடுக்குக்கணத்தைக் காண்க.
(i) A = {a, b}
விடை:
P(A) = {φ, {a}, {b}, {a, b}}

(ii) B= {1, 2, 3}
விடை:
P(B) = { { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2,3}}

(iii) D = {p, q, r, s}
விடை:
P(D) = {{ }, {p}, {q}, {r}, {s}, {p, q}, {p, r}, {p,s}, {q, r}, {q, s}, {r, s}, {p, q, r}, {p, q, s}, {p, r, s}, {q, r, s}, {p, q, r, s}}

(iv) E = φ
விடை:
P(E) = { {} }

கேள்வி 9.
பின்வரும் கணங்களின் உட்கணங்கள் மற்றும் தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
(i) W = {சிவப்பு, நீலம், மஞ்சள்}
விடை:
இங்கு m = 3
உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 2^m = 2³ = 8
தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = 2^m – 1
= 2³ – 1
= 8 – 1 = 7

(ii) X = {x² : x ∈ N, x² ≤ 100}
விடை:
X = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} இங்கு m =9 n(X) = 9
உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
2^m = 2⁹ = 1024
தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = 2^m -1
= 1024 – 1
= 1023

Question 10.
(i) n(A) = 4, எனில் n[P(A)] ஐக் காண்க
விடை:
(i) n(A) = 4 n[P(A)] = 2^m, m = 4
n[P(A)]=2^m = 2⁴
n[P(A)] = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

(ii) If n(A)=0 எனில், n[P(A)] ஐக் காண்க
விடை:
n(A) = 0 n[P(A)]= 2^m

(iii) If [P(A)] = 256 எனில், n(A) ஐக் காண்க
விடை:
n[P(4)]= 256
2^m = 256
2m = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
m = 8
2^m = 2⁸
n(A) = m
n(A) = 8

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.1

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றில் எவை கணங்களாகும்?
(i) ஒன்று முதல் 100 வரையுள்ள பகாஎண்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணம்.

(ii) இந்தியாவில் உள்ள செல்வந்தர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணமல்ல

(iii) இந்தியாவில் உள்ள ஆறுகளின் தொகுப்பு.
விடை:
கணம்

(iv) வளைகோல் பந்தாட்டத்தை நன்றாக விளையாடும் வீரர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணமல்ல

கேள்வி 2.
பின்வரும் ஆங்கிலச் சொற்களிலுள்ள எழுத்துகளைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக.
(i) INDIA
விடை:
A = {I, N, D, A}

(ii) PARALLELOGRAM
விடை:
B = {P, A, R, L, E, G, O, M}

(iii) MISSISSIPPI
விடை:
C = {M, I, S, P}

(iv) CZECHOSLOVAKIA
விடை:
D = {C, Z, E, H, O, S, L, V, A, K, I}

கேள்வி 3.
A = {0,3,5,8}, B = {2,4,6,10} மற்றும் C = {12, 14, 18, 20} என்ற கணங்களைக் கொண்டு.
(அ) சரியா, தவறா எனக் கூறுக.
(i) 18 ∈ C
விடை:
சரி

(ii) 6 ∉ A
விடை:
சரி

(iii) 14 ∉ C
விடை:
தவறு

(iv) 10 ∈ B
விடை:
சரி

(v) 5 ∈ B
விடை:
தவறு

(vi) O ∈ B
விடை:
தவறு

(ஆ) கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக :

(i) 3∈___
விடை:
A

(ii) 14∈ __
விடை:
C

(iii) 1 8__ B
விடை:
4

(iv) 4 __ B
விடை:
4

கேள்வி 4.
பின்வரும் கணங்களைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக.
(i) A = 20 – க்கும் குறைவான இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம்.
விடை:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

(ii) B = {y: y = \(\frac{1}{2 n}\), n ∈ N, n < 5}
1 1 1 1 11
விடை:
B = {\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{10}\)}

(iii) C = {x : x என்பது ஒரு முழுக்கன எண் மற்றும் 27 < x < 216}
விடை:
C = {64, 125}

(iv) D = {x : x ∈ Z – 5 < x ≤ 2}
விடை:
D = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}

கேள்வி 5.
பின்வரும் கணங்களைக் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் எழுதுக.
(i) B = ஒரு நாள் ஆட்டங்களில் இரட்டைச் சதமடித்த இந்திய மட்டைப் பந்து வீரர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
B = {x: x என்பது ஒரு நாள் சர்வதேச போட்டிகளில் இரட்டைச் சதமடித்த இந்திய வீரர்}

(ii) c = {\(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\)}
விடை:
C={x : x =\(\frac{n}{n+1}\); n ∈N)}

(iii) D ஓர் ஆண்டில் உள்ள தமிழ் மாதங்களின் தொகுப்பு.
விடை:
D = {x : x என்பது ஓர் ஆண்டிலுள்ள தமிழ் மாதம்}

(iv) E = 9 – க்கும் குறைவான ஒற்றை முழு எண்களின் கணம்.
விடை:
E = {x : x என்பது 9ஐ விடக் குறைவான ஒற்றை முழு எண்

கேள்வி 6.
பின்வரும் கணங்களை விவரித்தல் முறையில் எழுதுக.
(i) P = {சனவரி, சூன், சூலை}
விடை:
P = ‘J’ என்ற எழுத்தில் தொடங்கும் ஆங்கில மாதங்களின் கணம்.

(ii) Q = {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
விடை:
Q = 5 மற்றும் 31 இக்கு இடைப்பட்ட பகா எண்களின் கணம்.

(iii) R = {x : x ∈ N, x < 5}
விடை:
R = 5 ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம்.

(iv) S = {x : x ஓர் ஆங்கில மெய்யெழுத்து}
விடை:
S =ஆங்கில மெய்யெழுத்துக்களின் கணம்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.3

பின்வரும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றின் கூம்பு வளைவு வகையை கண்டறிக.

கேள்வி 1.
2x² – y² = 7
தீர்வு:
2x² – y² = 7
இங்கு A = 1, C = -1, F = -7
இங்கு A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக் கொன்று எதிர்குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபர வளையத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 2.
3x² + 3y² – 4x + 3y + 10 = 0
தீர்வு:
3x² + 3y² – 4x + 3y + 10 = 0
இங்கு A = 3, C = 3, D = -4, E = 3 மற்றும் F = 10
இங்கு A = C மற்றும் xy உறுப்பு இல்லை.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 3.
3x² + 2y² = 14
தீர்வு:
3x² + 2y² = 14
இங்கு A = 3, C = 2 மற்றும் F = -14
A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒரே குறியை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு நீள்வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 4.
x² + y² + x – y = 0
தீர்வு:
x² + y² + x – y = 0
இங்கு A = 1, C = 1, D = 1, E = -1
இங்கு A = C மற்றும் .xy உறுப்பு இல்லை.
ஆகையால் சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 5.
11x² – 25y² – 44x + 50y – 256 = 0
தீர்வு:
11x² – 25y² – 44x + 50y – 256 = 0
A = 11, C = -25, D = -44, E = 50, மற்றும் F = -256
இங்கு A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக் கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபர
வளையத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 6.
y² + 4x + 3y + 4 = 0
தீர்வு:
y² + 4x + 3y + 4 = 0
இங்கு A = 0, C = 1, D = 4, E = 3, F = 4 B = 0 மற்றும் A அல்லது C ஆனது 0 ஆகும். ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரவளையத்தை குறிக்கிறது.