Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
(i) \(\frac{2 i}{3+4 i}\)
(ii) \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2 i}{1-i}\)
(iii) (1 – i)¹⁰
(iv) 2i (3 – 4i) (4- 3i)
தீர்வு:
(i) \(\frac{2 i}{3+4 i}\)
z = \(\frac{2 i}{3+4 i}\) என்க

(ii) \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2i}{1-i}\)
z = \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2i}{1-i}\) என்க

(iii) (1-i)¹⁰
z = (1 – i)¹⁰ என்க

(iv) 2i (3 – 4i) (4 – 3i)
z = 2i(3 – 4i) (4 – 3i) என்க.
∴ |z| = |2i(3-4i)(4-3i)
= |2i||3-4i |4-3i||

கேள்வி 2.
z₁ மற்றும் z₂, என்ற ஏதேனும் இரு கலப்பெண் களுக்கு |z₁| = |z₂| = 1 மற்றும் z₁, z₂ = -1 எனில் \(\frac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1} z_{2}}\) ஓர் மெய் எண் எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z₁| = |z₂| = 1

கேள்வி 3.
10 – 8i, 11 + 61 ஆகிய புள்ளிகளில் எப்புள்ளி 1+i -க்கு மிக அருகாமையில் இருக்கும்?
தீர்வு:
அந்த புள்ளிகள் A (10 – 8i), B (11 + 6i) மற்றும் C (1 -i)
A மற்றும் C என்பது இடைப்பட்ட தூரம்
|(10 – 8i) – (1 + i) = |10 – 8i – 1 – i| =|9 – 9i|

அருகாமையில் இருக்கும்.
∴ 11 + 6i, 1 + 1 க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.

கேள்வி 4.
z = 3 எனில் 7≤ |z + 6 – 8i | ≤ 13 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z| = 3
7 ≤ | z + 6 – 8i | ≤ 13 என கொடுக்கப்பட்டது
| z + 6 – 8i| ≤ | z | + 16 – 8i [முக்கோணச் சமனிலி]

எனக் காட்டுக.

கேள்வி 5.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z| = 1
|z² – 3| ≤ |z²| +|-3| [முக்கோணச் சமனிலி]
≤ |z|² + 3 ≤ 1 + 3 [∵ |z| = 1]
|z² – 3| ≤ 4 … (1)
மேலும், |z – 3| ≥ ||z²|-|-3||
≥ ||z|²-3| [∵ |-3| = 3]
≥ |1² – 3 | [∵ |z| = 1]
≥ |-2|
|z² – 3| ≥ 2 …. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது, 2 ≤ |z² -3| ≤ 4 எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
\(\left|z-\frac{2}{z}\right|\) = 2, எனில் |z|-ன் மீச்சிறு மற்றும் மீப்பெருமதிப்புகள் \(\sqrt{3}\) + 1 மற்றும் \(\sqrt{3}\) – 1 என நிறுவுக.
தீர்வு:

இருபுறமும் 1 ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
|z|² – 2|z| + 1 ≤ 2 + 1

∴ |z| – ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\sqrt{3}\) + 1 மற்றும் |z| – ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1 – \(\sqrt{3}\).

கேள்வி 7.
z₁, z₂ மற்றும் z₃ என்ற மூன்று கலப்பெண்கள் |z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3 மற்றும் |z₁ + z₂ + z₃| = 1 என்றவாறு உள்ள து எனில் |9z₁z₂ + 4z₁z₃ + z₂z₃| = 6 என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3,
|z₁ + z₂ + z₃ | = 1

கேள்வி 8.
z,iz, மற்றும் 7 + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்
எனில், |z| – ன் மதிப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்.
z = x + iy என்க
எனில் iz = i (x + iy) = ix + i²y = -y + ix
z+ iz = x + iy – y + ix
= (x – y) + i (x + y)
z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு A எனில்

கொடுக்கப்பட்ட A = 50 ச. அலகுகள்

கேள்வி 9.
z³+2\(\bar{z}\) = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஐந்து தீர்வுகள் இருக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z³ +2\(\bar{z}\) = 0
⇒ z³ = -2\(\bar{z}\)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, |z³| = |\(-2 \bar{z}\)|

கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar{z}\) = 0
⇒ z³ + 2 . \(\frac{\sqrt{2}}{z}\) = 0
⇒ z⁴ + 2\(\sqrt{2}\) = 0 ….. (2)
இது 4 பூச்சியமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும். எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z + 2 z க்கு 5 தீர்வுகள்.

கேள்வி 10.
கீழ்காண்பவைகளின் வர்க்கமூலம் காண்க :
(i) 4 + 3i
(ii) -6 + 8i
(iii) 5 – 12i.
தீர்வு:
(i) 4+ 3i
z = |4 + 3i| என்க.

(iii) -5 – 12i
z =-5 – 12i என்க.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக:
(i) \(\overline{(5+9 i)+(2-4 i)}\)
(ii) \(\frac{10-5 i}{6+2 i}\)
(iii) \(\overline{3 i}\) + \(\frac{1}{2-i}\)
தீர்வு:
(i) \(\overline{(5+9 i)+(2-4 i)}\)
= \(\overline{(5+2)+(9 i-4 i)}\) = \(\overline{7+5 i}\) = 7 – 5i
[∵ 7 + 5i -ன் இணை கலப்பெண் 7 – 5i]

(ii)
[தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]

(iii)
[∵ 3i-ன் இணை கலப்பெண் -3i]

கேள்வி 2.
z = x + iy எனில், கீழ்காண்பவைகளின் செவ்வக வடிவினைக் காண்க.
(i) Re \(\left(\frac{1}{z}\right)\)
(ii) Re(\(i \bar{z}\))
(iii) Im (3z +4\(\bar{z}\) – 4i)
தீர்வு:
(i) Re \(\left(\frac{1}{z}\right)\)

∴ மெய் பகுதி \(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\)

(ii) Re(\(i \bar{z}\))
= Re (i(x-iy))

= Re (ix – i²y)
= Re (ix + y) [∵i² = -1]
= Re (y+ix)
∴ மெய் பகுதி y

(iii) Im (3z +4\(\bar{z}\) – 4i)
= Im (3(x+ iy) + 4 (x – iy) – 4i)
= Im (3x + i3y + 4x – i4y – 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y – 4y – 4)
= Im (7x + i (-y- 4))
∴கற்பனை பகுதி என்பது -y – 4.

கேள்வி 3.
z₁ = 2 – i மற்றும் z₂ = -4 + 3i எனில் z₁z₂ மற்றும் \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) -ன் நேர்மாறைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a₁ = 2 – i மற்றும் z₂ = -4 + 3i
z₁ z₂ = (2 – i) (- 4 + 3i)
= – 8 + 6i + 4i – 3i²
= – 8 + 10i – 3(-1)
= – 8 + 10i + 3 = -5 + 10i
z₁ z₂ \(\frac{1}{z_{1} z_{2}}\)

∴ z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{25}\)(-1 – 2i)
\(\frac{Z_{1}}{z_{2}}\), -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{z_{2}}{z_{1}}\)

∴ \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{5}\)(-11 + 2i)

கேள்வி 4.
கலப்பெண்கள்.,),மற்றும் ஆகியவை \(\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{v}\) + \(\frac{1}{w}\) -என்றவாறு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது. v= 3 – 4 மற்றும் w= 4 + 3i, எனில் u-ஐ செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட v = 3 – 4i,
w = 4 + 31 மற்றும் \(\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{v}\) + \(\frac{1}{w}\)

கேள்வி 5.
கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக :
(i) z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே z = \(\bar{z}\)
(ii) Ret(z) = \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) மற்றும் Im(z)= \(\frac{z+\bar{z}}{2i}\)
தீர்வு:
(i) z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், மட்டுமே Z = \(\bar{z}\)
z = x+iy என்க.
பிறகு \(\bar{z}\) = x – iy
z = \(\bar{z}\)
⇔ – x+ iy = x – iy
⇔ x + iy – x + iy = 0
⇔ 2iy = 0
⇔ y = 0
[∵ 2 மற்றும் மாறிலிகள்]
y= 0 எனில், z = x இது மெய்.
∴z முழுவதும் மெய் ⇔ z = \(\bar{z}\)

(ii) Re(z) = \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) மற்றும் Im(z) = \(\frac{z-\bar{z}}{2i}\) z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar{z}\) = x – iy
z + \(\bar{z}\) = x + iy + x – iy = 2x
∴ \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) = x
\(\frac{z+\bar{z}}{2}\) = Re (z)
மேலும் z – \(\bar{z}\) = x + iy – (x – y)
= x + iy-x + iy = 2iy
\(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\)= y
∴ \(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\) = Im (z)

கேள்வி 6.
\((\sqrt{3}+i)^{n}\) ஆனது n – ன் எந்த மீச்சிறு மிகை முழு எண் மதிப்புகளுக்கு
(i) மெய்
(ii) முழுவதும் கற்பனை எண்களாக இருக்கும்?
தீர்வு:
(i)

(1) மற்றும் (2)லிருந்து)

(ii) z முழுவதும் கற்பனை எண் ஆதலால்
z = –\(\bar{z}\)

[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]

கேள்வி 7.
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
(i) (2+i\(\sqrt{3}\))¹⁰ -(2-i\(\sqrt{3}\))¹⁰ என்பது முழுவதும்
கற்பனை
(ii) \(\left(\frac{19-7 i}{9+i}\right)^{12}\) + \(\left(\frac{20-5 i}{7-6 i}\right)^{12}\) என்பது மெய் எண்.
தீர்வு:
(i)

(ii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.7

பின்வரும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க.
கேள்வி 1.
cosx \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = 1
தீர்வு:

இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ P= tan x; Q = sec x
\(\int\) p dx = \(\int\) tan x dx = log sec x
∴ I.F. = e^{\(\int p d x\)} =e^{log sec x} = sec x
y e^{\(\int p d x\)} = \(\int\) Qe^{\(\int p d x\)} dx + c தீர்வாகும்.
⇒ y sec x = \(\int\) sec.x ∙ sec x dx + c
⇒ y sec x = \(\int\) sec’ x dx + c
⇒ y sec x = tan x + c
⇒ \(\frac{y}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}+c\)
⇒ y = sinx + c (cos x)

கேள்வி 2.
(1 – x²)\(\frac{d y}{d x}\) – xy = 1
தீர்வு:
\(\frac{d y}{d x}+\left(\frac{-x}{1-x^{2}}\right) y=\frac{1}{1-x^{2}}\)
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 3.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = sin x
தீர்வு:
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ P = \(\frac{1}{x}\); Q = sin x
\(\int\) p dx = \(\int\) \(\frac{1}{x}\) dx = log x
I.F. = e^{\(\int p d x\)} = e^{log x} = x
∴ ye^{\(\int p d x\)} = \(\int\) Q e^{\(\int p d x\)} dx + c தீர்வாகும்
u = x; dv = sin x
du = dx; v = -cos x
∵ \(\int\) u dv = uv – \(\int\) v du
⇒ yx = \(\int\) x sinx ∙ dx + c
⇒ xy = -x cos x + \(\int\) cosx dx
⇒ xy = -x cos x + sin x + c
⇒ xy + x cos x = sin x + c
⇒ x(y + cos x) = sin x + c

கேள்வி 4.
(x² + 1) \(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\sqrt{x^{2}+4}\)
தீர்வு:
⇒ \(\frac{d y}{d x}+\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right) y=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}+1}\)
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 5.
(2x – 10y³) dy + ydx = 0
தீர்வு:
⇒ 2x dy – 10y³ dy + y dx = 0
⇒ 2x dy + y dx = 10y³ dy

கேள்வி 6.
x sin x \(\frac{d y}{d x}\) + (x cos x + sin x)y = sin x
தீர்வு:
⇒ \(\frac{d y}{d x}+\left(\frac{x \cos x+\sin x}{x \sin x}\right)=\frac{\sin x}{x \sin x}=\frac{1}{x}\)
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடு

கேள்வி 7.
(y – e^sin-1x \(\frac{d x}{d y}+\sqrt{1-x^{2}}\) = 0
தீர்வு:

தொகையிட,

கேள்வி 8.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{(1-x) \sqrt{x}}=1-\sqrt{x}\)
தீர்வு:
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.


⇒ \(y\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)=x+\frac{2}{3} x \sqrt{x}+c\)

கேள்வி 9.
(1 + x + xy²) \(\frac{d y}{d x}\) + (y + y³) = 0
தீர்வு:

கேள்வி 10.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{\sin 2 x}{\log x}\)
தீர்வு:
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 11.
(x + a) \(\frac{d y}{d x}\) – 2y = (x + a)⁴
தீர்வு:

இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

2y = (x + a)⁴ + 2c (x + a)²

கேள்வி 12.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{\sin ^{2} x}{1+x^{3}}-\frac{3 x^{2}}{1+x^{3}} y\)
தீர்வு:
\(\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^{2} y}{1+x^{3}}=\frac{\sin ^{2} x}{1+x^{3}}\)
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 13.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y = x log x
தீர்வு:
x ஆல் வகுக்க கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{x}\) y = log x
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 14.
x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y – x² log x = 0
தீர்வு:
x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² log x
x-ஆல் வகுக்க கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y\) = x log x
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 15.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}=\frac{1}{x^{2}}\), கொடுக்கப்பட்டது y = 2 எனில் x = 1
தீர்வு:
\(\frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)
கொடுக்கப்பட்ட y = 2 எனில் x = 1
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.

∴ (1) லிருந்து,
yx³ = \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{3}{2}\)
2x³y = x² + 3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.6

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க.
கேள்வி 1.
\(\left[x+y \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] d x=x \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y\)
தீர்வு:

இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = x என பிரதியிடு
⇒ \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) ………….. (2)
(2) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,
cos v dv = \(\frac{d x}{x}\)
⇒ \(\int\) cos v dv = \(\int \frac{d x}{x}\)
⇒ sin v = log x + log c
⇒ sin v = log |cx|
⇒ \(\sin \left(\frac{y}{x}\right)\) = log|cx| [∵ y = x ⇒ v = \(\frac{y}{x}\)]

கேள்வி 2.
(x³ + y³) dy – x² ydx = 0
தீர்வு:
⇒ (x³ + y³) dy = x² y dx
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y}{x^{3}+y^{3}}\)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx என பிரதியிடு

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 3.
ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx = (xe^{\(\frac{x}{y}\)}) + y dy
தீர்வு:
\(\frac{d x}{d y}=\frac{x e^{\frac{x}{y}}+y}{y e^{\frac{x}{y}}}\) ……(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
x= Vy’ என பிரதியிடு
⇒ \(\frac{d x}{d y}\) = v + y ∙ \(\frac{d v}{d y}\)
∴ (1) லிருந்து,

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,
e^v dv = \(\frac{d y}{y}\)
⇒ \(\int\) e^v dv = \(\int \frac{d y}{v}\)
⇒ e^v = log y + log c
e^v = log yc
⇒ e^{\(\frac{x}{y}\)} = log|cy| [∵ v = \(\frac{x}{y}\)]

கேள்வி 4.
2xydx + (x² + 2y²)dy = 0
தீர்வு:
2.xy dr = -(x² + 2y²)dy
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{-2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}\) ……….. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
∴ (1) லிருந்து

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 5.
(y² – 2xy) dx = (x² – 2.xy)dy
தீர்வு:
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-2 x y}{x^{2}-2 x y}\) …………. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx எனப் பிரதியிட ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
∴ (1) லிருந்து,

மாறிகளை இருபுறமும் பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 6.
x\(\frac{d y}{d x}\) = y – x cos²\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
தீர்வு:
⇒ \(\frac{y-x \cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)}{x}\) ………….. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்
y = vx என பிரதியிட
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
(1) லிருந்து,

தொகையிட,

கேள்வி 7.
(1 + 3e\(\frac{y}{x}\) dy + 3e\(\frac{y}{x}\) (1 – \(\frac{y}{x}\)) dx = 0, எனிவரால் y = 0 எனில் x = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
தீர்வு:

இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = x என பிரதியிட,


மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

x= 1 எனில் y =0 நமக்கு கிடைப்பது,
3e⁰ + 0 = c ⇒ c = 3
∴ (2) லிருந்து, 3xe\(\frac{y}{x}\) + y = 3

கேள்வி 8.
(x² + y²)dy = xy dx. y(1) = 1 மற்றும் y(x₀) = e எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. x₀ ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
(x² + y²)dy = xy dx
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\) ……..(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx என பிரதியிடு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.2

கேள்வி 1.
z = 5-21 மற்றும் w = –1 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) z + w
(ii) z – iw
(iii) 2z + 3w
(iv) zw
(v) z² + 2zw + w²
(vi) (z +w)²
தீர்வு :
(i) z +w
= (5 – 2i) + (-1 + 3i)
= (5 – 1) + i (-2 + 3)
= 4 + i (1) = 4 + i

(ii) z – iw
= (5 – 2i) -i (-1 + 3i)
= (5 – 2i) + (+i – 3i²)
= 5 – 2i + i – 3 (-1) = 5 – i + 3 = 8 – i

(iii) 2z + 3w
= 2 (5 – 2i) + 3 (-1 + 3i)
= 10 – 4i – 3 + 9i
= (10 – 3) + i(4 + 9) = 7 + 5i

(iv) zw
= (5 – 2i) (-1 + 3i)
= -5 + 15i + 2i – 6i²
=-5 + 17i – 6(-1)
= -5 + 17i + 6 = 1 + 17i

(v) z² + 2zw + w²
= (5 – 2i)² + 2(5 – 2i) (-1 + 3i) + (-1 + 3i)²
=25 + 4i² -20i + 2[-5 + 15i + 2i – 6i²] +1 +9i² – 6i
= 25 – 4 – 20i + 2 (-5 + 17i + 6) + 1 – 9 – 6i
[∴ i² =-1]
= 21 – 20i + 2 (1 + 17i) – 8 – 6i
= 21 – 20i + 2 + 34i – 8 – 6i = 15 + 8i

(vi) (z+w)²
= [[5-2i) + (-1 + 3i)]² = (4 + i)²
= 16 + i² + 8i = 16 -1 + 8i = 15 + 8i

கேள்வி 2.
z = 2 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களை ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
(i) z, iz, மற்றும் z + iz
(ii) z, -iz, மற்றும் z -iz.
தீர்வு:
(i) z, iz மற்றும் z + iz ஐ ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க
z = 2 + 3i, (2, 3) எனக் குறிக்கலாம்.
iz = i (2 + 3i) = 2i + 3i² = 2i – 3 = -3 + 2i
(-3, 2) எனக் குறிக்கலாம்.
z+iz = 2 + 3i – 3 + 2i = -1 + 5i, (-1, 5) என
ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

(ii) z = 2 + 3i , (2, 3) எனக் குறிக்கலாம்.
-iz =-i (2 + 3i) =-2i – 3i² = -2i – 3(-1)= 3 – 2i
Z – iz = 2 + 3i + 3 – 2i = 5 + i(5, 1) என ஆர்க ண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

கேள்வி 3.
(3 – i)x – (2 – i)y + 2i + 5 மற்றும் 2x + (-1 + 2i)y + 3 + 2i ஆகிய கலப்பெண்கள் சமம் எனில் x மற்றும் y-ன் மதிப்புகளைக் காண்க. தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (3 -i) x – (2 – i) y + 2i +5
= 2x + (-1 + 2i) y + 3 + 2i
⇒ 3x – ix – 2y + iy + 2i + 5 = 2x – y + 2iy + 3 +2i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை தேர்ந்தெடுக்க
(3x – 2y + 5) + i(-x + y + 2) = 2x – y + 3 + i(2y + 2)
இருபுறமும் மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை ஒப்பிட கிடைப்பது
3x – 2y + 5 = 2x – y + 3
⇒ 3x – 2y + 5 – 2x + y – 3 = 0
⇒ x – y + 2 = 0 …. (1)
⇒ -x + y + 2 = 2y + 2
⇒ -x + y + 2 – 2y – 2 = 0
⇒ – x – y = 0 ⇒ x + y = 0 ….. (2)
(1) – (2) கிடைப்பது,

⇒ – 2y = -2 ⇒ y = 1
y= 1 என (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
∴ x = – 1 மற்றும் y = 1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.5

கேள்வி 1.
நிறை M உடைய ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்தின் இயக்கியால் உருவாக்கப்படும் மாறாத விசை F எனில், அதனுடைய திசைவேகம் V என்பது M\(\frac{dV}{d t}\) = F – AV எனும் சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. . என்பது மாறிலியாகும். t = 0 எனில் V = 0 எனக் கொடுக்கப்படும்போது V ஐ-ன் சார்பாக எழுதுக.
தீர்வு:
மாறிகளைப் பிரிக்க கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
m \(\frac{d v}{d t}\) = F — kv இலிருந்து கிடைப்பது,

⇒ \(\frac{\mathrm{F}-k v}{c}=\frac{1}{e^{\frac{k t}{m}}}\)
⇒ c = \((\mathrm{F}-k v) e^{\frac{k t}{m}}\) ……. (1)
t = 0 ⇒ v = 0 எனில் c = (F -0)e⁰ ⇒ c = F
∴ (1) லிருந்து, F = \((\mathrm{F}-k v) e^{\frac{k t}{m}}\)

கேள்வி 2.
செங்குத்தாக விழும் வான்குடை மிதவை (Parachute)ன் திசைவேகம் v ஆனது \(v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^{2}}{k^{2}}\right)\) எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது. இங்கு g மற்றும் k என்பன மாறிலிகள் ஆகும். ஆரம்ப நிலையில் மற்றும் x ஆகிய இரண்டும் பூச்சியமானால், -ஐ X-இன் சார்பாகக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டது
\(v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^{2}}{k^{2}}\right)=g\left(\frac{k^{2}-v^{2}}{k^{2}}\right)\)
மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
\(\frac{v d v}{k^{2}-v^{2}}=\frac{g}{k^{2}} \cdot d x\)
இருபுறமும் -2 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac{-2 v d v}{k^{2}-v^{2}}=\frac{-2 g}{k^{2}} d x\)
தொகையிட,

கேள்வி 3.
ஒரு வளைவரையின் சாய்வு, \(\frac{y-1}{x^{2}+x}\) ஆகும். வளைவரை (1, 0) எனும் புள்ளி வழிச் செல்லுமெனில், அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு = \(\frac{y-1}{x^{2}+x}\)

⇒ y – 1 = \(\frac{c x}{x+1}\)
வளைவரை (1, 0) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதால் கிடைப்பது,

கேள்வி 4.
பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க.
(i) \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}\)
(ii) ydx + (1 + x²) tan^-1 xdy = 0
(iii) sin\(\frac{d y}{d x}\) = a, y (0) = 1
(iv) \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x³ e^y
(v) (e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0
(vi) (vdx = xdy) \(\cot \left(\frac{x}{y}\right)\) = ny² dx
(vii) \(\frac{d y}{d x}-x \sqrt{25-x^{2}}=0\)
(viii) x cos y dy = e^x (x log x+ 1]dx
(ix) tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cos (x + y) + cos (x – y)
(x) \(\frac{d y}{d x}\) = tan² (x + y)
தீர்வு:
(i) \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}\)
மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
sin^-1y = sin^-1x + c

(ii) ydx + (1 + x²) tan^-1 xdy = 0
y dx = (1 + x²) tan^-1x dy
⇒ dt = \(\frac{1}{1+x^{2}} d x\) இல்
t = tan^-1x என பிரதியிடுக
⇒ \(\frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \tan ^{-1} x}=\frac{-d y}{y}\)
⇒ \(\int \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \tan ^{-1} x}=\int \frac{-d y}{y}\)
∴ \(\int \frac{d t}{t}\) = -log y = log c
⇒ log (tan^-1 x) = -log y + log c
⇒ log (tan^-1‘ x) + log y = log c
⇒ logy (tan^-1 x) = log c
⇒ y tan^-1 x = c

(iii) sin\(\frac{d y}{d x}\) = a, y (0) = 1
sin\(\frac{d y}{d x}\) = a,

(iv) \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x³ e^y
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x e^y + x³ e^y = e^y(e^x + x³)
⇒ \(\frac{d y}{e^{y}}\) = (e^x + x³)dx
⇒ e^-y dy = (e^x + x³)dx
∴ \(\int e^{-y} d y=\int\left(e^{x}+x^{3}\right) d x\)
⇒ -e^-y = e^x + \(\frac{x^{4}}{4}\) + c
⇒ e^x + e^-y + \(\frac{x^{4}}{4}\) = -c = c
[இதுவும் ஒரு மாறாத எண் ஆகும்]

(v) (e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0
⇒ (e^y + 1) cos x dx = -e^y sin x dy
⇒ \(\frac{\cos x}{\sin x} d x=\frac{-e^{y}}{e^{y}+1} d y\)
t = e^y+ 1
dt = e^y dy
\(-\int \frac{d t}{t}\) = -log t = log(e) + 1)
⇒ \(\int \cot x d x=-\int \frac{e^{y}}{e^{y}+1} d y\)
⇒ log (sin x) + log (e^y + 1) = log c.
⇒ log sin x (e^y + 1) = log c
⇒ (e^y + 1) sin x = c

(vi) (ydx = xdy) \(\cot \left(\frac{x}{y}\right)\) = ny² dx

மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
cot (t) dt = n dx
⇒ \(\int \cot (t) d t=n \int d x\)
⇒ log(sin t) = nx + c
⇒ log(sin t) = nx + c
⇒ sin t = e^nx+c
⇒ \(\sin \left(\frac{x}{y}\right)\) = e^nx+c [∵ t = \(\frac{x}{y}\)]

(vii) \(\frac{d y}{d x}-x \sqrt{25-x^{2}}=0\)

⇒ 3y = -t^{\(\frac{3}{2}\)} + 3c
⇒ 3y = -(25 – x²)^{\(\frac{3}{2}\)} + 3c [∵t = 25 – x²]

(viii) x cos y dy = e^x (x log x + 1)dx
x cos y dy = e^x (x log x + 1) dx

(ix) tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cos (x + y) + cos (x – y)
⇒ tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cosx cosy – sinx siny + cosx cosy + sinx siny
= 2 cos x sin y
[∵ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B]
⇒ \(\frac{\tan y}{\cos y}\) dy = 2 cos x dx
⇒ \(\int\) tan y sec y dy = 2\(\int\) cos x dx
⇒ sec y = 2 sin x + c

(x) \(\frac{d y}{d x}\) = tan²(x + y)
\(\frac{d y}{d x}\) = tan²(x + y) …………. (1)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.1

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக :

(i) i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰
(ii) i¹⁹⁴⁸ – i^-1869
(iii) \(\sum_{n-1}^{12} i^{n}\)
(iv) i⁵⁹ + \(\frac{1}{i^{59}}\)
(v) i i² i³ …….. i²⁰⁰⁰
(vi) \(\sum_{n-1}^{10} i^{n+50}\)
தீர்வு:
(i) i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰
i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰ = i¹⁹⁴⁴ . i³ + i¹⁹⁴⁸ .i²
[ ∵1944 என்பது 4 -ன் பெருக்கல், 1948 என்பது மேலும் 4 – ன் பெருக்கல்]
= (i⁴)⁴⁸⁶ . i² . i¹ + (i⁴)⁴⁸⁷ .i² [i⁴ = 1]
= (1⁴⁸⁶)(-1)(i) + (1)⁴⁸⁷ (-1) [i² = -1]
= i – 1 = -1 – i

(ii) i¹⁹⁴⁸ – i^-1869
= (i⁴)⁴⁸⁷ – [i^-1868 .i^-1]
= 1⁴⁸⁷ – [(i⁴)^-467.\(\frac{1}{i}\)] [i⁴ = 1]
= 1-[1.(-i)) [∵ i^-1 = \(\frac{1}{i}\) = -i]
[1 – ன் எந்த அடுக்கும் 1 ஆகும்]
= 1 + i

(iii) \(\sum_{n-1}^{12} i^{n}\)
\(\sum_{n=1}^{12} i^{n}\) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + ii⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i – 1 – i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴)
[∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
0 + (i – 1 – i + 1) + (i – 1 – i + 1 )
= 0 + 0 + 0 = 0

(iv) i⁵⁹ + \(\frac{1}{i^{59}}\)
i^{4×14 + 3} + i^-(4×14+3)
= (i⁴)¹⁴. i³ + (i⁴)^-14. i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
= -i + i= 0 [∵ i³= -i மற்றும் i^-3 = i]

(v) i i²….. i²⁰⁰⁰
= i. i² 3…..i²⁰⁰⁰

= i^1000×2001 = i^2001000 = 1
[∵ 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுபடும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுபடும்]

(vi) \(\sum_{n-1}^{10} i^{n+50}\)
i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ……+ i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ……+ i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது,
i⁵⁰ [(i + 1² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i-1] = i⁴⁸⁺² (i -1)
= i² (i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 – i

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் அவற்றிற்கெதிரே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வகைக் கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக்காட்டுக.
(i) y = 2x²; xy’ = 2y
(ii) y = a^ex + be^-x; y – y =0
தீர்வு:
(i) y = 2x²; xy’ = 2y
y = ax² எனக் கருதுவோம்
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = a(2x)
⇒ \(\frac{y^{\prime}}{2 x}\) = a ………… (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
y = \(\frac{y^{\prime}}{2 x}\) ∙ x²
⇒ y = \(\frac{y^{\prime} x}{2}\)
2y = xy’
∴ கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழு சமன்பாட்டின்
தீர்வு y = ax²

(ii) y = ax^ex + be^-x; y – y = 0
கருதுக y = ae^x + be^-x ………… (1)
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = ae^x – be^-x
‘x’ ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = ae^x + be^-x = y [(1)ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ y” – y = 0
∴ y” – y = 0 ன் ஒரு தீர்வு y = ae^x + be^-x

கேள்வி 2.
y = e^mx எனும் சார்பு கொடுக்கப்பட்ட வகைக் கெழுச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக அமையுமாறு m-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) y’ + 2y = 0
(ii) y”- 5y’ + 6y = 0
தீர்வு:
(i) y’ + 2y =0
y’ + 2y = 0 இன் தீர்வு y = e^mx …. (1)
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y = e^mx
⇒ y’ = m.e^mx
⇒ y’ = my ………… (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
my + 2y = 0 = y(m + 2) = 0
⇒ m+ 2 = 10 [∵y ≠ 0]
⇒ m = -2

(ii) y”- 5y’ + 6y=0
y” – 5y’ + 6y = 0 இன் தீர்வு y = e^mx …… (1)
எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y = e^mx
⇒ y’ = me^mx
⇒ y’ = my ………….. (2)
‘X’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = my’
⇒ y” = m(my) = m²y ……. (3)
(2) மற்றும் (3)-ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
m²y – 5my + 6y = 0
⇒ y(m² – 5m + 6) = 0
⇒ m² – 5m + 6 = 0 [∵ y ≠ 0]
⇒ (m – 3)(m – 2) = 0
m = 3, 2

கேள்வி 3.
ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஒரு வளைவரையின் தொடுகோட்டின் சாய்வு, அப்புள்ளியின் y அச்சுத் தொலைவின் 4 மடங்கின் தலை கீழியாகும். மேலும் வளைவரை (2,5 ) எனும் புள்ளி ! வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டது சாய்வு எந்த ஒரு புள்ளியிலும்
சாய்வு =
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{4 y}\)
⇒ 4y dy = dx
இருபுறமும் தொகையிட கிடைப்பது,
\(4 \int y d y=\int d x\)
⇒ \(4 \cdot \frac{y^{2}}{2}\) = x + c
⇒ 2y = x + c ………….. (1)
வளைவரை (2, 5) எனும் புள்ளி வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது,
2(5)² = 2 + c
⇒ 50 – 2 = c
⇒ c = 48.
∴ (1) லிருந்து, 2y = x + 48 என்பது தேவையான வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 4.
y = e^-x + mx + n என்பது \(e^{x}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)\) = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = e^-x + mx + n
‘X’ ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\) = -e^-x + m
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,

y = e^-x + mx + n ஆகும்.

கேள்வி 5.
y = ax + \(\frac{b}{x}\), x ≠ 0 என்பது x²y” + xy – y = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = ax + \(\frac{b}{x}\), x ≠ 0
இருபுறமும் X ஆல் பெருக்க கிடைப்பது, xy = ax² + b
‘x’ ஐ பொறுத்து இருபுறமும் வகையிட கிடைப்பது,
xy’ + y(1) = 2a(x)
⇒ xy’+ y = 2ax
X ஆல் வகுக்க கிடைப்பது,
y’ + \(\frac{y}{x}\) = 2a
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” + \(\frac{x y^{\prime}-y}{x^{2}}\) = 0
x² ஆல் பெருக்க கிடைப்பது, x²y” +xy’ – y=0
∴ x²y” + xy’ – y = 0 இன் ஒரு தீர்வு y = ax + \(\frac{b}{x}\) ஆகும்.

கேள்வி 6.
y = ae^-3x + b என்பது \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக. இங்கு a, b ஏதேனும் இரு எதேச்சை மாறிலிகள்.
தீர்வு:
கருதுக y= ae^-3x + b
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\)= -3ae^-3x.
⇒ \(\frac{y^{\prime}}{e^{-3 x}}\) = -3a
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{e^{-3 x}\left(y^{\prime \prime}\right)-y^{\prime}(-3) e^{-3 x}}{e^{-6 x}}\) = 0
⇒ y” e^-3x + 3y’ e^-3x = 0
⇒ e^-3x ( y” + 3y”) = 0
⇒ y” + 3y’ = 0 [∵ e^-3x ≠ 0]
∴ y” + 3y” = 0 -இன் தீர்வு y = ae^-3x + b ஆகும்.

கேள்வி 7.
y² = \(2 a\left(x+a^{\frac{2}{3}}\right)\) எனும் வளைவரைத் தொகுதியைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\left(y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}\right)^{3}=8\left(y \frac{d y}{d x}\right)^{5}\) எனக் காட்டுக. இங்கு 1 என்பது மிகை மதிப்புடைய துணையலகாகும்.
தீர்வு:
கருதுக y² = \(2 a\left(x+a^{\frac{2}{3}}\right)\)
⇒ y²2 == 2ax + 2^{\(\frac{2}{3}\)} ………… (1)
‘X’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
2yy’ = 2a(1) ⇒ a = yy’ ………. (2)
(2) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
y² = 2xyy’ + 2(yy’)^{\(\frac{5}{3}\)}
⇒ y² – 2xvy’ = 2 (yy’)^{\(\frac{5}{3}\)}
இருபுறமும் 3-ன் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
(y² – 2xyy’)³ = 2³ (yy’)^{\(\frac{5}{3} \times 3\)}
⇒ (y² – 2xyy’)³ = 8(yy’)⁵
\(\left(y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}\right)^{3}=8\left(y \frac{d y}{d x}\right)^{5}\) என் தீர்வு
y² = 2a(x + a^{\(\frac{2}{3}\)}) ஆகும்.

கேள்வி 8.
y = a cos hx என்பது \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b^{2} y=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = a cos bx …….(1)
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = -a sin bx(b) = -ab sin(bx)
‘X’ ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = -ab cos (bx)(6)
= -ab² cos(bx)
⇒ y” = -b²[acos bx]
⇒ y” = -b²y [(1) ஐ பயன்ப டுத்தி]
⇒ y” + b²y = 0
∴ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b^{2} y=0\) இன் ஒரு தீர்வு
y = a cos bx ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.8

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையைத் தேர்ந்தெடுக்க.

கேள்வி 1.
|adj (adjA) |=|A|⁹, எனில், சதுர அணி A -யின் வரிசையானது
(1) 3
(2) 4
(3) 2
(4) 5
விடை:
(2) 4
குறிப்பு:
adj (adj)AI = |A|^(n-1)2
∴ (n-1)² = 9
⇒ (n-1)² = 3² ⇒ n-1 = 3
⇒ n = 4

கேள்வி 2.
A என்ற 3 x 3 பூச்சியமற்றக் கோவை அணிக்கு AA^T = A^T A மற்றும் B = A^-1A^T, என்றவாறு இருப்பின் BB^T=
(1) A
(2) B
(3) I₃
(4) B^T
விடை:
(3) I₃
குறிப்பு:
BB^T = (A^-1A^T)(A^-1A^T)^T
= (A^-1A^T) (A^T)^T – (A^-1)^T
= (A^-1A^T) (AA^-1)^T
= A^-1(A.A^T)(A^-1)^T
= (A^-1A). A^T (A^T)^-1
[∵ (A^-1)^T = (A^T)^-1]
[∵ A^T-(A^T)^-1 = I]
= I.I = I

கேள்வி 3.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right]\), B = adj A மற்றும் C = 3A எனில், \(\frac{|\mathbf{a d j} \mathbf{B}|}{|\mathbf{C}|}\) =
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{1}{9}\)
(3) \(\frac{1}{4}\)
(4) 1
விடை:
(2) \(\frac{1}{9}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 4.


விடை:
(3) \(\left[\begin{array}{rr}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:

கேள்வி 5.

(1) A^-1
(2) \(\frac{\mathrm{A}^{-1}}{2}\)
(3) 3A^-1
(4) 2A^-1
விடை:
(4) 2A^-1
குறிப்பு:
9I-A = \(\left[\begin{array}{ll}
9 & 0 \\
0 & 9
\end{array}\right]\)–\(\left[\begin{array}{ll}
7 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{ll}
9-7 & 0-3 \\
0-4 & 9-2
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 7
\end{array}\right]\) = adj A
ஆனால் A^-1 = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\) adj A = \(\frac{1}{2}\) ⇒ adj A = 2A^-1

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
1 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
2 & 0
\end{array}\right]\) கொலை, |adj (AB)| =
(1) -40
(2) -80
(3) -60
(4) -20
விடை:
(2) -80
குறிப்பு:

|adj (AB)| = 8 – 88 = -80

கேள்வி 7.
P = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & x & 0 \\
1 & 3 & 0 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right|\) என்பது 3 × 3 வரிசையுடைய அணி A -ன் சேர்ப்பு அணி மற்றும் |A| = 4, எனில், x ஆனது
(1) 15
(2) 12
(3) 14
(4) 11
விடை:
(4) 11
குறிப்பு :
|adj A| = |A|^n-1

⇒ -6-x (-2) = 4² ⇒ -6 + 2x = 16
⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11

கேள்வி 8.
A= \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & 1 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 2 & -1
\end{array}\right]\) மற்றும் A^-1= \(\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\) எனில், a₂₃ – ன் மதிப்பானது
(1) 0
(2) -2
(3) -3
(4) -1
விடை:
(4) -1
குறிப்பு:

கேள்வி 9.
A, B மற்றும் C என்பன நேர்மாறு காணத்தக்கவாறு ஏதேனுமொரு வரிசையில் இருப்பின் பின்வருவனவற்றில் எது ! உண்மையல்ல?
(1) adj A= |A|A^-1
(2) adj (AB) = (adj A) (adj B)
(3) det A^-1 = (det A)^-1
(4) (ABC)^-1 = C^-1 B^-1 A^-1
விடை:
(2) adj (AB) = (adj A) (adj B)

கேள்வி 10.
(AB)^-1 = \(\left[\begin{array}{rr}
12 & -17 \\
-19 & 27
\end{array}\right]\) மற்றும் \(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
-2 & 3
\end{array}\right]\) எனில், B^-1=

விடை:
(1) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -5 \\
-3 & 8
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:
(AB)^-1 = B^-1A^-1 ஆதலால் கிடைப்பது
\(\left[\begin{array}{rr}
12 & -17 \\
-19 & 27
\end{array}\right]\) = B^-1\(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
-2 & 3
\end{array}\right]\)
X = B^-1Y என்க.

கேள்வி 11.
A^TA^-1, ஆனது சமச்சீர் எனில், A² =
(1) A^-1
(2) (A^T)^-1
(3) A^T
(4) (A^-1)²
விடை:
(2) (A^T)²
குறிப்பு:
⇒ A^TA^-1 = (A^TA^-1)^T
⇒ (A^-1)^T (A^T)^T = (A^-1)^TA
⇒ A = A^T ⇒ A சமச்சீர் அணி
∴ A² = (A^T)²

கேள்வி 12.
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும்
A^-1 = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-2 & -1
\end{array}\right]\) எனில், (A^T)^-1 =
(1) \(\left[\begin{array}{rr}
-5 & 3 \\
2 & 1
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-2 & -1
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -3 \\
2 & 5
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{ll}
5 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]\)
விடை:
(4) \(\left[\begin{array}{ll}
5 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:
(A^T)^-1 = (A^-1)^T= \(\left[\begin{array}{ll}
5 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]\)

கேள்வி 13.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\
x & \frac{3}{5}
\end{array}\right]\) மற்றும் A^T = A^-1 எனில், x -ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{-4}{5}\)
(2) \(\frac{-3}{5}\)
(3) \(\frac{3}{5}\)
(4) \(\frac{4}{5}\)
விடை:
(1) \(\frac{-4}{5}\)
குறிப்பு:
A^T = A^-1, AA^T = A^T A = 1
[∵ அவைகள் செங்குத்து]

[இருபுறமும் a, ஐ ஒப்பிட கிடைப்பது]
⇒ \(\frac{3x}{5}\) = \(\frac{-12}{25}\) × \(\frac{5}{3}\) = –\(\frac{4}{5}\)

கேள்வி 14.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & \tan \frac{\theta}{2} \\
-\tan \frac{\theta}{2} & 1
\end{array}\right]\) மற்றும் AB=I₂ எனில், B =

விடை:
(2) \(\left(\cos ^{2} \frac{\theta}{2}\right)\)A^T
குறிப்பு:

கேள்வி 15.
A= \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\) மற்றும் A(adj A) = \(\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{k} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \boldsymbol{k}
\end{array}\right]\) எனில், k =
(1) 0
(2) sin θ
(3) cos θ
(4) 1
விடை:
(4) 1
குறிப்பு:
A (adj A) = (adj A)A = |A| I என அறிவோம்
⇒ |A|=K
∴ K= \(\left|\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right|\) = cos²θ + sin²θ = 1

கேள்வி 16.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
5 & -2
\end{array}\right]\) மற்றும் λA^-1 = A எனில், λ – ன் மதிப்பு
(1) 17
(2) 14
(3) 19
(4) 21
விடை:
(3) 19
குறிப்பு :

கேள்வி 17.

(1) \(\left[\begin{array}{rr}
-7 & -1 \\
7 & -9
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{rr}
-6 & 5 \\
-2 & -10
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{rr}
-7 & 7 \\
-1 & -9
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{rr}
-6 & -2 \\
5 & -10
\end{array}\right]\)
விடை:
(2) \(\left[\begin{array}{rr}
-6 & 5 \\
-2 & -10
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:
adj (AB) = (adj B) (adj A)

கேள்வி 18.
\(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
-1 & -2 & -3 & -4
\end{array}\right]\) ன் அணித்தரம்
(1) 1
(2) 2
(3) 4
(4) 3
விடை:
(1) 1
குறிப்பு:

∴ தரமானது 1 [∵ ஒரே ஒரு அபூச்சிய நிரை]

கேள்வி 19.
x^a y^b = e^m, △₁ = \(\left[\begin{array}{cc}
m & b \\
n & d
\end{array}\right]\), △₂ = \(\left[\begin{array}{ll}
a & m \\
c & n
\end{array}\right]\), △₃ = \(\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|\) எனில், x மற்றும் y -ன் மதிப்புகள் முறையே.

விடை:
(4)
குறிப்பு :

கேள்வி 20.
பின்வருபனவற்றுள் எவை/எவைகள் உண்மை யானவை?
(i) ஒரு சமச்சீர் அணியின் சேர்ப்பு அணி சமச்சீராக இருக்கும்.
(ii) ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் சேர்ப்பு அணி மூலை விட்ட அணியாக இருக்கும்.
(iii) A என்பது n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணி மற்றும் λ என்பது ஒரு திசையிலி எனில் adj (λA) = λ” adj (A).
(iv) A(adjA) = (adj A) A = |A|I
(1) (i) மட்டும்
(2) (ii) மற்றும் (iii)
(3) (iii) மற்றும் (iv)
(4) (i), (ii) மற்றும் (iv)
விடை:
(4) (i) (ii) மற்றும் (iv)

கேள்வி 21.
ρ(A) = ρ([A|B|) எனில், AX = B என்ற நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
(1) ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வு பெற்றிருக்கும்
(2) ஒருங்கமைவுடையது
(3) ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்
(4) ஒருங்கமைவற்றது
விடை:
(2) ஒருங்கமைவுடையது

கேள்வி 22.
0 < θ ≤ π மற்றும் x + (sin θ)y – (cos θ)z = 0, (cos θ)x – y + z = 0, (sin θ)x + y – z = 0 மற்றும் தொகுப்பானது வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றிருப்பின், θ-ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{2 \pi}{3}\)
(2) \(\frac{3 \pi}{4}\)
(3) \(\frac{5 \pi}{6}\)
(4) \(\frac{\pi}{4}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi}{4}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 23.
ஒரு நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பின் விரிவுப்படுத்தப்பட்டஅணியானது \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 7 & 3 \\
0 & 1 & 4 & 6 \\
0 & 0 & \lambda-7 & \mu+5
\end{array}\right]\) மற்றும் தொகுப்பானது எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும் எனில்,
(1) λ =7, μ ≠ -5
(2) λ = -7, μ = 5
(3) λ ≠ 7, μ ≠ -5
(4) λ =7, μ = -5
விடை:
(4) λ =7, μ = -5
குறிப்பு:
λ = 7 மற்றும் μ ≠ -5 எனில்,
[A|B] = \(\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 7 & 3 \\
0 & 1 & 4 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
ρ(A) = ρ([A|B]) = 2 <3, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.

கேள்வி 24.
A= \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\) மற்றும் 4B = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & 1 & -1 \\
1 & 3 & x \\
-1 & 1 & 3
\end{array}\right]\) என்க. A-ன் நேர்மாறு B எனில், x -ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) 4
(3) 3
(4) 1
விடை:
(4) 1
குறிப்பு:
A =B^-1 ⇒ A . B = B^-1.B ⇒ AB =I

கேள்வி 25.

(1) \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{lll}
6 & -6 & 8 \\
4 & -6 & 8 \\
0 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{rrr}
-3 & 3 & -4 \\
-2 & 3 & -4 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1 \\
2 & -3 & 4
\end{array}\right]\)
விடை:
(1) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.3

கேள்வி 1.
ஒரு தளத்தில்
(i) நேர்க்குத்து அல்லாத நேர்க்கோடுகள்
(ii) கிடைமட்டம் அல்லாத நேர்க்கோடுகள் ஆகிய தொகுப்புகளின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) ஒருதளத்தில் நேர்க்குத்து அல்லாத நேர்க்கோடுகள் குடும்பத்தின் சமன்பாடு ax + by = 1, b ≠ 0, a ∈ ℝ.
‘X’-ஐப் பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
a + b\(\frac{d y}{d x}\) = 0
‘X’-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
\(b \frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 0 ⇒ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 0 [∵ b ≠ 0]

(ii) ஒரு தளத்தில் கிடைமட்டம் அல்லாத நேர்க்கோடுகள் குடும்பத்தின் சமன்பாடு ax + by = 1, a # 0, மற்றும் b ∈ ℝ.
‘y’-ஐப் பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
a\(\frac{d x}{d y}\) + b = 0
மீண்டும் ‘y’-ஐப் பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
a\(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}\) = 0 ⇒ \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}\) = 0 [∵ a ≠ 0]

கேள்வி 2.
x² + y² = r² எனும் வட்டத்தைத் தொடும் எல்லா நேர்க்கோடுகளின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
x² + y² = r² வட்டத்தை தொடுகின்ற கோடுகளின் குடும்பத்தின் சமன்பாடு y = mx + c என்க…………(1)
x² y² = r² என்ற வட்டத்திற்கு y = mx + c என்ற தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c² = r² (1 + m²)
c = \(r \sqrt{1+m^{2}}\) …… (2)
சமன்பாடு (2) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
y = mx + \(r \sqrt{1+m^{2}}\)
⇒ y – mx = \(r \sqrt{1+m^{2}}\) …….. (3)
(2) லிருந்து, \(\frac{d y}{d x}\) = m …….. (4)
(4) ஐ (3) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\(y-x\left(\frac{d y}{d x}\right)=r \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
\(\Rightarrow\left[y-x\left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{2}=r^{2}\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]\)

கேள்வி 3.
ஆதிப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும், மையத்தினை x-அச்சின் மீது கொண்ட எல்லா வட்டங்களின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
மையத்தினை x- அச்சின் மீது கொண்டுள்ளதால்,
(g, 0) மற்றும் ஆரம் g என்க.

வட்டத்தின் சமன்பாடு
(x – y)² + (y – 0)² = g²
⇒ x² – 2xg + g² + y² = g²
⇒ x² – 2xg + y² = 0 ……………. (1)
x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது, =
⇒ 2x – 2g(1) + \(2 y \frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ 2x + \(2 y \frac{d y}{d x}\) = 2g
⇒ x + \(y \frac{d y}{d x}\) = g ………….. (2)
சமன்பாடு (2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² – 2x\(\left(x+y \frac{d y}{d x}\right)\) + y² = 0
⇒ x² – 2x² – 2xy\(\frac{d y}{d x}\) + y² = 0
⇒ -x² – 2xy\(\frac{d y}{d x}\) + y² = 0
⇒ x² + 2xy\(\frac{d y}{d x}\) – y² என்பது தேவையான
வகைக்கெழு சமன்பாடு ஆகும்.

கேள்வி 4.
செவ்வகலம் 4a மற்றும் x-அச்சுக்கு இணையான அச்சுகளைக் கொண்டபரவளையத்தொகுப்பின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
செவ்வகலம் 4a மற்றும் X-அச்சுக்கு இணையான அச்சுகளைக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு
(y – k)² = 4d(x – h)
[(h, k) பரவளையத்தின் முனை]
‘x’ஐப் பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
2(y – k)y’ = 4a(1)
⇒ (y – k)y’ = 2a
⇒ yy’ – ky’ = 2a
⇒ \(\frac{y y^{\prime}-2 a}{y^{\prime}}\) = k
⇒ y – \(\frac{2 a}{y^{\prime}}\) = k ……..(1)
‘x’ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
yy” + y¹² – ky” = 0
k = y – \(\frac{2 a}{y^{\prime}}\); எனப் பிரதியிட கிடைப்பது,
yy” + y’² – y” ( y – \(\frac{2 a}{y^{\prime}}\))
= y y” + y’² – y y” + \(\frac{2 a y^{\prime \prime}}{y^{\prime \prime}}\)
y’ ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
y’³ + 2ay” = 0 என்பது தேவையான வகைக்கெழு சமன்பாடு,

கேள்வி 5.
முனை (0, 1) மற்றும் y- அச்சை அச்சாகவும் கொண்ட பரவளையக் குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
முனை (0, -1) மற்றும் Y-அச்சை அச்சாகவும் கொண்ட பரவளையக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு
(x – 0)² = 4a(y + 1)
⇒ x² = 4a(y + 1) …………. (1)
‘x’ஐப் பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
2x = 4a \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\)
⇒ 4a = \(\frac{2 x}{\frac{d y}{d x}}\) …………. (2)
சமன்பாடு (2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² = \(\frac{2 x}{y^{\prime}}(y+1)\)
⇒ x = \(\frac{2 x}{y^{\prime}}(y+1)\)
xy’ = 2(y+ 1)
xy’ = 2y+2
⇒ xy’ – 2y – 2 = 0.

கேள்வி 6.
ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் செல்லும், y- அச்சின் மீது குவியங்களையும் கொண்ட நீள்வட்டத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் y-அச்சின் மீது குவியங்களை கொண்ட நீள்வட்டத் தொகுதியின் சமன்பாடு

÷ yy’ கிடைப்பது, x² – \(\frac{x y^{2}}{y y^{\prime}}\) = b²
‘x’ ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
2x – \(\left[\frac{y^{\prime}\left(x y^{\prime}+y\right)-x y y^{\prime \prime}}{y^{\prime 2}}\right]\) = 0
⇒ 2xy’² – y'(xy’ + y) + xyy” = 0 [y’² ஆல் வகுக்க)]
⇒ 2xy’² – xy’² – yy’ + xyy” = 0s.
⇒ xy’² – yy’ + xyy” = 0

கேள்வி 7.
y = Ae^8x + Be^-8x எனும் சமன்பாட்டைக் கொண்ட வளைவரைக் குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
y = Ae^8x + Be^-8x ……. (1)
‘X’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\) = 8Ae^8x – 8Be^-8x
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 64Ae^8x + 64Be^-8x
= 64(Ae^8x + Be^-8x)
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 64y [(1)ஐ பயன்படுத்தி) என்பது
தேவையான வகைக்கெழு சமன்பாடு.

கேள்வி 8.
xy = ae^x + be^-x + x² எனும் சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படும் வளை வரையின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
xy = ae^x + be^-x +x² …….(1)
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது.
xy + y = ae^x – be^-x + 2x
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
xy” + y’ + y = ae^x + be^-x + 2
⇒ xy” + 2y – 2 = ae^x + be^-x
⇒ xy” + 2y – 2 = xy – x^x [(1) → xy – x^x = ae^x + be^-x]
⇒ xy” + 2y’ + x^x – xy – 2 = 0 என்பது தேவையான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.