Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.2

கேள்வி 1.
மூன்று சீரான நாணயங்கள் ஒரே நேரத்தில் சுண்டப்படுகின்றன. கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கைக்கான நிகழ்தகவு நிறை சார்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
X என்பது தலைகளின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.

p(x = 0)
p(தலை இல்லை) = p(TTT)= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)

p(x = 1) = p(1 தலை) = p(THT, HTT, TTH)
= \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)
∵ p(H) = \(\frac{1}{2}\) p(T) = \(\frac{1}{2}\)

p(x = 2) = p(2 தலைகள்) = p(HHT, HTH, THH)
= \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

p(x = 3) = p(3 தலைகள்) = p(HHH) = \(\frac{1}{8}\)
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0,1, 2, 3.
நிகழ்தகவு நிறை சார்பு

கேள்வி 2.
ஓர் அறுபக்க பகடையின் ஒரு பக்கத்தில் ‘1’ எனவும், இரு பக்கங்களில் ‘3’ மூன்று எனவும், மற்றும் ஏனைய மூன்று பக்கங்களில் ‘5’ எனவும் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. பகடை இருமுறை வீசப்படுகிறது. இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறது.

(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
(iii) P(4 ≤ X < 10)
(iv) P(X ≥ 6)
தீர்வு:
பகடையின் மீதுள்ள எண்கள் 1, 3, 3, 5, 5, 5 இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறதெனில், அது எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 2, 4, 6, 8, 10.
கூறுவெளி S

கூறுவெளி S -சிலிருந்து நமக்கு கிடைப்பது

p(x = 2) = \(\frac{1}{36}\)
p(x = 4) = \(\frac{4}{36}\)
p(x = 6) = \(\frac{10}{36}\)
p (x = 8) = \(\frac{12}{36}\)
p(x = 10) = \(\frac{9}{36}\)

(i) நிகழ்தகவு நிறைச்சார்பு

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
F(x)x = p(x ≤ x)
F(2) =\(\frac{1}{36}\)
F(4) = \(\frac{1}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) = \(\frac{5}{36}\)
F(6) = \(\frac{1}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) + \(\frac{10}{36}\) = \(\frac{15}{36}\) = \(\frac{5}{12}\)
F(8) = \(\frac{15}{36}\) + \(\frac{12}{36}\) = \(\frac{27}{36}\) = \(\frac{9}{12}\) = \(\frac{3}{14}\)
F(10) = \(\frac{27}{36}\) + \(\frac{9}{36}\) = \(\frac{36}{36}\) = 1
∵ குவிவு பரவல் சார்பு
F(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<2 \\
\frac{5}{36}, & x \leq 2 \\
\frac{5}{12}, & x \leq 0 \\
\frac{3}{4}, & x \leq 8 \\
1, & x \leq 10
\end{array}\right.\)

(iii) p(4 ≤ x < 10) = p(x = 4) + p(x = 6) + p(x = 8)
= \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{5}{18}\) + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{2+5+6}{18}\) = \(\frac{13}{18}\)

(iv) p(r ≥ 6) = p(x = 6) + p(x = 8) + (p = 10)
= \(\frac{5}{18}\) + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{31}{36}\)

கேள்வி 3.
மகன் மற்றும் மகளுக்கு சமவாய்ப்பு நிகழ்தகவுகள் எனக் கருதி 4 குழந்தைகள் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள மகள்களின் எண்ணிக்கைக்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பினையும் குவிவு பரவல் சார்பினையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி = {4 குழந்தைகள்}
கொடுக்கப்பட்ட P(G) = P(B) = \(\frac{1}{2}\)
X குடும்பத்தில் உள்ள மகள்களின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.
P(x = 0) = P(மகள் இல்லை)
= P(BBB) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{16}\)

P(x = 1) = P(1 மகள்)
= 4C₁ × P = 4 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(x = 2) = P(2 மகள்கள்)
= 4C₂ × P(GGBB)
= \(\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)

P(x = 3) = P(3 மகள்கள்)
= 4C₃ × P(GGGB)
= 4 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)

P(x = 4) = P(4 மகள்கள்)
= P(GGGG) = \(\frac{1}{16}\)
நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4}, & x=1,3 \\
\frac{1}{16}, & x=0,4 \\
\frac{3}{8}, & x=2
\end{array}\right.\)
குவிவு பரவல் சார்பு
F(0) = \(\frac{1}{16}\)
F(1) = \(\frac{1}{16}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{16}\)
F(2) = \(\frac{5}{16}\) + \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{5}{16}\) + \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{11}{16}\)
F(3) = \(\frac{11}{16}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{11}{16}\) + \(\frac{4}{16}\) = \(\frac{15}{16}\)
F(4) = \(\frac{15}{16}\) + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{16}{16}\) = 1
F(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{0}{16}, & x<0 \\
\frac{1}{16}, & x \leq 0 \\
\frac{5}{16}, & x \leq 1 \\
\frac{11}{16}, & x \leq 2 \\
\frac{15}{16}, & x \leq 3 \\
1, & x \leq 4
\end{array}\right.\)

கேள்வி 4.
ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி 0, 1, மற்றும் 2 மதிப்புகளை மட்டுமே கொள்ளும் என்க.

(i) k – இன் மதிப்பு
(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
(iii) P(X ≥ 1) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1,2.
ஆதலால் f (x) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு.

⇒ \(\frac{8}{k}\) = 1
⇒ k = 8
∵ f(x) = \(\frac{x^{2}+1}{k}\)
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(ii)
F(0) = \(\frac{1}{8}\)
F(1) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)
F(2) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{2}{8}\) + \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{8}{8}\) = 1
குவிவு பரவல் சார்பு

(iii) p(x ≥ 1) = p(x = 1) + p(x = 2) = \(\frac{2}{8}\) + \(\frac{5}{8}\)
p(x ≥ 1) = \(\frac{7}{8}\)

கேள்வி 5.
F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
0 & -\infty<x<-1 \\
0.15 & -1 \leq x<0 \\
0.35 & 0 \leq x<1 \\
0.60 & 1 \leq x<2 \\
0.85 & 2 \leq x<3 \\
1 & 3 \leq x<\infty
\end{array}\right.\)
எனக்கொடுக்கப்பட்ட ஒருதனிநிலைசமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு சார்பிற்கு
(i) நிகழ்தகவு சார்பு
(ii) P(X ≥ 1) மற்றும்
(iii) P(X ≥ 2).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
0 & -\infty<x<-1 \\
0.15 & -1 \leq x<0 \\
0.35 & 0 \leq x<1 \\
0.60 & 1 \leq x<2 \\
0.85 & 2 \leq x<3 \\
1 & 3 \leq x<\infty
\end{array}\right.\)
சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக்கொள்ளும் மதிப்புகள் -1, 0, 1,2,3
X என்ற தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியிலிருந்து
f(x) = p(X = x)
∴ f(-1) = p(X = -1) = F(-1) – F(0)
= 0.15-0 = 0.15
f(0) = p(X = 0) = F(0) – F(-1)
0.35 -0.15 = 0.20
f(1) = p(X = 1) = F(1) – F(0)
0.60-0.35 = 0.25
f(2) = p(X = 2) = F(2) – F(1)
= 0.85-0.60 = 0.25
f(3) = p(X = 3) = F(3) – F(2)
= 1-0.85 = 0.15

(i) ∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(ii) p(X < 1)
= p(X = -1) + p(X = 0) = 0.15 +0.20 = 0.35

(iii) p(X ≥ 2)
= p(X = 2) + p(X = 3) = 0.25 + 0.15 = 0.40

கேள்வி 6.
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

எனில்
(i) k மதிப்பு
(ii) P(2 ≤ X < 5)
(iii) P(3 < X) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(i) f(x) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு ஆதலால்
\(\sum_{i=1}^{5}\) f(x_i) = 1
⇒ k² + 2k² + 3k² + 2k + 3k = 1
⇒ 6k² + 5k = 1
⇒ 6k² + 5k – 1 =0
⇒ (k+ 1)(6k – 1) = 0
⇒ k=-1 அல்ல து k = \(\frac{1}{6}\) [∵ k = -1 என்பது சாத்தியமில்லை]
⇒ k = \(\frac{1}{6}\)

(ii) p(2 ≤ x < 5)
= p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4)
= 2k² + 3k² + 2k = 5k² + 2k
= 5(\(\frac{1}{36}\)) + 2(\(\frac{1}{6}\)) = \(\frac{5}{36}\) + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5+12}{36}\) = \(\frac{17}{36}\)

(iii) p(3 < x) = p(x > 3)
= p(x = 4) + p(x = 5) = 2k + 3k = 5k
= 5(\(\frac{1}{6}\)) = \(\frac{5}{6}\)

கேள்வி 7.
F(x) =
என்பது ஒரு தனிநிலை – சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பு எனில்
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
(ii) P(X < 3) மற்றும்
(iii) P(X = 2).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பு f(x) =

(i) சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3, 4.
தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறிக்கு நம்மிடம்
f(x) = p(X = x)
∴ f(0) = F(0) = \(\frac{1}{2}\)
f(1) = F(1) – F(0)
= \(\frac{3}{5}\) – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{6-5}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)

f(2) = F(2) – F(1)
= \(\frac{4}{5}\) – \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)

f(3) = F(3) – F(2)
= \(\frac{9}{10}\) – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{9-8}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)

f(4) = F(4) – F(3)
= 1 – \(\frac{9}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)
∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேரியச்சமன்பாட்டுத்தொகுப்புகளை நேர்மாமாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க:
(i) 2x + 5y = – 2, x + 2y = -3
(ii) 2x – y = 8,3x + 2y = – 2
(iii) 2x+3y-z=9, x+y+z=9, 3x-y-z=-1
(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x-4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13.
தீர்வு:
(i) 2x + 5y=-2, x + 2y =-3
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
= \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\) = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
⇒ AX = B இங்கு
A = \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\), B = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
X = \(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\)
⇒ X = A^-1B

∴ தீர்வுகணம் {-11, 4}

(ii) 2x – y = 8, 3x+2y=-2
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\)
B = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B.
இப்பொழுது |A|= \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\) = 4 + 3 = 7

∴ x = 2, y = – 4
எனவே, தீர்வுகணம் {2,-4}

(iii) 2x+3y-z=9, x+y+7=9, 3x-y-7=-1.
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\),
X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B



∴ x= 2, y = 3, z = 4
∴ தீர்வு கணம் {2,3,4}

(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x -4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A =\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\)
X = \(\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B

=1 (-8 – 10) – 1 (12 – 25) + 1 (12 + 20)
= 1 (-18) – 1 (- 13) + 1 (22) =-18 + 13 +32= 27



∴ x = 3, y = -2, z = 1
∴ தீர்வு கணம் {3,-2, 1}

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\), எனில் பெருக்கற்பலன் AB மற்றும் BA காண்க. இதன் மூலம் x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2 என்ற நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\).
B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)


ஆகையால் AB = BA = 4.I₃ என அறிவோம்.
⇒ (\(\frac{1}{4}\)A)B = B(\(\frac{1}{4}\)A) = I
⇒ B^-1 = \(\frac{1}{4}\) = I
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது,


∴ x = 2, y = 1, z =-1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1,-1}.

கேள்வி 3.
ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட மாத ஊதியத்தில் ஒரு பணியில் அமர்த்தப்படுகிறார். ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஒரு நிலையான ஊதிய உயர்வு அவருக்கு வழங்கப்படுகிறது. 3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹19,800 மற்றும் 9 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹23,400 எனில் அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் மற்றும் ஆண்டு உயர்வு எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x+9y= 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
1 & 9
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{l}
19800 \\
23400
\end{array}\right]\)


∴ x= 18000, y = 600.
எனவே அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹ 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹600.

கேள்வி 4.
ஆடவரும் 4 மகளிரும் சேர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட வேலையை 3 நாட்களில் செய்து முடிப்பார்கள். அதே வேலையை 2 ஆடவரும் 5 மகளிரும் சேர்ந்து 4 நாட்களில் முடிப்பார்கள். எனில் அவ்வேலையை ஓர் ஆடவர் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனித்தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு எத்தனை நாட்களாகும் என்பதை நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க.
தீர்வு:
ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
\(\frac{4}{x}\) + \(\frac{4}{y}\) = \(\frac{1}{3}\) மற்றும் \(\frac{2}{x}\) + \(\frac{5}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{x}\) = s மற்றும்
\(\frac{1}{y}\) = t என பிரதியிடு
∴ 4s + 4t = \(\frac{1}{3}\)

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம்



ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து ! முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

கேள்வி 5.
A, B மற்றும் C என்ற பொருட்களின் விலை ஓர் அலகிற்கு முறையே ₹x, y, மற்றும் 7 ஆகும். P என்பவர் B-ல் 4 அலகுகள் வாங்கி, A-ல் 2 அலகையும் C-ல் 5 அலகையும் விற்கிறார். Q என்பவர் C-ல் 2 அலகுகள் வாங்கி A-ல் 3 அலகுகள் மற்றும் B-ல் 1 அலகையும் விற்கிறார். R என்பவர் A-ல் 1 அலகை வாங்கி , B-ல் 3 அலகையும் C அலகில் ஒரு அலகையும் விற்கிறார். இவ்வணிகத்தில் P, Q மற்றும் R முறையே ₹ 15,000,11,000 மற்றும் 14,000 வருமானம் ஈட்டுகின்றனர் எனில் A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை ₹x, ₹y மற்றும் ₹z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x – 4y + 5z = 15000
3x+y-2z = 1000
-x+ 3y + z = 4000
சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் அணி வடிவம்

= 2 (1 + 6) + 4 (3 – 2) +5 (9+ 1)
= 2 (7) + 4 (1) + 5(10) = 14+4+ 50 = 68.



∴x = 2000, y = 1000, z = 3000.
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலைகள் முறையே ₹2000, ₹1000 மற்றும் ₹3000 ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.1

கேள்வி 1.
X என்பது மூன்று சீரான நாணயங்களை ஒரே சமயத்தில் ஒரு முறைச் சுண்டும் போது விழும் பூக்களின் எண்ணிக்கை என்க. சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க
தீர்வு:
மூன்று சீரான நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டும்
போது கூறுவெளி S = {HHH, HHT, THH, HTH, HTT, THT, TTH, TTT}
இங்கு X என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.
X (0 பூ) = {HHH} = 1
X (1 பூ) = {HHT, THT, HTH} = 3
X (2 பூக்கள்) = {HTT, THT, TTH} = 3
X (3 பூக்கள்) = {TTT} = 1
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3.

கேள்வி 2.
52 சீட்டுகட்டுகளை உடைய ஒரு சீட்டுக்கட்டிலிருந்து இரு சீட்டுகள் ஒரே சமயத்தில் சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்படுகின்றன. அவ்வாறு எடுக்கப்பட்ட சீட்டுகள் கருப்பாக இருப்பின் சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி s == {26 கருப்பு சீட்டுகள், 26 சிவப்பு சீட்டுகள்}
X எடுக்கப்பட்ட கருப்பு சீட்டுகள் என்க.
X (கருப்பு சீட்டு இல்லை) = 26 × 25 = 650
இரண்டு சிவப்பு சீட்டுகள் எடுத்தல்)
X (1 கருப்பு சீட்டு) = 26 × 26 = 676 [1 கருப்பு சீட்டு மற்றும் சிவப்பு சீட்டு]
X (2 கருப்பு சீட்டுகள்) = 26 × 25 = 650 (இரண்டு கருப்பு சீட்டுகள் எடுத்தல்]
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2.

கேள்வி 3.
ஒரு கூடையில் 5 மாங்கனிகள் மற்றும் 4 ஆப்பிள்கள் உள்ளன. அதிலிருந்து மூன்று பழங்கள் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. அவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கும் பழங்கள் ஆப்பிள்கள் எனில், சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு. பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {5 மாங்கனிகள், 4 ஆப்பிள்கள்}
X எடுக்கப்பட்ட ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கை

கேள்வி 4.
6 சிவப்பு மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் உள்ள ஒரு கொள்கலனிலிருந்து இரு பந்துகள் ! சீரான முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. ! அவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிவப்பு பந்திற்கும் ₹ 15 வெல்வதாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு கருப்பு பந்திற்கும் ₹ 10 தோற்பதாகவும் கொள்க. வெல்லும் தொகையை X குறிப்பதாகக் கொண்டால் X – இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {6R, 8B}.
X வெல்லும் தொகையை குறிக்கிறது என்க.
X (சிவப்பு பந்து) = ₹15, X (கருப்பு பந்து) = -₹10
X (இரண்டும் சிவப்பு பந்துகள்) = 2 (15) = ₹ 30
X (1 சிவப்பு மற்றும் | கருப்பு பந்து) = 15 – 10 == ₹5
X (இரண்டும் கருப்பு பந்துகள்) = 2 (-10) =-₹ 20.
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 30, 5, -20.

X இன் நேர்மாறு பிம்பம் (இரண்டும் சிவப்பு பந்துகள் )
6C₂ = \(\frac{\not 6 \times 5}{\not{2} \times 1}\) = 15
ஒன்று சிவப்பு மற்றும் ஒன்று கருப்பு பந்தின் நேர்மாறு
பிம்பம் = 6C₁ × 8C₁ = 48
X இன் நேர்மாறு பிம்பம் (இரண்டும் கருப்பு பந்துகள்) = 8C₂
= \(\frac{\not 8 \times 7}{\not{2} \times 1}\) = 28.

கேள்வி 5.
ஆறு பக்க பகடை ஒன்றின் ஒரு பக்கத்தில் ‘2’ எனக் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் இரண்டு பக்கங்களில் ‘3’ எனவும், மீதமுள்ள மூன்று பக்கங்களில் ‘4’ எனவும் உள்ளது. இருமுறை பகடை உருட்டப்படுகிறது. X என்பது இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத் தொகையை குறிக்கிறது எனில், X-இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S= {(2, 2) (2, 3) (2, 3) (2, 4) (2, 4) (2, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 3) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 3) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4)}
இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத் தொகை X என்க.
19 சுராவன் 12 ஆம் வகுப்பு – கணதவியல் நகாத
X (4) = {(2, 2)} = 1
X (5) = {(2, 3) (2, 3) (3, 2) (3, 2)} = 4
X (6) = {(2, 4) (2, 4) (2, 4) (3, 3) (3, 3) (3, 3) (3, 3) (4, 2) (4, 2) (4, 2)}
X (7) = {(3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (4, 3) (4, 3)(4, 3) (4, 3) (4, 3) (4, 3)}
X (8) = {(4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4)}

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2

கேள்வி 1.
p என்பது “ஜுபிடர் ஒரு கோளாகும்” மற்றும் q என்பது “இந்தியா ஒரு தீவு”. பின்வரும் கூற்றுகளுக்குரிய வார்த்தைகளுடன் கூடிய வாக்கியங்களை அமைக்க.
(i) p
(ii) p ∧ ¬q
(iii) ¬p ∨ q
(iv) p → q
(v) p ↔ q
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டp : ஜூபிடர் ஒரு கோளாகும் மற்றும் q : இந்தியா ஒரு தீவு
(i) ¬p: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல.
(ii) p ∧ ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் மற்றும் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(iii) p ∨ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல அல்லது இந்தியா ஒரு தீவு.
(iv) p → ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(v) p ↔ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு.

கேள்வி 2.
p மற்றும் ஏ என்ற கூற்று மாறிகளைக் கொண்டு பின்வரும் ஒவ்வொரு வாக்கியத்தையும் குறியீட்டு அமைப்பில் எழுதுக.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.
(iii) 19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல.
தீர்வு:
p: 19 ஒரு பகா எண்
q : ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ¬p ∧ 4 முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ ¬q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமமில்லை .
(iii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல ¬p.

கேள்வி 3.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்.
(iii) 5 + 5= 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
தீர்வு:
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க.
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
p: 6 + 2 = 5 என்க .
q : பாலின் நிறம் வெண்மை என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது ???? என்பதால் p → q -ன் மெய் மதிப்பு ???? ஆகிறது.

(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்
p : சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது என்க.
q : \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
p ∨ q இன் மெய்மதிப்பு ???? ஏனெனில் இரண்டு கூற்றுகளின் முடிவுகளும் ????.

(iii) 5 + 5 = 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
P: 5 + 5 = 9 என்பது மெய்
q : பூமி ஒரு கோள் என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது ???? என்பதால் ¬p ∨ q -ன் மெய் மதிப்பு 1 ஆகிறது.

(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
p: 11 ஒரு பகா எண்.
q : செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது ???? என்பதால் p ∨ q-ன். மெய்மதிப்பு ???? ஆகிறது.

கேள்வி 4.
பின்வரும் வாக்கியங்களில் எது கூற்று?
(i) 4 + 7 = 12
(ii) நீ என்ன செய்து கொண்டிருக்கிறாய்?
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ
(iv) மயில் நமது தேசிய பறவை
(v) இந்த மலை எவ்வளவு உயரம்!
தீர்வு:
வாக்கியங்கள்
(i) 4 +7 = 12
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ மற்றும் 1.
(iv) மயில், நமது தேசிய பறவை என்ற கூற்றுகள் மெய் அல்லது பொய்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் கூற்றுகள் சம்பந்தமான மறுதலை, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மாறுகளை எழுதுக.
(i) x , y என்ற எண்க ள் x = y, என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் .x² = y²
(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர் இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
தீர்வு:
(i) x , y என்ற எண்கள் x = y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x² = y²
மறுதலைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² = y² என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x = y மறுதலைக் ! கூற்று
எதிர்மறைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x ≠ y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர்.x² ≠ y² எதிர்மறைக் கூற்று
நேர்மாறுக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² ≠ y² என்றவாறு ! உள்ளது எனில், பின்னர் x² ≠ y² நேர்மாறுக் கூற்று.

(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர், இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
மறுதலைக் கூற்று:
ஒரு நாற்கரம் ஒரு செவ்வகம் எனில், பின்னர் இது ஒரு சதுரமாகும்.
எதிர்மறைக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது செவ்வகமும், இல்லை .
நேர்மாறுக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது சதுரமும் இல்லை .

கேள்வி 6.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மை – அட்டவணைகளை அமைக்க.
(i) ¬p ∧ ¬q
(ii) ¬(p ∧ ¬q)
(iii) (p ∨ q) ∨ ¬q
(iv) (¬p → r) ∧ (p ↔ q)
தீர்வு:
(i) –p ∧ ¬q

கேள்வி 7.
பின்வரும் கூட்டு கூற்றுகளில் எவைகள் மெய்மம் அல்லது முரண்பாடுகள் அல்லது நிச்சயமின்மை என்று காண்க.
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)
(ii) (p ∨ q) ∧ ¬p → q
(iii) (p → q) ↔ (-p → 4)
(iv) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
தீர்வு:
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)

கேள்வி 8.

தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (7), ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.
:. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

கேள்வி 9.
q → p ≡ ¬p → ¬q என நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளன.
q → p = ¬p → ¬q.

கேள்வி 10.
p → q மற்றும்பு q → p ஆகியவைகள் சமானமற்றவை எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (4) ஒரே விதமாக இல்லை

கேள்வி 11.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளது.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q

கேள்வி 12.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → p) என்பது ஒரு மெய்மம் அல்லது ஒரு முரண்பாடு எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகள் p → (q → p)
= p → (¬q ∨ p)
[∴ எடுத்துக்காட்டு 12.17ன் படி p → q = ¬p ∨ q]
= (¬p) ∨ (¬q ∨ p) (மீண்டும் எடுத்துக்காட்டு 12.17]
= (¬p ∨ -q) ∨ p (சேர்ப்பு விதி)]
= (¬p ∨ p) ∨ ¬q [பரிமாற்று விதி)]
= ???? ∨ ¬q [¬p ∨ p மெய்மம்)]
= ???? [ ???? ∨ -q] மெய்மம்

கேள்வி 13.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p என்ற கூற்றுகள் தர்க்க சமானமானவை எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p.

நிரல் (5) மற்றும் (7) நிரல் ஒரே விதமாக உள்ளது.
∴ ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும்d ¬p தர்க்க சமமானவை.

கேள்வி 14.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → r) = (p ∧ q) → r என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
நிரூபிக்க p → (q → r) = (p ∧ q) → r உதாரணம் 12.17லிருந்து p → q = ¬p ∨ q என அறிவோம் …………..(1)
LHS = p → (q → r) எனக் கொள்க.
= p → (¬q ∨ r) [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
= =p ∨ (¬q ∨ r) [மீண்டும் (1) ஐ பயன்படுத்தி]
= (¬p ∨ ¬q) ∨ r [சேர்ப்புப்பண்பை பயன்படுத்தி]
= ¬(p ∧ q) ∨ r (டீமார்கனின் விதியைப் பயன்படுத்தி]
= (p ∧ q) → r [(1) -ஐ பயன்படுத்தி]
= RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r) என்பதை மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல் (6) மற்றும் நிரல் (8) ஒரே விதமாக உள்ள ன.
∴ p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.1

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் * ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியா எனத் தீர்மானிக்க .
(i) ℝ-ன் மீது a * b = a . |b|
(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5} – ன் மீது a * 5 = (a, b) -ல் சிறியது.
(iii) ℝ -ன் மீது (a*b) = a \(\sqrt{b}\)
தீர்வு:
(i) ℝ -ன் மீது a = a . |b|
கொடுக்கப்பட்ட ℝ -ன் மீது a* b = a • |b| a, b ∈ ℝ என்க
பிறகு a * b = a. |b| ∈ ℝ.
ஆதலால் a • |b| = ab, b> 0 எனில்
= -ab, b < 0 எனில்
∴ a * (b) = a . |b| ∈ ℝ
ஆம் * ஆனது ℝ-ன் மீதான ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5} – ன் மீது a * b = (a, b) -ல் சிறியது.
a, b ∈ A என்க
பிறகு (a, b) -ல் சிறியது. = a அல்லது b மற்றும் a, b ∈ A
∴ a * b = (a,b)-ல் சிறியது ∈ A
ஆம் * ஆனது ℝ-ன் மீதான ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

(iii) ℝ -ன் மீது (a * b) = a \(\sqrt{b}\)
a, b = ℝ என்க [∴ குறை எண்களின் வர்க்க மூலம் ℝ-ல் இல்லை]
a * b = a \(\sqrt{b}\) = ℝ, b < 0 எனில்
எனவே* ஆனது ℝ-ன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

கேள்வி 2.
ℤ -ன் மீது ⓧ என்ற செயலி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. (m ⓧ n)=mⁿ + n^m: ∀m, I n ∈ ℤ. *ஆனது -ன் மீது அடைவுப் பண்பை பெற்றுள்ளதா?
தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட m ⦻ n = mⁿ + n^m ∀m, n ∈ ℤ m, n ∈ ℤ என்க .
m = -3, n = 2 எனக் கொள்க.
∴ m ⓧ n = (-3)² + 2^-3
= 9 + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{72+1}{8}\) = \(\frac{73}{8}\) ∉ ℤ
∴ ⓧஆனது, ℤ-ன் மீது அடைவு பெறவில்லை .

கேள்வி 3.
ℝ-ன் மீது * ஆனது (a*b) = a + b + ab – 7 என வரையறுக்கப்பட்டால் * ;ℝ – ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், 3 * (\(\frac{-7}{15}\)) காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a* b = a + b + ab – 7

கேள்வி 4.
A = {a + \(\sqrt{5}\) b: a,b ∈ ℤ} என்க. வழக்கமான பெருக்கல் A -ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகுமா என பரிசோதிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = {a + \(\sqrt{5}\)b, a, b ∈ z}
C = a + \(\sqrt{5}\) b என்க
B = c + \(\sqrt{5}\) d ∈ A
இங்கு a, b, c, d ∈ ℤ
∴ C . B = (a + \(\sqrt{5}\) b). (c + \(\sqrt{5}\) d)
= ac + \(\sqrt{5}\) ad + cb \(\sqrt{5}\) + 5bd
= (ac + 5 bd) + \(\sqrt{5}\) (ad + bc) = A [∵ ac + 5 bd ∈ ℤ மற்றும் ad + bc ∈ ℤ]
∴ C. B ∈ A Va, b, c, d, ∈ ℤ
∴ வழக்கமான பெருக்கல் A-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

கேள்வி 5.
(i) *என்ற ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ℚ -ன் மீது பின்வருமாறு வரையறுக்கப் படுகிறது. இந்த * ஆனது, அடைவுப் பண்பு, பரிமாற்றுப் பண்பு . சேர்ப்புப் பண்பு ஆகியவற்றை நிறைவு செய்கிறதா எனச் சோதிக்க
a*b=(\(\frac{a+b}{2}\)); ∀a, b ∈ ℚ.
(ii) *ஆனது, சமனிப் பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவை, ℚ -ன் மீது உண்மையாகுமா எனச் சோதிக்க.
a*b=(\(\frac{a+b}{2}\)); ∀ a, b ∈ ℚ
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a* b = \(\frac{a+b}{2}\) ∀a. b ∈ ℚ.
(i) அடைவுப் பண்பு :
a, b ∈ ℚ என்க
∴ a * b = \(\frac{a+b}{2}\) ∈ ℚ
[∵ கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ℚ-ல் அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது]
ℚ-ல் * அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது.

(ii) பரிமாற்றுப் பண்பு
a, b = ℚ என்க.
பிறகு a * b = \(\frac{a+b}{2}\) = \(\frac{b+a}{2}\) = b * a
∴ a * b = b * a ∀a, b ∈ ℚ
∴ Qஇல் * பரிமாற்றுப் பண்புடையதாகும்.

சேர்ப்புப் பண்பு
a, b, c ∈ ℚ என்க
a * (b * c) = (a * b) * c
a = 2, b = 3, c =-5 என்க
∴ a * (b * c) = 2 * (3 * -5)
= 2* (\(\frac{3-5}{2}\))
= 2 * (-1) = \(\frac{2+(-1)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) …..(1)

(1) மற்றும் (2)லிருந்து, a * (b * c) = (a * b) * c
∴ ℚ இல் * சேர்ப்புப் பண்பு இல்லை.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட a * b = \(\frac{a+b}{2}\), இங்கு a, b ∈ ℚ
a, b ∈ ℚ என்க
a * e = e * a = a என்ற உறுப்பை பின்வருமாறு காண வேண்டும்.
a = 5 என்க, பிறகு 5 * e = 5

சமனி உறுப்பு ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாறுவதால், ℚ-வில் சமனி உறுப்பு இல்லை
∴ * க்கு ℚ -வில் சமனி பண்பு இல்லை .
∴ * க்கு ℚ- வில் எதிர்மறை பண்பு இல்லை .
எனவே சமனி மற்றும் எதிர்மறை பண்பு ஈருறுப்பு செயலி * க்கு இல்லை .

கேள்வி 6.
* என்ற ஈருறுப்புச் செயலி ஆனது A = {a, b, c} என்ற கணத்தின் மீது பரிமாற்று விதிக்கு கட்டுப்பட்டால் பின்வரும் பட்டியலைப் பூர்த்தி செய்க.

தீர்வு:
A இல் கொடுக்கப்பட்ட * பரிமாற்று பண்புடையது
கொடுக்கப்பட்ட b * a = c ⇒ a * b = c
கொடுக்கப்பட்ட c * a = a ⇒ a * c = a
கொடுக்கப்பட்ட b * c = a ⇒ c * b = a
எனவே

கேள்வி 7.
A = {a, b, c, d} என்ற கணத்தின் மீது * என்ற ஈருறுப்புச் செயலியை பின்வரும் பட்டியலுடன் கருதுக.

இது மாற்றுப்பண்பு மற்றும் சேர்ப்புப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளதா?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = {a, b, c, d} மற்றும் * பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

அட்டவணையிலிருந்து
(i) a * b = C மற்றும் ba = d
⇒ A இல் * பரிமாற்று பண்பை பெறவில்லை .
(ii) a * (b * c) = (a * b) * C என்பதை சரிபார்க்க
⇒ a * (b) = c * c
⇒ c # a
∴ A இல் * ஆனது சேர்ப்பு பண்பை நிறைவு செய்யவில்லை.

கேள்வி 8.
A = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\), B = \(\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\), C = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right)\) என்பவைகள் ஒரே மாதிரியான வகையினை உடைய ஏதேனும் மூன்று பூலியன் அணிகள் எனில்,
(i) A ∨ B
(ii) A ∧ B
(iii) (A ∨ B) ∧ C
(iv) (A ∧ B)∨C
ஆகியவைகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\),

கேள்வி 9.
(i) M = \(\left\{\left(\begin{array}{ll}
x & x \\
x & x
\end{array}\right): x \in \mathbb{R}-\{0\}\right\}\) என்க.
* என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M-ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில்,
* ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

(ii) M = \(\left\{\left(\begin{array}{ll}
x & x \\
x & x
\end{array}\right): x \in \mathbb{R}-\{0\}\right\}\)* என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க.
* ஆனது M -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில்,
* ஆனது M -ன் மீது சமனிப்பண்பு, மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனவும் சோதிக்க. மற்றும் * என்பது அணி பெருக்கல்
தீர்வு:

∴ M இல் * ஆனது அடைவுப் பண்புடையது.
பரிமாற்று பண்பு

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A * B = B * A
∴ M-ல் *க்கு பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு .
சேர்ப்புப் பண்பு



∴ M இல் அடைவுப் பண்பு நிறைவு செய்யப்படுகிறது.
சமனி 2 × 2 அணிகளின் சமனி I = \(\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\) ∉ M
∴ M இல் *க்கு சமனி உறுப்பு இல்லை .
எதிர்மறை :
சமனி உறுப்பு இல்லை எனவே எதிர்மறை பண்பும் இல்லை .

கேள்வி 10.
(i) A = ℚ\{1} என்க. A-ன் மீது* பின்வ ருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. xy = x + y – xy.
* ஆனது A-ன்மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A-ன் மீது
* ஆனது பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

(ii) A = Q\{1} என்க. A-ன் மீது * பின்வ ருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.xy = x + y – xy.
* ஆனது A -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A-ன் மீது
* ஆனது சமனிப்பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட A = {Q\ {1}}
x * y = x + y – xy
எனுமாறு A இல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x, y ≠ 1 என்க
∴ x * y = x + y – xy
இங்கு x + y – xy # 1
x + y -.xy = 1 என்க
x + y – xy – 1 = 0
(x – 1) – y(x – 1) = 0
(x – 1) (1 – y) = 0
x = 1 அல்லது y = 1 இது தவறாகும். [∵ x, y # 1]
∴ நமது அனுமானம் தவறு.
∴ x + y – xy # 1
A இல் * ஆனது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி.
பரிமாற்றுப் பண்பு
x, y ∈ A ⇒ x, y # 1 என்க .
∴ x * y = x + y – xy’
மற்றும் y * x = y + x – yx
⇒ x + y = y * x ∀x, y ∈ A .
*க்கு A இல் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு.
சேர்ப்புப் பண்பு x, y, z ∈ A ⇒ x, y, z + 1 என்க .
கருது (x * y) * z = (x + y – xy) * z
= x + y – xy + z – (x + y – xy)z
= x + y – xy + z – xz – yz +xyz
= x + y + z – xy – yz – zx + xyz ………….. (1)
= x + y + z – yz – x (y + z – yz)
= x + y + z – yz – zy – xz + xyz …..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x * y) * z = x * (y * z) A இல் *க்கு சேர்ப்புப் பண்பு உண்டு.

(ii) சமனிப் பண்பு
e ∈ A என்ற உறுப்பை பின்வருமாறு காண வேண்டும்.
a * e = e * a = a
⇒ a + e – ae = a
⇒ e – ae = 0
⇒ e(1 – a) = 0
⇒ e = \(\frac{0}{1-a}\) = 0 ∈ A
* க்கு A இல் சமனி உண்டு .

எதிர்மறை பண்பு
ஒவ்வொரு a ∈ Aக்கும் a’ ∈ A ஆனது பின்வருமாறு
உள்ள து a * d’ = a’ * a = e
⇒ a + a’ – aa’ = 0 [∵ e = 0]
⇒ a + a'(1 – a) = 0
⇒ a'(1 – a) = -a
a’ = \(\frac{-a}{1-a}\)
நிரூபிக்க \(\frac{-a}{1-a}\) ≠ 1
\(\frac{-a}{1-a}\) = 1 என்க
⇒ -a = 1 – a
⇒ -a – a + a = 1 ⇒ 0 ≠ 1
∴ நமது அனுமானம் தவறு.
⇒ \(\frac{-a}{1-a}\) ≠ 1
∴ x ∈ Aக்கு A இல் எதிர்மறை பண்பு உண்டு.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் அணிகளுக்கு சிற்றணிக்கோவையை பயன்படுத்தி அணித்தரம் காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -4 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 3 \\
4 & -7 \\
3 & -4
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & -1 & 0 \\
3 & -6 & -3 & 1
\end{array}\right]\)
(iv) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -6 \\
5 & 1 & -1
\end{array}\right]\)
(v) \(\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 3 \\
8 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -4 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\)

A ஒரு 2×2 வரிசை அணி
∴ \(\rho\)(A) ≤ (2, 2) – மீச்சிறு = 2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின்
உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
இது \(\left|\begin{array}{rr}
2 & -4 \\
-1 & 2
\end{array}\right|\) = 4 – 4 = 0
ஆகையால், \(\rho\)(A)<2
அடுத்து 1 வரிசையுடைய சிற்றணிக்
கோவையை தேர்வு செய்வோம் |2| = 2≠0
∴ \(\rho\)(A) = 1

(ii) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 3 \\
4 & -7 \\
3 & -4
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 3 \\
4 & -7 \\
3 & -4
\end{array}\right]\) என்க .
A ஒரு 3 × 2 வரிசை அணி
∴ ρ(A) ≤ (3, 2) -ன் மீச்சிறு = 2
A -ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின்
உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
அது \(\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & -7
\end{array}\right|\) = 7-12 =-5 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2.

(iii) \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & -1 & 0 \\
3 & -6 & -3 & 1
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & -1 & 0 \\
3 & -6 & -3 & 1
\end{array}\right]\) என்க.
A ஒரு (2 × 4) வரிசை அணி
∴ ρ(A) ≤ (2, 4) -ன் மீச்சிறு = 2
A-ன்பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவைகளின்
உச்சவரிசை 2 ஆகும்.
அது \(\left|\begin{array}{ll}
1 & -2 \\
3 & -6
\end{array}\right|\) = – 6+6 =0

∴ ρ(A) = 2.

(iv) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -6 \\
5 & 1 & -1
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -6 \\
5 & 1 & -1
\end{array}\right]\) என்க.
A ஒரு 3 × 3 வரிசை அணி
∴ ρ(A) ≤ (3, 3) – ன் மீச்சிறு = 3
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவைகளின்
உச்சவரிசை 3 ஆகும்.
அது, |1 -2 3)

[R₁.- ன் மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
= 1 (-4+ 6) + 2 (- 2 + 30) + 3 (2 – 20)
= 1 (2) + 2 (28) + 3 (- 18) = 2 + 56 – 54 = 58 – 54 = 4≠0
∴ ρ(A) = 3.

(v) \(\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 3 \\
8 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 3 \\
8 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right]\) என்க.
A ஒரு 3 × 4 வரிசை அணி
∴ ρ(A) ≤ (3, 4)- ன் மீச்சிறு = 3
A-ன்பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவைகளின்
உச்ச வரிசை 3
=-8 (6 – 4) = – 8(2) =-16≠0
∴ ρ(A) = 3

கேள்வி 2.
பின்வரும் அணிகளுக்கு ஏறுபடி வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி அணித்தரம் காண்க :
(i) \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 4 \\
5 & -1 & 7 & 11
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & 2 \\
1 & -2 & 3 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{rrrr}
3 & -8 & 5 & 2 \\
2 & -5 & 1 & 4 \\
-1 & 2 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 4 \\
5 & -1 & 7 & 11
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 4 \\
5 & -1 & 7 & 11
\end{array}\right]\) என்க

கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A) = 2.

(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & 2 \\
1 & -2 & 3 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & 2 \\
1 & -2 & 3 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\) என்க.


கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. மூன்று அபூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A) = 3

(iii) \(\left[\begin{array}{rrrr}
3 & -8 & 5 & 2 \\
2 & -5 & 1 & 4 \\
-1 & 2 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
Let A = \(\left[\begin{array}{rrrr}
3 & -8 & 5 & 2 \\
2 & -5 & 1 & 4 \\
-1 & 2 & 3 & -2
\end{array}\right]\)


கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவில் அமைந்துள்ளது. மூன்று அப்பூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A) = 3

கேள்வி 3.
பின்வரும் அணிகளுக்கு காஸ்-ஜோர்டன் நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேர்மாறு காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
5 & -2
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
6 & -2 & -3
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 8
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{ll}
2 & -1 \\
5 & -2
\end{array}\right]\)

காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது

(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
6 & -2 & -3
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
6 & -2 & -3
\end{array}\right]\) என்க.
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 8
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 8
\end{array}\right]\) என்க
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.2

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் பின் வரும் வலை வரைகளுக்கும் தொடு கோட்டின் சாட்யினைக் பாண்க.
(i) y = x⁴ + 2x² – x, x = 1
(ii) x = a cos³ t, y = sin³ t, t = \(\frac{\pi}{2}\)
தீர்வு:
(i) y = x⁴ + 2x² – x, x = 1
கொழிக்கப்பட்ட y = x⁴ + 2x² – x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ + 4x – 1
x = 1 ம் தோற்கோட்டின் சாய்வு
m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=1)}\)
= 4(1)³ + 4(1) – 1
= 4 +4 – 1 = 7
∴ m = 7

(ii) x = a cos³ t, y = sin³ t, t = \(\frac{\pi}{2}\)
கொடுக்கப்பட்டா x = a cos³ t; y = sin³ t
\(\frac{d x}{d t}\) = -3a cos² t sin t;
\(\frac{d y}{d t}\) = -3b sin² t cos t;
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{3 b \sin ^{2} t \cos t}{-3 a \cos ^{2} t \sin t}=\frac{-b}{a} \tan t\)
t = \(\frac{\pi}{2}\) என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வு
m = \(\)
= \(\frac{-b}{a}\) tan \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{-b}{a}\) × ∞ = ∞
∴ m = ∞

கேள்வி 2.
y = x² – 5x + 4 என்ற வளைவரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு 3x + y = 7 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கம்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பாரடி y = x² – 5x + 4 மற்றும் கோடு 3x+y=7
வாையரைக்கான தொாபோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 5
கோட்டின் சாய்வு = m₂ = \(\frac{d y}{d x}\) = -3

வளைவளை மற்றும் தொடுகோட்டின் சாய்வு சமம்
∴ m₁ = m₂
⇒ 2x – 5 = -3
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
x = 1 இக சாய்து
y = x² – 5x + 4 இடைட்டது
y = 1² – 5(1) + 4 = 0
∴ தேவையான புரிகள் (1, 0)

கேள்வி 3.
y = x³ – 6x² + x + 3 போன்ற வளை வரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x + y = 1729 என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்?
நீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட எனைவரை x³ – 6x² + x + 3
மற்றும் மோர் x + y = 1729
சளைகாரங்க தொர்கோட்டின் சாப்பு
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 12x + 1
வளைவறையின் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{-1}{3 x^{2}-12 x+1}\)
நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₂ = \(\frac{-1}{1}\) = -1
வளைவரைக்கான செங்கோடு மற்றும் நோக்கோடுகள்
m₁ = m₂
\(\frac{-1}{3 x^{2}-12 x+1}\) = – 1
3x² – 12x + 1 = 1
3x² – 12x = 0
3x(x – 4) = 0
x = 0 x = 4
x= 0 எனில், y = 0³ – 6(0)² + 0 + 3
y = 3 [1) விருந்து]
x = 4 எனில், y = 4³ – 6(4)² + 4 + 3
= 64 – 96 + 7 = -25
∴ (0, 3) மற்றும் (4.–25) தேவையான புள்ளிகள்

கேள்வி 4.
y² – 4xy = x² + 5 என்ற வளைவரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும்?
தீர்வு:
கோழிக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
y² – 4xy = x² + 5 ………… (1)
‘x’ ஆல் வகைப்படுத்த கிடைப்பது

வரைவரைக்கான தொடுகோடு கடைமட்டம் ஆதலால்
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{x+2 y}{y-2 x}\) = 0
⇒ x + 2y = 0
⇒ x = -2y ……….. (2)
(2) and (1)ல் பிரதிட்ட கடைப்பது
⇒ y² – 4(-2y)y = (-2y)² + 5
⇒ y² + 8y² = 4y² + 5
⇒ 9y² = 4y² + 5
⇒ 5y² = 5
⇒ y² = 1
⇒ y = ±1
(2) விருந்து,
y = 1 எனில், x = -2
y = -1 எனில், x = 2
∴ தேவையான புள்ளிகள் (2, -1) மற்றும் (-2, 1)

கேள்வி 5.
கீழ்க்கண்ட வளை வரைகளின் மீது’ கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் தொடுகோடு மற்றும் செய்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
(i) y = x² – x⁴; (1, 0)
(ii) y = x⁴ + 2e^x; (0, 2)
(iii) y = x sin x; (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{2}\))
(iv) x = cost, y = 2sin² t; t = \(\frac{\pi}{3}\)
தீர்வு:
(i) y = x² – x⁴; (1, 0)

தொடுக்காட்டின் சமன்பார் y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 0 = -2(x – 1)
⇒ y = -2x + 2
⇒ 2x + y = 2
செங்கோட்டின் சமன்பாடு)- y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\)(x – x₁)
⇒ y – 0 = \(\frac{1}{2}\)(x – 1)
⇒ 2y = x – 1
⇒ x – 2y = 1

(ii) y = x⁴ + 2e^x; (0, 2)

தொடுப்பாட்டின் சாட்வு y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 2 = 2 (x – 0)
⇒ y – 2 = 2x
⇒ 2x – y = -2
செங்கோட்டின் சாய்வு y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\)(x – x₁)
⇒ y – 2 = \(\frac{1}{2}\)(x – 0)
⇒ 2y – 4 = -x
⇒ x + 2y = 4

(iii) y = x sin x; (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{2}\))
கோர்க்கப்பட்ட அனைவரையின் சமன்பாடு y = x sin x

(iv) x = cost, y = 2sin² t; t = \(\frac{\pi}{3}\)
கொடுக்கப்பட்ட போயாவரையின் சமன்பாடு
x = cos t; y = 3 sin² t

கேள்வி 6.
y = 1 + x³ என்ற வளைவரைக்கும் x + 12y = 12 என்ற கோட்டிக்கு செங்குத்தாக உள்ள தொடு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க, .
தீர்வு:
வெறுக்கப்பட்ட வரைமின் சமன்பாடு
y = 1 + x³ மர்மம் கோர்ட் x + 12y = 12
வளைவரைபின் தொடுகோடின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{d y}{d x}\) = 3x² மற்றும்
கோட்டின் சாய்வு = m₂

வளைவரைக்கான தொடுகோடு மற்றும் நேர்க்கோடு சொய்கத்து ஆதமாம் m₁ m₂ = -1
∴ 3x² (\(\frac{-1}{12}\)) = -1
⇒ \(\frac{x^{2}}{4}\) = 1
⇒ x² = 4
⇒ x = ±2
x = 2 எனில், y = 1 + 2³ = 9
x = -2 எனில், y = 1 + (-2)³
= 1 – 8 = -7
∴ (2, 9) ல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y – 9 = 12 (x – 2) [∵ m₁ = 3x² = 3(2)² = 12]
⇒ y – 9 = 12x – 24
⇒ 12x – y = 15
(-2, -7) -ல் தொடுகோட்டின் சமன்பார்
y + 7 = 12(x + 2)
⇒ y + 7 = 12x + 24
⇒ 12x – y = -17

கேள்வி 7.
y = \(\frac{x+1}{x-1}\) என்ற வளைவரைக்கு x + 2y = 6 என்ற கோட்டிக்கு இணையாக உள்ள தொடு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட மாளவரைபின் சமன்பார்.
y = \(\frac{x+1}{x-1}\) மற்றும் கோடு x + 2y = 5 .
வளைவரைக்கான தொர்கோட்டின் சாப்பு

வளைவரைக்கான தொடுகோடு மற்றும் கோடுகள்
m₁ = m₂
⇒ \(\frac{-2}{(x-1)^{2}}\) = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ 4 = (x + 1)²
⇒ x – 1 = ±2
⇒ x – 1 = 2 அல்லது x – 1 = -2
⇒ x = 3 அல்லது x = – 1
⇒ x = -1 எனில், y = \(\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}\) = 2
⇒ x = – 1 (அல்லது)
y = \(\frac{-1+1}{-1-1}=\frac{0}{-2}\) = 0
∴ (3, 2)-ல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 2 = \(\frac{-1}{2}\)(x – 3)
⇒ 2y – 4 = -x + 3
⇒ x + 2y = 7
(-1,0 ) தொடுக்காட்டின் சமன்பாற்
y – 0 = \(\frac{-1}{2}\)(x + 1)
⇒ 2y = -x – 1
x + 2y = -1

கேள்வி 8.
x = 7 cos t மற்றும் y = 2 sin t, t ∈ ℝ என்ற வளைவரைக்கு ஏதேகம் – புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுபோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. தீர்வு:
கோர்க்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு

∴ வாைகரையில் எந்த பள்ளிக்கான தொட்கோட்டின்
சமன்பாடு y – 2 sin t = \(\bar{A}\) (x – 7 cos t)
⇒ (-7 sin t) y + 14 sin² t = (2 cos t)x – 14 cos² t
⇒ (2 cos t)x + (7 sin t)y
= 14(sin² t + cos² t)
= 14(1) = 14
⇒ (2 cos t)x + (7 sin t)y = 14
வளைவறையின் ஒத புsirefiதமான செங்கத்தின் சமன்பாடு y – 2 sin t = \(\frac{7 \sin t}{2 \cos t}\) (x – 7 cos t)
⇒ (2 cos t)y – 4 sin t cos t = (7 sin t)x – 49 sin t cos t
⇒ (7 sin t)x – (2 cos t)y = 49 sin t cos t – 4 sin t cos t
⇒ (7 sin t)x – (2 cos t)y = 45 sin t cos t

கேள்வி 9.
xy = 2 என்ற செவ்வக அதிபரவளையத்திற்கும் x² + 4y = 0 என்ற பரவளையத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தினைக் காண்க.
தீர்வு:
செவ்வக அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு xy = 2
⇒ y = \(\frac{2}{x}\)
⇒ x . \(\frac{d y}{d x}\) + y (1) = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-y}{x}\)
வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு m₁ = \(\frac{-y}{x}\)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² + 4y = 0 …… (1)
⇒ 2x + 4 \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-2 x}{4}=\frac{-x}{2}\)
வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு m₂ = \(\frac{-x}{2}\)
(1) ஐ (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 4 (\(\frac{2}{x}\)) = 0 ⇒ x² + \(\frac{8}{x}\) = 0
⇒ x³ + 8 = 0
⇒ x = -8= (-2) ⇒ x = -2
⇒ x = -2, y = –\(\frac{-2}{2}\) = -1
செவ்வக அதிபரவளையத்திற்கும் மற்றும் பரவளையத்திற்கான வெட்டும் புள்ளி (-2, -1)
∴ m₁ = \(\frac{-y}{x}=\frac{-(-1)}{-2}=\frac{-1}{2}\)
m₂ = \(\frac{-x}{2}=\frac{-(-2)}{2}=1\)
அதிபரவளையம் மற்றும் செவ்வக அதிபரவளைத்திற்கான கோணம் θ என்க.

கேள்வி 10.
x² – y² = r² மற்றும் xy = c² என்ற வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. இங்கு c, r ஆகியவை மாறிலிகள்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடுகள் x² – y² = r² மற்றும் xy = c²
x² – y² = r²
⇒ 2x – 2y \(\frac{d y}{d x}\) = 0 .
⇒ 2x = 2y\(\frac{d y}{d x}\),
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x}{2 y}=\frac{x}{y}\)
வளைவரைகளின் வெட்டும் புள்ளி (x₁, y₂,) என்க.
∴ முதல் வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின்
சாய்வு m₁ = \(\frac{x_{1}}{y_{1}}\) ……….. (1)
⇒ xy = c²
⇒ x . \(\frac{d y}{d x}\) + y (1) = 0
⇒ x \(\frac{d y}{d x}\) = – y
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-y}{x}\)
∴ முதல் வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின்
சாய்வு m₂ = \(\frac{-y_{1}}{x_{1}}\) ……….. (1)
கருது m₁m₂ = \(\left(\frac{x_{1}}{y_{1}}\right)\left(\frac{-y_{1}}{x_{1}}\right)\) = -1
ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட m₁m₂ = -1 வளை வரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் அணிகளுக்குச் சேர்ப்பு அணி காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
-3 & 4 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
(iii) \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
-3 & 4 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)

[தன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டமல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]

(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)

(iii) \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]\)

∴ தேவையான அணியின் சேர்ப்பு

= \(\frac{3}{9}\left[\begin{array}{rrr}
2 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 2
\end{array}\right]\)
[ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 3 ஐ பொதுவில் எடுக்க]
= \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr}
2 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 2
\end{array}\right]\)

கேள்வி 2.
பின்வரும் அணிகளுக்கு நேர்மாறு (காண முடியுமெனில்) நேர்மாறு காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)
A= \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)என்க
|A| = \(\left|\begin{array}{cc}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right|\) = 6 – 4 = 2 ≠ 0
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
A^-11 = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\)adj A
இங்கு adj A = \(\left[\begin{array}{rr}
-3 & -4 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக)]
∴ A^-1 = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}
-3 & -4 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)

(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) என்க
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
|A| = 5\(\left|\begin{array}{ll}
5 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 5(25 – 1) -1 (5- 1) + 1 (1- 5)
= 5(24) – 1 (4) + 1 (-4)
= 120-4-4 = 120- 8 = 112 ≠ 0
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை எனில் Aசாத்தியம்.

ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்தும் 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\) என்க.
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
|A| = 2\(\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
7 & 2
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
3 & 7
\end{array}\right|\)
= 2 (8-7) – 3 (6-3) +1 (21 – 12)
= 2 (1) – 3(3) + 1 (9)
= 2 – 9 + 9 = 2 ≠ 0
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால்
A^-1 சாத்தியம்

கேள்வி 3.

தீர்வு:

F(α) ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால்,

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\) எனில், A² – 3A – 7I₂ = O₂, எனக்காட்டுக. இதன் மூலம் A^-1 காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
∴ A² – 3A – 7I₂ = 0
பின்புறமாக A^-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A². A^-1-3AA^-1 7I₂A^-1 = 0.A^-1
⇒ A(AA^-1) – 3 (AA^-1)-7(A^-1) = 0
[∵ I₂, A^-1 = A^-1 மற்றும் |(0)A^-1=0]
⇒ AI-3I – 7A^-1= 0 [∵AA^-1 = I]
⇒ AI – 3I = 7A^-1 [∵AI = A]

கேள்வி 5.
A=\(\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rrr}
-8 & 1 & 4 \\
4 & 4 & 7 \\
1 & -8 & 4
\end{array}\right]\) எனில், A^-1=A^T நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A =
\(\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rrr}
-8 & 1 & 4 \\
4 & 4 & 7 \\
1 & -8 & 4
\end{array}\right]\)



(2) பிரதியிட கிடைப்பது,

(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, A^T = A^-1

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
8 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\). எனில் A(adj A) = (adj A) A=|A| I₂ என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{cc}
8 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\)
adj A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற]
|A| = 24 – 20 = 4

(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A (adj A) = (adj A) A = |A|I₂
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 7.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
7 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும் B= \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -3 \\
5 & 2
\end{array}\right]\) என (AB)^-1 = B^-1A^-1 என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:

|AB| = -77+90=13+0 ⇒ (AB)^-1 காணலாம்.
|A| = 15 – 14 = 1≠0 ⇒ A^-1 காணலாம்
|B| = -2 + 15 = 13+0 ⇒ B^-1 காணலாம்

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
(AB)^-1 = B^-1A^-1. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
adj (A) = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -4 & 2 \\
-3 & 12 & -7 \\
-2 & 0 & 2
\end{array}\right]\), எனில் A – ஐ காண்க .
தீர்வு:

= 2 (24-0) + 4 (-6- 14) + 2 (0 + 24)
= 2 (24) + 4 (- 20 ) + 2 (24) = 48 – 80 + 48 )
= 96 – 80 = 16 …. (2)
இங்கு , adj (adj A)


(2) மற்றும் (3) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

கேள்வி 9.
adj (A) = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & -2 & 0 \\
6 & 2 & -6 \\
-3 & 0 & 6
\end{array}\right]\) எனில் A^-1 -ஐ காண்க.
தீர்வு:

கேள்வி 10.

தீர்வு:

கேள்வி 11.

தீர்வு:

[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற]

கேள்வி 12.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{rr}
14 & 7 \\
7 & 7
\end{array}\right]\)
தீர்வு:

கேள்வி 13.
AXB = C எனில், X என்ற அணியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
2 & 0
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{array}\right]\), மேலும், AXB = C
A^-1 ஆல் முன்புறம் பெருக்க கிடைப்பது,
(A^-1A) X B = A^-1C
⇒ XB = A^-1C. [∵ A^-1A = I]
B^-1 ஆல் பின்புறம் பெருக்க கிடைப்பது
(XB) B^-1 = (A^-1C) B^-1
⇒ X = (A^-1C) B^-1

கேள்வி 14.
A=\(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\) எனில் A^-1= \(\frac{1}{2}\left(A^{2}-3 I\right)\) எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)


(1) மற்றும் (2)லிருந்து, A^-1= \(\frac{1}{2}\left[\mathrm{~A}^{2}-3 \mathrm{I}\right]\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
\(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) என்ற அணியை பிந்தையப் பெருக்கல் சங்கேத மொழியாக்க அணியாகக் கொண்டு [2 -3] [20 4] என்ற பெறப்பட்ட \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\)-ன நோமாறு அணியின் பிந்தையப் பெருக்கற் சாவியாகக் கொண்டு சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்க. இங்கு ஆங்கில எழுத்துகள் A – Z -க்கு முறையே எண்க ள் 1 – 26 ஐயும், காலியிடத்திற்கு எண் 0 ஐயும் பொருத்தி சங்கேத மொழியாக்கம் மற்றும் மொழிமாற்றம் செய்க.
தீர்வு:
சங்கேத மொழியாக்குதலுக்கான A=\(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) என்க.

ஆகையால் பெருக்கற் சாவி அணி \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-2 & -1
\end{array}\right]\)

சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்யப்பட்ட நிரை அணிகளின் வரிசை பின்வருமாறு
[8 5], [12 16]

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.1

கேள்வி 1.
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து t வினாடிகளுக்குப் பிறகு ஒரு துகள் உள்ள தூரத்தின் அளவு s = 2t² + 3t மீட்டர் எனும்படி நேர்க்கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) t = 3 மற்றும் t = 6 வினாடிகளுக்கிடையே டள்ள சராசரி திசைவேகம் என்ன?
(ii) t = 3 மற்றும் t = 6 வினாபாத்திடையே உள்ள கணப்பொழுது திசைவேகம் என்ன?
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட s = 2t² + 3t
s(3) = 2 × 3² + 3(3)
= 2 × 9 + 9
= 27 மீ …(1)
s(6) = 2 × 6² + 3(6)
= 72 + 18 = 90மி …(2)
சராசரி திசைபோம் = \(\frac{s(6)-s(3)}{6-3}=\frac{90-27}{3}\)
= \(\frac{63}{3}\) = 21 மீ/வினாடி

(ii) கணப்பொழுது திசைவேகம்
V(t) = \(\frac{d s}{d t}\) = 4t + 3
t = 3 இல் கணப்பொழுது திசைமேகம்
= V(3) = 15 மீ/வினாடி [ (1) இலிருந்து]
t = 6 இம் காப்பொழுது திாைபேகம்
= V(6) = 27 மீ/வினாடி [ (2) இலிருந்து]

கேள்வி 2.
400 அடி உயர மலை உச்சி முகட்டிலிருந்து தவாதயாக ஒரு புகைப்படக் கருவி வீழுகியது. t வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி விடும் தூரம் s = 16t² ஆகும்,
(i) தரையைத் தொடும் முன்னர் புகைப்படக் கருவி விடி எடுத்துக்கொண்ட நேரம் என்ன?
(ii) இடி விழுந்த இறுதி 2 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவியின் சரபரி திசைவேகம் என்ன?
(iii) தரையைத் தொடும் போது புகைப்படக் கருவியின் கணப்பொழுது திசைவேகம் என்ன ?
தீர்வு :
(i) கொர்க்கப்பட்ட s(t) = 16t²
உயரம் – 400 அடி
16t² = 400
⇒ t² = \(\frac{400}{16}=\frac{100}{4}\)
t² = 25
t = 5 வினாடி

(ii) சராளி நிலாபேகம் = \(\frac{d s}{d t}\) = 32t
இறுதி t = 2 வினாடிகளில்

(iii) கணப்பொழுது திசைவேகம்
= \(\frac{d s}{d t}=\) = 32t
இக்கா t = 5 வினாடி
திலைபேகம் = \(\frac{d s}{d t}=\) = 32(5)
= 160 அடிவினாடி

கேள்வி 3.
s(t) = 2t³ – 9t² + 12t – 4, இங்கு t > equal 0 எனும் விதிப்படி ஒரு கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) எந்நேரங்களில் துகளின் திசைமாறுகின்றது?
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் என்ன?
(iii) திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும் தேரங்காய் பால்காம் துகளின் முடுக்கம் கான்க?
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட s(t) = 2t³ – 9t² + 12t – 4, t > equal 0.
(i) வகைப்படுத்த கூடப்பது,
V(t) = 6t² – 18t + 12 …(1)
= 6(t²– 3t + 2)
= 6(t – 1)(t – 2)
இங்கு V(t) = 0
⇒ 6(t – 1)(t – 2) = 0
⇒ t = 1, 2
V(t) யின் தறி மாறும் பொழுது துகளின் திசை மாறுகின்றது.
0 ≤ t < 1 எனில், (t – 1) மற்றும் (t – 2) இரண்டும் < 0 ⇒ V(t) > 0
1 < t < 2 னில், (t – 1) > 0 மற்றும் (t – 2) < 0
⇒ V(t) < 0 t > 2 யில், both (t – 1) மாறும் (t – 2) அன்ற ம் > 0
⇒V(t) > 0
∴ t = 1 மற்றும் t = 2 வினாடியாரில் பயான் திசை மாறன்ற து.

(ii) முகம் 4 கோடிகளில் சகன் யணித்த பம்
|s(0) – s(1)| + |s(1) – s(2)| + |s(2) – s(4)|
s(0) = -4
s(1) = 2(1)³ – 9(1)² + 12(1) – 4
= 2 – 9 + 12 – 4 = 1
s(2) = 2 x 2³ – 9 x 2² + 12 x 2 – 4
= 16 – 36 + 24 – 4 = 0
s(4) = 2(4)³ – 9(4)² + 12(4) – 4
= 128 – 144 + 48 – 4 = 28
∴ |s(0) – s(1)| + |s(1) – s(2)| + |s(2) – s(4)|
= |-4 – 1| + |1 – 0| + |0 – 28|
= |-5| + |1| + |0 – 28|
= 5 + 1 + 28 = 34 மீ

(iii) முடுக்கம் A = 12t – 18 [வடுக்கம் = \(\frac{d v}{d t}\)]
t = 1 எனில்,
மாதகம் = 12 (1) – 18 = -6 மீ/வினாடி²
t = 2 எனில்,
முடுக்கம் – 12 (2) – 18 = 6 மீ/வினாடி²

கேள்வி 4.
x பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கன சதுரத்தின் கன அளவு v = x³ பாலில் x = 5 கலகள் எனம் போது x -அப் பொறுத்து கன அளவு மாறுவிதம்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட v = x³
x பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது,
\(\frac{d v}{d x}\) = 3x²

கேள்வி 5.
x நீளமுள்ள (மீட்டரில்) ஒரு மெல்லிய கோலின் நிறை m(x) ( கிலோகிராமில்), m(x) = \(\) பானக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ானில், x = 3 மற்றும் x = 27 மீட்டர் எனும் போது நீளத்தைப் பொறுத்து நிறையின் மாறுபாட்டு வீதத்தை காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட m(x) = \(\sqrt{3 x}\)=\(\sqrt{3}\) . x^{\({\frac{1}{2}}\)}
x பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது,

கேள்வி 6.
ஒரு குளத்தில் விழுந்த கல்லினால் பொது மைய வட்டங்களின் வடிவத்தில் சிலைகள் ஏற்படுகின்றது. வெளிப்பு சிந்தமையின் ஆரம் r வினாடிக்கு 2 செ மீவீதம் அதிகரிக்கிறது. ஆரம்
5 செ.மீ. பனும் போது கலங்கும் நீரின் பரப்பாவு மாறுவீதம் என்ன?
தீர்வு:
சிற்றலையின் ஆரம் r மற்றும் பரப்பு A கொ.
டுக்கப்பட்ட \(\frac{d r}{d t}\) = 2 செ.மீ/ வினாடி மற்றும்
r = 5 2 செ.மீ …(1)
A = πr² என்பது

கேள்வி 7.
கடற்கரையிலிருந்து 5 கி.மீ தூரத்தில் கப்பல் நங்கூரமிடப்பட்டுள்ளது. கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒரு விளக்கு ஒவ்வொரு 10 வினாடிகளுக்கு ஒரு முறை சுற்றுகிறது. கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒளிக்கற்றை கடற்கரையுடன் 45° கோணத்தை ஏற்படுத்தும் போது கடற்கரையில் ஒளிக்கற்றை எவ்வளவு வேகமாக நகரும்?
தீர்வு:
கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒருவாக்கும்பொரு 10 வினாடிக்கு (360°) இம் சுற்றுவதால்

கேள்வி 8.
தலை கீழாக வைக்கப்பட்ட ஒரு நேர்வட்ட கூம்பின் வடிவில் உள்ள ஒரு நீர்நிலைத் தொட்டியின் ஆழம் 12 மீட்டர் மற்றும் மேலுள்ள வட்டத்தின் பாரம் 5 மீட்ட ளன்க, நிமிடத்திற்கு 10 கன மீட்டர் வேகத்தில் நீர் பாய்ச்சப்படுகிறது எனில், 8 மீட்டர் ஆழத்தில் நீர் இருக்கும் போது நீரின் ஆழம் அதிகரிக்கும் வேகம் என்ன?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட h = 12 மீ
r = 5 மீ

V என்பது கூம்பின் கன அளவு
பாத் உச்சிக் கோணம் α

கேள்வி 9.
17 மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு ஏணி செங்குத்தான சுவரில் சாய்த்து வைக்கப்பட்டுள்ளது. ரணியின் அடிப்பக்கம் சுவற்றிலிருந்து விலகிச் செல்லும் விதம் வினாடிக்கு 5 மீட்டர் எனில் ரணியின் அடிப்பக்கம் சுவற்றிலிருந்து 8 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கும் போது,
(i) அதன் உச்சி என்ன வீதத்தில் கீழ்நோக்கி இயங்கும் என்பதைக் காண்க.
(ii) எந்த விதத்தில், ஏணி, சுவர் மற்றும் தரை ஆகியவத்மால் உருவாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மாறுகிறது?
தீர்வு:
(i) OA = x பாம் OB = y வருமாறு காமம் t மில் ஏணி ABமின் நிமையாகும்.

எனவே OA² + OB² = AB²
⇒ x² + y² =17² …(1)
கொடுக்கப்பட்ட \(\) = 5 மற்றும் x = 8
x = 8 எனில், 8² + y² = 17²
⇒ y² = 289 – 64 = 225
⇒ = 15
‘t’ யை பொறுத்து (1) யை பாகப்படுத்தக்கூடப்பது,

∴ வணியின் உச்சி கீழ் நோக்கி இறங்கும் விதம் \(\frac{-8}{3}\)மீ/வினாடி.

(ii) ஏணி, கார் மற்றும் தரை ஆகியவற்றால் உருவாகும் வாங்கோண முக்கோணம்
∴ ப்படிப்பு = \(\frac{1}{2}\)xy
‘t’ யை பொறுத்து வகையீட கிடைப்பது.

கேள்வி 10.
வடதிசையிலிருந்து ஒரு செங்கோண சந்திப்பை அரும் ஒரு காவல்துறை வாகனம் வேகமாகச் சென்று திரும்பி கிழக்கு நோக்கிச் செல்லும் ஒரு மகிழுத்தை காத்துகிறது. சாலை சந்திப்பின் வடக்கே 0.6 கி.மீ நொணயலில் காவல்துறையின் வாகனமும் கிழக்கே 0.8 கி.மீ தொலைவில் மகிழுந்தும் உள்ள பொழுது, மின்காந்த அலைக் காலியின் துணைகொண்டு பாவங்கனை தங்களது வாகனத்திற்கும் மகிழுத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் மணிக்கு 20 கி.மீ வீதத்தில் அதிகரிக்கிறது எனத் தீர்மானிக்கின்றனர். காவல்துறை வாகனம் மணிக்கு 60 கி.மீ வேகத்தில் நகர்கிறது எனில் மகிழுத்தின் வேகம் என்ன?
தீர்வு:

x குறிப்பது மகிழ்ந்து கடந்த தூரம் y குறிப்பது காவல்துறை கடாக வாகனம் மற்றும் s குறிப்பது பாகனம் மற்றும் மகிழுந்து இடையேயான தூரம் அரும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட = x = 0.8 கி.மீ, y = 0.6 கி.மீ,

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.3

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினை | கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும் :

கேள்வி 1.
ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி S என்ற ஒரு கணத்தின் மீது ஒரு சார்பாக பின்வருவனவற்றிலிருந்து பெறப்படுகிறது
(1) S → S
(2) (S × S) → S
(3) S →(S × S)
(4) (S× S) → (S × S)
விடை:
(2) (S × S) → S

கேள்வி 2.
கழித்தலின் கீழ் பின்வரும் கணம் அடைவு பெறவில்லை .
(1) ℝ
(2) ℤ
(3) ℕ
(4) ℚ
விடை:
(3) ℕ

கேள்வி 3.
பின்வருபவைகளில் எது ℕ-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.
(1) கழித்த ல்
(2) பெருக்கல்
(3) வகுத்தல்
(4) அனைத்தும்
விடை:
(2) பெருக்கல்

கேள்வி 4.
மெய் எண்க ளின் கணம் ℝ – ன் மீது ‘*’ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் எது ℝ-ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?
(1) a * b = min (a.b)
(2) a * b = max (a, b)
(3) a * b = a
4) a * b = a^b
விடை:
(4) a * b = a^b
குறிப்பு : a = 0, b = 0 என்க, = 0⁰ ∉ R. (4) a * b = a^b

கேள்வி 5.
என்ற ஈருறுப்புச் செயலி a * b = \(\frac{ab}{7}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. * எதன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி ஆகாது?
(1) ℚ⁺
(2) ℤ
(3) ℝ
(4) ℂ
விடை:
(3) ℤ
குறிப்பு :a= 3, b = 2 என்க.
⇒ a * b = 3 * 2 = \(\frac{3(2)}{7}=\frac{6}{7}\) ∉ z

கேள்வி 6.
ℚ என்ற கணத்தில் a◉b = a + b + ab. என வரையறு பின்ன ர் 3◉(y◉5) =7?
(1) y = \(\frac{2}{3}\)
(2) y = \(\frac{-2}{3}\)
(3) y = \(\frac{-3}{2}\)
(4) y = 4
விடை:
(2) y = \(\frac{-2}{3}\)
குறிப்பு : ⓧ b=a + b + ab
∴ 3 ⓧ [y ⓧ 5) =7 = 3 ⓧ (y + 5 + 5y) = 7
⇒ 3 + y + 5 + 5y + 3[y + 5 + 5y) = 7
⇒ 8 + 6y + 3y +15 + 15y = 7
⇒ 23 + 24y = 7 ⇒ 24y = 7- 23 = -16
⇒ y = \(\frac{-16}{24}=\frac{-2}{3}\)

கேள்வி 7.
ℝ-ன் மீது a * b = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ? எனில், *ஆனது
(1) பரிமாற்று விதிக்கு கட்டுப்படும் ஆனால் சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்யாது.
(2) சேர்ப்பு விதிக்கு கட்டுப்படும் ஆனால் பரிமாற்று விதியை நிறைவு செய்யாது.
(3) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யும்.
(4) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யாது.
விடை:
(3) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யும்.

குறிப்பு : a * b = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) = \(\sqrt{b^{2}+a^{2}}\) = b * a
மேலும் a * (b * c) = a * \(\sqrt{b^{2}+c^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)
(a * b) * c = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

கேள்வி 8.
பின்வரும் கூற்றுகளில் எது T மெய்மதிப்பை பெற்றிருக்கும்?
(1) sin.x ஓர் இரட்டைச் சார்பு.
(2) ஒவ்வொரு சதுர அணியும் பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகும்.
(3) ஒரு கலப்பெண் மற்றும் அதன் இணை எண்ணின் பெருக்கற்பலன் முற்றிலும் கற்பனை.
(4) \(\sqrt{5}\) ஒரு விகிதமுறா எண்
விடை:
(4) \(\sqrt{5}\) ஒரு விகிதமுறா எண்

கேள்வி 9.
பின்வருபவைகளில் எது மெய்மதிப்பு F ஐ பெற்றிருக்கும்?
(1) சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்
(2) சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு விகிதமுறா எண்
(3) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்
(4) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது 1/2 ஒரு விகிதமுறா எண்
விடை:
(3) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்

கேள்வி 10.
ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் 3 தனிக் கூற்றுகள் உட்படுத்தப்பட்டிருந்தால் அம்மெய்மை அட்டவணையின் நிரைகளின் எண்ணிக்கை
(1) 9
(2) 8
(3) 6
(4) 3
விடை:
(2) 8
குறிப்பு : நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8

கேள்வி 11.
(p ∨ q) → (p ∧ q)-ன் எதிர்மறை கூற்று எது?
(1) (p ∧ q) → (p ∨ q)
(2) ¬(p ∨ q) → (p ∧ q)
(3) (¬p ∨ -q) → (¬p ∧ ¬q)
(4) (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)
விடை:
(4) (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)
குறிப்பு : (p ∨ q) → (p ∧ q)
¬[(p ∨ q) → (p ∧ q)] → (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)

கேள்வி 12.
(p ∨ q) + r -ன் நேர்மாறுக் கூற்று எது
(1) ¬r → (¬p ∧ -q)
(2) ¬r → (p ∨ q)
(3) r → (p ∧ q)
(4) p → (q ∨ r)
விடை:
(1) ¬r → (¬p ∧ -q)
குறிப்பு : (p ∨ q) → r
நேர்மாறுக் கூற்று ¬r → (¬p ∧ ¬q)

கேள்வி 13.
(p ∧ q] ∨ ¬q -ன் மெய்மை அட்டவணை கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

விடை:
(3) T T FT
குறிப்பு:

கேள்வி 14.
(p ∨ ¬q)ன் மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் வரும் மெய் மதிப்பு ‘F’ விளைவுகளின் எண்ணிக்கை
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(3) 3
குறிப்பு:

கேள்வி 15.
பின்வருபவைகளில் எது சரியல்ல ? p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகளுக்கு பின்வரும் தர்க்க சமானமானவைகள் பெறப்படுகிறது.
(1) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
(2) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(3) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(4) ¬(¬p) ≡ p
விடை:
(3) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
குறிப்பு : ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q [-(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

கேள்வி 16.

விடை:
(2) F T T T
குறிப்பு:

கேள்வி 17.
¬(p ∨ q) ∨ [p ∨ (p∧ ¬ r)) -ன் இருமம்
(1) ¬(p ∧ q] ∧ [p ∨ [p ∧ ¬r)]
(2) (p ∧ q] ∧ [p ∧ (p ∨ ¬r)]
(3) ¬(p ∧ q] ∧ [p ∧ (p ∧ r)]
(4) ¬(p ∧ q) ∧ [p ∧ (p ∨¬r)]
விடை:
(4) ¬(p ∧ q) ∧ [p ∧ (p ∨¬r)]

கேள்வி 18.
p ∧ (¬p ∨ q) என்ற கூற்று
(1) ஒரு மெய்மம்
(2) ஒரு முரண்பாடு
(3) p ∧ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
(4) p ∨ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
விடை:
(3) p ∧ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
குறிப்பு:

கேள்வி 19.
பின்வரும் ஒவ்வொரு கூற்றிற்கும் அதன் மெய் மதிப்பை தீர்மானிக்க.
(a) 4 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 3 = 9
(b) 3 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 1 = 7
(c) 4 + 5 = 9 மற்றும் 1 + 2 = 4
(d) 3 + 2 = 5 மற்றும் 4 + 7 = 11

விடை:
(1) F T F T
குறிப்பு :
(1) 4 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 3 = 9 (F ∧ T)
(2) 3 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 1 = 7 (T ∧ T) = T
(3) 4 + 5 = 9 மற்றும் 1 + 2 = 4 (T ∧ F) = F
(4) 3 + 2 = 5 மற்றும் 4 + 5 = 11 (T ∧ T) = T

கேள்வி 20.
பின்வருபவைகளில் எது உண்மையல்ல ?
(1) ஒருகூற்றின்மறுப்பின்மறுப்பு அக்கூற்றேயாகும்.
(2) ஒரு மெய்மை அட்டவணையில் இறுதி நிரல் முழுவதும் T எனில் அது ஒரு மெய்மமாகும்.
(3) ஒரு மெய்மை அட்டவணையில் இறுதி நிரல் முழுவதும் F எனில் அது ஒரு முரண்பாடாகும்.
(4) p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில் p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மாகும்
விடை:
(4) p மற்றும் பு ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில் p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மாகும்
குறிப்பு:
p மற்றும் q ஏதேனும் இரண்டு தனி கூற்றுகள்
எனில் p ⇔ q ஒரு மெய்மம்.
p ⇔ q ஒரு நிச்சயமின்மை என அறிவோம்.