Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடலின் மதிப்பு காண்க :

தீர்வு:
(i) \(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}\)
\(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}=\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-2^{2}}\)

(ii) \(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)

(iii) \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} d x\)
(தொகுதி மற்றும் பகுதியை 1-3 ஆல் பெருக்க)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)

கேள்வி 2.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடல்களை, தொகையிடலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க :


(xi) \(\int_{0}^{\pi}\) x[sin² (sin x) + cos² (cos x)] dx
தீர்வு:

= -f(x)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7

கேள்வி 1.
கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் வடிவினைக் காண்க.

(i) 2+i2\(\sqrt{3}\)
(ii) 3-i\(\sqrt{3}\)
(iii) -2-i2
(iv) \(\frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}\)
தீர்வு:
(i) 2 +i2\(\sqrt{3}\)
2+i 2\(\sqrt{3}\) = x + iy = r (cos θ + i sin θ) என்க
r = எண் மதிப்பு = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

2 + i2\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் முதலாம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x, y இரண்டும் மிகை) அதன் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac{\pi}{3}\)
அதன் துருவ வடிவம் 2 +i2\(\sqrt{3}\)

(ii) 3 – i\(\sqrt{3}\)
x + iy = 3 – i\(\sqrt{3}\) என்க.
= r (cos θ + i sin θ)

3 – i\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
[∵ x → + ve, y → – ve]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = -α
⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ துருவ வடிவம்
3-i\(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{3}\)

(iii) – 2 – i2
x + iy = -2- 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க

-2 – 2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியின் அமைவதால்
[x குறை y குறை]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = α – π
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)-π=\(\frac{\pi-4 \pi}{4}\)=\(-\frac{3 \pi}{4}\)
அதன் துருவ வடிவம்

(iv)

(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II-ம் கால் பகுதியில்
அமைவதால் [x → குறை y → மிகை)
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(-\frac{3 \pi}{4}\)

எனவே துருவ வடிவம்

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
(ii)
தீர்வு:
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
[ ∵ (cos θ₁ + i sin θ₁) (cos θ₂ + i sin θ₂)
= cos (θ₁ + θ₂) +i sin (θ₁ + θ₂)

(ii)

கேள்வி 3.
(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) …… (x_n + iy_n) = a + ib எனில்,

தீர்வு:

இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,

(ii)
(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₁) …. (x_n + iy_n) = a + ib
arg((x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂)…….(x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg(x₁ + iy₁) + arg(x₂ + iy₂) + ….. + arg(x_n + iy_n) = arg(a + ib)
(∵ arg(z₁z₂….z_n) = arg z₁ + arg z₂ + … + arg z_n)
⇒ tan^-1\(\left(\frac{y_{1}}{x_{1}}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{y_{2}}{x_{2}}\right)\) + ….. + tan^-1\(\left(\frac{y_{n}}{x_{n}}\right)\)
= tan^-1\(\left(\frac{b}{a}\right)\) + 2kπ _k∈ℤ

கேள்வி 4.

தீர்வு:

அதாவது \(\frac{1+z}{1-z}\) = cos 2θ + i sin 2θ
⇒ \(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = cos 2θ + i sin 2θ …… (1)
மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது,
\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = |cos 2θ + i sin2θ| ⇒ |\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\)|
= \(\sqrt{\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta}\) = 1

கற்பனை பகுதியை தனியாக எடுக்க கிடைப்பது

⇒ \(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\) = sin 2θ
∴ y ஆனது tan 8 ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
⇒ y = tan θ
∴ z = 0 + i tan θ = z ⇒ tan θ

கேள்வி 5.
cos α + cos β + cos γ = sin α + sin β + sin γ = 0, எனில்,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ) மற்றும்
(ii) sin 3γ + sin 3β + sin 3γ= 3 sin (α + β + γ) என நிறுவுக.
தீர்வு:
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos γ = sin α +sin β + sin γ = 0
⇒ (cos α + cos β + cos γ) + i (sin α + sin β+ sin γ)=0
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos γ + i sin γ
a + b + c = 0, எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³ = 3[(cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ
⇒ 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i [sin 3α + sin 3β + sin 3γ)]
= 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
மற்றும் sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3sin (α + β + γ) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
z = x + iy மற்றும் arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\) எனில்,
x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x + iy மற்றும்
arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (z – i) – arg(z + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + iy – i) – arg(x + iy + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + i(y – 1)) – arg((x + 2) + iy) = \(\frac{\pi}{4}\)


⇒ -x + 2y – 2 = x² + 2x + y² – y
⇒ x² + 2x + y² – y + x – 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6

கேள்வி 1.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\)
= 1 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப் பாதை மெய் அச்சு எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x+iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\) =1 ⇒ \(\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|\) = 1
⇒ \(\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|\) = 1

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y – 4)² = x² + (y + 4)²

⇒ 8y + 8y = 0
⇒ 16y = 0
⇒ y = 0 [∵ 16 ≠ 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
∴z-ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

கேள்வி 2.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left(\frac{2 z+1}{i z+1}\right)\) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x – 2y = 0 எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z = x+iy

பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது

கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,

⇒ – 2x² – x + 2y – 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x – 2y = 0
எனவே z -ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x- 2y = 0

கேள்வி 3.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy – ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) [Re (iz)]² = 3
(ii) Im [(1 – i) z + 1] = 0
(iii) |z + i| = |z – 1|
(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
தீர்வு:
(i) [Re (iz)]² = 3
iz = i (x + iy) = ix +i²y = ix – y = -y + ix
⇒ Re (iz) = -y
[Re (iz)]² = 3 ⇒ (-y)² = 3
⇒ y² = 3.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது y² = 3

(ii) Im [[1- i) z + 1] = 0
(1 – i) z + 1 = (1 – i) (x + iy) + 1
= x + iy – ix – iy + 1
= x + iy – ix + y + 1
= (x + y + 1) + i(y – x)
∴I_m[(1 – i) z + 1] = y – x = 0.
⇒ x – y = 0.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x – y = 0.

(iii) |z + i| = |z -1|
⇒ |x + iy + il = |x + iy – 1|
⇒ x + i (y + 1) = |(x – 1) + iy|
⇒ \(\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}\) = \(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\)
⇒ x² + (y+ 1)² = (x – 1)² + y²
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ 2y + 2x = 0 ⇒ x + y = 0
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x + y = 0.

(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = \(\frac{1}{z}\) ⇒ z\(\bar{z}\) = 1
⇒ |z|² =1
⇒ x² – y² = 1 தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

கேள்வி 4.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.)
(i) |z – 2 – i| = 3
(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
தீர்வு:
(i) |z – 2 – i| = 3.
⇒ |z – (2 +i)| = 3
இது |z – z₀| =r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் ( 2 + i ) மற்றும் ஆரம் 3 ஆகும்.

(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
2|z + 1 – 2i | = 2
⇒ |z – (-1 + 2i) = 1
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (-1 + 2i) மற்றும் ஆரம் 1 ஆகும்.

(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
⇒ 3|z – 2 + 4i| = 8
⇒ z – (2 – 4i) = \(\frac{8}{3}\)
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 – 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac{8}{3}\) ஆகும்.

கேள்வி 5.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) |z – 4| = 16
(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
தீர்வு:
(i) |z – 4| = 16
கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
⇒ |z – 4| = 16
⇒ |x + iy – 4| = 16
⇒ |(x – 4) + iy| = 16
⇒ \(\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\) = 16
⇒ (x – 4)² + y² = 16
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² – 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² – 8x + y² + 16 – 256 = 0
⇒ x² – 8x + y² – 240 = 0. என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
|x + iy – 4|² – |x + iy – 1|² = 16
⇒ |(x – 4) + iy|² – |(x – 1) + iy|² = 16
⇒ [(x – 4)² + y²] – [(x – 1)² + y²] = 16
⇒ x² – 8x + 16 + y² – [x² – 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 – 16 = 0
⇒ -6x – 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் தொகையீடுகளை கூட்டலின் எல்லைகளாக கணக்கிடுக :
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
(ii) \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x\)
தாவு:
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
இங்கு a = 0, b = 1, f(x) = 5x + 4

∴ \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x=\frac{25}{3}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.1

கேள்வி 1.
{1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5} எனும் பிரிவினையுடன் இடது – முனை விதியைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) xdx -க்கு தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
இங்கு a = 1,
b = 1.5, n = 5, f (x) =x
∴ h = ∆x = \(\frac{b-a}{n}=\frac{1.5-1}{5}=\frac{0.5}{5}\) = 0.1
சம அளவு A கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான இடது விதியானது
\(\begin{array}{l}
b \\
\int \\
a
\end{array}\) xdx = [f(x₀) + f(x₁)+…..+ f(x_n-1})]∆x
= [f(1) + f(1.1) + f(1.2) + f (1.3) + f (1.4)](0.1)
= (1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + 1.4) (0.1)
= 6(0.1)
∴ \(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) = 0.6

கேள்வி 2.
{1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5} எனும் பிரிவினையுடன் வலது-முனை விதியைப் பயன்படுத்தி \(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) x² dx -க்கு தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
இங்கு a = 1, b = 1.5,
h = ∆x = \(\frac{b-a}{n}=\frac{1.5-1}{5}=\frac{0.5}{5}\) = 0.1
சம அளவு A கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான வலது முனை விதியானது
S= [f (x₁) + f (x₂) + f (x₃) + f(x₄) + f (x₅)]∆x
=[f (1.1) + f (1.2) + f(1.3) + f (1.4) + f(1.5)](0.1)
= [(1.1)² – (1.2)² + (1.3)² – (1.4)² – (1.5)²](0.1)
= (1.21 + 1.44 + 1.69 + 1.96 + 2.25) (0.1)
= (8.55) (0.1)
∴ \(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) x² dx = 0.855

கேள்வி 3.
{1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5} எனும் பிரிவினையுடன் நடு – முனை விதியைப் பயன்படுத்தி
\(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) (2 – x)dx-க்கு தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
இங்கு a = 1, b = 1.5, n = 5 மற்றும் f(x) = 2 -x
h = ∆r = \(\frac{b-a}{n}=\frac{1.5-1}{5}=\frac{0.5}{5}\) = 0.1
சம அளவு ∆r கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான நடுமுனை விதியானது

= [f (1.05) + f (1.15) + f (1.25) + f (1.35) + f (1.45)](0.1)
= [0.95 + 0.85 +0.75 + 0.65 + 0.55)](0.1)
= [(2 – 1.05) + (2 – 1.15) + (2 – 1.25) + (2 – 1.35) + (2 – 1.45)](0.1)
= (3.75) (0.1) = 0.375
∴ \(\begin{array}{l}
1.5 \\
\int \\
1
\end{array}\) (2 – x)dx = 0.375

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.5

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :
(i) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\)
(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}} \frac{d x}{5+4 \sin ^{2} x}\)
தீர்வு:
(i) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\)
I = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\) என்க
u = tanx என பிரதியிடு ⇒ du = sec² x dr பகுதி மற்றும் தொகுதியை cos²r ஆல் வகுக்க கிடைப்பது

(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}} \frac{d x}{5+4 \sin ^{2} x}\)
பகுதி மற்றும் தொகுதியை cos²x ஆல் வகுக்க கிடைப்பது

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.4

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக

தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.3

கேள்வி 1.
z₁ = 1 – 3i, z₂ = -4i மற்றும் z₃, = 5 எனில், கீழ்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(i) (z₁ + z₂ ) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
(ii) (z₁z₂)z₃ = z₁ + z (z₂ + z₃)
தீர்வு:
(i) (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃) கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 1 – 3i, z₂ = -4i மற்றும் z₃ = 5
LHS = (z₁ + z₂) + z₃
= [1 – 3i + (- 4i)] + 5
= [1 – 7i] + 5 = 6 – 7i
RHS = z₁ + (z₂ + z₃)
= 1 – 3i + (- 4i + 5) = 6 – 7i
LHS = RHS
∴ (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

(ii) (z₁ z₂) z₃ = 3 (z₁z₂z₃)
LHS = (z₁ z₂) z₃
= [(1 – 3i) (- 4i)] 5
= [- 4i + 12i²] 5
= (- 4i – 12) 5 = -20i – 60

RHS = z₁ (z₂ z₃)
= (1 – 3i) [(-4i)5]
= (1 – 3i) (- 20i)
= – 20i + 60²
= – 20i – 60
LHS = RHS
∴ (z₁ z₂) z₃ = z₁ (z₂ z₃)

கேள்வி 2.
z₁ = 3, z₂ = -7i, மற்றும் z₃ = 5 + 4i, எனில் கீழ்காண்பவைகளை நிறுவுக.
(i) z₁ (z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃
(ii) (z₁ + z₂) z₃ = z₁z₂ + z₁z₃
தீர்வு:
(i) z₁ (z₂ + z₃) = z₁ z₂ + z₁z₃
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 3, z₂ = -7i, z₃ = 5 + 4i
LHS = z₁ (z₂ +z₃)
= 3 [-7i + 5 + 4i]
= 3[5 – 3i] = 15 – 9i
RHS = z₁ z₂ + z₁ z₃
= 3(- 7i) + 3(5 + 4i)
= -21i + 15 + 12i
= – 9i + 15 = 15 – 9i
LHS = RHS
∴ z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

(ii) (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃
LHS = (z₁ + z₂) z₃
= (3 – 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28i²
= 15 – 23i + 28 = 43 – 23i
RHS = z₁ z₃ + z₂ z₃
= 3(5 + 4i) + (- 7i) (5 + 4i) = 15 + 12i – 35i – 28i²
= 15 – 23i + 28 = 43 – 23i
LHS = RHS
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁z₃ + z₂ z₃

கேள்வி 3.
z₁ = 2 + 5i, z₂ = -3 -4i, மற்றும் z₃ = 1 + i, எனில், z₁, z₂ மற்றும் z₃ ஆகியவற்றின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் நேர்மாறுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 + 5i, z₂=-3 – 4i மற்றும் z₃ = 1 + i
z₁ – ன் கூட்டல் நேர்மாறு -z₁ =-(2 + 5i) = -2 – 5i
z₂ -ன் கூட்டல் நேர்மாறு –z₂ = -(-3 – 4i) = 3 + 4i
z₃ -ன் கூட்டல் நேர்மாறு –z₃ =-(1 + i) = -1 – i
z₁ -ன் பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac{1}{z_{1}}\) = \(\frac{1}{2+5 i}\) × \(\frac{2-5 i}{2-5 i}\)
[தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]
\(\frac{2-5 i}{2^{2}-(5 i)^{2}}\) = \(\frac{2-5 i}{4-25 i^{2}}\) = \(\frac{2-5 i}{4+25}\)
= \(\frac{1}{29}\)(2 – 5i) [∵ i² = -1]
z₂ -ன் பெருக்கல் நேர்மாறு

z₃-ன் பெருக்கல் நேர்மாறு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.9

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:
கேள்வி 1.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே
(1) 2, 3
(2) 3, 3
(3) 2, 6
(4) 2, 4
விடை:
(1) 2, 3
குறிப்பு:

வரிசை 2, படி 3.

கேள்வி 2.
y = A cos (x+ B), இங்கு A, B என்பன எதேச்சை மாறிலிகள் எனும் சமன்பாட்டைக் கொண்ட வளைவரை குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
(1) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
(2) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
(3) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 0
(4) \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}\) = 0
விடை:
(2) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0

குறிப்பு :
\(\frac{d y}{d x}\) = -Asin (x + B)
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) -A cos (x + B) =-y
⇒ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0

கேள்வி 3.
\(\sqrt{\sin x}\) (dx + dy) = \(\sqrt{\cos x}\) (dx – dy) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி
(1) 1, 2
(2) 2, 2
(3) 1, 1
(4) 2, 1
விடை:
(3) 1, 1

குறிப்பு:

வரிசை 1, படி 1

கேள்வி 4.
மையம் (h, k) மற்றும் ஆரம் ‘a’ கொண்ட எல்லா வட்டங்களின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 1
விடை:
(1) 2
குறிப்பு:
வட்டத்தின் சமன்பாடு (x – h)² + (y – k)² = a²
இரண்டு மாறிலிகள் உள்ளதால், வரிசை 2 ஆகும்.

கேள்வி 5.
y = Ae^x + Be^-x இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் ஈர மாறிலிகள், எனும் வளைவரைத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
(1) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
(2) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
(3) \(\frac{d y}{d x}\) + y = 0
(4) \(\frac{d y}{d x}\) – y = 0
விடை:
(2) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
குறிப்பு :
y = Ae^x + Be^-x
\(\frac{d y}{d x}\) = Ae^x + Be^-x
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = Ae^x + Be^-x = -y
⇒ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0

கேள்வி 6.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு
(1) xy = k
(2) y = k log x
(3) y = kx
(4) logy = kx
விடை:
(3) y = kx

குறிப்பு :
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\)
⇒ \(\frac{d y}{y}=\frac{d x}{x}\)
⇒ logy = log x + log k
⇒ log y = log kx
⇒ y = kx

கேள்வி 7.
2x\(\frac{d y}{d x}\) – y = 3 எனும் வகைக்கெழுச்சமன்பாட்டின் தீர்வு குறிப்பிடுவது
(1) நேர்க்கோடுகள்
(2) வட்டங்கள்
(3) பரவளையம்
(4) நீள்வட்டம்
விடை:
(3) பரவளையம்

குறிப்பு:
2x\(\frac{d y}{d x}\) – y = 3
⇒ 2x\(\frac{d y}{d x}\) = 3 + y
⇒ \(2 \frac{d y}{3+y}=\frac{d x}{x}\)
⇒ 2 log (3 + y) = log x + log c
⇒ log(3 + y)² = log.x c.
⇒ (3 + y)² = xc
இது ஒரு பரவளையம் ஆகும்.

qm 8.
\(\frac{d y}{d x}\) + p(x)y = 0 ன் தீர்வு
(1) y = ce^{\(\int p d x\)}
(2) y = ce^{–\(\int p d x\)}
(3) x = ce^{–\(\int p d y\)}
(4) x = ce^{\(\int p d y\)}
விடை:
(2) y = ce^{–\(\int p d x\)}

குறிப்பு:

கேள்வி 9.
\(\frac{d y}{d x}+y=\frac{1+y}{\lambda}\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி
(1) \(\frac{x}{e^{\lambda}}\)
(2) \(\frac{e^{\lambda}}{x}\)
(3) λe^x
(4) e^x
விடை:
(2) \(\frac{e^{\lambda}}{x}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = P(x)y = Q(x) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி x எனில், P(x) என்பது
(1) 1
(2) \(\frac{x^{2}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{x}\)
(4) \(\frac{1}{x^{2}}\)
விடை:
(3) \(\frac{1}{x}\)

குறிப்பு:
e^{\(\int p d x\)} = x
⇒ log e^{\(\int p d x\)} = log x ⇒ \(\int\) pdx = log x
d(\(\int\) pdx) = d(log x)
⇒ p = \(\frac{1}{x}\)

கேள்வி 11.
y(s) = 1 + \(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{1.2}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\frac{1}{1.2 .3}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}+\ldots\)
எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி
(1) 2
(2) 3
(3) 1
(4) 4
விடை:
(3) 1
குறிப்பு:
படி 1.

கேள்வி 12.
p மற்றும் பு என்பன முறையே \(y \frac{d y}{d x}+x^{3}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)\) + xy = cosx எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி எனில்,
(1) p < q (2) p = q (3) p > q
(4) இவற்றில் ஏதுமில்லை .
விடை:
(3) p > q
குறிப்பு:
p = 2, q = 1 ∴ p > q

கேள்வி 13.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) y + sin^-1 x = c
(2) x + sin^-1 y = 0
(3) y + 2 sin^-1 x = c
(4) x² + 2 sin^-1 y = 0
விடை:
(1) y + sin^-1 x = c

கேள்வி 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = 2xy எனும் வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் தீர்வு ,
(1) y = Ce^x2
(2) y = 2x² + C
(3) y = Ce^-x2 + C
(4) y = x² + C
விடை:
(1) y = Ce^x2

குறிப்பு:
\(\frac{d y}{d x}\) = 2xy
\(\frac{d y}{y}\) = 2x dx
⇒ log y = \(\) +log c
⇒ log y – log e = x² ⇒ log \(\left(\frac{y}{c}\right)\) = x²
⇒ \(\frac{y}{c}\) = e^x2 ⇒ y = ce^x2

கேள்வி 15.
log \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = x + y எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) e^x + e^y = C
(2) e^x + e^-y = C
(3) e^-x + e^y = C
(4) e^-x + e^-y = C
விடை:
(2) e^x + e^-y = C

குறிப்பு:
log \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = x + y
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y = e^x . e^y
⇒ \(\frac{d y}{e^{y}}\) = e^x dx
⇒ e^-y dx = e^x dx
⇒ \(\int\) e^-y dy = \(\int\) e^x dx
⇒ -e^-y = e^x + c
⇒ e^x + e = c

கேள்வி 16.
\(\frac{d y}{d x}\) = 2^y-x ன் தீர்வு
(1) 2^x + 2^y = C
(2) 2^x – 2^y = C
(3) \(\frac{1}{2^{x}}-\frac{1}{2^{y}}=C\)
(4) x + y = c
விடை:
(3) \(\frac{1}{2^{x}}-\frac{1}{2^{y}}=C\)

குறிப்பு:

கேள்வி 17.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{\phi\left(\frac{y}{x}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)}\)
எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) xΦ \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = k
(2) Φ \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = kx
(3) yΦ \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = k
(4) Φ \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = ky
விடை:
(2) Φ \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = kx

குறிப்பு:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{\phi\left(\frac{y}{x}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)}\)
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y = e^x . e^y

கேள்வி 18.
\(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q , எனும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி sin x எனில், P என்பது
(1) log sinx
(2) cos X
(3) tan x
(4) cot x
விடை:
(4) cot x

குறிப்பு:
e^{\(\int p d x\)} = sinx
= \(\int\) pdx = log sinx
⇒ \(\frac{d}{d x}\left(\int p d x\right)\) = \(\frac{d}{d x}\) (log(sin x))
p = \(\frac{1}{\sin x}\) × cos x = cot x

கேள்வி 19.
வரிசை n மற்றும் n + 1 கொண்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் பொதுத் தீர்வுகளில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை முறையே
(1) n – 1, n
(2) n, n + 1
(3) n + 1, n + 2
(4) n + 1, n
விடை:
(2) n, n +1

கேள்வி 20.
மூன்றாம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்டத் தீர்வில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை
(1) 3
(2) 2
(3) 1
(4) 0
விடை:
(4) 0

கேள்வி 21.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{x+1}\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி
(1) \(\frac{1}{x+1}\)
(2) x +1
(3) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)
(4) \(\sqrt{x+1}\)
விடை:
(1) \(\frac{1}{x+1}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 22.
ஏதேனும் ஒரு வருடம் – ல் உள்ள P-ன் பெருக்க வீதமானது மக்கள் தொகைக்கு விகிதமாக அமையும் எனில், பின்னர்
(1) P = Ce^kt
(2) P = Ce^-kt
(3) P = Ckt
(4) P = C
விடை:
(1) P = Ce^kt
குறிப்பு :

கேள்வி 23.
t எனும் நேரத்திற்குப் பிறகு மீதமுள்ள ஒரு பொருளின் அளவு P ஆகும். பொருள் ஆவியாகும் வீதமானது அந்நேரத்தில் மீதமிருக்கும் பொருளின் அளவிற்கு விகிதமாக அமைந்துள்ளது எனில், பின்னர்
(1) P = Ce^kt
(2) P = Ce^-kt
(3) P = Ckt
(4) Pt = C
விடை:
(2) P = Ce^-kt
குறிப்பு:

கேள்வி 24.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{a x+3}{2 y+f}\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்குமானால், a-ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) -2
(3) 1
(4) -1
விடை:
(2) 2
குறிப்பு:

இது வட்டத்தை குறிப்பதால் x² இன் கெழு = y² இன் கெழு
\(\frac{a}{2}\) = -1 ⇒ a = -2

கேள்வி 25.
y = f(x) எனும் வளைவரையின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிடத்து சாய்வு \(\frac{d y}{d x}\) = 3x² எனக் கொடுக்கப் பட்டுள்ளது. மேலும் வளைவரையானது (-1, 1) புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாடு
(1) y = x³ + 2
(2) y = 3x² + 4
(3) y = 3x³ + 4
(4) y = x³ + 5
விடை:
(1) y = x³ + 2

குறிப்பு :
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
⇒ dy = 3x² dx ⇒ y = \(\frac{3 x^{3}}{3}\) + c
இது (-1, 1) என்ற புள்ளி வழி செல்வதால்,
1 = (-1)³ + c ⇒ 1 = -1 + c ⇒ c = 2
∴ வளைவரையின் சமன்பாடு y = x³ + 2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.8

கேள்வி 1.
நுண்ணுயிர்களின் பெருக்கத்தில், பாக்டீரியாக் களின் எண்ணிக்கையின் பெருக்க வீதமானது அதில் காணப்படும் பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாக உள்ளது. இப் பெருக்கத்தால் பாக்டீரியாவின் எண்ணிக்கை மும்மடங்காகிறது எனில், 10 மணிநேர முடிவில் பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை என்னவாக இருக்கும்?
தீர்வு:
எந்த நேரம் பயிலும் இருக்கும் நுண்ணுயிர்களின் எண்ணிக்கை A என்க’.
கொடுக்கப்பட்டது –\(\frac{d \mathrm{~A}}{\mathrm{~A}}\) α A

⇒ A = c.e^kt ………. (1)
தொடக்கத்தில் t = 0, எனில் A = A₀ என்க.
∴ A₀ = ce⁰ = c = A₀
∴ A = Ae^kt ………… (2)
கொடுக்கப்பட்டது t = 5 எனில், A = 3A₀
3A₀ = A₀ e^5k = 3 = e^5k
ஆகவே t = 10 எனில், (2) லிருந்து,
A = A₀ e^10k
= A₀ (e^5k)² = A₀ (3)²
⇒ A = 9A₀
எனவே 10 மணி நேர முடிவில் பாக்டீரியாக்களின் எண்ணிக்கை தொடக்கத்தில் இருந்ததை போல் 9 மடங்காகும்.

கேள்வி 2.
ஒரு நகரத்தின் மக்கள் தொகை வளர்ச்சி வீதம் நேரத்தில் உள்ள மக்கள் தொகையின் விகிதமாக அமைந்துள்ளது. மேலும் நகரத்தின் மக்கள் தொகை 40 ஆண்டுகளில் 3,00,000லிருந்து 4,00,000 ஆக அதிகரித்துள்ளது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், 1 நேரத்தில் அந்நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் காண்க.
தீர்வு:
நகரத்தின் மக்கள் தொகை P என்க.
கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d \mathrm{P}}{d t}\) ∝ P

⇒ P = c.e^kt ………. (1)
கொடுக்கப்பட்டது t = 0 எனில் P = 3,00,000
∴ (1) → 3,00,000 = ce⁰ ⇒ c= 3,00,000
∴ P = 3,00,000 e^kt …. (2)
மீண்டும் t = 40 எனில் P = 4,00,000
∴ (2) ⇒ 4,00,000 = 3,00,000 e^40k

கேள்வி 3.
மின்தடை மற்றும் தன் மின்தூண்டல் கொண்ட ஒரு மின்சுற்றின் மின் இயக்குவிசையின் சமன்பாடு E = RiL \(\frac{d i}{d t}\) ஆ ஆகும். இங்கு E என்பது மின்சுற்றுக்கு கொடுக்கப்படும் மின் இயக்கு விசை , R என்பது மின்தடை மற்றும் L என்பது தன்மின் தூண்டல் எண் ஆகும். E = 0 எனும்போது நேரத்தில், மின்சாரம் ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட E = Ri + L \(\frac{d i}{d t}\)
\(\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{R} i}{\mathrm{~L}}+\frac{d i}{d t}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{R} i}{\mathrm{~L}}+\frac{d i}{d t}=\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{L}}\)
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழு சமன்பாடு ஆகும்.
இங்கு P = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}\) மற்றும் Q = \(\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{L}}\)

E = 0 எனில்.
i = 0 + ce^{\(-\frac{\mathrm{R} t}{\mathrm{~L}}\)}
⇒ i = ce^{\(-\frac{\mathrm{R} t}{\mathrm{~L}}\)}

கேள்வி 4.
வினாடிக்கு 10 மீட்டர் வேகத்தில் இயங்கும் ஒரு மின்விசைப் படகின் இயந்திரம் நிறுத்தப்படுகிறது. அதன் பின்னர் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் (இயந்திரம் நிறுத்தப்பட்ட பிறகு ) மின் விசைப் படகின் வேகம் குறையும் வீதமானது அந்நேரத்தில் அதன் திசைவேகத்திற்கு சமமாக உள்ளது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இயந்திரம் நிறுத்தப்பட்ட 2 வினாடிகளுக்குப் பிறகு விசைப்படகின் திசைவேகம் காண்க.
தீர்வு:
V என்பது திசைவேகம் மற்றும் திசை வேகம் குறையும் வீதமானது (குறை முடுக்கம்) –\(\frac{d v}{d t}\) என்க
கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d v}{d t}\) = -V
மாறிகளைப் பிரிக்க,
\(\frac{d v}{v}\) = -dt
⇒ \(\int \frac{d v}{v}\) = – \(\int\) dt
⇒ log v = -t + log C
⇒ log v – log C = -t
⇒ log \(\left(\frac{v}{C}\right)\) – -t
⇒ \(\frac{v}{C}\) = e^-t
⇒ v = Ce^-t …………(1)
கொடுக்கப்பட்ட t = 0 எனில், v= மீ/வினாடி
∴ (1) லிருந்து, 10 = Ce⁰ = C = 10
∴ (1) v = 10e^-t
t= 2 எனில், y = 10e^-2
⇒ v = \(\frac{10}{e^{2}}\)

கேள்வி 5.
வருடத்திற்கு 5% தொடர் கூட்டு வீதத்தில் ஒருவர் ரூபாய் 10,000-த்தை வங்கிக் கணக்கில் முதலீடு செய்கிறார். 18 மாதங்களுக்குப் பின்னர் அவர் வங்கிக் கணக்கில் எவ்வளவு தொகை இருக்கும்?
தீர்வு:
நேரம் tயில் முதலீட்டுத் தொகை P என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் = 5%
∴ \(\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\mathrm{P}\left(\frac{5}{100}\right)\) = 0.05P
⇒ \(\frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}\) = 0.05dt [மாறிகளை பிரிக்க]
தொகையிட,
\(\int \frac{d P}{P}\) = 0.05 \(\int\) dt
⇒ log P = 0.051 + log C
⇒ log P – log C = 0.05 t
⇒ log\(\left(\frac{P}{C}\right)\) = 0.05t
⇒ \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{C}}\) = e^0.05t
⇒ P = Ce^0.05t ……………. (1)
கொடுக்கப்பட்டது t = 0, P = ₹10,000
(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
⇒ . 10,000 = C e⁰
⇒ C = 10,000
∴ (1) லிருந்து, P = 10,000 e^0.05t
t = 18 மாதங்கள் = 1/2 வருடங்கள் = \(\frac{3}{2}\) வருடங்கள் எனில் கிடைப்பது,
P = 10,000 e^{0.05(\(\frac{3}{2}\))}
∴ P = 10,000 e^0.075

கேள்வி 6.
ஒரு மாதிரியில் காணப்படும் கதிரியக்க அணுக்கருக்கள் சிதைவுறும் வீதமானது அந்நேரத்தில் அந்த மாதிரியில் காணப்படும் அணுக்கருக்களின்
எண்ணிக்கைக்கு விகிதமாக அமைந்துள்ளது. 100 ஆண்டுகால இடைவெளியில் ஒரு மாதிரியில் ஆரம்பத்தில் காணப்படும் கதிரியக்க அணுக்கருக்களின் எண்ணிக்கையில் 10 சிதைவுறுகிறது. 1000 ஆண்டுகள் முடிவில் ஆரம்பத்தில் காணப்படும் கதிரியக்க அணுக்கருக்களின் எண்ணிக்கையில் எவ்வளவு மீதமிருக்கும்?
தீர்வு:
நேரம் -யில் மாதிரியில் காணப்படும் கதிரியக்க அணுக்கருக்கள் N என்க. N₀ தொடக்கநிலையில் உள்ள கதிரியக்க அணுக்கருக்கள் என்க. பிறகு
\(\frac{d \mathrm{~N}}{d t}\) ∞ N
⇒ \(\frac{d \mathrm{~N}}{d t}\) = -λN,
இங்கு λ > 0 ஒரு மாறிலி
⇒ \(\frac{d \mathrm{~N}}{d t}\) = -λdt
\(\int \frac{d \mathrm{~N}}{\mathrm{~N}}\) = -λ \(\int\) dt
⇒ log N = -λ t + C ………….(1)
t = 0ல், நம்மிடம் N = N₀
∴ log N₀ = 0 + C
⇒ C = log N₀
∴ (1) லிருந்து, log N = – λ t + log N₀ = logN₀
⇒ \(\log \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_{0}}\) = – λ t …………(2)
100 ஆண்டுகளில் ஒரு மாதிரியின் ஆரம்பத்தில் காணப்படும் கதிரியக்க அணுக்கருக்களின் எண்ணிக்கையில் 10% சிதைவுறுகிறது என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.


எனவே 1000 ஆண்டுகள் முடிவில் மீதமிருக்கும் அணுக்கருக்களின் எண்ணிக்கை \(\frac{9^{10}}{10^{8}}\)% ஆகும்.

கேள்வி 7.
வெப்பநிலை 25°C-ஆக உள்ள ஒரு அறையில் வைக்கப்பட்டுள்ள நீரின் வெப்பநிலை 100°C ஆகும். 10 நிமிடங்களில் நீரின் வெப்பநிலை 80°C ஆகக் குறைந்து விடுகிறது எனில், (i) 20 நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை (ii) வெப்பநிலை 40°C ஆக இருக்கும் போது நேரம் காண்க. [\(\log _{e} \frac{11}{15}\) = -0.3101; log_e 5= 1.6094
தீர்வு:
நீரின் வெப்பநிலை நேரம் 1-யில் T என்க. நியூட்டனின் குளிர்ச்சி அடையும் விதிப்படி,


⇒ T = 40.33 + 25
= 65.33°C 20
நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை 65.33°C

(ii) T = 40°C என்பதை (3) ல் பிரதியிட கிடைப்பது

∴ t = 53.46 நிமிடங்கள்

கேள்வி 8.
காலை 10.00 மணிக்கு பெண் ஒருவர் தன்னுடைய மைக்ரோ அலை சமையல் அடுப்பிலிருந்து சூடான காபியை வெளியில் எடுத்து அது குளிர்வதற்காக அருகில் உள்ள சமையல் அறையில் வைக்கிறார். அந்நேரத்தில் காபியின் வெப்பநிலை 180°F ஆகும். மேலும், 10 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு அதன் வெப்பநிலை 160°F ஆகும். சமையல் அறையின் நிலையான வெப்பநிலை 70°F எனில்
(i) காலை 10.15 மணிக்கு காபியின் வெப்பநிலைக் காண்க.
(ii) வெப்பநிலை 130°F- க்கும் 140°F-க்கும் இடைப்பட்டதாக இருக்கும்போது அவர் காபியை அருந்த நினைத்தால், எந்நேரத்திற்கு இடையில் அவர் காபியை அருந்த வேண்டும்?
தீர்வு:
நேரம். யில் காபியின் வெப்பநிலை T மற்றும் சமையல் அறையின் வெப்பநிலை T_m ஆகும். நியூட்டனின் குளிர்ச்சி அடையும் விதிப்படி,

⇒ T – 70 = Ce^Kt ………… (1)
t = 0 எனில் T = 180°F
∴ 180° – 70° = Ce⁰
⇒ C = 110°
∴ (1) ⇒ T – 70 – 110 e^Kt …………. (2)
t = 0 எனில் T= 160
∴ 160 – 70 == 110 e^10K
⇒ 90 = 110 e^10K
⇒ e^K = \(\left(\frac{9}{11}\right)^{\frac{1}{10}}\) …………. (3)

(i) t = 15 எனில் (2) லிருந்து,


⇒ T = 81.33 + 70 = 151.3F
∴ T = 151.3F
∴ காலை 10.15 மணிக்கு காபியின் வெப்பநிலை 151.3F

(ii) T = 130F எனில் (2)லிருந்து,
T – 70 = 110 e^Kt ………… (2)
⇒ 130- 70 = 110 e^Kt
60 = 110 e^Kt

t = 30.34 நிமிடங்கள்.
T = 140F, (2) லிருந்து
140 – 70 = 110 e^Kt ……………. (2)
⇒ 70 = 110 e^Kt

t = 22.6 நிமிடங்கள்
∴ 10.22 நிமிடத்திலிருந்து 10.30 நிமிடத்திற்குள் அவர் காபியை அருந்த வேண்டும்.

கேள்வி 9.
ஒரு பாத்திரத்தில் 100°C வெப்பநிலையில் கொதித்துக் கொண்டிருக்கும் நீரானது t= 0 எனும் நேரத்தில் அடுப்பின் மீது இருந்து இறக்கி குளிர்வதற்காக சமையலறையில் வைக்கப்படுகிறது. 5 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு நீரின் வெப்பநிலை 80°C ஆகக் குறைகிறது. மேலும், அடுத்த 5 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு நீரின் வெப்பநிலை 65°C-ஆக குறைகிறது எனில், சமையலறையின் வெப்பநிலையைக் காண்க.
தீர்வு:
T கொதிக்கும் நீரின் வெப்பநிலை என்க மற்றும் சமையலறையின் வெப்பநிலை T… என்க. நியூட்டனின் குளிர்ச்சி அடையும் விதிப்படி,

t = 10 எனில், T = 65
(2) ⇒ 65 – T_m = (100 – T_m)e^10K
= (100 – T_m)(e^5K)²
= (100 – T_m) \(\left(\frac{80-\mathrm{T}_{m}}{100-\mathrm{T}_{m}}\right)^{2}\)
[(2)-ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ 65 – T_m = \(\frac{\left(80-\mathrm{T}_{m}\right)^{2}}{100-\mathrm{T}_{m}}\)
⇒ 6500-65 T_m – 100T_m + T_m² = 6400+ T_m²– 160T_m
⇒ 6500 – 6400 = 165T_m – 160T_m
⇒ 100 = 5T_m
T_m = \(\frac{100}{5}\) = 20°C
சமையலறையின் வெப்பநிலை 20°C.

கேள்வி 10.
ஆரம்பத்தில் ஒரு தொட்டியில் 50 லிட்டர் தூய்மையான தண்ணீர் உள்ளது. தொடக்க நேரம் 1 = 0-ல் ஒரு லிட்டர் நீரில் 2 கிராம் வீதம் கரைக்கப்பட்ட உப்புக் கரைசலானது ஒரு நிமிடத்திற்கு 3 லிட்டர் வீதம் தொட்டியில் விடப்படுகிறது. இக்கலவையானது தொடர்ந்து கலக்கப்பட்டு சீராக வைக்கப்படுகிறது. மேலும், அதே நேரத்தில் நன்கு கலக்கப்பட்ட இக்கலவையானது அதே வீதத்தில் தொட்டியிலிருந்து வெளியேறுகிறது. t = 0 எனும் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவினைக் காண்க.
தீர்வு:
தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு நேரம் 1-யில், x(t) என்க .
அதனுடைய மாறும் வீதம்
\(\frac{d x}{d t}\) = விடப்படும் வீதம் வெளியேறும் வீதம்
இங்கு, ஒரு நிமிடத்திற்கு 2 கிராம் வீதம் 3 லிட்டர் நீரில் விடப்படும் உப்புக்கரைசலின் வீதம் = 6 கிராம் உப்பு (3 × 2 = 6)
வெளியேறும் உப்பின் அளவு \(\frac{3}{50}\) மடங்கு x = \(\frac{3x}{50}\)

t = 0 எனில், x = 0
[ொடக்க நேரத்தில் நீர் உப்பில்லாமல் தூய்மையாக இருப்பதால்]
⇒ 0 – 100 = Ce⁰
⇒ C = – 100
(1) லிருந்து x – 100 = – 100 e^{\(-\frac{3 t}{50}\)}
⇒ x = 100 – 100 e^{\(-\frac{3 t}{50}\)}
⇒ x = 100(1 – e^{\(-\frac{3 t}{50}\)})
t நேரத்தில் தொட்டி நீரில் உள்ள உப்பின் அளவு
x = 100(1 – e^{\(-\frac{3 t}{50}\)})