Category: Class 10

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.5

கேள்வி 1.
15 செ.மீ உயரமும் 16 செ.மீ விட்டமும் கொண்ட ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் வளைபரப்பு
அ) 60 ச.செ.மீ
ஆ) 681 ச.செ.மீ
இ) 1201 ச. செ. மீ
ஈ) 136 ச. செ.மீ
விடை :
ஈ) 1361 ச.செ.மீ
தீர்வு :
1 = \(\sqrt{15^{2}+8^{2}}\)
= \(\sqrt{225+64}\)
= \(\sqrt{289}\)
l = 17செ.மீ
வளைபரப்பு = πrl ச.அ
= π × 8 × 17
= 1367π செ.மீ

கேள்வி 2.
r அலகுகள் ஆரம் உடைய இரு சம அரைக்கோளங்களின் அடிப்பகுதிகள் இணைக்கப்படும் போது உருவாகும் திண்மத்தின் புறப்பரப்பு
அ) 41 ச.அ
ஆ) 6rr ச.அ
இ) 3 ச.அ
ஈ) 8 ச.அ
விடை :
அ) 42 ச.அ
தீர்வு :
πr² + πr² = 4πr² ச.அ

கேள்வி 3.
ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரம்
அ) 12 செ.மீ
ஆ) 10 செ.மீ
இ) 13 செ.மீ
ஈ) 5 செ.மீ
விடை :
அ) 12 செ.மீ
தீர்வு :

h = 12 செ.மீ

கேள்வி 4.
ஓர் உருளையின் உயரத்தை மாற்றாமல் அதன் ஆரத்தைப் பாதியாகக் கொண்டு புதிய உருளை உருவாக்கப்படுகிறது. புதிய மற்றும் முந்தைய உருளைகளின் கன அளவுகளின் விகிதம்
அ) 1:2
ஆ) 1:4
இ) 1:6
ஈ) 1:8
விடை :
அ) 1 :2
தீர்வு :

கேள்வி 5.
ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பு
அ) \(\frac{9 \pi \mathrm{h}^{2}}{8}\) ச.அ
ஆ) 24πh²s ச.அ
இ) \(\frac{8 \pi h^{2}}{9}\) ச.அ
ஈ) \(\frac{56 \pi \mathrm{h}^{2}}{9}\) ச.அ
விடை :
இ) \(\frac{8 \pi h^{2}}{9}\) ச.அ
தீர்வு :
r = \(\frac { 1 }{ 3 }\)h, h = h
புறப்பரப்பு = 2πr(h+r) ச.அ
= 2π × \(\frac { h }{ 3 }\) (h+\(\frac { h }{ 3 }\))
= \(\frac{2 \mathrm{~h}}{3}\left(\frac{4 \mathrm{~h}}{3}\right)\)
= \(\frac{8 \pi \mathrm{h}^{2}}{9}\)ச.அ

கேள்வி 6.
ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையின் வெளிப்புற மற்றும் உட்புற ஆரங்களின் கூடுதல் 14 செ.மீ மற்றும் அதன் தடிமன் 4 செ.மீ ஆகும். உருளையின் உயரம் 20 செ.மீ எனில், அதனை உருவாக்கப் பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
அ) 5600 1 க.செ.மீ
ஆ) 11200 1 க .செ.மீ
இ) 561 க. செ. மீ
ஈ) 3600 க . செ.மீ
விடை :
ஆ) 11200 1 க. செ.மீ
தீர்வு :

w = R – r
R = 9 செ.மீ
r = 5 செ.மீ
V = π(R² – r²)h க. அ
= (9² – 5²)20 = (56)20
= 1120 π க.செ.மீ

கேள்வி 7.
ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காவும் உயரம் இரு மடங்காகவும் மாறினால் கன அளவு எத்தனை மடங்காக மாறும்
அ) 6 மடங்கு
ஆ) 18 மடங்கு
இ) 12மடங்கு
ஈ) மாற்றமில்லை
விடை :
அ) 6 மடங்கு
தீர்வு :
r = 3r, h = 2h
V = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr2h
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)π(3r)²(2h)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)π9r² × 2h
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h
= 6 × \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h
= 6 × கூம்பின் கனஅளவு

கேள்வி 8.
ஓர் அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு அதன் ஆரத்தினுடைய வர்க்கத்தின் மடங்காகும்.
அ) π
ஆ) 4π
இ) 3π
ஈ) 2π
விடை :
இ) 3π
தீர்வு :
மொத்தப்பரப்பு = 3πr²
ஆரத்தினுடைய வர்க்கத்தின் 3π மடங்கு ஆகும்.

கேள்வி 9.
x செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் அதே ஆரமுள்ள ஒரு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது எனில் கூம்பின் உயரம்
அ) 3x செ.மீ
ஆ) x செ.மீ
இ) 4x செ.மீ
ஈ) 2x செ.மீ
விடை :
இ) 4x செ.மீ
தீர்வு
r = x செ.மீ
கூம்பின் கள அளவு = கோளத்தின் கன அளவு
\(\frac { 1 }{ 3 }\) = \(\frac { 4 }{ 3 }\)
h = 4x செ.மீ

கேள்வி 10.
16 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்ட ஆரங்கள் 8 செ.மீ மற்றும் 20 செ.மீ எனில், அதன் கன அளவு
அ) 3328π க செ.மீ
ஆ) 3228π க செ.மீ
இ) 3240π க செ.மீ
ஈ) 3340π க செ.மீ
விடை :
அ) 33287 க.செ.மீ தீர்வு :
V = \(\frac{1}{3}\)πh (R² + r² + Rr) க.அ
= \(\frac{1}{3}\)π × 16 (20² + 8² + 20 × 8)
= \(\frac{16 \pi}{3}\) (400 + 64 + 160)
= \(\frac{16 \pi}{3}\) × 584
V = 3328π க . செ.மீ

கேள்வி 11.
கீழ்க்காணும் எந்த இரு உருவங்களை இணைத்தால் ஓர் இறகுபந்தின் வடிவம் கிடைக்கும்.
அ) உருளை மற்றும் கோளம்
ஆ) அரைக்கோளம் மற்றும் கூம்பு
இ) கோளம் மற்றும் கூம்பு
ஈ) கூம்பின் இடைக்கண்டம் மற்றும் அரைக்கோளம்
விடை :
ஈ) கூம்பின் இடைக்கண்டம் மற்றும் அரைக்கோளம்
தீர்வு

கேள்வி 12.
r₁ அலகுகள் ஆரமுள்ள ஒரு கோளப்பந்து உருக்கப்பட்டு r₂ அலகுகள் ஆரமுடைய 8 சமகோள பந்துகளாக ஆக்கப்படுகிறது எனில் r₁ : r₂
அ) 2:1
ஆ) 1:2
இ) 4:1
ஈ) 1:4
விடை :
அ) 2:1
தீர்வு :
கோளத்தின் கன அளவு = 8 × பந்தின் கன அளவு

கேள்வி 13.
1செ.மீ ஆரமும் 5 செ.மீ உயரமும் கொண்ட ஒரு மர உருளையிலிருந்து அதிகபட்சக் கன அளவு கொண்ட கோளம் வெட்டி எடுக்கப்படுகிறது எனில், அதன் கன அளவு (க. செ.மீ – ல்)
ஆ) \(\frac{4}{3}\)π
அ) \(\frac{10}{3}\)π
இ) 5π
ஈ) \(\frac{20}{3}\)π
விடை :
ஆ) \(\frac{4}{3}\)π
தீர்வு :
கன அளவு = πr²h
= π × 1 × 5
= 5π செ.மீ²
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πr³க.அ
= \(\frac { 4 }{ 3 }\)π(1)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πக.அ

கேள்வி 14.
இடைக்கண்டத்தை ஒரு பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம் முறையே h₁ அலகுகள் மற்றும் r₁ அலகுகள் ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் உயரம் மற்றும் சிறிய பக்க ஆரம் முறையே h₂ அலகுகள் மற்றும் r₂ அலகுகள் மற்றும் h₁ : h₂ = r₁:r₂ எனில் நான் மதிப்பு
அ) 1 : 3
ஆ) 1 : 2
இ) 2 : 1
ஈ) 3 : 1
விடை :
ஆ) 1 : 2
தீர்வு :
h₁;h₂ = 1:2 = r₂ : r₁ = 1 : 2

கேள்வி 15.
சமமான விட்டம் மற்றும் உயரம் உடைய ஓர் உருளை, ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு கோளத்தின் கன அளவுகளின் விகிதம்
அ) 1 : 2 : 3
ஆ) 2 : 1 : 3
இ) 1 : 3 : 2
ஈ) 3 : 1 : 2
விடை :
ஈ) 3 : 1 : 2
தீர்வு :

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.4

கேள்வி 1.
12 செ.மீ ஆரமுள்ள ஓர் அலுமினியக் கோளம் உருக்கப்பட்டு 8 செ.மீ ஆரமுள்ள ஓர் உருளையாக – மாற்றப்படுகிறது. உருளையின் உயரம் காண்க.
தீர்வு :
உருளை :
R = 8 செ.மீ
H = ?
கோளம் :
r = 12 செ.மீ
உருளையின் கன அளவு= கோளத்தின் கன அளவு
πR²H = \(\frac { 4 }{ 3 }\)/ r³
8 x 8 x H = \(\frac { 4 }{ 3 }\) x 12 x 12 x 12
H = \(\frac{4 \times 12 \times 12 \times 12}{3 \times 8 \times 8}\)
H = 36 செ.மீ

கேள்வி 2.
14 செ.மீ விட்டமுள்ள குழாயிலிருந்து 15கி.மீ/மணி என்ற வேகத்தில் 50மீ நீளம் மற்றும் 44 மீ அகலம் கொண்ட ஒரு செவ்வக வடிவத் தொட்டியினுள் தண்ணீர் பாய்கிறது. எவ்வளவு நேரத்தில் தண்ணீ ரின் மட்டம் 21 செ.மீ – க்கு உயரும்.
தீர்வு :
உருளை : r = 7 செ.மீ
h= 1500000 செ.மீ
செவ்வக வடிவ தொட்டி :
l = 50 மீ = 5000 செ.மீ
b = 44 மீ = 4400 செ.மீ
h = 21 செ.மீ
உருளையின் கன அளவு = πr² க.அ
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 7 x 1500000
= 231000000 செ.மீ³
தொட்டியின் கன அளவு
= lbh கன அ
= 5000 x 4400 x 21
= 462000000 செ.மீ

நேரம் = தொட்டியின் கன அளவு / உருளையின் கன அளவு
= \(\frac{462000000}{231000000}\)
= 2 மணிகள்.

கேள்வி 3.
முழுமையாக நீரால் நிரம்பியுள்ள ஒரு கூம்பு வடிவக் குடுவையின் ஆரம் r அலகுகள் மற்றும் உயரம் h அலகுகள் ஆகும். நீரானது xr அலகுகள் ஆரமுள்ள மற்றொரு உருளை வடிவக் குடுவைக்கு மாற்றப்பட்டால் நீரின் உயரம் காண்க.
தீர்வு :
உருளை :
உயரம் = ?
ஆரம் = xr அலகுகள்

கூம்புவடிவ குடுவை :
ஆரம் r அலகுகள்
உயரம் h அலகுகள்

உருளையின் கன அளவு = கூம்பின் கன அளவு
πR²H = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²H
(xr)²H = \(\frac { 1 }{ 3 }\)r²H
x²r²H = \(\frac { 1 }{ 3 }\)r²H
H = \(\frac{r^{2} \mathrm{~h}}{3 x^{2}{r}^{2}}\)
H = \(\frac{\mathrm{h}}{3 x^{2}}\) செ.மீ³

கேள்வி 4.
விட்டம் 14 செ.மீ. உயரம் 8செ.மீ உடைய ஒரு திண்ம நேர்வட்டக் கூம்பு , ஓர் உள்ளீடற்ற கோளமாக உருமாற்றப்படுகிறது. கோளத்தின் வெளிவிட்டம் 10 செ.மீ எனில், உள்விட்டத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
உள்ளீடற்ற கோளம் :
R = 5 செ.மீ
r = ?
கூம்பு :
r = 7 செ.மீ
h = 8 செ.மீ
அரைக்கோளத்தின் கன அளவு = கூம்பின் கன அளவு
\(\frac { 4 }{ 3 }\) π(R³-r³) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²H
4(5³ – r³) = 7 x 7 x 8
(125-r³) = \(\frac{7 \times 7 \times 8}{4}\)
125 – r³ = 98
-r³ = 98 – 125
-r³ = -27
r³ = 27 = 3³
r = 3 செ.மீ)
விட்டம் = 2r = 2 x 3 = 6 செ.மீ

கேள்வி 5.
சீனு வீட்டின் மேல்நிலை நீர்த்தொட்டி உருளை வடிவில் உள்ளது. அதன் ஆரம் 60 செ.மீ மற்றும் உயரம் 105 செ.மீ 2மீ x 1.5 மீ x 1 மீ பரிணாமங்களை உடைய ஒரு கனச்செவ்வகக் கீழ்நிலை நீர் தொட்டியிலிருந்து நீர் உந்தப்பட்டு மேலேயுள்ள உருளை வடிவத் தொட்டி முழுமையாக
நிரப்பப்படுகிறது. தொடக்கத்தில் கீழ்த் தொட்டியில் நீர் முழுமையாக இருப்பதாகக் கருதுக. மேல் தொட்டிக்கு நீர் ஏற்றிய பிறகு மீதமுள்ள நீரின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
உருளை :
r = 60 செ.மீ
h = 105 செ.மீ

செவ்வக வடிவ தொட்டி :
l = 2 மீ = 200 செ.மீ
b = 1.5 மீ = 150 செ.மீ
h = 1 மீ = 100 செ.மீ

உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ.
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 60 x 60 x 105
= 1188000 செ.மீ³
செவ்வக தொட்டியின் கன அளவு = lbh க.அ
= 200 x 150 x 100
= 3000000 செ.மீ³
மேல் தொட்டிக்கு நீர் ஏற்றிய பிறகு மீதமுள்ள நீரின் கன அளவு = செவ்வக தொட்டியின் க.அ – உருளையின் க.அ
= 3000000 – 1188000
= 1812000 செ.மீ³

கேள்வி 6.
ஓர் உள்ளீடற்ற அரைக்கோள ஓட்டின் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற விட்டங்கள் முறையே 6 செ.மீ மற்றும் 10 செ.மீ ஆகும். அது உருக்கப்பட்டு 14 செ.மீ விட்டமுள்ள ஒரு திண்ம உருளையாக்கப்பட்டால், அவ்வுருளையின் உயரம் காண்க.
தீர்வு :
உருளை :
R = 7 செ.மீ
H = ?
உள்ளீடற்ற அரைக் கோளத்தின் கன அளவு r = 3 செ.மீ
R = 5 செ.மீ
உருளையின் கன அளவு = உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் கன அளவு

கேள்வி 7.
6 செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் உருக்கப்பட்டுச் சீரான தடிமனுள்ள ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையாக மாற்றப்படுகிறது. உருளையின் வெளி ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் உயரம் 32 செ.மீ எனில், உருளையின் தடிமனைக் காண்க.
தீர்வு :
உள்ளீடற்ற உருளை:
R = 5 செ.மீ
r = ?
h = 32 செ.மீ
கோளம் :
r = 6 செ.மீ
உள்ளீடற்ற உருளையின் கனஅளவு = கோளத்தின் கனஅளவு
π(R² – r²)h = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πr³
(5² – r²)32 = \(\frac { 4 }{ 3 }\) x 6 x 6 x 6
(25 – r²) = \(\frac{4 \times 2 \times 6 \times 6}{32}\)
25 – r² = 16
r = 4 செ.மீ
தடிமன் = R-r = 5-4 செ.மீ = 1 செ.மீ

கேள்வி 8.
ஓர் அரைக்கோள வடிவக் கிண்ணத்தின் விளிம்புவரையில் பழச்சாறுநிரம்பியுள்ளது. உயரத்தைவிட 50% அதிக ஆரம் கொண்ட உருளை வடிவப்பாத்திரத்திற்குப் பழச்சாறு மாற்றப்படுகிறது. அரைக்கோளம் மற்றும் உருளை ஆகியவற்றின் விட்டங்கள் சமமானால் கிண்ணத்திலிருந்து எவ்வளவு சதவீதப் பழச்சாறு உருளை வடிவ பாத்திரத்திற்கு மாற்றப்படும்?
தீர்வு :
அரைக்கோள கிண்ணத்தின் கன அளவு = \(\frac{2}{3}\)πr³க.அ
உயரம் = h
r = h + h x \(\frac { 50 }{ 100 }\) = h(1 + \(\frac { 1 }{ 2 }\)) = \(\frac{3 h}{2}\)
r = \(\frac{3 h}{2}\) ⇒ h = \(\frac{2 r}{3}\)
உருளை பாத்திரத்தின் கன அளவு

= 100%

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.3

கேள்வி 1.
ஓர் அரைக்கோளத்தின் மேல் ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையைப் பொருத்திய வடிவத்தில் அமைந்த ஒரு கிண்ணத்தின் விட்டம் 14 செ.மீ மற்றும் உயரம் 13 செ.மீ எனில், அதன் கொள்ளவைக் காண்க.
தீர்வு :

உருளை :
r = 7 செ.மீ
h = 6 செ.மீ
அரைக் கோளம் :
r = 7 செ.மீ
கிண்ணத்தின் கன அளவு = உருளையின் க.அ + அரைக்கோளத்தின் க.அ.

கன அளவு = 1642.67 க.செ.மீ³

கேள்வி 2.
நாதன் என்ற பொறியியல் மாணவர் ஓர் உருளையின் இருபுறமும் கூம்புகள் உள்ளவாறுமாதிரி ஒன்றை உருவாக்கினார். மாதிரியின் நீளம் 12 செ.மீ மற்றும் விட்டம் 3 செ.மீ ஆகும். ஒவ்வொரு கூம்பின் உயரமும் 2 செ.மீ இருக்குமானால் நாதன் உருவாக்கிய மாதிரியின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :

உருளை :
R = \(\frac { 3 }{ 2 }\) செ.மீ
H = 8 செ.மீ
கூம்பு :
r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) செ.மீ
h = 2 செ.மீ
மாதிரியின் கன அளவு = உருளையின் க.அ + 2 x கூம்பின் க.அ

= 22 x 3
கன அளவு = 66 க.செ.மீ

கேள்வி 3.
உயரமும் 2.4 செ.மீ மற்றும் விட்ட ம் 1.4 செ. மீ கொண்ட ஒரு திண்ம உருளையில் இருந்து அதே விட்டமும் உயரமும் உள்ள ஒரு கூம்பு வெட்டி எடுக்கப்பட்டால் மீதமுள்ள திண்மத்தின் கன அளவு எவ்வளவு கன செ.மீ ஆகும்?
தீர்வு :

உருளை :
r = 0.7 செ.மீ = \(\frac { 7 }{ 10 }\) செ.மீ
h = 2.4 செ.மீ = \(\frac { 24 }{ 10 }\) செ.மீ
கூம்பு :
r = \(\frac { 7 }{ 10 }\) செ.மீ
h = \(\frac { 24 }{ 10 }\) செ.மீ
மீதமுள்ள திண்மம் = உருளையின் கன அளவு – கூம்பின் க.அ

= 2.46 செ.மீ

கேள்வி 4.
செ.மீ ஒரு திண்மத்தின் அடிப்புறம் 6 செ.மீ ஆரம் உடைய அரைக்கோள வடிவிலும் மேற்புறம் 12 செ.மீ உயரமும் 6 செ.மீ ஆரமும் கொண்ட கூம்பு வடிவிலும் உள்ளது. முழுவதும், நீரால் நிரப்பப்பட்ட ஓர் உருளையின் அடிப்புறத்தைத் தொடுமாறு அத்திண்மம் வைக்கப்படும்போது வெளியேறும் நீரின் கன அளவைக் காண்க. உருளையின் ஆரம் 6 செ.மீ மற்றும் உயரம் 18 செ.மீ எனக் கொள்க.
தீர்வு :

r = 6 செ.மீ, h = 18 செ.மீ
உருளையின்
கன அளவு = πr²h க.அ
\(\frac { 22 }{ 7 }\) x 6 x 6 x 18
= 2036.57 செ.மீ³
கூம்பு :
r = 6 செ.மீ
h = 12 செ.மீ
அரைக்கோளம் :
r = 6 செ.மீ
திண்மத்தின் கன அளவு = கூம்பின் க.அ + அரைக்கோளத்தின்

வெளியேறும் நீரின் கன அளவு = திண்மத்தின் கன அளவு = 905.14 செ.மீ³

கேள்வி 5.
ஒரு மருந்து குப்பி, ஓர் உருளையின் இருபுறமும் அரைக் கோளம் இணைந்த வடிவில் உள்ளது. குப்பியின் மொத்த நீளம் 12 மி.மீ மற்றும் விட்டம் 3 மி.மீ எனில், அதில் அடைக்கப்படும் மருந்தின் கன அளவைக் காண்க? தீர்வு :

உருளை :
r = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
h = 9 மிமீ
அரைக்கோளம் :
r = \(\frac{3}{2}\) மிமீ

மருந்தின் கன அளவு = உருளையின் க.அ+ 2 x அரைக்கோளத்தின் க.அலகுகள்

கேள்வி 6.
7செ.மீபக்க அளவுள்ள கனச்சதுரத்தின் மீது ஓர் அரைக்கோளம் படத்தில் உள்ளவாறு பொருந்தியுள்ளது. திண்மத்தின் புறப்பரப்பு காண்க.
தீர்வு :

கனச் சதுரத்தின் பக்க அளவு = 7 செ.மீ,
ஆரம் r = \(\frac{7}{2}\) செ.மீ
கனச் சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு = 6a²ச.அ
= 6 x 7²
= 294 செ.மீ²

அரைக் கோளத்தின் புறப்பரப்பு
= 2πr² ச. அ

= 77 செ.மீ²
அடிப்பரப்பு = πr²ச. அ

= \(\frac{77}{2}\)
= 38.5 செ.மீ²
திண்மத்தின் புறப்பரப்பு = கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு + அரைக் கோளத்தின் புறப்பரப்பு – அடிப்பரப்பு
= 294 + 77 – 38.5
= 332.5 ச.செ.மீ

கேள்வி 7.
ஆரம் / அலகுகள் கொண்ட ஒரு கோளம் ஒரு நேர் வட்ட உருளையினுள் மிகச் சரியாகப் பொருத்தப்பட்டுள்ளது எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைக் கணக்கிடுக.
i) கோளத்தின் புறப்பரப்பு
ii) உருளையின் வளைபரப்பு
iii) (i) மற்றும் (ii) ல் பெறப்பட்ட பரப்புகளின் விகிதம்.
தீர்வு :
உருளை :
r = r அலகு
கோளம் :
r = r அலகு
h = 2r அலகு
i) கோளத்தின் புறப்பரப்பு = 4πr² ச. அ
ii) உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrhச.அ
= 2πr x 2r ச.அ
= 4πr² ச.அ
iii) கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு : உருளையின் மொத்தப் பரப்பு
= 4πr² : 4πr² = 1:1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.2

கேள்வி 1.
10 மீ உட்புற விட்டம் மற்றும் 14 மீ ஆழம் கொண்ட ஓர் உருளை வடிவக் கிணற்றிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மண் கொண்டு 5 மீ அகலத்தில் கிணற்றைச் சுற்றி மேடை அமைக்கப்படுகிறது எனில், மேடையின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
r = 5மீ, h = 14மீ, R = 10மீ
உருளை வடிவ கிணற்றின் கன அளவு:
= πr²h கன அலகு
= π x 5 x 5 x 14
= 350π மீ³
மேடையின் கன அளவு
= πh(R² – r²) க.அ
= πh(10² – 5²)
= πh(100 – 25)
= 75πh க.அ
மேடையின் கன அளவு = கிணற்றின் கன அளவு
75πh = 3501
h = \(\frac{350}{75}\) = 4.666 – மீ
h = 4.67 மீ

கேள்வி 2.
விட்டம் 20 செ.மீ உள்ள ஓர் உருளை வடிவக் கண்ணாடிக் குவளையில் 9 செ.மீ உயரத்திற்கு நீர் உள்ளது. ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் உயரம் 4 செ.மீ உடைய ஓர் சிறிய உலோக உருளை, நீரில் முழுமையாக மூழ்கும் போது ஏற்படும் நீரின் உயர்வைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :

h₁ = 9 செ.மீ, r₁ = 10 செ.மீ
h₂ = 4 செ.மீ, r₂ = 5 செ.மீ
உருளையின் கன அளவுகள்
V₁ + V₂ = \(\pi r_{1}^{2} h+\pi r_{2}^{2} h\) க.அ
= π(10 x 10 x 9 + 5 x 5 x 4)
= π(900 x 100)
= 10001 செ.மீ³
நீரின் உயரம் h, என்க
πr²h₂ = 1000π
π x 10 x 10 x h₂ = 1000π
h₂ = \(\frac{1000 \pi}{100 \pi}\) = 10 செ.மீ
கண்ணாடிக் குடுவையில் நீரின் உயரம்
= h₂ – h₁ = 10-9 = 1 செ.மீ

கேள்வி 3.
484 செ.மீ சுற்றளவுள்ள ஒரு மரக்கூம்பின் உயரம் 105செ.மீ எனில், கூம்பின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :

சுற்றளவு = 484 செ.மீ
h = 105 செ.மீ
சுற்றளவு = 484
2πr = 484
2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x r = 484
r = \(\frac{484 \times 7}{2 \times 22}\)
r = 77 செ.மீ
கன அளவு = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr² க.அ

= 652190 செ.மீ³
கன அளவு = 652190 செ.மீ³

கேள்வி 4.
ஆரம் 10 மீட்டரும், உயரம் 15 மீட்டரும் உடைய ஒரு கூம்பு வடிவக் கொள்கலன் முழுமையாகப் பெட்ரோலால் நிரம்பியுள்ளது. நிமிடத்திற்கு 25 கனமீட்டர் பெட்ரோல் கொள்கலனின் அடிப்புறம் வழியாக வெளியேற்றப்பட்டால் எத்தனை நிமிடங்களில் கொள்கலன் காலியாகும். விடையை நிமிடத் திருத்தமாகத் தருக.
தீர்வு :

r = 10மீ, h = 15மீ,
வேகம் = 25 மீ³ / நிமிடம்
கன அளவு = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h க.அ
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) x 10 x 10 x 15
= 1571.43 க.மீ
நேரம் x வேகம் = கன அளவு
நேரம் x 25 = 1571.43
நேரம் = \(\frac{1571.43}{25}\) = 62.85
நேரம் – 63 நி

கேள்வி 5.
6 செ.மீ, 8 செ.மீ மற்றும் 10 செ.மீ பக்க அளவுகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அதன் செங்கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்களை மைய அச்சுகளாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது ஏற்படும் திண்மங்களின் கன அளவுகளின் வித்தியாசம் காண்க.
தீர்வு :

AB சுழற்றும் போது
r = 6 செ.மீ, h = 8 செ.மீ
கன அளவு V¹ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h க.அ
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) x 6 x 8

BC ஐ சுழற்றும் போது
r = 8 செ.மீ, h = 6 செ.மீ
கன அளவு V₂ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h அ
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) x 8 x 8 x 6
= 402.29 க.அ
வித்தியாசம் = V² – V¹
= 402.29 – 301.71
= 100.58 க. செ.மீ

கேள்வி 6.
சம ஆரங்கள் கொண்ட இரு கூம்புகளின் கன அளவுகள் 3600 க.செ.மீ மற்றும் 5040 க.செ.மீ எனில், உயரங்களின் விகிதம் காண்க.
தீர்வு :
r₁ = r₂
V₁ : V₁ = 3600 : 5040

கேள்வி 7.
இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் காண்க. தீர்வு :
r₁ = r₂ = 4 : 7
V₁ : V₁ = \(\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}\)

கேள்வி 8.
ஒரு திண்மக் கோளம் மற்றும் திண்ம அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு சமமானதாக இருக்குமானால் அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் 3√3 : 4 என நிரூபி.
தீர்வு :
திண்மக் கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு = திண்ம அரைக் கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு

கேள்வி 9.
ஓர் உள்ளீடற்ற தாமிரக் கோளத்தின் வெளிப்புற, உட்புறப் புறப்பரப்புகள் முறையே 5761 ச.செ.மீ மற்றும் 3247 ச.செ.மீ எனில், கோளத்தை உருவாக்கத் தேவையான தாமிரத்தின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
வெளிப்புற புறப்பரப்பு : 4πR² = 5767 செ.மீ²
உட்புற புறப்பரப்பு : 4πR²= 3247 செ.மீ²
4πR² = 576π
R² = 576/4
= 144
R = 12 செ.மீ
4πr² = 324π
r² = 324/4
= 81
R = 9 செ.மீ
கன அளவு = \(\frac { 4 }{ 3 }\)π (R³ – r³ க.அ
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) (12³ – 9³)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\)(1728 – 729)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) x 22 x999
கன அளவு = 4186.29 செ.மீ³

கேள்வி 10.
உயரம் 16 செ.மீ உடைய ஒரு கூம்பின் இடைக்கண்ட வடிவில் அமைந்த கொள்கலன் ஒன்றின் மேல்புறம் திறந்த நிலையில் உள்ளது. கீழ்ப்புற ஆரம் 8 செ.மீ மற்றும் மேல்புற ஆரம் 20 செ. மீ கொண்ட கொள்கலனில் முழுமையாகப் பால் நிரப்பப்படுகிறது. ஒரு லிட்டர் பாலின் விலை 140 எனில், நிரப்பப்படும் பாலின் மொத்த விலையைக் காண்க.
தீர்வு :

h = 16 செ.மீ, R = 20 செ.மீ, r = 8 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)πh (R² + r + Rr) க.அ
x = 16(20² + 8² + 20 x 8)
= \(\) x 16(400+64+160)
= \(\) 16 x 624
= 10456.43 செ.மீ
10459.43 லிட்டர்
1000 செ.மீ = 10
கன அளவு = 10.45943 லிட்டர்
1 லிட்டர் பாலின் விலை =140
10.45943 லிட்டர் பாலின் விலை
= ₹1045943:40
= ₹418.36

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.1

கேள்வி 1.
ஓர் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.
தீர்வு :
r: h = 5:7
\(\frac{r}{h}=\frac{5}{7}\)
r = \(\frac { 5 }{ 7 }\)h—–(1)
உருளையின் வளைபரப்பு = 5500 ச.செ.மீ
2πrh = 5500
2 x \(\frac{22}{7} \times \frac{5}{7}\) x h x h = 5500
h² = \(\frac{5500 \times 7 \times 7}{2 \times 22 \times 5}\)
h² = 5² x 7²
= (5 x 7)² = (35)²
h = 35 செ.மீ) —-(2)
(2) ஐ (1) ல் பயன்படுத்துக
r = \(\frac{5}{7}\)h
r = \(\frac{5}{7}\) x 35
r = 25
செ.மீ

கேள்வி 2.
ஒரு திண்ம இரும்பு உருளையின் மொத்தப்புறப்பரப்பு 1848 சமீ மேலும் அதன் வளைபரப்பு மொத்த புறப்பரப்பில் ஆறில் ஐந்து பங்காகும் எனில், இரும்பு உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காணவும்.
தீர்வு :
உருளையின் புறப்பரப்பு = 1848 ச.மீ
2πr(h + r) = 1848
2πrh + 2πr² = 1848 ச.மீ —-(1)
உருளையின் வளைபரப்பு = \(\frac{5}{6}\) x புறப்பரப்பு
2πrh = \(\frac{5}{6}\) x 1848
2πrh = 1540 —–(2)
(2)ஐ (1) ல் பயன்படுத்து
2πrh + 2πr² = 1848
1540 + 2πr² = 1848
2πr² = 1848-1540
2 x \(\frac{22}{7}\) x r² = 308
r² = \(\frac{308 \times 7}{2 \times 22}\)
r² = 7²
r = 7 மீ —-(3)
(3) ஐ (2) ல் பயன்படுத்து
2πrh = 1540
2 x \(\frac{22}{7}\) x 7 x h = 1540
h = \(\frac{1540}{2 \times 22}\)
h = 35 மீ

கேள்வி 3.
ஓர் உள்ளீடற்ற மர உருளையின் வெளிப்புற ஆரம் மற்றும் நீளம் முறையே 16 செ.மீ மற்றும் 13 செ.மீ ஆகும். அதன் தடிமன் 4 செ.மீ எனில் உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு எவ்வளவு?
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்டவை
R = 16 செ.மீ
r = 12 செ.மீ
h = 13செ.மீ
R = r + w
r = R-W
= 16 – 4 = 12
உள்ளீடற்ற உருளையின் மொத்தப்பரப்பு
= 2π x (R + r)(R – r + h) ச.அ
= 2 x \(\frac{22}{7}\)(16+12) (16-12+13)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 28 x 17
= 88 x 34
T.S.A = 2992 செ.மீ²

கேள்வி 4.
PQR என்ற செங்கோண முக்கோணத்தில் QR = 16 செ.மீ PR = 20 செ.மீ மற்றும் ∠Q = 90 ஆகும். QR மற்றும் PQ ஐ மைய அச்சுக்களாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது உருவாகும் கூம்புகளின் வளைபரப்புகளை ஒப்பிடுக.
தீர்வு :

QR மைய அச்சாக கொண்டு
r = 12 செ.மீ
1 = 20 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
= π x 12 x 20
= 2400 செ.மீ²
PQ ஐ மைய அச்சாக கொண்டு
r = 16 செ.மீ
1 = 20 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
= π x 16 x 20
= 3207 செ.மீ²
PQ ஐ பொருத்து சுழற்றும் போது கூம்பின் புறப்பரப்பு அதிகமாக இருக்கும்.

கேள்வி 5.
சாயுயரம் 19மீ கொண்ட கூம்பு வடிவக் கூடாரத்தில் நால்வர் உள்ளனர். ஒருவருக்கு 22 ச.மீ பரப்பு தேவை எனில், கூடாரத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு :

l = 19மீ
பரப்பு = πr² = 22செ.மீ²
\(\frac { 22 }{ 7 }\) x r² = 22
r² = \(\frac{22 \times 7}{22}\)
r² = 7

கேள்வி 6.
ஒரு சிறுமி தனது பிறந்த நாளைக் கொண்டாடக் கூம்பு வடிவத் தொப்பிகளை 5720 ச.செ.மீ பரப்புள்ள காகிதத்தாளை பயன்படுத்தித் தயாரிக்கிறாள். 5 செ.மீ ஆரமும், 12 செ.மீ உயரமும் கொண்ட எத்தனை தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்?
தீர்வு :
r = 5செ.மீ
l = 12செ.மீ
l = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+5^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}\)
= \(\sqrt{169}\)
l = 13 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = 5720 செ.மீ²

கேள்வி 7.
சம உயரங்களையுடைய இரு நேர் வட்டக் கூம்புகளின் ஆரங்கள் 1:3 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. கூம்புகளின் உயரம் சிறிய கூம்பின் ஆரத்தின் மூன்று மடங்கு எனில், வளைபரப்புகளின் விகிதம் காண்க.
தீர்வு :
கூம்புகளின் ஆரம் x என்க.
r₁ = x அலகு r₂ = 3x அலகு r₁ < r₂ h₁ = 3x அலகு
h₂ = 3x அலகு

கேள்வி 8.
ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 25% அதிகரிக்கும்போது, அதிகமாகும் புறப்பரப்பின் சதவீதம் காண்க.
தீர்வு :
கோளத்தின் ஆரம் r
கோளத்தின் மொத்தபரப்பு = 4πr2 ச.அ
அதிகரித்த கோளத்தின் ஆரம்
= \(r+\frac{25}{100} r=r+\frac{r}{4}=\frac{5 r}{4}\)அ
புதிய கோளத்தின் மொத்த பரப்பு = 5
4πr² ச.அ

கேள்வி 9.
உள்ளீடற்ற ஓர் அரைக்கோள வடிவக் கிண்ண த்திற்கு ஒரு சதுர செ.மீ க்கு வர்ணம் பூச 0.14 வீதம் செலவாகும். அதன் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற விட்டங்கள் முறையே 20 செ.மீ மற்றும் 28 செ.மீ எனில், அதனை முழுமையாக வர்ணம் பூச எவ்வளவு செலவாகும்?
தீர்வு :
உள் விட்டம் = 20 செ.மீ
உள் ஆரம் r = 10 செ.மீ
வெளி விட்டம் = 28 செ.மீ
வெளி ஆரம் R = 14 செ.மீ
உள்ளீடற்ற அரைக் கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு
= π(3R² + r² ) ச.அ
= \(\frac { 22 }{ 7 }\)[3(14)² + 10²]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [3 x 196 x 100]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\)[588 + 100]
= \(\frac{22 \times 688}{7}\)
= \(\frac{15136}{7}\)
= 2162.29 செ.மீ²
1 செ.மீ² வர்ணம் பூச =10.14
2162.29 ச.செ.மீ² வர்ண ம் பூச
= 2162.29 x 0.14
= ₹302.72

கேள்வி 10.
ஒரு மேஜை விளக்கின் வெளிப்புறத்திற்கு (மேல்பகுதியுடன்) மட்டும் வர்ணம் பூசப்படுகிறது. 1 ச.செ.மீ வர்ணம் பூச ₹2செலவாகுமெனில் விளக்கிற்கு வர்ணம் பூசுவதற்கான மொத்தச் செலவைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :

R = 12செ.மீ,
r = 6செ.மீ,
h = 8செ.மீ

இடைக்கண்டத்தின் புறப்பரப்பு = π (R+r)l ச.அ
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (12 + 6)10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 18 x 10
565.71ச.செ.மீ
வர்ணம் பூசப்பட்ட பரப்பு = புறப்பரப்பு + πr² ச.அ
= 565.71+\(\frac { 22 }{ 7 }\) x 6²
= 565.71 + 113.04
= 678.75 செ.மீ²
1 ச.செ.மீ க்கு வர்ணம் பூச = ₹2
678.75 செ.மீ² ச.செ.மீ க்கு வர்ண ம் பூச
= ₹678.75 x 2
= ₹1357.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.5

கேள்வி 1.
sin²θ + \(\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}\) ன் மதிப்பு
அ) tan²θ
ஆ) 1
இ) cot²θ
ஈ) 0
விடை :
ஆ)1

கேள்வி 2.
tan θ cosec² θ – tan θ – ன் மதிப்பு
அ) sec θ
ஆ) cot² θ
இ) sin θ
ஈ) cot θ
விடை :
ஈ) cot θ
தீர்வு :
tan θ coseo² θ – tanθ = tan θ (cosec² θ – 1)
= tan θ (cot² θ)
= tanθ x cotθ x cotθ = cotθ

கேள்வி 3.
(sinα + cosecα)² + (cosα + secα)² = k + tan²α
+cot²α , எனில் k – ன் மதிப்பு
அ) 9
ஆ) 7
இ) 5
ஈ) 3
விடை :
ஆ) 7
தீர்வு :
sin²α + cosec²α + 2sinα cosecoα + cose²α + sec²α + 2 cosα secα = k + tan²α + cot²α
1 + 2 + 2 + 1 + cot²α + 1 + tan²α = k + tan²α + cot²α
7 + cot²α + tan²α = k + tan²α + cot²α = K = 7

கேள்வி 4.
sin θ + cos θ = a மற்றும் sec θ + cosec θ = b, எனில் b(a² – 1) – ன் மதிப்பு
அ) 2a
ஆ) 3a
இ) 0
ஈ) 2ab
விடை :
அ) 2a
தீர்வு:
b(a² – 1) = (secθ + cosecθ) ( [sinθ + cosθ]² – 1)
= (secθ + cosec θ) (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cosθ – 1)
= (sec θ + cosec θ) (1 + 2 sin θ cos θ – 1 )
= \(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\) (2sinθ cosθ)
= \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}\) (2sinθ cosθ)
= 2 (a) = 2a

கேள்வி 5.
5x = sec θ மற்றும் \(\frac{5}{x}\) = tan θ, – எனில் x² – \(\frac{1}{x^{2}}\)ன் மதிப்பு
அ) 25
ஆ) 1/25
இ) 5
ஈ) 1
விடை:
ஆ) 1/25
தீர்வு :

கேள்வி 6.
sin θ = cos θ, எனில் 2tan² θ + sin² θ – 1ன் மதிப்பு
அ) \(\frac{-3}{2}\)
ஆ) \(\frac{3}{2}\)
இ) \(\frac{2}{3}\)
ஈ) \(\frac{-2}{3}\)
விடை :
இ) \(\frac{2}{3}\)
தீர்வு :
\(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = 1 θ = 45, 2tan² + sin² θ – 1
= 2tan²45° + sin²45 – 1
= 2(1)² + (1/2)² – 1
= 2 + 1/2 – 1 = \(\frac{4+1-2}{2}=\frac{3}{2}\)

கேள்வி 7.
x = a tan θ மற்றும் y = b sec θ எனில்
அ) \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1
ஆ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
இ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
ஈ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 0
விடை :
அ) \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1
தீர்வு :
\(\frac{x}{y}\) = tan θ, \(\frac{y}{b}\) = sec θ
sec² θ – tan² θ = 1
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1

கேள்வி 8.
(1 + tan θ + sec θ)(1 + cotθ – cosecθ) – ன் மதிப்பு
அ) 0
ஆ)1
இ) 2
ஈ) -1
விடை :
இ) 2
தீர்வு :

கேள்வி 9.
a cotθ +bcosecθ = p மற்றும்
bcot θ +a cosec θ = q எனில் p² – q² மதிப்பு
அ) a² – b²
ஆ) b² – a²
இ) a² + b²
ஈ) b – a
விடை :
ஆ) b² – a²
தீர்வு :
p² – q² = (a² cot²θ + b²cosec² θ + 2ab cot ² cosec ²
-(b²cot²θ + a²cosec² θ + 2ab cot ecosec θ)
=-a²cot² + b²cosec² θ + 2ab cot e cosec θ
-b²cot² θ – a²cosec² θ – 2ab cot e cosec θ = a²(cot² θ – cosec² θ) + b²(cosec² θ -cot²θ)
= a²(-1) + b² (1) = -a² + b² = b² – a²

கேள்வி 10.
ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் √3 :1, எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது
அ) 45°
ஆ) 30°
இ) 90°
ஈ) 60°
விடை :
ஈ) 60°
தீர்வு :

tanθ = = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
tanθ = √3 ⇒ tanθ = tan60°
θ = 60°

கேள்வி 11.
ஒரு மின் கம்பமானது அதன் அடியில் சமதளப் பரப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் 30° கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. முதல் புள்ளிக்கு ‘b’மீ உயரத்தில் உள்ள இரண்டாவது புள்ளியிலிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்கக்கோணம் 60° எனில் மின் கம்பத்தின் உயரமானது. (மீட்டரில்)
அ) √3 b
ஆ) b/3
இ) b/2
ஈ) \(\frac{b}{\sqrt{3}}\)
விடை :
ஆ) b/3
தீர்வு :
tanθ =
tanθ 30° = \(\frac{\mathrm{h}}{x}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{x}\)
x = √3h ———(1)
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}}{x}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{b}}{x}\)
x = \(\frac{b}{\sqrt{3}}\) ———- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து

கேள்வி 12.
ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 60மீ ஆகும். சூரியனை காணும் ஏற்றக்கோணம் 30° -லிருந்து 45° ஆக உயரும்போது கோபுரத்தின் நிழலானது : மீ குறைகிறது எனில், x-ன் மதிப்பு
அ) 41.92 மீ
ஆ) 43.92 மீ
இ) 43 மீ
ஈ) 45.6 மீ
விடை :
ஆ) 43.92 மீ
தீர்வு :
tanθ =
tan 45° = \(\frac{60}{x}\)
1 = \(\frac{60}{x}\)
x = 60
tan 30° = \(\frac{60}{x+y}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{x+y}\)
x + y = 60√3
y = 60√3 – 60 = 103.92 – 60 = 43.92 மீ

கேள்வி 13.
பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து 20மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சி, அடி ஆகியவற்றின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 60° எனில் பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உயரம் மற்றும் இரு கட்டடங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது (மீட்டரில்)
அ) 20, 10√3
ஆ) 30, 5√
இ) 20, 10
ஈ.) 30, 10√3
விடை :
ஈ) 30, 10√3
tanθ = im 3
tan 30° = \(\frac{60}{x}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{x}\)
x = h√3 ———- (1)
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}+20}{x}\)
x = \(\frac{\mathrm{h}+20}{\sqrt{3}}\) ———- (2)
1 மற்றும் 2 லிருந்து
\(h \sqrt{3}=\frac{h+20}{\sqrt{3}}\)
3h = h + 20
2h = 20
h = 10
x = h√3
= 10 √3
தொலைவு = 20 + 10 = 30 மீ

கேள்வி 14.
இரண்டு நபர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு மீ ஆகும். முதல் நபரின் உயரமானது இரண்டாவது நபரின் உயரத்தைப் போல இரு மடங்காக உள்ளது. அவர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு நேர்கோட்டின் மையப் புள்ளியிலிருந்து இரு நபர்களின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணங்கள் நிரப்புக்கோணங்கள் எனில், குட்டையாக உள்ள நபரின் உயரம் (மீட்டரில்) காண்க.
அ) √x
ஆ) \(\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)
இ) \(\frac{x}{\sqrt{2}}\)
ஈ.) 2x
விடை :
ஆ) \(\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

தீர்வு:

கேள்வி 15.
ஓர் ஏரியின் மேலே hமீ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் β மேக பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் 45° எனில், ஏரியில் இருந்து மேகத்திற்கு உள்ள உயரமானது. (மீட்டரில்)
அ) \(\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
ஆ) \(\frac{h(1-\tan \beta)}{1+\tan \beta}\)
இ) h tan(45° – β)
ஈ) இவை ஒன்றும் இல்லை
விடை :
அ) \(\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
θ₁ = 45°
θ₁ = β
விடை :

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.4

கேள்வி 1.
13மீ உயரமுள்ள ஒருமரத்தின் உச்சியிலிருந்து மற்றொரு மரத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 45° மற்றும் 30° எனில், இரண்டாவது மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (√3 = 1.732)
தீர்வு :
tanθ =
tan 45° = h/x
1 = h/x
x = h ———(1)
tan 30° = 13/x
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{13}{x}\)

x = 13√3 ——–(2)
(1) & (2) லிருந்து
h = 13√3 = 13 x 1.732
h = 22.516 மீ
இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் = 13 + h
= 13 + 22.52
= 35.52 மீ

கேள்வி 2.
கடலின் நீர் மட்டத்திலிருந்து 40மீட்டருக்கு மேலே உள்ள ஒரு கப்பலின் மேல் பகுதியில் நின்று கொண்டிருக்கிற ஒருவர், குன்றின் உச்சியை 60° ஏற்றக்கோணத்திலும் அடிப்பகுதியை 30° இறக்கக்கோணத்திலும் காண்கிறார் எனில், கப்பலிலிருந்து குன்றுக்கு உள்ள தொலைவையும், குன்றின் உயரத்தையும் காண்க. ( √3 = 1.732)
தீர்வு :
tan θ =
tan 60° = h/x
√3 = h/x
x = h/√3 ——-(1)
tan 30° = 40/x
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{40}{x}\)
x = 40√3 ——(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(40 \sqrt{3}=\frac{h}{\sqrt{3}}\)
h = 40√3 x √3 = 40 x 3 = 120
h = 120 மீ
மொத்த உயரம் = 120 + 40 மீ = 160 மீ

கேள்வி 3.
ஏரியின் நீர் மட்டத்திலிருந்து ‘he உயரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு மேகத்தின் ஏற்றக்கோணம், θ₁ மற்றும் ஏரி நீரில் விழும் மேகப் பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் θ₂ எனில் தரையிலிருந்து மேகத்தின் உயரம் \(\frac{h\left(\tan q_{1}+\tan q_{2}\right)}{\tan q_{2}-\tan q_{1}}\) என நிரூபி.
தீர்வு :
tanθ = 
EF = DC = h , AD = b – h
AC = BC = b BD = b + h

tanθ₁ (b + h) = tanθ₂ (b – h)
b tanθ₁ + h tanθ₁ = b tanθ₂ – h tanθ₂
h tanθ₁ + h tanθ₂ = b tanθ₂ – b tanθ₁
h (tanθ₁ + tanθ₂) = b (tanθ₂ – b tanθ₁)
= b(tanθ₂ – tanθ₁) = h(tanθ₁ + tanθ₂)
b = h ( \(\frac{\tan \theta_{1}+\tan \theta_{2}}{\tan \theta_{2}-\tan \theta_{1}}\) )

கேள்வி 4.
உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் அடியிலிருந்து அலைபேசி கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 60° மற்றும் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து கோபுர அடியின் இறக்கக்கோணம் 30 ஆகும். அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் உயரம் 50 மீ எனில் அலைபேசிக் கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. கதிர்வீச்சுக்கட்டுப்பாடு விதியின்படி அலைபேசிக் கோபுரத்தின் குறைந்தபட்ச உயரம் 120மீ இருக்க வேண்டும். மேற்கண்ட அலைக்கோபுரம் இந்தக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்படுகிறதா?
தீர்வு :
tanθ =
tan 30° – \(\frac{50}{x}\)
x = 50√3 ————— (1)
tan 60° = h/x
√3 = h/x
x = h/√3 ————— (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{3}}\) = 50√3
h = 50√3 x √3 = 50 x 3 = 150
h = 150 மீ
ஆம். மேற்கண்ட அலைக்கோபுரம் இந்தக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்படுகிறது.

கேள்வி 5.
66 மீ உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து ஒரு விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 60°, 30° எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்.
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்குமாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்.
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்குமாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு. ( √3 = 1.732)
தீர்வு :
tanθ =
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}-66}{x}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{h}-66}{x}\)
x = \(\frac{\mathrm{h}-66}{\sqrt{3}}\) ———(1)
tan 30° = \(\frac{66}{x}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{66}{x}\)
x = 66√3 ——– (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}-66}{\sqrt{3}}=66 \sqrt{3}\)
h – 66 = 66√3 x 66 x 3 = 198
h = 198 + 66
i) h = 264 மீ
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்குமாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்
= 264 – 66 = 198 மீ.
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்குமாடிக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு x = 66√3 = 66 x 1.732
= 114.31மீ

கேள்வி 6.
A, B மற்றும் C என்ற மூன்று கிராமவாசிகள் ஒரு பள்ளத்தாக்கில் ஒருவருக்கொருவர் பார்க்குமாறு உள்ளனர். A-க்கும், B-க்கும் இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 8கி.மீ மற்றும் B-க்கும், C-க்கும் இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 12கி.மீ A-லிருந்து B-க்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 20° மற்றும் B-யிலிருந்து C-க்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் 30 எனில் பின்வருவனவற்றைக் கணக்கிடுக.
(i) A-க்கும் B-க்கும் இடையேயுள்ள செங்குத்து உயரம்.
(ii) B-க்கும் C-க்கும் இடையேயுள்ள செங்குத்து உயரம்.
(tan 20° = 0.3640, √3 = 1.732)
தீர்வு :

tanθ =
tan 20° = \(\begin{array}{l}
\text { AD } \\
\hline B D
\end{array}\)
0.3640 = \(\frac{\mathrm{AD}}{8}\)
AD = 0.3640 x 8 = 2.91 கி.மீ
AD = 2.91கி.மீ

tan 30° = \(\frac{\mathrm{CE}}{B E}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{C E}{12}\)
\(\frac{12}{\sqrt{3}}\) = CE
CE = 4√3 = 4 x 1.732
CE = 6.39 கி.மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
50√3 மீ உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30. இறக்கக்கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க.
தீர்வு :

x = 50√3 x √3 = 50 x 3
x = 150 மீ

கேள்வி 2.
இரண்டு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 70மீ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து முதல் கட்டடத்தின் உச்சிக்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 45′ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 120மீ எனில் முதல் கட்டடத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
tan θ =
tan 45° = \(\frac{120-h}{70}\)
1 = \(\frac{120-h}{70}\)
70 = 120 – h
h = 120 – 70 = 50
h = 50 மீ

கேள்வி 3.
60மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து செங்குத்தாக உள்ள ஒரு விளக்குக்கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 380 மற்றும் 60° எனில், விளக்குக் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 380 = 0.7813, √3 = 1.732)
தீர்வு:

(1) & (2)லிருந்து
\(\frac{60-h}{0.7813}\) = 20√3
60 – h = 20(1.732) x 0.7813
60 – h = 27.06
h = 60 – 27.06 = 32.94
h = 32.94 மீ

கேள்வி 4.
1800 மீ உயரத்தில் பறக்கும் ஒரு விமானத்திலிருந்து ஒரே திசையில் விமானத்தை நோக்கிச் செல்லும் இருபடகுகள் பார்க்கப்படுகிறது. விமானத்திலிருந்து இரு படகுகளை முறையே 60 மற்றும் 300 இறக்கக்கோணங்களில் உற்று நோக்கினால், இரண்டு படகுகளுக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவைக் காண்க. ( √3 = 1.732).
தீர்வு :


(1) = (2) 600√3 = 1800√3 – x
x = 1800 √3 – 600√3
= 1200 √3
= 1200(1.732)
x = 2078.4 மீ

கேள்வி 5.
ஒரு கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ள இரண்டு கப்பல்கள் 30 மற்றும் 60 இறக்கக்கோணத்தில் பார்க்கப்படுகின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் hமீ. இரு கப்பல்கள் மற்றும் கலங்கரை விளக்கத்தின் அடிப்பகுதி ஆகியவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமைகின்றன எனில், இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(\frac{4 h}{\sqrt{3}}\) மீ என நிரூபிக்க.
தீர்வு :

கேள்வி 6.
90 அடி உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலிருந்து ஒளிஊடுருவும் கண்ணாடிச் சுவர் கொண்ட மின் தூக்கியானது கீழ் நோக்கி வருகிறது. கட்டடத்தின் உச்சியில் மின் தூக்கி இருக்கும் போது பூந்தோட்டத்தில் உள்ள ஒரு நீரூற்றின் இறக்கக்கோணம் 60° ஆகும். இரண்டு நிமிடம் கழித்து அதன் இறக்கக்கோணம் 300 ஆக குறைகிறது. மின்தூக்கியின் நுழைவு வாயிலிருந்து நீரூற்று 30√3 அடி தொலைவில் உள்ளது எனில் மின்தூக்கி கீழே வரும் வேகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x + y = 90√3 ——-(2)
x + 30√3 = 90√3 by (1)
x = 90√3 – 30√3
x = 60√3
தொலைவு = x = 60√3
வேகம் x நேரம் = 6013
வேகம் x 2 = 60√3
வேகம் = \(\)
வேகம் = 30√3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
10√3 மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 30மீ தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

tanθ = tan 30°
e = 30°

கேள்வி 2.
ஒரு சாலையின் இருபுறமும் இடைவெளியே இல்லாமல் வரிசையாக வீடுகள் தொடர்ச்சியாக உள்ளன. அவற்றின் உயரம் 413 மீ. பாதசாரி ஒருவர் சாலையின் மையப் பகுதியில் நின்று கொண்டு வரிசையாக உள்ள வீடுகளை நோக்குகிறார். 300 ஏற்றக்கோணத்தில் பாதசாரி வீட்டின் உச்சியை நோக்குகிறார் எனில், சாலையின் அகலத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
ஒருவர் அவருடைய வீட்டிற்கு வெளியில் நின்றுகொண்டு ஒரு ஜன்னலின் உச்சி மற்றும் அடி ஆகியவற்றை முறையே 600 மற்றும் 45″ ஆகிய ஏற்றக்கோணங்களில் காண்கிறார். அவரின் உயரம் 180செ.மீ. மேலும் வீட்டிலிருந்து 5மீ தொலைவில் அவர் உள்ளார் எனில், ஜன்னலின் உயரத்தைக் காண்க . ( √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 45° = \(\frac{x-h}{5}\)
1 = \(\frac{x-h}{5}\)
5 = x – h
x = h + 5——(1)
tan 60° = \(\frac{x}{5}\)
√3 = \(\frac{x}{5}\)
x = 5√3 —–(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
h + 5 = 5√3
h = 5√3 – 5
= ( √3 – 1)5
= (1.732 – 1)5
= (0.732) 5
h = 3.66 மீ

கேள்வி 4.
1.6மீ உயரமுள்ள சிலை ஒன்று பீடத்தின் மேல் அமைந்துள்ளது. தரையிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து 60° ஏற்றக்கோணத்தில் சிலையின் உச்சி அமைந்துள்ளது. மேலும் அதே புள்ளியிலிருந்து பீடத்தின் உச்சியானது 40° ஏற்றக்கோணத்தில் உள்ளது எனில், பீடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 40° = 0.8391, √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 40° = \(\frac{h}{x}\)
0.8391 = \(\frac{h}{x}\)
x = \(\frac{h}{0.8391}\)——(1)
tan 60° = [la6tex]\frac{1.6+h}{x}[/latex]
√3 = \(\frac{1.6+h}{x}\)
x = \(\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\) ——-(2)
(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{h}{0.8391}=\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\)
√3h = 0.8391 x 1.6 + 0.8391 h
1.732 h – 0.8391 h = 1.3426
0.8929 h = 1.3426
h = \(\frac{1.3426}{0.8929}\)
h = 1.50 மீ

கேள்வி 5.
‘r’ மீ ஆரம் கொண்ட அரைக்கோளக் குவிமாடத்தின் மீது ‘h’ மீ உயரமுள்ள ஒரு கொடி கம்பம் நிற்கிறது, குவிமாடத்தின் அடியிலிருந்து 7 மீ தொலைவில் ஒருவர் நிற்கிறார். அவர் கொடிக்கம்பத்தின் உச்சியை 450 ஏற்றக் கோணத்திலும் நிற்குமிடத்திலிருந்து மேலும் 5மீ தொலைவு விலகிச்சென்று கொடிக் கம்பத்தின் அடியை 30′. ஏற்றக் கோணத்திலும் பார்க்கிறார் எனில், (i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் (ii) அரைக் கோளக் குவிமாடத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றைக் காண்க. ( √3 = 1.732)

தீர்வு :

r + 7 = r + h
⇒ h = 7மீ

r + 12 = √3r
√3r – r = 12
(√3 – 1)r = 12
(1.732 – 1) = 12
0.732 x r = 12
r = \(\frac{12}{0.732}\)
r = 16.39 மீ

கேள்வி 6.
15 மீ உயரமுள்ள ஒரு கோபுரம் உள்ளது. ஒரு மின் கம்பத்தின் அடி மற்றும் உச்சியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியை முறையே 60°, 300 என்ற ஏற்றக்கோணங்களில் பார்த்தால் மின் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x = \(\frac{15}{\sqrt{3}}\) ———-(2)
(1) = (2)
\(\frac{15}{\sqrt{3}}=(15-\mathrm{h}) \sqrt{3}\)
15 = (15 – h) 3
15 – h = \(\frac{15}{3}\) = 5
15 – h = 5
15 – 5 = h
h = 10 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) cot θ + tan θ = sec θ cosec θ
(ii) tan⁴ θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
தீர்வு:
(i) இடப்பக்கம் = cot θ + tan θ

= sec θ cosec θ = வலப்பக்கம் –

(ii) இடப்பக்கம் = tan⁴ θ+ tan² θ
= tan² θ (tan² θ + 1)
= tan² θ x sec² θ ——-(1)
வலப்பக்கம் = sec⁴ θ – sec² θ
= sec² θ (sec² θ – 1)
= sec² θ x tan² θ ——-(2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 2.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{\cot ^{2} \theta-1}\) = tan² θ
(ii) \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = secθ – tanθ
தீர்வு:

கேள்வி 3.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\) = sec θ + tan θ
(ii) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2secθ
தீர்வு:

கேள்வி 4.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁶ θ = tan⁶ θ + 3 tan² θ Sec² θ + 1
(ii) (Sin θ + Secθ)² + (Cos θ + Cosec θ)²
= 1+ (Sec θ + Cosec θ)²
தீர்வு:
(i) வலப்பக்கம் = Sec⁶ θ
= (Sec² θ )3
= (1 + tan² θ )³
= (1)3 + 3(1)2 (tan 0)2
+ 3(1)(tan² θ )² + (tan² θ )³
= 1+3 tan² θ +3tan⁴ θ + tan⁶ θ
= tan⁶ θ + 3tan² θ (1+ tan² θ ) + 1
= tan⁶ θ + 3tan² θ Sec² θ + 1
= RHS.

(ii) இடப்பக்கம்
= (sin θ + sec θ)² + (cos θ + cosec θ)²
= sin² θ + sec² θ + 2sin θ sec + cos² θ + cosec² θ + 2cosθ cosec θ
= 1 + 2sin θ x \(\frac{1}{\cos \theta}\) + 2cos θ x \(\frac{1}{\sin \theta}\) cosθ + sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2[\(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\) ] + sec² θ + cosec² θ
= 1 + 2[ \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\) ]+ sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2sec θ cosec θ + sec² e + cosec² θ
= 1 + (sec θ + cosec 6)² = R.H.S

கேள்வி 5.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1
(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)
தீர்வு :
(i) இடப்பக்கம் = Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1

(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos B}+\frac{\cos A-\cos B}{\sin A+\sin B}\)
(ii) \(\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^{3} A-\cos ^{3} A}{\sin A-\cos A}=2\)
தீர்வு :

= (sin²A – sinAcosA + cos²A) + (sin²A + sinAcosA + cos²A)
= 1 – sinA cosA + 1 + sinA cosA
= 2 = வலப்பக்கம்

கேள்வி 7.
i) sinθ + cosθ = √3 எனில், tanθ + cotθ = 1
ii) √3sinθ – cosθ = 0 எனில் tan3θ = \(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\) என நிறுவுக
தீர்வு :
(i) கொடுக்கப்பட்டவை sinθ +cosθ = √3
(sinθ + cosθ)² = ( √3)²
sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 3
1 + 2sinθ cosθ = 3
2sinθ cosθ = 3-1 = 2
sinθ cosθ = 5
sinθ cosθ = 1——–(1)
இடப்பக்கம் = tanθ + cotθ
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= 1/1 = 1 = வலப்பக்கம்

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை √3sinθ – cosθ = 0
√3 sinθ = cosθ
\(\frac{\sin \theta}{Cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
இடப்பக்கம் = tan 3θ
= tan 3 (30°)
= tan90° = வரையறுக்கப்பட்டவில்லை —— (1)

= வரையறுக்கப்படவில்லை ——- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 8.
i) \(\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\) = m மற்றும் \(\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}\) = n
எனக்கொண்டு (m² + m²) Cos β = n² என்பதை நிரூபிக்கவும்
ii) Cot θ + tan θ = x மற்றும் Sec θ – Cos θ = y, எனில் \(\left(x^{2} y\right)^{\frac{2}{3}}-\left(x y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\) என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு : (i)

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை

கேள்வி 9.
(i) sinθ + cosθ = P , மற்றும் secθ + cosecθ = q எனில், q(p² – 1) = 2p என்பதை நிரூபிக்கவும்.
(ii) sinθ (1 + sin²θ) = cos²θ , எனில், cos⁶θ – 4cos⁴θ + 8cos²θ = 4 என்ப தை நிரூபிக்கவும்
(i) தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை, sin θ + cos θ = p
(sinθ +cosθ)² = p²
sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = p²
1 + 2sinθ cosθ = p² ——– (1)
secθ + cosecθ = q

secθ + cosθ = p/q ——— (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 + 2\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) = p²
2p = q(p² – 1)
q(p² – 1) = 2p
நிரூபிக்கப்பட்டது.

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை sine (1+sin²o) = cos²o
sinθ [1+1-cos²θ] = cos²e
sinθ [2-cos²θ] = cos²θ
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
sin²θ [2-cos²θ)² = cos⁴θ
(1-cos²θ) [(2)² – 2(2) (cos²θ) – (cos²θ)² ] = cos⁴θ
(1-cos²θ)[4- 4cos²θ + cos⁴θ] = cos⁴θ
4 – 4cos²θ+ cos⁴θ – 4cos²θ + 4cos⁴θ – cos ⁶θ = cos⁴θ
4 – 8cos²θ – 4cos⁴θ – cos⁶θ – cos⁴θ = 0
cos⁶ θ – 4cos⁴θ – 8cos²θ = 4
நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 10.
\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\), எனில், \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\) = sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\)

a² – a² sinθ = 1 + sinθ
a² – 1 = a sinθ + sinθ
a² – 1 = (a² + 1)sinθ
sinθ = \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.