Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2

கேள்வி 1.
ΔABC, யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC – யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது.
i) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில்
AE யின் மதிப்பு காண்க.
ii) AD = 8x – 7, DB = 5x – 3, AE = 4x – 3 மற்றும் EC = 3x – 1 எனில் X – ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :

i) ΔABC,ல் DE|| BC
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AE = x, EC = 15 – x]
\(\frac{3}{4}=\frac{x}{15-x}\)
= 3 (15 – x) = 4x
⇒ 45 – 3x = 4x
7x = 45
x = \(\frac{45}{7}\) = 6.42

ii) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
⇒ \(\frac{8 x-7}{5 x-3}=\frac{4 x-3}{3 x-1}\)
⇒ (8x – 7)(3x – 1) = (4x – 3)(5x – 3)
⇒ 24x² – 29x +7 = 20x² – 27x + 9
⇒ 4x² – 23 – 2 = 0
⇒ 2x² – x – 1 = 0
(x – 1) (2x + 1) = 0
∴ x = 1 (or) = – 1/2
x ஆனது குறை எண் அல்ல x = 1

கேள்வி 2.
ABCD என்ற ஒரு சரிவகத்தில் AB| | DC மற்றும் P, Q என்பன முறையே பக்கங்கள் AD மற்றும் BC யின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். மேலும் PQ | |DC, PD = 18 செ.மீ, BQ = 35 செ.மீ மற்றும் QC = 15 செ.மீ எனில், AD காண்க.
தீர்வு :

AB ||DC||PQ
∴ \(\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QB}}\)
\(\frac{18}{x}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\)
x = 18 x 2/3 = 42
∴ AD = AP + PD = 42 + 18 = 60 செ.மீ

கேள்வி 3.
ΔABC, யில் D மற்றும் E என்ற புள்ளிகள் முறையே பக்கங்கள் AB மற்றும் AC ஆகியவற்றின் மீது அமைந்துள்ளன. பின்வருவனவற்றிற்கு DE| |BC என நிறுவுக.
i) AB = 12செ.மீ, AD = 8செ.மீ, AE = 12
செ.மீ மற்றும் AC = 18 செ.மீ
ii) AB = 5.6 செ.மீ, AD = 1.4 செ.மீ, AC =7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ.
தீர்வு :

கேள்வி 4.
படத்தில் PQ ||BC மற்றும் PR| | CD எனில்
i) \(\frac{A R}{A D}=\frac{A Q}{A B}\)
ii) \(\frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AR}}\)என நிருவுக.
தீர்வு :

i) ΔACB, ல் PQ|| BC
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, ல் PR|| CD
∴ \(\frac{A R}{A D}=\frac{A P}{A C}\) —(2)
(1) = (2)
∴ \(\frac{A Q}{A B}=\frac{A R}{A D}\)

ii) ΔACB, PQ | | BC
∴ \(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, PR| | CD
∴ \(\frac{A P}{P C}=\frac{A R}{R D}\) — (2)
(1) & (2), லிருந்து \(\frac{A Q}{Q B}=\frac{A R}{R D}\)
தலைகீழ் காண \(\frac{Q B}{A Q}=\frac{R D}{A R}\)

கேள்வி 5.
ΔABC யின் உள்ளே B ஐ ஒரு கோணமாகக் கொண்ட சாய்தூரம் PQRB அமைந்துள்ளது. P, Q மற்றும் R என்பன முறையே பக்கங்கள் AB, AC மற்றும் BC மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். AB = 12 செ.மீ மற்றும் BC = 6 எனில், சாய்சதுரத்தின் பக்கங்கள் PQ, RB – யைக் காண்க.
தீர்வு :

படத்திலிருந்து \(\frac{A R}{A B}=\frac{P Q}{B C}\)
⇒ \(\frac{12-x}{12}=\frac{x}{6}\)
⇒ 12x = 72 – 6x
⇒ 18x = 72
x = 4
∴ PQ = 4 செ.மீ மற்றும் RB = 4 செ.மீ

கேள்வி 6.
சரிவகம் ABCD யில், AB| |DC, E மற்றும் F என்பன முறையே இணையற்ற பக்கங்கள் AD மற்றும் BC ன் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள், மேலும் EF||AB, என அமைந்தால் \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\) என நிறுவுக
தீர்வு :

ΔABD,ல் EG| | AB
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}\) — (1)
ΔCBD,ல் FG|| CD
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{GD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)
தலைகீழ் காண, \(\frac{G D}{B G}=\frac{F C}{B F}\) —(2)
(1) & (2) -லிருந்து
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{BF}}\)
மீண்டும் தலைகீழ் காண, \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)

கேள்வி 7.
படத்தில் DE|| BC மற்றும் CD||EF. எனில் AD² = AB X AF என நிறுவுக.
தீர்வு :

DE || BC
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\) — (1)
AF AE மேலும் CDT |EF, \(\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\) — (2)
AD AF (1) & (2) லிருந்து \(\frac{A D}{A B}=\frac{A F}{A D}\)
= AD² = AB X AF

கேள்வி 8.
பின்வருவனவற்றுள் ΔABC யில் AD ஆனது ∠A யின் இருசம வெட்டி ஆகுமா எனச் சோதிக்கவும்.
i) AB = 5 செ.மீ, AC = 10செ.மீ, BD = 1.5
செ.மீ மற்றும் CD = 3.5செ.மீ
ii) AB = 4 செ.மீ, AC = 6 செ.மீ,
BD = 1.6 செ.மீ மற்றும் CD = 2.4 செ.மீ
தீர்வு :

i) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) ——(1)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{1.5}{3.5}=\frac{3}{7}\) — (2)
(1) & (2) லிருந்து \(\frac{A B}{A C} \neq \frac{B D}{D C}\)
∴ AD ஆனது ∠Aன் இருசம வெட்டி அல்ல

ii) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)——(1)
\(\frac{B D}{D C}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}\)—– (2)
(1) & (2)லிருந்து \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \neq \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\)
∴ AD ஆனது ∠A ன் இருசம வெட்டி ஆகும்.

கேள்வி 9.
படத்தில் ∠QPR = 90°, PS ஆனது. ∠P – யின் இருசமவெட்டி மேலும், ST⊥PR, எனில், ST x (PQ + PR) = PQ X PR என நிறுவுக.
தீர்வு:

படத்தில் ∠DPR = 90°
PS என்பது ∠Pன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}\)
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட

(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{P Q+P R}{P R}=\frac{P Q}{S T}\)
⇒ ST (PQ + PR) = PQ x PR

கேள்வி 10.
நாற்கரம் ABCDயில் AB= AD, ∠BAC மற்றும் ∠CAD யின் கோண இருசமவெட்டிகள் BC மற்றும் CD ஆகிய பக்கங்களை முறையே E மற்றும் F என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன எனில், EF||BD என நிறுவுக.
தீர்வு :

AC, BD மற்றும் EF யை இணை ACAB ல்
AE ஆனது ∠BAC ன் இருசமவெட்டி

தேல்ஸ் தேற்றத்தின் மறுதலையின் படி EF | | BD

கேள்வி 11.
PQ = 4.5 செ.மீ, ∠R = 35 மற்றும் உச்சி R – லிருந்து வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG = 6செ.மீ என அமையுமாறு ΔPQR வரைக
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 4.5 செ.மீ வரைக.
2. புள்ளி P வழியாக ∠QPE = 35° என இருக்கும்படி PE வரைக.
3. புள்ளி P வழியே ∠EPF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைக.
4. PQ, க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடு PF ஐ O விலும் PQ ஐ G யிலும் சந்திக்கிறது.
5. O வை மையமாகவும் OP யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. G யிலிருந்து 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வில்லை வட்டத்தில் வெட்டுமாறு வரைக.
7. PR ,RQ.யை இணை. ΔPQR தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 12.
QR = 5 செ.மீ, ∠P = 40° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் PG = 4.4 செ.மீ என இருக்கும்படி ΔPQR வரைக. மேலும் P லிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க. தீர்வு :

வரைமுறை

1. QR = 5 செ.மீ வரைக்
2. ∠ROE = 40° வரைக
3. ∠EQF = 90° வரைக
4. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வளரக அது QR, QF ஐ வெட்டும் புள்ளிக்கு G, O என்க.
5. O வை மையமாகக் வைத்து வட்டம் வரைக.
6. GP = 4.4 செ.மீ வரைக.
7. ΔPQR தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. p யிலிருந்து QR க்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அதன் நீளம் 2.1 செ.மீ ஆகும்.

கேள்வி 13.
QR = 6.5 செ.மீ, ∠P = 60° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.5 செ.மீ உடைய ΔPQR வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. QR = 6.5 செ.மீ வரைக. ∠RQE = 60° வரைக ∠EQF = 90°
2. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR ஐ M விலும் QF யை ) விலும் சந்திக்கும்.
3. O வை மையமாக வைத்து விட்டம் வரைக.
4. M லிருந்து G க்கு MG = 4.5 செ.மீ வில்
   வரைக.
5. G வழியே XY| | QR வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி P என்க
7. PQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 14.
AB = 5.5 செ.மீ ∠C = 25° மற்றும் உச்சி C யிலிருந்து AB க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய ΔABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. AB = 5.5 செ.மீ வரைக. ∠BAE = 25°∠FAE = 90°
2. AB க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AF, AB யை O, G ல் வெட்டுகிறது.
3. O வை மையமாகக் கொண்டு விட்டம் வரைக.
4. GM = 4 செ.மீல் வில் வரைக.
5. M வழியாக XY|| AB வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி C என்க
7. ΔABC என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 15.
அடிப்பக்கம் BC = 5.6 செ.மீ ∠A = 40° மற்றும்,∠A இருசம வெட்டியானது அடிப்பக்கம் BCஐ CD = 4 செ.மீ என D யில் சந்திக்குமாறு அமையும் முக்கோணம் ABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. BC = 5.6 செ.மீ வரைக. ∠CBE = 40° ∠FBE = 90°
2. BC க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது BF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக வைத்து வட்டம் வரைக.
4. CD = 4 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக்கோடு வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு 1 என்க.
5. DI யை இணை. அது விட்டத்தை தொடும் புள்ளி A என்க.
6. AD ஆனது Aன் இருசம் வெட்டியாகும்.
7. ΔABC தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 16.
PQ = 6.8 செ.மீ, உச்சிக்கோணம் 50° மற்றும் உச்சிக்கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அடிப்பக்கத்தை PD = 5.2 செ.மீ எனD யில் சந்திக்குமாறு அமையும் APQR.வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 6.8செ.மீ வரைக. ∠QPE = 50° ∠FPE = 90° வரைக்
2. PQ க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது PF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக கொண்டு வட்டம் வரைக
4. PD = 5.2 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக் கோடானது வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு என்க
5. DI யை இணை, அது வட்டத்தை தொடும் புள்ளி R.
6. RD ஆனது Rன் இருசம வெட்டியாகும்.
7. ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.