Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

கேள்வி 1.
x அச்சுடன் மிகை திசையில் சாய்வு கோணத்தை கொண்ட கோட்டின் சாய்வு – என்ன ?
i) 90°
ii) 0°
தீர்வு :
i) θ = 90° = சாய்வு m = tanθ
m = tan90°
வரையறுக்கப்படாதது

ii) θ = 0° ⇒ சாய்வு m = tan0°
m = 0

கேள்வி 2.
பின்வரும் சாய்வுகளைக் கொண்டநேர்க்கோடுகளின் சாய்வுக் கோணம் என்ன ?
(i) 0
(ii) 1
தீர்வு :
i) m = 0 – சாய்வு m= tanθ
0 = tanθ
tanθ = tanθ
0° = θ

ii) m = 1 = சாய்வு m = tanθ
1 = tanθ
tan45° = tanθ
45° = θ

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
(i) (5, √5) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி
(ii) (sinθ, -cosθ) மற்றும் (-sinθ, cosθ)
தீர்வு:
i) (5, √5) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி
சாய்வு, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-\sqrt{5}}{0-5}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ii) (sinθ, -cosθ) மற்றும் (-sinθ, cosθ)
சாய்வு,m = \(\frac{\cos \theta+\cos \theta}{-\sin \theta-\sin \theta}=\frac{2 \cos \theta}{-2 \sin \theta}\) = -cotθ

கேள்வி 4.
A(5,1) மற்றும் P ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு என்ன? இதில் P என்பது (4,2) மற்றும் (-6, 4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி ஆகும்.
தீர்வு :
P என்பது (4, 2) மற்றும் (-6, 4) ஐ முனைகளை கொண்ட கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி ஆகும்.

(-1, 3) = P(x,y)
A(5, 1), P(-1, 3) ஆகிய முனைகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-1}{-1-5}=\frac{2}{-6}=\frac{-1}{3}\)
தேவையான கோடானது AP க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ × m₂ = -1
\(\frac{-1}{3}\) × m₂ = -1
m₂ = 3
சாய்வு = 3

கேள்வி 5.
(-3,-4), (7, 2) மற்றும் (12,5) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை A(-3, -4), B(7, 2) மற்றும் C(12, 5) என்க.
AB ன் சாய்வு = \(\frac{2+4}{7+3}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) ——- (1)
BC ன் சாய்வு = \(\frac{5-2}{12-7}=\frac{3}{5}\)——- (2)
(1) = (2)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைவன.

கேள்வி 6.
(3,-1), (a, 3) மற்றும் (1,-3) ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில் a-ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை A(3, -1), B(a,3), மற்றும் C(1,-3) என்க.
A,B,C ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்தது.
AB ன் சாய்வு = BCன் சாய்வு
\(\frac{3+1}{a-3}=\frac{-3-3}{1-a}\)
\(\frac{4}{a-3}=\frac{-6}{1-a}\)
4(1-a) = -6(a-3)
4 – 4a = -6a + 18
-4a + 6a = 18 – 4
2a = 14
a = 7

கேள்வி 7.
(-2,a) மற்றும் (9, 3) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(\frac { -1 }{ 2 }\) எனில் என் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (-2, a), (9, 3)
சாய்வு = \(\frac { -1 }{ 2 }\)
\(\frac{3-a}{9+2}=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{3-a}{11}=-\frac{1}{2}\)
2(3 – a) = -11
6 – 2a = -11
6 + 11 = 2a
\(\frac{17}{2}\) = a
a = \(\frac{17}{2}\)

கேள்வி 8.
(-2, 6) மற்றும் (4, 8) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடானது (8, 12) மற்றும் (x, 24) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்து எனில் , ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-2,6), B(4,8)மற்றும் C(8, 12) மற்றும் D(x, 24)
AB ன் சாய்வு
m₁ = \(\frac{8-6}{4+2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
CD ன் சாய்வு
m₂ = \(\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8}\)
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,
m₁ × m₂ = -1
\(\frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}\) = -1
\(\frac{12}{3}\) = -1(x – 8)
4 = -x + 8
x = 8 – 4 = 4
x = 4

கேள்வி 9.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக. மேலும் பிதாகரஸ் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யுமா என ஆராய்க. (i) A(1,-4), B(2,-3) மற்றும் C(4,-7)
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றம்.
BC² = AB² + CA²
\((\sqrt{20})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{18})^{2}\)
20 = 2 + 18
20 = 20
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

(ii) L(0,5), M(9,12) மற்றும் (3,14)
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றம்
LM² = NL² + MN²
\((\sqrt{130})^{2}=(\sqrt{90})^{2}+(\sqrt{40})^{2}\)
130 = 90 + 40
130 = 130
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

கேள்வி 10.
A(2.5, 3.5), B(10, -4), C(2.5-2.5) மற்றும் D(-5, 5) ஆகியன இணைகரத்தின் முனைப்புள்ளிகள் எனக் காட்டுக. தீர்வு :

AB ன் சாய்வு = \(\frac{-4-3.5}{10-2.5}=\frac{-7.5}{7.5}\) = -1
CDன் சாய்வு = \(\frac{5+2.5}{-5-2.5}=\frac{-7.5}{7.5}\) = -1
AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு
எனவே, AB, CD க்கு இணையாக உள்ளது.

AD ன் சாய்வு = CB ன் சாய்வு
AD ம் CB ம் இணை எதிர் எதிர் பக்கங்கள்
∴ ABCD இணைகரமாகும்.

கேள்வி 11.
A(2,2), B(-2, -3), C(1, -3) மற்றும் D(x,y) ஆகிய புள்ளிகள் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனில் x மற்றும் புன் மதிப்பைக் காண்க
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் A (2, 2), B (-2, -3), C (1, -3) மற்றும் D (x, y) ஆகியவை இணைகரத்தை உருவாக்கும். எனவே
AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு

5x – 5 = 4y + 12
5x – 4y = 12 + 5 = 17
5x – 4y = 17 —–(1)
AD ன் சாய்வு = BCன் சாய்வு
\(\frac{y-2}{x-2}=\frac{-3+3}{1+2}\)
\(\frac{y-2}{x-2}=\frac{0}{3}\)
3(y – 2) = 0(x – 2)
3y-6 = 0
÷ by 3 = y – 2 = 0
y = 2
y = 2 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
5x – 4(2) = 17
5x – 8 = 17
5x = 17 + 8 = 25
x = \(\frac{25}{5}\)
x = 5
x ன் மதிப்பு 5, y ன் மதிப்பு 2

கேள்வி 12.
A(3,-4), B(9,-4) , C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் ABCD என்ற சரிவகத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு :

AB ன் சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-4+4}{9-3}\) = 0
DCன் சாய்வு = \(\frac{-7+7}{5-7}\) = 0
AB ன் சாய்வு = DCன் சாய்வு
எனவே AB மற்றும் DC இணையாக உள்ளது

BD ன் தொலைவு = \(\sqrt{(9-7)^{2}+(-4+7)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\)
ACன் தொலைவு = BD ன் தொலைவு கொடுக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளும் சரிவத்தை உருவாக்கும்.

கேள்வி 13.
A(-4,-2), B(5,-1), C(6,5) மற்றும் D(-7,6). ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுபுள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டும்.
தீர்வு :

EFன் சாய்வு = HG ன் சாய்வு
EF மற்றும் HG இணையாக உள்ளது.

EH ன் சாய்வு = FGன் சாய்வு
EH மற்றும் FG இணையாக உள்ளது.
எனவே, எதிர் எதிர் பக்கங்கள் இணையாக உள்ளது. இணைகரத்தை உருவாக்கும்.