Prasanna

Students can download 12th Business Maths Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.6 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.6

Integrate the following with respect to x.

Question 1.
\(\frac{2 x+5}{x^{2}+5 x-7}\)
Solution:

Question 2.
\(\frac{e^{3 \log x}}{x^{4}+1}\)
Solution:

Question 3.
\(\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}-2}\)
Solution:

Question 4.
\(\frac{(\log x)^{3}}{x}\)
Solution:

Question 5.
\(\frac{6 x+7}{\sqrt{3 x^{2}+7 x-1}}\)
Solution:

Question 6.
\((4 x+2) \sqrt{x^{2}+x+1}\)
Solution:
\((4 x+2) \sqrt{x^{2}+x+1}\)
Let f(x) = x² + x + 1
then f'(x) = 2x + 1

Question 7.
x⁸ (1 + x⁹)⁵
Solution:

Question 8.
\(\frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}}\)
Solution:

Question 9.
\(\frac{1}{x \log x}\)
Solution:

Question 10.
\(\frac{x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2}\)
Solution:

Question 11.
e^x (1 + x) log(x e^x)
Solution:
e^x (1 + x) log(x e^x) = (e^x + x e^x) log (x e^x)
Let z = x e^x, Then dz = d(x e^x)
dz = (x e^x + e^x) dx (Using product rule)
So ∫ e^x (1 + x) log (x e^x) dx
= ∫ log (x e^x) (e^x + x e^x) dx
= ∫ log z dz
= z (log z – 1) + c
= x e^x [log (x e^x) – 1] + c

Question 12.
\(\frac{1}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}\)
Solution:

Question 13.
\(e^{x}\left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right]\)
Solution:

Question 14.
\(e^{x}\left[\frac{x-1}{(x+1)^{3}}\right]\)
Solution:

Question 15.
\(e^{3 x}\left[\frac{3 x-1}{9 x^{2}}\right]\)
Solution:

Students can download 12th Business Maths Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.5 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.5

Integrate the following with respect to x.

Question 1.
x e^-x
Solution:

Question 2.
x³ e^3x
Solution:

Question 3.
log x
Solution:

Question 4.
x log x
Solution:

Question 5.
xⁿ log x
Solution:

Question 6.
\(\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{5}} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}^{2}}\)
Solution:

Students can download 12th Business Maths Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.4 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.4

Integrate the following with respect to x.

Question 1.
2 cos x – 3 sin x + 4 sec² x – 5 cosec² x
Solution:
∫2 cos x – 3 sin x + 4 sec² x – 5 cosec² x
= 2 ∫ cos x dx – 3 ∫ sin x dx + 4 ∫ sec² x – 5 ∫ cosec² x dx
= 2 sin x + 3 cos x + 4 tan x + 5 cot x + c

Question 2.
∫ sin³ x dx
Solution:
We know that, sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

Question 3.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\)
Solution:

Question 4.
\(\frac{1}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
[Hint: sin² x + cos² x = 1]
Solution:

Question 5.
\(\sqrt{1-\sin 2} x\)
Solution:

Students can download 12th Business Maths Chapter 4 Differential Equations Miscellaneous Problems and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 4 Differential Equations Miscellaneous Problems

Question 1.
Suppose that Q_d = 30 – 5P + 2 \(\frac{d p}{d t}+\frac{d^{2} p}{d t^{2}}\) and Q_s = 6 + 3P. Find the equilibrium price for market clearance.
Solution:
For equilibrium price Q_d = Q_s

Question 2.
Form the differential equation having for its general solution y = ax² + bx
Solution:
Given y = ax² + bx
Since there are 2 constants a, b we have to differentiate twice to eliminate them

Question 3.
Solve yx² dx + e^-x dy = 0
Solution:
The given equation can be written as

Question 4.
Solve: (x² + y²) dx + 2xy dy = 0
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 x y}\)
It is a homogeneous differential equation

Question 5.
Solve: x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x⁴
Solution:

Question 6.
A manufacturing company has found that the cost C of operating and maintaining the equipment is related to the length ‘m’ of intervals between overhauls by the equation \(m^{2} \frac{d C}{d m}\) + 2mC = 2 and c = 4 and when m = 2. Find the relationship between C and m.
Solution:

given that c = 4 when m = 2
4(4) = 2(2) + k
k = 12
So the relation ship between C and m is Cm² = 2m + 12 = 2(m + 6)

Question 7.
Solve (D² – 3D + 2)y = e^4x given y = 0 when x = 0 and x = 1.
Solution:
(D² – 3D + 2)y = e^4x
The auxiliary equations is m² – 3m + 2 = 0
(m – 2) (m – 1) = 0
m = 2, 1

Question 8.
Solve: \(\frac{d y}{d x}\) + y cos x = 2cos x
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}\) + (cos x)y = 2 cos x
It is of the form \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q
Where P = cos x, Q = 2 cos x
Now ∫Pdx = ∫cos x dx = sin x

Question 9.
Solve: x²y dx – (x³ + y³) dy = 0
Solution:

Question 10.
Solve: \(\frac{d y}{d x}\) = xy + x + y + 1
Solution:

Students can download 12th Business Maths Chapter 4 Differential Equations Ex 4.6 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 4 Differential Equations Ex 4.6

Choose the correct answer.

Question 1.
The degree of the differential equation \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{4}+\frac{d y}{d x}=3\) is _________
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer:
(a) 1
Hint:
Since the power of \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) is 1

Question 2.
The order and degree of the differential equation \(\sqrt{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\sqrt{\frac{d y}{d x}+5}\) are respectively
(a) 2 and 3
(b) 3 and 2
(c) 2 and 1
(d) 2 and 2
Answer:
(c) 2 and 1
Hint:
Squaring both sides, we get \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d y}{d x}+5\)
So order = 2, degree = 1

Question 3.
The order and degree of the differential equation \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{\left(\frac{d y}{d x}\right)}-4=0\) are respectively.
(a) 2 and 6
(b) 3 and 6
(c) 1 and 4
(d) 2 and 4
Answer:
(a) 2 and 6
Hint:

Question 4.
The differential equation \(\left(\frac{d x}{d y}\right)^{3}+2 y^{\frac{1}{2}}=x\) is _________
(a) of order 2 and degree 1
(b) of order 1 and degree 3
(c) of order 1 and degree 6
(d) of order 1 and degree 2
Answer:
(b) of order 1 and degree 3

Question 5.
The differential equation formed by eliminating a and b from y = ae^x + be^-x is _______
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0\)
(b) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}=0\)
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\)
(d) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x=0\)
Answer:
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0\)
Hint:

Question 6.
If y = cx + c – c³ then its differential equation is ______

Answer:
(a) \(y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}\)

Question 7.
The integrating factor of the differential equation \(\frac{d x}{d y}\) + Px = Q is _____
(a) e^∫Pdx
(b) ∫Pdx
(c) ∫Pdy
(d) e^∫Pdy
Answer:
(d) e^∫Pdy

Question 8.
The complementary function of (D² + 4) y = e^2x is _______
(a) (Ax + B) e^2x
(b) (Ax + B) e^-2x
(c) A cos 2x + B sin 2x
(d) Ax^-2x + Be^2x
Answer:
(c) A cos 2x + B sin 2x
Hint:
A.E = m² + 4 = 0 ⇒ m = ±2i
C.F = e^0x (A cos 2x + B sin 2x)

Question 9.
The differential equation of y = mx + c is (m and c are arbitrary constants).
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\)
(b) y = x \(\frac{d y}{d x}\)
(c) x dy + y dx = 0
(d) y dx – x dy = 0
Answer:
(a) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\)

Question 10.
The particular integral of the differential equation \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-8 \frac{d y}{d x}+16 y=2 e^{4 x}\) is ________
(a) \(\frac{x^{2} e^{4 x}}{2 !}\)
(b) \(\frac{e^{4 x}}{2 !}\)
(c) x² e^4x
(d) xe^4x
Answer:
(c) x² e^4x
Hint:

Question 11.
Solution of \(\frac{d x}{d y}\) + px = 0
(a) x = ce^py
(b) x = ce^-py
(c) x = py + c
(d) x = cy
Answer:
(b) x = ce^-py
Hint:

Question 12.
If sec² x is an integrating factor of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q then P = _____
(a) 2 tan x
(b) sec x
(c) cos² x
(d) tan² x
Answer:
(a) 2 tan x
Hint:

Question 13.
The integrating factor of x\(\frac{d y}{d x}\) – y = x² is _____
(a) \(\frac{-1}{x}\)
(b) \(\frac{1}{x}\)
(c) log x
(d) x
Answer:
(b) \(\frac{1}{x}\)
Hint:

Question 14.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q where P and Q are the function of x is ______

Answer:
(c) \(y e^{\int p d x}=\int \mathrm{Q} e^{\int p d x} d x+c\)

Question 15.
The differential equation formed by eliminating A and B from y = e^-2x (A cos x + B sin x) is _______
(a) y₂ – 4y₁ + 5y = 0
(b) y₂ + 4y₁ – 5y = 0
(c) y₂ – 4y₁ – 5y = 0
(d) y₂ + 4y₁ + 5y = 0
Answer:
(d) y₂ + 4y₁ + 5y = 0
Hint:

Question 16.
The particular integral of the differential equation f(D) y = e^ax where f(D) = (D – a)² ________
(a) \(\frac{x^{2}}{2} e^{2 x}\)
(b) xe^ax
(c) \(\frac{x}{2} e^{2 x}\)
(d) x² e^2x
Answer:
(a) \(\frac{x^{2}}{2} e^{2 x}\)

Question 17.
The differential equation of x² + y² = a² is _____
(a) x dy + y dx = 0
(b) y dx – x dy = 0
(c) x dx – y dx = 0
(d) x dx + y dy = 0
Answer:
(d) x dx + y dy = 0
Hint:
x² + y² = a²
⇒ 2x + 2y \(\frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ x dx + y dy = 0

Question 18.
The complementary function of \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}=0\) is ______
(a) A + B e^x
(b) (A + B) e^x
(c) (Ax + B) e^x
(d) (Ae^x + B)
Answer:
(a) A + B e^x
Hint:
A.E is m² – m = 0
⇒ m(m – 1) = 0
⇒ m = 0, 1
CF is Ae^0x + Be^x = A + Be^x

Question 19.
The P.I of (3D² + D – 14)y = 13e^2x is _______
(a) \(\frac{x}{2}\) e^2x
(b) x e^2x
(c) \(\frac{x^{2}}{2}\) e^2x
(d) 13xe^2x
Answer:
(b) xe^2x
Hint:

Question 20.
The general solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) = cos x is _______
(a) y = sin x + 1
(b) y = sin x – 2
(c) y = cos x + c, c is an arbitrary constant
(d) y = sin x + c, c is an arbitrary constant
Answer:
(d) y = sin x + c, c is an arbitrary constant

Question 21.
A homogeneous differential equation of the form \(\frac{d y}{d x}=f\left(\frac{y}{x}\right)\) can be solved by making substitution
(a) y = vx
(b) v = yx
(c) x = vy
(d) x = v
Answer:
(a) y = vx

Question 22.
A homogeneous differential equation of the form \(\frac{d x}{d y}=f\left(\frac{x}{y}\right)\) can be solved by making substitution,
(a) x = vy
(b) y = vx
(c) y = v
(d) x = v
Answer:
(a) x = vy

Question 23.

Answer:
(d) \(\frac{1+v}{2 v^{2}} d v=-\frac{d x}{x}\)
Hint:

Question 24.
Which of the following is the homogeneous differential equation?
(a) (3x – 5) dx = (4y – 1) dy
(b) xy dx – (x³ + y³) dy = 0
(c) y² dx + (x² – xy – y²) dy = 0
(d) (x² + y) dx = (y² + x) dy
Answer:
(c) y² dx + (x² – xy – y²) dy = 0

Question 25.
The solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{f\left(\frac{y}{x}\right)}{f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)}\) is ______
(a) f(\(\frac{y}{x}\)) = kx
(b) x f(\(\frac{y}{x}\)) = k
(c) f(\(\frac{y}{x}\)) = ky
(d) y f(\(\frac{y}{x}\)) = k
Answer:
(a) f(\(\frac{y}{x}\)) = kx
Hint:

Students can download 12th Business Maths Chapter 4 Differential Equations Ex 4.5 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 4 Differential Equations Ex 4.5

Solve the following differential equations:

Question 1.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6 \frac{d y}{d x}+8 y=0\)
Solution:
Given (D² – 6D + 8) y = 0, D = \(\frac{d}{d x}\)
The auxiliary equations is
m² – 6m + 8 = 0
(m – 4)(m – 2) = 0
m = 4, 2
Roots are real and different
The complementary function (C.F) is (Ae^4x + Be^2x)
The general solution is y = Ae^4x + Be^2x

Question 2.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=0\)
Solution:
The auxiliary equations A.E is m² – 4m + 4 = 0
(m – 2)² = 0
m = 2, 2
Roots are real and equal
The complementary function (C.F) is (Ax + B) e^2x
The general solution is y = (Ax + B) e^2x

Question 3.
(D² + 2D + 3) y = 0
Solution:
The auxiliary equations A.E is m² + 2m + 3 = 0
⇒ m² + 2m + 1 + 2 = 0
⇒ (m + 1)² = -2
⇒ m + 1 = ± √2i
⇒ m = – 1 ± √2i
It is of the form α ± iβ
The complementary function (C.F) = e^-x [A cos √2 x + B sin √2 x]
The general solution is y = e^-x [A cos √2 x + B sin √2 x]

Question 4.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 k \frac{d y}{d x}+k^{2} y=0\)
Solution:
Given (D² – 2kD + k²)y = 0, D = \(\frac{d}{d x}\)
The auxiliary equations is m² – 2km + k = 0
⇒ (m – k)² = 0
⇒ m = k, k
Roots are real and equal
The complementary function (C.F) is (Ax + B) e^kx
The general solution is y = (Ax + B) e^kx

Question 5.
(D² – 2D – 15) y = 0 given that \(\frac{d y}{d x}\) = 0 and \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 2 when x = 0
Solution:
A.E is m² – 2m – 15 = 0
(m – 5)(m + 3) = 0
m = 5, -3
C.F = Ae^5x + Be^-3x
The general solution is y = Ae^5x + Be^-3x …….. (1)

Question 6.
(4D² + 4D – 3) y = e^2x
Solution:
The auxiliary equations is 4m² + 4m – 3 = 0

Question 7.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + 16y = 0
Solution:
Given (D² + 16) y =0
The auxiliary equation is m² + 16 = 0
⇒ m² = -16
⇒ m = ± 4i
It is of the form α ± iβ, α = 0, β = 4
The complementary function (C.F) is e^0x [A cos 4x + B sin 4x]
The general solution is y = [A cos 4x + B sin 4x]

Question 8.
(D² – 3D + 2)y = e^3x which shall vanish for x = 0 and for x = log 2
Solution:
A.E is m² – 3m + 2 = 0
⇒ (m – 2) (m – 1) = 0
⇒ m = 2, 1
CF = Ae^2x + Be^x

Question 9.
(D² + D – 6)y = e^3x + e^-3x
Solution:
A.E is m² + m – 6 = 0
(m + 3) (m – 2) = 0

Question 10.
(D² – 10D + 25)y = 4e^5x + 5
Solution:
A.E is m² – 10m + 25 = 0
⇒ (m – 5)² = 0
⇒ m = 5, 5
C.F = (Ax + B) e^5x

Question 11.
(4D² + 16D + 15) y = 4\(e^{\frac{-3}{2} x}\)
Solution:
A.E is 4m² + 16m + 15 = 0
(2m + 3) (2m + 5) = 0

Question 12.
(3D² + D – 14)y = 13e^2x
Solution:

Question 13.
Suppose that the quantity demanded Q_d = 13 – 6p + 2\(\frac{d p}{d t}+\frac{d_{2} p}{d t^{2}}\) and quantity supplied Q_s = -3 + 2p where p is the price. Find the equilibrium price for market clearance.
Solution:
For market clearance, the required condition is Q_d = Q_s

Students can download 12th Business Maths Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.8 Questions and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 2 Integral Calculus I Ex 2.8

I. Using second fundamental theorem, evaluate the following:

Question 1.
\(\int_{0}^{1} e^{2 x} d x\)
Solution:

Question 2.
\(\int_{0}^{\frac{1}{4}} \sqrt{1-4 x} d x\)
Solution:

Question 3.
\(\int_{1}^{2} \frac{x d x}{x^{2}+1}\)
Solution:

Question 4.
\(\int_{0}^{3} \frac{e^{x} d x}{1+e^{x}}\)
Solution:

Question 5.
\(\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x\)
Solution:

Question 6.
\(\int_{1}^{e} \frac{d x}{x(1+\log x)^{3}}\)
Solution:

Question 7.
\(\int_{-1}^{1} \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x+7} d x\)
Solution:

Question 8.
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos x} d x\)
Solution:

Question 9.
\(\int_{1}^{2} \frac{x-1}{x^{2}} d x\)
Solution:

II. Evaluate the following:

Question 1.

Solution:

Question 2.

Solution:

Question 3.

Solution:

Question 4.

Solution:

Students can download 12th Business Maths Chapter 4 Differential Equations Additional Problems and Answers, Samacheer Kalvi 12th Business Maths Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Business Maths Solutions Chapter 4 Differential Equations Additional Problems

I. One Mark Questions

Choose the correct answer.

Question 1.
The differential equation of straight lines passing through the origin is ______
(a) \(\frac{x d y}{d x}=y\)
(b) \(\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}\)
(c) \(\frac{d y}{d x}=0\)
(d) \(\frac{x d y}{d x}=\frac{1}{y}\)
Answer:
(a) \(\frac{x d y}{d x}=y\)
Hint:

Question 2.
The solution of x dy + y dx = 0 is _______
(a) x + y = c
(b) x² + y² = c
(c) xy = c
(d) y = cx
Answer:
(c) xy = c
Hint:
x dy + y dx = 0
d(xy) = 0
xy = c

Question 3.
The solution of x dx + y dy = 0 is _____
(a) x² + y² = c
(b) \(\frac{x}{y}\) = c
(c) x² – y² = c
(d) xy = c
Answer:
(a) x² + y² = c
Hint:
x dx = -y dy
\(\frac{x^{2}}{2}=\frac{-y^{2}}{2}+c_{1}\)
x² + y² = c

Question 4.
The solution of \(\frac{d y}{d x}\) = e^x-y is ______
(a) e^y e^x = c
(b) y = log ce^x
(c) y = log(e^x + c)
(d) e^x+y = c
Answer:
(c) y = log(e^x + c)
Hint:

Question 5.
The solution of \(\frac{d p}{d t}\) = ke^-t (k is a constant) is ________
(a) \(c-\frac{k}{e^{t}}=p\)
(b) p = ke^t + c
(c) t = log\(\frac{c-p}{k}\)
(d) t = log_c p
Answer:
(a) \(c-\frac{k}{e^{t}}=p\)
Hint:

Question 6.
The integrating factor of (1 + x²) \(\frac{d y}{d x}\) + xy = (1 + x²)³ is _______
(a) \(\sqrt{1+x^{2}}\)
(b) log(1 + x²)
(c) \(e^{\tan ^{-1} x}\)
(d) \(\log ^{\left(\tan ^{-1} x\right)}\)
Answer:
(a) \(\sqrt{1+x^{2}}\)
Hint:

Question 7.
The complementary function of the differential equation (D² – D) y = e^x is _____
(a) A + B e^x
(b) (Ax + B) e^x
(c) A + B e^-x
(d) (A + Bx) e^-x
Answer:
(a) A + B e^x
Hint:
m² – m = 0
m(m – 1) = 0
CF = Ae^0x + Be^x = A + B e^x

Question 8.
Match the following
(a) \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) + sin y = 0 – (i) order 1, degree 1
(b) y’ + y = e^x – (ii) order 3, degree 2
(c) y'” + 2y” + y’ = 0 – (iii) order 4, degree 1
(d) (y”’)² + y’ + y⁵ = 0 – (iv) order 3, degree 1
Answer:
(a) – (iii)
(b) – (i)
(c) – (iv)
(d) – (ii)

Question 9.
Fill in the blanks
(a) The general solution of the equation \(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=1\) is ______
(b) Integrating factor of \(\frac{x d y}{d x}\) – y = sin x is ______
(c) The differential equation of y = A sin x + B cos x is _______
(d) The D.E \(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{1}{x}\) is a ________ differential equation.
Answer:
(a) \(y=\frac{x}{2}+\frac{c}{x}\)
(b) \(\frac{1}{x}\)
(c) \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0\)
(d) linear

Question 10.
State true or false
(a) y = 3 sin x + 4 cos x is a particular solution of the differential equation \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
(b) The solution of \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x}\) is x + y = kx²
(c) y = 13e^x + 4e^-x is a solution of \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
Answer:
(a) True
(b) True
(c) True

II. 2 Marks Questions

Question 1.
Form the D.E of the family of curves y = ae^3x + be^x where a, b are parameters
Solution:
y = ae^3x + be^x
\(\frac{d y}{d x}\) = 3 ae^3x + be^x

Question 2.
Find the D.E of a family of curves y = a cos (mx + b), a and b are constants.
Solution:

Question 3.
Find the D.E by eliminating the constants a and b from y = a tan x + b sec x
Solution:

Question 4.
Solve: \(\frac{d y}{d x}=e^{7 x+y}\)
Solution:

Question 5.
Solve: (x² – ay) dx = (ax – y²) dy
Solution:
Writing the equation as
x² dx + y² dy = a (x dy + y dx)
x² dx + y² dy = a d(xy)
∫x² dx + ∫y² dy = a ∫d(xy) + c
\(\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}\) = axy + c
Hence the general solution is x³ + y³ = 3axy + c

Question 6.
Solve (sin x + cos x) dy + (cos x – sin x) dx = 0
Solution:
The given equation can be written as

III. 3 and 5 Marks Questions

Question 1.
Solve \(\frac{x d y}{d x}\) + cos y = 0, given y = \(\frac{\pi}{4}\) when x = √2
Solution:

Question 2.
The slope of a curve at any point is the reciprocal of twice the ordinate of the point. The curve also passes through the point (4, 3). Find the equation of the curve.
Solution:
Slope at any point (x, y) is the slope of the tangent at (x, y)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 y}\)
⇒ 2y dy = dx
⇒ ∫2y dy = ∫dx + c
⇒ y² = x + c
Since the curve passes through (4, 3)
we have 9 = 4 + c ⇒ c = 5
Equation of the curve is y² = x + 5

Question 3.
The net profit P and quantity x satisfy the differential equation \(\frac{d p}{d x}=\frac{2 p^{3}-x^{3}}{3 x p^{2}}\). Find the relationship between the net profit and demand given that p = 20 when x = 10
Solution:

Question 4.
Solve: \(\frac{d y}{d x}\) + ay = e^x (a ≠ -1)
Solution:
The given equation is of the form \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q
Here P = a, Q = e^x
The general solution is y (I.F) = ∫Q (I.F) dx + c

Question 5.
Solve: \(\frac{d y}{d x}\) + y cos x = \(\frac{1}{2}\) sin 2x
Solution:
Here P = cos x, Q = \(\frac{1}{2}\) sin 2x

Question 6.
Solve (D² – 6D + 25) y = 0
Solution:
The auxiliary equations is m² – 6m + 25 = 0

The Roots are complex and of the form,
α ± β with α = 3 and β = 4
The complementary function = e^3x (A cos 4x + B sin 4x)
The general solution is y = e^3x (A cos 4x + B sin 4x)

Question 7.
Solve (D² + 10D + 25) y = \(\frac{5}{2}\) + e^-5x
Solution:
The auxiliary equations is m² + 10m + 25 = 0
(m + 5)² = 0
m = -5, -5
The complementary function = (Ax + B) e^-5x

Question 8.
Suppose that the quantity demanded Q_d = 40 – 4p – 4\(\frac{d p}{d t}+\frac{d^{2} p}{d t^{2}}\) and quantity supplied Q_s = -6 + 8p where p is the price. Find the equilibrium price for market clearance.
Solution:
For market clearance, the required condition is Q_d = Q_s

Students can Download Tamil Chapter 1.4 சொலவடைகள் Questions and Answers, Summary, Notes Pdf, Samacheer Kalvi 7th Tamil Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 7th Tamil Solutions Term 1 Chapter 1.4 சொலவடைகள்

மதிப்பீடு

Question 1.
பாடப்பகுதி பொம்மலாட்டக் காட்சிகளைச் சிறுகதையாக எழுதுக.
ஆளுக்கு ஒரு வேலை (பொம்மலாட்டம்)
(சிறுகதை)
Answer:
பொம்மலாட்டம் ஒரு கலை, கதை ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து பின்னணியில் கதை மாந்தர்களை பேச விட்டு கதை சொல்லத் தொடங்குவர். கதை விறுவிறுப்பாக சென்று ஒரு கட்டத்தில் சட்டென்று முடியும். இக்காட்சியைப் பார்த்து சிறுவர் முதல் பெரியவர் வரை பார்த்து மகிழ்வர். இதோ மெல்லிய ஒடிசலான தேகம் கொண்ட நடுத்தர வயதுக்காரர் பொம்மலாட்டம் மூலம் கதையொன்றை சொல்லி அசத்துகிறார். அந்தக் கதையை நாமும் கேட்போமே!

பொம்மலாட்டம் பார்க்க வந்தவர்களை இரு கரம் கூப்பி வணங்கி கதை நாயகனை அறிமுகம் செய்கிறார் கதை சொல்லி.

பள்ளிக்கூடம் போகாமலே பாடங்களை படிக்காமலே ஊரைச் சுற்றுகிறான் பையன். அவங்க அம்மா எவ்வளவோ சொல்லியும் அவன் கேட்கல.

”அணை உடைஞ்சு போன வெள்ளம் அழுதாலும் வராது. இப்ப நீ சரியா படிக்கலன்னா வாழ்க்கையிலே முன்னேற முடியாது. ஒழுங்காப் பள்ளிக்கூடம் போயி படிக்கிற வேலையைப் பாரு” என்கிறார் அப்பா. “படிக்கிறதெல்லாம் எனக்குப் பிடிக்காது” முகத்தில் அறைந்தாற் போல் பேசுகிறான் நம் கதைநாயகன். அப்பா சத்தம் போடுகிறார், சத்தம் கேட்டு அம்மா வெளியே வராங்க, “ராசா, உழைக்கிற மாடுதான் ஊருக்குள்ளே விலைபோகும். நீ ன்னா ஊர்ல யாரும் மதிக்கமாட்டங்க. அதனால நீ பள்ளிக்கூடம் போயி நல்லாப் படிச்சுக்க – இது அம்மாவின் உபதேசம்.

வேறு வழியில்லாம பையன் பள்ளிக்கூடம் போகிறான். அவனுக்கு படிப்பதில் நாட்டமில்லை, விளையாட யாராவது கிடைப்பாங்களான்னு பார்க்குறான். அங்கே எறும்பு ஒன்ணு போய்கிட்டு இருக்கு , “எறும்பே! எறும்பே! என் கூட விளையாட வர்றியா?” – என்றான் பையன். ”குடல் கூழுக்கு அழுவுதாம் கொண்டை பூவுக்கு அழுவுதாம் எனக்கு நெறைய வேலை கிடக்கு. நான் கிளம்புறேன். நீ அதோ பறக்குதே அந்தத் தேனீகூடப் போய் விளையாடு.

“தேனீ! தேனீ! நீ என் கூட விளையாட வர்றியா? என்றான் பையன்” “உனக்குத்தான் வேலை இல்லை, எனக்குமா வேலை இல்லை. போபோ நான் தேன் எடுக்கனும்” பறந்து போனது தேனீ. பையன் கொஞ்சம் தூரம் நடக்கிறான். பொதிமாடு ஒன்றைப் பார்க்கிறான்.

“மாடே! மாடே! சும்மாதானே இருக்கே! என் கூட விளையாட வர்றியா?” என்றான் பையன்.
”எனக்கு வேலை இருக்கு அந்த ஆமையை போய்பாரு என்றது பொதிமாடு”. “ஆமையே! ஆமையே! என் கூட விளையாட வர்றியா? எனக் கேட்டான் பையன்.

“முயலோட போட்டி வச்சிருக்கேன். எனக்கு உன்கூட விளையாட நேரமில்லே நீ அந்த முயலைப் போய் பாரு” என்றது ஆமை.
முயலை விளையாட அழைத்தான். முயலும் விளையாட மறுத்தது.

சுராவின் தமிழ் உரைநூல் – 7 ஆம் வகுப்பு – 5 in 17 முதல் பருவம்
கடைசியில் குட்டிச்சுவரில் எகிறி குதித்தான் பையன். குட்டிச் சுவரில் இருந்து எறும்பு, பூச்சி எல்லாம் கோபத்தோடு அவன் கையில் கால்ல ஏறி நறுக்கு நறுக்கென்று கடித்தன. அள்ளுறவன் பக்கத்துல இருந்தாலும் கிள்ளுறவன் பக்கத்துல இருக்கக் கூடாதுன்னு அந்தப் பையன் வலி பொறுக்க முடியாமல் கத்திக் கொண்டே ஓடுறான்.

அம்மாவைப் பார்த்து “இந்த உலகத்திலே எல்லாரும் அவங்க அவங்க வேலையைப் பாக்குறாங்க ஈ, எறும்பு கூடச் சும்மா இல்லாம வேலை செய்யுதுக. எனக்கு இப்பத்தான் புத்தி வந்தது என்றான் பையன்.
அம்மா ஆனந்தக் கண்ணீர் சிந்தினாள் மகனின் மன மாற்றத்திற்காக.

கற்பவை கற்றபின்

Question 1.
உங்கள் பகுதியில் வழங்கி வரும் சொலவடைகளைத் தொகுத்து வருக.
Answer:

• வெளைச்சலுக்கும் வெள்ளாட்டுக்கும் ஜென்மப் பகைங்கிற மாதிரி படிக்காத பையனை போராடித்தான் படிக்க வைக்கணும்.
• அடை மழைவிட்டாலும் செடி மழை விடாதுங்கிற மாதிரி படிக்கலனா அப்பாவிட்டாலும் அம்மா விட மாட்டாங்க.
• கழுதைக்குத் தெரியுமா கற்பூர வாசனை?
•  “அப்பன் குதிருக்குள்ள இல்ல.”

Question 2.
பரடப்பகுதியில் இடம்பெற்றுள்ள சொலவடைகளில் எவையேனும் ஐந்தனைத் தேர்ந்தெடுத்துச் சொற்றொடர்களில் அமைத்து எழுதுக.
Answer:

• குத்துக்கல்லுக்குக் குளிரா வெயிலா என்பது போல் என் நண்பன் எதைப் பற்றியும் கவலைப்படாமல் வாழ்ந்து வந்தான்.
• தட்டிப்போட்ட ரொட்டிக்குப் புரட்டிப் போட ஆளு இல்லே என்பது போல வறுமையிலே வாடுகிறவங்களுக்கு கை கொடுக்க ஆள் இல்லாமல் திண்டாடுவாங்க.
• அகழியில் விழுந்த முதலைக்கு அதுவே சொர்க்கம்னு சொல்லுற மாதிரி நிழலில் படுத்து தூங்கினதால ஆமையிடம் தோற்று போச்சாம் முயலு!
• ஆயிரம்கலம் நெல்லுக்கு ஒரு அந்துப்பூச்சி போதும் உழைக்கிறவன் மத்தியிலே உதவாக்கரை ஒருத்தன் இருந்தால் அந்தக் கூட்டமே கெட்டுவிடும்.
• புண்ணுக்கு மருந்து போட முடியும் புடிவாதத்துக்கு மருந்து போட முடியுமா? வீண் விதண்டாவாதம் செய்கிறவனிடம் பேசி ஜெயிக்க முடியாது.

கூடுதல் வினாக்கள்

நீரப்புக :

Question 1.
உழைக்கிற மாடுதான் ஊருக்குள்ள ……… போகும்.
Answer:
விலை

Question 2.
அடைமழை விட்டாலும் ……….. மழை விடாது.
Answer:
செடி

Question 3.
ஆயிரம் கலம் நெல்லுக்கு ஒரு ………….. பூச்சி போதும்.
Answer:
அந்துப்பூச்சி

Question 4.
பாடிப்பாடிக் குத்தினாலும் ……………. அரிசி ஆகுமா?
Answer:
பதரு

Question 5.
அதிர அடிச்சா ……… விளையும்.
Answer:
உதிர

Students can Download Tamil Chapter 1.2 ஒன்றல்ல இரண்டல்ல Questions and Answers, Summary, Notes Pdf, Samacheer Kalvi 7th Tamil Book Solutions Guide Pdf helps you to revise the complete Tamilnadu State Board New Syllabus and score more marks in your examinations.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 7th Tamil Solutions Term 1 Chapter 1.2 ஒன்றல்ல இரண்டல்ல

மதிப்பீடு

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

Question 1.
பகைவரை வெற்றி கொண்டவரைப் பாடும் இலக்கியம்………
அ) கலம்பகம்
ஆ) பரிபாடல்
இ) பரணி
ஈ) அந்தாதி
Answer:
இ) பரணி

Question 2.
வானில் ………………. கூட்டம் திரண்டால் மழை பொழியும்.
அ) அகில்
ஆ) முகில்
இ) துகில்
ஈ) துயில்
Answer:
ஆ) முகில்

Question 3.
‘இரண்டல்ல’ என்னும் சொல்லைப் பிரித்து எழுதக் கிடைப்பது ………………..
அ) இரண்டு + டல்ல
ஆ) இரண் + அல்ல
இ) இரண்டு + இல்ல
ஈ) இரண்டு + அல்ல
Answer:
ஈ) இரண்டு + அல்ல

Question 4.
‘தந்துதவும்’ என்னும் சொல்லைப் பிரித்து எழுதக் கிடைப்பது ……………
அ) தந்து + உதவும்
ஆ) தா + உதவும்
இ) தந்து + தவும்
ஈ) தந்த + உதவும்
Answer:
அ) தந்து + உதவும்

Question 5.
ஒப்புமை + இல்லாத என்பதனைச் சேர்த்தெழுதக் கிடைக்கும் சொல்…………..
அ) ஒப்புமை இல்லாத
ஆ) ஒப்பில்லாத
இ) ஒப்புமையில்லாத
ஈ) ஒப்பு இல்லாத
Answer:
இ) ஒப்புமையில்லாத

குறுவினா

Question 1.
தமிழ்நாட்டின் இயற்கை வளங்களாகக் கவிஞர் கூறுவன யாவை?
Answer:
இங்கு வீசும் தென்றலில் தேன்மணம் கமழும். சுவைமிகு கனிகளும் பொன் போன்ற தானியக் கதிர்களும் விளையும். தமிழ்நாட்டின் நன்செய் நிலவளம் ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும் எனக் கவிஞர் கூறுகிறார்.

Question 2.
‘ஒன்றல்ல இரண்டல்ல’ – பாடலில் இடம்பெற்றுள்ள வள்ளல்கள் குறித்த செய்திகளை எழுதுக.
Answer:
முல்லைக்குத் தேர்தந்து மழைமேகத்தை விடப் புகழ் பெற்றான் வள்ளல் வேள்பாரி. புலவரின் சொல்லுக்காகத் தன் தலையையே தரத் துணிந்தான் குமண வள்ளல். இவர்கள் போல் புகழ்பெற்று வாழ்ந்த வள்ளல்களின் வரலாறு பலவாகும்.

சிறுவினா

Question 1.
தமிழுக்கு வளம் சேர்க்கும் இலக்கிய வகைகளாகக் கவிஞர் கூறுவன யாவை?
Answer:
பகைவரை வென்றதைப் பாடுவது பரணி இலக்கியம். இசைப்பாடலான பரிபாடல், கலம்பக நூல்கள், எட்டுத்தொகை, வான்புகழ் கொண்ட திருக்குறள். அகம், புறம் ஆகியவற்றை மெய்ப்பொருளாகக் கொண்டு பாடப்பட்ட சங்க இலக்கியங்கள் எனத் தமிழின் இலக்கிய வளங்கள் ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும்.

சிந்தனை வினா

Question 1.
தமிழில் அற இலக்கியங்கள் மிகுதியாகத் தோன்றக் காரணம் என்ன?
Answer:
“அறம், பொருள், இன்பம், வீடு அடைதல் நூற்பயனே” என்பது தண்டியலங்கார நூற்பா கூறுகிறது. மனிதன் வாழ்க்கையில் அடைய வேண்டியவை அறம், பொருள், இன்பம், வீடு என்ற நான்கும் என்பது இதன் கருத்து. தமிழ்ச் சிந்தனைக்கும் இந்தியப் பொதுச் சிந்தனைக்கும் ஓர் அடிப்படை வேறுபாடு உண்டு. இந்தியப் பொதுச் சிந்தனை மரபின்படி அறம் பொருள் இன்பம் வீடு ஆகிய நான்கும் அடைய வேண்டியவை. தமிழ்ச் சிந்தனை மரபில் தொல்காப்பியர் காலந்தொட்டே அறம், பொருள், இன்பம் என்ற கருத்து மட்டுமே உண்டு. வீடு பற்றிய கருத்து கிடையாது.

இந்திய மொழிகள் எல்லாவற்றையும் விட, தமிழில் தான் அறநூல்கள் அதிகமாக இருக்கின்றன. நம் தமிழில் சிறந்த அற இலக்கியமாக திகழ்வது திருக்குறள். நம்முடைய மானுடர்கள் ஒழுங்கீனமான செயல்களில் ஈடுபடும்போது அவற்றை திருத்திக் கொள்ள அறக்கருத்துகளையும் நீதிக் கருத்துகளையும் போதிக்கும் தேவை ஏற்படுகிறது. அதனால் தோன்றிய இலக்கியம்தான் அற இலக்கியமாகும்.

கற்பவை கற்றபின்

Question 1.
தமிழுக்குக் கொடை கொடுத்த வள்ளல்கள் பற்றிய செய்திகளைத் திரட்டுக.
Answer:
அதியமான் நெடுமான் அஞ்சி (அதியமான்), வேள் ஆய் ஆண்டிரன் (ஆய்), வல்வில் ஓரி ஓரி), மலையமான் திருமுடிக்காரி(காரி, கண்டீரக் கோப்பெருநள்ளி நள்ளி), பாரி, வையாவிக் கோப்பெரும் பேகன் (பேகன்)

(i) அதியமான் : தகடூரை ஆண்ட சங்ககால மன்னர்களுள் ஒருவன். அதியர் என்போர் சங்ககாலக் குடிமக்கள். இவர்களின் தலைமகனாக விளங்கியவர்களை அதியர் கோமகன் என்றனர். கோமான் என்பது “கோமகன்” என்பதன் மரூஉ. அதியமான் என்பது அதியர் கோமான்’ என்பதன் மரூஉ. அஞ்சி என்பது இவரது இயற்பெயர். இவருடைய ஆட்சிக்கு உட்பட்டிருந்த நாடு தலைநீர் நாடு எனப் பெயர் பெற்றிருந்தது. தலைநீர் என்பது ஒகேனக்கல் அருவியின் சங்ககாலப் பெயர் ஆகும். ஒளவையாரின் நெருங்கிய நண்பர் ஆவார்.

(ii) ஆய் : பொதிகை மலைச் சாரலில் உள்ள ஆய்க்குடியைத் தலைநகரமாகக் கொண்டு ஆட்சி செய்த ஆயர்குல மன்னன் ஆவான்.

(iii) ஓரி : கடையெழுவள்ளல்களுள் ஒருவரான ஓரி சிறந்த வில்லாளி. கொல்லிமலைக்கும் அதைச் சார்ந்த நாட்டிற்கும் தலைவன். இவர் வல்வில் ஓரி எனவும் ஆதன் ஓரி எனவும் அழைக்கப்பட்டார்.

Question 2.
தமிழில் உள்ள பல்வேறு இலக்கிய வடிவங்களின் பெயர்களைப் பட்டியலிடுக.
Answer:
(i) இதிகாசம்
(ii) உரைநடை
(iii) உவமை
(iv) கட்டுரை
(v) கலந்துரையாடல்
(vi) கலை
(vii) கவிதை
(viii) காப்பியம்
(ix) சிறுகதை
(x) தொடர்கதை
(xi) சொலவடை
(xii) நாடகம்
(xiii) பழமொழி
(xiv) பாட்டு
(xv) புனிதம்
(xvi) விடுகதை

கூடுதல் வினாக்கள்

சொல்லும் பொருளும் :

1. ஒப்புமை – இணை
2. முகில் – மேகம்
3. அற்புதம் – விந்தை
4. உபகாரி – வள்ளல்

நிரப்புக :

Question 1.
பகுத்தறிவுக் கவிராயர் என்று புகழப்படுபவர் …………
Answer:
உடுமலை நாராயணகவி

Question 2.
முகில் என்பதன் பொருள் …………….
Answer: மேகம்

Question 3.
புலவரின் சொல்லுக்காகத் தன் தலையையே தரத் துணிந்தவர் ……..
Answer:
குமண வள்ளல்

விடையளி :

Question 1.
முல்லைக்கு தேர் தந்தவர் யார்?
Answer:
முல்லைக்குத் தேர் தந்து மழைமேகத்தை விடப் புகழ் பெற்றவர் வள்ளல் வேள்பாரி.

Question 2.
பாணி இலக்கி பரணி இலக்கியம் என்றால் என்ன?
Answer:
பகைவரை வென்றதைப் பாடுவது பரணி இலக்கியம்.

பாடலின் பொருள்

தமிழ்நாட்டின் பெருமைகளைக் கூறினால் அவை ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும். அவை வேறு எவற்றோடும் இணைசொல்ல முடியாத விந்தைகளாகும். இங்கு வீசும் தென்றலில் தேன்மணம் கமழும். சுவைமிகு கனிகளும் பொன் போன்ற தானியக் கதிர்களும் விளையும். தமிழ்நாட்டின் நன்செய் நிலவளம் ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும்.

பகைவரை வென்றதைப் பாடுவது பரணி இலக்கியம். அத்தோடு இசைப் பாடலான பரிபாடலும் கலம்பக நூல்களும் எட்டுத்தொகையும் வான்புகழ் கொண்ட திருக்குறளும் அகம், புறம் ஆகியவற்றை மெய்ப்பொருளாகக் கொண்டு பாடப்பட்ட சங்க இலக்கியங்கள் எனத் தமிழின் இலக்கிய வளங்கள் ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும்.

முல்லைக்குத் தேர்தந்து மழைமேகத்தை விடப்புகழ் பெற்றான் வள்ளல் வேள்பாரி. புலவரின் சொல்லுக்காகத் தன் தலையையே தரத் துணிந்தான் குமண வள்ளல். இவர்கள் போல் புகழ் பெற்று வாழ்ந்த வள்ளல்களின் வரலாறு ஒன்றிரண்டல்ல பலவாகும்.