Category: Class 12

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் நிகழ்தகவு நிறை சார்புகளுக்கு சராசரி மற்றும் பரவற்படி காண்க.
(i) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{10} & x=2,5 \\
\frac{1}{5} & x=0,1,3,4
\end{array}\right.\)
(ii) f(x) = \(\left\{\frac{4-x}{6} x=1,2,3\right.\)

தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{10} & x=2,5 \\
\frac{1}{5} & x=0,1,3,4
\end{array}\right.\)

f(x²) = Σx² f(x)

(ii) கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\frac{4-x}{6}\), x = 1, 2, 3
f(x) = \(\frac{4-1}{6}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
f(2) = \(\frac{4-2}{6}\) \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
f(3) = \(\frac{4-3}{6}\) = \(\frac{1}{6}\)
∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

சராசரி = Σ(X) = Σxf(x)

கேள்வி 2.
நான்கு சிவப்பு பந்துகள் மற்றும் மூன்று கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கூடையிலிருந்து பதிலீடாக இடாது அடுத்தடுத்து இரு பந்துகள் வெளியில் எடுக்கப்படுகின்றன. சிவப்பு பந்து வெளியில் எடுக்கும் சாத்திய கூறுகளை X என்க. X-ன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பையும் சராசரியையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி = {4R, 3B}
X எடுக்கப்பட்ட சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை
X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2
P(X = 0) = P(சிவப்பு பந்து இல்லை)

Σ(X) = Σx . f(x)
= 0(\(\frac{1}{7}\)) + 1(\(\frac{4}{7}\)) + 2(\(\frac{2}{7}\))
= \(\frac{4}{7}\) + \(\frac{4}{7}\) = 8

கேள்வி 3.
µ மற்றும் σ² ஆகியவை முறையே தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் சராசரி மற்றும் பரவற்படி மற்றும் E(X + 3) = 10 மற்றும் E(X + 3)² = 116 ,
எனில் 4 மற்றும் 5 காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட E(X + 3) = 10
⇒ E(X) + 3 = 10
⇒ E(X) = 7
⇒ µ = 7 ……………….. (1)
E(X + 3)² = 116
E(X² + 6X + 9) = 116
E(X²) + 6E(X) + 9 = 116 [∵ E(9) = 9)
E(X²) + 6(7) + 9 = 116
E(X²) 116 – 42 – 9 = 116 – 51
E(X²) = 65 | ………..(2)
Var(X) = E(X²) – E(X)²
= 65 – 7² = 65 – 49 = 16
∴ u = 7 மற்றும் σ² = 16.

கேள்வி 4.
நான்கு சீரான நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படுகின்றன. தலைகளின் எண்ணிக்கை நிகழ்விற்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு, சராசரி , மற்றும் பரவற்படி காண்க.
தீர்வு:
X என்பது தலைகளின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது.
X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3, 4.
p(X = (0) = p(தலை இல்லை ) = p(TTT) = \(\frac{1}{16}\) } [∵ p(T) = \(\frac{1}{2}\), p(H) = \(\frac{1}{2}\)]

p(X = 1) = p(1 தலை) = 4C₁ × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)

p(X = 2) = p(2 தலைகள்) = 4C₂ × \(\frac{1}{16}=\frac{4 \times 3}{\not 2 \times 1} \times \frac{1}{16}\)
= \(\frac{3}{8}\)

p(X = 3) = p(3 தலைகள்) = 4C₃ × \(\frac{1}{16}\) = 4 × \(\frac{1}{16}\)
= \(\frac{1}{4}\)

p(X = 4) = p(4 தலைகள்) = 4C₄ × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{16}\)
∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

∴ Var(X) = E(X²) – [E(X)]²
= 5 – 2² = 5 – 4 = 1

கேள்வி 5.
ஒரு பயணிகள் இரயில் ஒவ்வொரு அரை மணி நேரத்திற்கும் ஒரு நிலையத்திற்கு சரியான நேரத்தில் வந்து சேரும். ஒவ்வொரு நாள் காலை யிலும், ஒரு மாணவர் தனது வீட்டிலிருந்து இரயில் நிலையத்திற்கு செல்கிறார். மாணவர் ரயில் நிலையத்தை அடையும் நேரத்திலிருந்து ரயிலுக்காக காத்திருக்கும் நேரத்தை X என நிமிடங்களில் குறிக்கலாம். X – ன் நிகழ்தகவு

எனில் சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f(x) =

கேள்வி 6.
கணினி தயாரிக்கப்படும் போது ஆயிரக் கணக்கான மணிநேரம் பயன்படுத்தப்படும் ஒருமின்னணு சாதனமொன்றின் பழுதடையும் நேரத்தின் அடர்த்தி சார்பு

இம்மின்னனு சாதனத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் ஆயுட்காலத்தை காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f(x) =

∴ மின்னனு சாதனத்தின் எதிர் பார்க்கப்படும் ஆயுட் காலம் \(\frac{1}{3}\) ஆகும்.

கேள்வி 7.
சமவாய்ப்பு மாறி X-ன்சராசரி நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு |
f (x) = \(\left\{\begin{aligned}
16 x e^{-4 x}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{aligned}\right.\) ஆகும் சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f(x) =\(\left\{\begin{aligned}
16 x e^{-4 x}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{aligned}\right.\)

கேள்வி 8.
600 டிக்கெட்டுகள் கொண்ட ஒரு லாட்டரியில் ஒரு பரிசு 7.200 – க்கும் நான்கு பரிசுகள் ₹.100 – க்கும், ஆறு பரிசுகள் 1.50 – க்கும் எனக்கொடுக்கிறது. டிக்கெட் செலவு 7.2 என்றால், ஒரு டிக்கெட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் வெற்றி தொகையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்கவும்:
(i) 2x-3y+3z=2,x+2y-z=3,3x-y+2z=1.
(ii) 2x + 4y + 67 = 22, 3x + 8y + 53 = 27, -x+y+2z = 2
தீர்வு:
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை – ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்க நிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம்! பெறுவது


ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்,
x+2y – z = 3 ……. (1)
6y + 5z = -4 ……. (2)
– 5z = – 20 ⇒ z = \(\frac{-20}{-5}\)
z = 4 என 2 ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
-6y + 5(4) = -4
⇒ -6y +20 = – 4 ⇒ -4-20 = -24
⇒ y = \(\frac{-24}{-6}\) = 4
y = z = 4 என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது
x + 2(4) – 4 = 3
⇒ x + 8 – 4 = 3
⇒ x + 4 = 3
⇒ x = 3 – 4 = -1.
∴ தீர்வு கணம் {-1, 4, 4}

(ii) 2x+4y + 63 = 22, 3x + 8y + 5z = 27,
-x + y + 2z = 2
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது


ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது,
-x+y+ 2z = 2 …(1)
y+z = 3 …(2)
z = 2 ….(3)
(3) ஐ (2)ல் பிரதியிட கிடைப்பது y + 2 = 3
⇒ y=3- 2 = 1
y= 1 மற்றும் z = 2 என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது
-x + 1 + 2 (2) = 2 ⇒ -x + 1 + 4 = 2
⇒ -x+5 = 2 ⇒ -x = 2-5
⇒ -x = -3 ⇒ x = 3
∴ தீர்வு கணம் {3, 1, 2}

கேள்வி 2.
ax² + bx + c -ஐ x + 3, x – 5, மற்றும் x-1-ஆல் வகுக்கும் போது மீதியானது முறையே 21, 61 மற்றும் 9 எனில் a, b மற்றும் c-ஐக் காண்க. (காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை உபயோகிக்கவும்)
தீர்வு:
P(x) = ax² + bx + c என்க.
கொடுக்கப்பட்ட P(-3) = 21
[∵ P(x) ÷ x + 3, மீதி 21]
⇒ a (-3)² + b(-3) + c = 21
⇒ 9a – 3b + c = 21 ….. (1)
மேலும், P(5) = 61
⇒ a(5)² + b(5) + c = 61
[மீதி தேற்றத்தை பயன்படுத்தி]
25a + 5b + c = 61 … (2)
மற்றும் P(1) = 9
⇒ a(1)² + b(1) + c = 9
⇒ a + b + c = 9 … (3)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது.


ஏறுபடிவடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது,
a+ b + c = 9 ….. (1)
– 56 – 6c = – 41 …..(2)
⇒ c = \(\frac{48}{8}\)=6
c= 6 என (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
⇒ -56 – 6(6) = 41
⇒ -5b = 36 – 41
⇒ -5b = – 41 + 36 = -5
⇒ b = \(\frac{-5}{-5}\) = 1
b = 1, c = 6 என (1) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
a + 1 + 6 = 9
⇒ a + 7 = 9
⇒ a = 9 – 7
⇒ a = 2
∴ a= 2, b = 1, மற்றும் c = 6

கேள்வி 3.
ஒரு தொகை ₹ 65,000 ஆண்டிற்கு முறையே 6%, 8% மற்றும் 9% என்ற வட்டி வீதத்தில் மூன்று பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்படுகிறது. மொத்த ஆண்டு வருமானம் ₹ 4,800. மூன்றாவது பத்திரத்தில் கிடைக்கும் வருமானமானது இரண்டாவது பத்திரத்தில் கிடைக்கும் வருமானத்தை விட 1600 அதிகம் எனில் ஒவ்வொரு பத்திரத்திலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகையைக் காண்க.(காஸ் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக)
தீர்வு:
6%, 8% மற்றும் 9% பத்திரத்தில் முதலீடு செய்யப்படும் தொகை முறையே ₹x, ₹y மற்றும் ₹z என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x + y + z = 65000… (1)

⇒ -8y + 9z = 60000…… (3)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது

ஏறுபடிவடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது,
x + y + z = 65000 … (1)
2y + 3z = 90000 ….(2)
21z = 42000
⇒ z = \(\frac{420000}{21}\) = 20000
Z = 20,000 என (2)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
2y + 3(20,000) = 90000
⇒2y + 60,000 = 90,000
2y = 90,000 – 60,000
= 30,000
⇒ y = \(\frac{30,000}{2}\) = 15,000
y=15,000 மற்றும் z = 20,000 என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x+ 15,000 + 20,000 = 65000
⇒ x + 35,000 = 65000
⇒ x = 65,000-35,000
⇒ x = 30,000
6% பத்திரத்தின் விலை ₹30,000, 8% பத்திரத்தில் ₹15,000 மற்றும் 9% பத்திரத்தின் விலை ₹20,000.

கேள்வி 4.
ஒரு சிறுவன் y = ax’ + bx + c என்ற பாதையில் (-6, 8), (-2 – 12) மற்றும் (3,8). எனும் புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறான். P(7,60) என்ற புள்ளியில் உள்ள அவனுடைய நண்பனை சந்திக்க விரும்புகிறான். அவன் அவனுடைய நண்பனை சந்திப்பானா? (காஸ் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட y = ax² + bx + c ….(1)
(-6, 8), (1) -ன் மீது அமைந்துள்ளது
⇒ 8 = a(-6)² + b(-6) + c
⇒ 8 = 36a – 6b + c ….(2)
(-2,-12), (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளது
⇒ -12 = a(-2)² + b(-2) + c
⇒ -12 = 4a – 2b + c ….(3)
மேலும் (3, 8), (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளது
⇒ 8 = a(3) 2 + b(3) +c
⇒ 8 = 9a + 3b + c ….(4)
விரிவுப்படுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,

ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக கிடைப்பது
36a-6b + c = 8 ….. (1)
-3b + 2c = -29 … (2)
5c = -50
c = \(\frac{-50}{5}\) = -10
c=-10 என (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
-3b + 2(-10) = -29
⇒ -3b – 20 = -29
⇒ -3b = -29 + 20
⇒ -3b = -9
⇒ b = \(\frac{-9}{-3}\) =3
b = 3 மற்றும் c = -10 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
36a – 6(3) – 10 = 8
⇒ 36a – 18 – 10 = 8
⇒ 36a – 28 = 8
⇒ 36a = 8 + 28 = 36
⇒ a = \(\frac{36}{36}\) = 1
∴ a= 1, b = 3, c = -10
எனவே சிறுவனின் பாதை
y = 1(x²) + 3(x) – 10
y = x² + 3x – 10
அவனுடைய நண்பன் P(7, 60) என்ற புள்ளியில் உள்ளதால்,
60 = (7)² + 3(7) -10
⇒ 60 = 49 + 21 – 10
⇒ 60 = 70 – 10 = 60
⇒ 60 = 60
(7, 60) பாதையை நிறைவு செய்கிறது, அவன்
P(7, 60)ல் உள்ள அவன் நண்பனை சந்திப்பான்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.3

கேள்வி 1.
சமவாய்ப்பு மாறி X – யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f (x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
k x e^{-2 x}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.\) எளில் k மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
k x e^{-2 x}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.\)
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு ஆதலால்

கேள்வி 2.
கவு பரவலகள் 2. சமவாய்ப்பு மாறி X-யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு
f (x) =
(i) P(0.2 ≤ X <0.6)
(ii) P(1.2 ≤ X < 1.8)
(iii) P(0.5 ≤ X < 1.5)
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) =

(i) P(0.2 ≤ X < 0.6)
= \(\int_{0.2}^{0.6} f(x) d x=\int_{0.2}^{0.6} x d x=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0.2}^{0.6}\)
= \(\frac{1}{2}\) [(0.6)² – (0.2)²]
= \(\frac{1}{2}\) [0.36 – 0.04]
= \(\frac{1}{2}\) [0.32] = 0.16

(ii) P(1.2 ≤ X < 1.8)

கேள்வி 3.
ஒரு பால் விற்பனையகத்தில் வினியோகிக்கப் படும் பாலின் அளவு சமவாய்ப்பு மாறி X என்க. குறைந்தபட்சம் 200 லிட்டர்கள் மற்றும் அதிகபட்சம் 600 லிட்டர்களுடன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு இன் பிற மதிப்புகளுக்கு

(i) k மதிப்பு காண்க.
(ii) பரவல் சார்பு காண்க.
(iii) 300 லிட்டர்கள் மற்றும் 500 லிட்டர்களுக்கிடையே தினசரி விற்பனை இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
(i) f(x) ஆனது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு ஆதலால்
\(\int_{-\infty}^{\infty}\) f(x)dx = 1 ⇒ \(\int_{200}^{600}\) k dx = 1
⇒ \(k[x]_{200}^{600}\) = 1 ⇒ k(600 – 200) = 1
⇒ 400k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{400}\)

(ii) பரவல் சார்பு F(x) = p(X ≤ x) = \(\int_{-\infty}^{\infty}\) f(x)dx

கேள்வி 4.
சமவாய்ப்பு மாறி X-யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f (x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
k e^{\frac{-x}{3}}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.\) எனில்

(i) k மதிப்பு காண்க.
(ii) பரவல் சார்பு காண்க.
(iii) P(X < 3) (iv) P(5 ≤ X) (v) P(X ≤ 4) தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\left\{\begin{array}{cl} k e^{\frac{-x}{3}}, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.\) எனில்
(i) f(x) ஆனது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு ஆதலால்

கேள்வி 5.
சமவாய்ப்பு மாறி X-யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு,

(i) பரவல் சார்பு F(x)
(ii) P(-0.5 ≤ X ≤ 0.5) காண்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f(x) =
(i) பரவல் சார்பு
F(x) = p(X ≤ x)
இங்கு -1 ≤ x < 0,

கேள்வி 6.
சமவாய்ப்பு X -யின் பரவல் சார்ப்பு F(x)
F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
\mathbf{0}, & -x<x<\mathbf{0} \\
\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right) & 1 \leq x<\infty \\
1, & x \geq 1
\end{array}\right.\)
(i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f(x)
(ii) P(0.3 ≤ X ≤ 0.6) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
\mathbf{0}, & -x<x<\mathbf{0} \\
\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right) & 1 \leq x<\infty \\
1, & x \geq 1
\end{array}\right.\)
(i) நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு
F(x)-இன் தொடர்ச்சியுடைய புள்ளிகளில் ‘X’ஐ பொறுத்து F(x)ஐ வகையிட கிடைப்பது,
f(x) = F'(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
\mathbf{0}, & -x<x<\mathbf{0} \\
\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right) & 1 \leq x<\infty \\
1, & x \geq 1
\end{array}\right.\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை கிராமரின் விதிப்படி தீர்க்க:
(i) 5x – 2y + 16 =0, x+3y-7 = 0
(ii) \(\frac{3}{x}\) + 2y = 12, \(\frac{2}{x}\) + 3y = 13
(iii) 3x+3y- = 11, 2x-y+27=9, 4x+3y+2z = 25
(iv) \(\frac{3}{x}\) – \(\frac{4}{y}\) – \(\frac{2}{z}\) – 1 = 0, \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) – 2 = 0, \(\frac{2}{x}\) – \(\frac{5}{y}\) – \(\frac{4}{z}\) + 1 = 0
தீர்வு:
(i) 5x – 2y =-16, x+3y = 7
கொடுக்கப்பட்ட △ = \(\left|\begin{array}{rr}
5 & -2 \\
1 & 3
\end{array}\right|\) = 15 + 2 = 17
△₁ = \(\left|\begin{array}{rr}
-16 & -2 \\
7 & 3
\end{array}\right|\) = -48 + 14 = -34
△₂ = \(\left|\begin{array}{rr}
5 & -16 \\
1 & 7
\end{array}\right|\) = 35 + 16 = 51

∴ தீர்வுக் கணம் {-2,3}

(ii) \(\frac{3}{x}\) + 2y=12, \(\frac{2}{x}\) + 3y = 13
\(\frac{1}{x}\) = z என்க
∴ 3z + 2y = 12, 2z + 3z = 13

∴ தீர்வு கணம் {\(\frac{1}{2}\), 3}

(iii) 3x+3y-z = 11, 2x-y +2z = 9, 4x+ 3y +2z = 25
தீர்வு:
△ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
4 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 3\(\left|\begin{array}{ll}
-1 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
4 & 3
\end{array}\right|\)
= 3(-2-6) – 3(4 – 8) – 1(6+ 4)
= 3(-8) – 3(- 4) – 1(10)
= – 24 + 12 – 10 =-22
△₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
11 & 3 & -1 \\
9 & -1 & 2 \\
25 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 11\(\left|\begin{array}{ll}
-1 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right|\) -3\(\left|\begin{array}{ll}
9 & 2 \\
25 & 2
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{rr}
9 & -1 \\
25 & 3
\end{array}\right|\)
= 11(-2-6) -3(18-50) – 1(27 +25)
= 11(-8) -3(- 32) -1(52)
= – 88 + 96 – 52 = -44
△₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 11 & -1 \\
2 & 9 & 2 \\
4 & 25 & 2
\end{array}\right|\)
= 3\(\left|\begin{array}{cc}
9 & 2 \\
25 & 2
\end{array}\right|\) – 11\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 9 \\
4 & 25
\end{array}\right|\)
= 3(18-50) – 11(4-8) – 1(50-36)
= 3(- 32) – 11(- 4) – 1(14)
= – 96 + 44 – 14 = – 66
△₃ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 11 \\
2 & -1 & 9 \\
4 & 3 & 25
\end{array}\right|\)
= 3\(\left|\begin{array}{cc}
-1 & 9 \\
3 & 25
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{rr}
2 & 9 \\
4 & 25
\end{array}\right|\) + 11\(\left|\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
4 & 3
\end{array}\right|\)
= 3(-25-27)-3(50-36) + 11(6+4)
= 3(-52) – 3(14) + 11(10)
= -156 – 42 + 110 =-88

∴ தீர்வு கணம் {2, 3, 4}

(iv) \(\frac{3}{x}\) – \(\frac{4}{y}\) – \(\frac{2}{z}\) – 1 = 0, \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) – 2 = 0, \(\frac{2}{x}\) – \(\frac{5}{y}\) – \(\frac{4}{z}\) + 1 = 0
\(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{y}\) = v, \(\frac{1}{z}\)=w, என பிரதியிடு
நமக்கு கிடைப்பது 3u – 4v – 2w = 1, u + 2v + w = 2, 2u – 5v – 4v = -1
∴ △ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -5 & -4
\end{array}\right|\) = 3\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-5 & -4
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -4
\end{array}\right|\) – 2\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -5
\end{array}\right|\)
= 3(- 8 + 5) + 4(- 4- 2) – 2(-5-4)
= 3(- 3) + 4(- 6) – 2(-9)
= -9 – 24 + 18 = – 15
△₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -2 \\
2 & 2 & 1 \\
-1 & -5 & -4
\end{array}\right|\)
= 1\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-5 & -4
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -4
\end{array}\right|\) -2\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
-1 & -5
\end{array}\right|\)
= 1(-8 +5) + 4(-8 + 1) – 2(- 10 + 2)
= 1(-3) + 4(-7) – 2(-8)
= -3 – 28 + 16 = -15
△₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -1 & -4
\end{array}\right|\)
= 3\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -4
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -4
\end{array}\right|\) -2\(\left|\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{array}\right|\)
= 3(-8+ 1) – 1(-4- 2)- 2(-1-4)
= 3(-7) – 1(-6) – 2(-5)
= -21 + 6 + 10 =-5
△₃ = \(\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
2 & -5 & -1
\end{array}\right|\)
= 3\(\left|\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
-5 & -1
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -5
\end{array}\right|\)
= 3(- 2 + 10) + 4(- 1 – 4) + 1(- 5 – 4)
= 3(8) + 4(- 5) + 1(- 9)
= 24 – 20-9 =-5

∴ தீர்வு கணம் {1, 3, 3}

கேள்வி 2.
ஒரு போட்டித் தேர்வில் ஒவ்வொரு சரியான விடைக்கும் ஒரு மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தவறான விடைக்கும் \(\frac{1}{4}\) மதிப்பெண் குறைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாணவர் 100 கேள்விகளுக்குப் பதிலளித்து 80 மதிப்பெண்கள் பெறுகிறார் எனில் அவர் எத்தனை கேள்விகளுக்குச் சரியாக பதில்! அளித்திருப்பார்? (கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி இக்கணக்கைத் தீர்க்கவும்).
தீர்வு:
x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில்
அளித்திருப்பார் மற்றும் ) கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க. கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y=100 மற்றும்
1.x- \(\frac{1}{4}\)y = 80 …. (1)
4 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
4x-y = 320 …. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து

∴84 கேள்விகளுக்குச் சரியான அளித்திருப்பார்.

கேள்வி 3.
வேதியாளர் ஒருவரிடம் 50% அமிலத்தன்மை கொண்ட ஒரு கரைசலும் மற்றும் 25% அமிலத்தன்மை கொண்ட மற்றொரு கரைசலும் உள்ளது. அவர் 10 லிட்டர் கரைசலில் 40% அமிலத்தன்மை உள்ளவாறு ஒரு கரைசலை உருவாக்க இருவகைக் கரைசல்கள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் எத்தனை லிட்டர் சேர்க்க வேக வேண்டும்? (இக்கணக்கை
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்க).
தீர்வு:
50% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து ர லிட்டர் மற்றும் 25% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து y லிட்டர் சேர்க்க வேண்டும் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y= 10 …. (1)
மற்றும் x(\(\frac{50}{100}\)) + y(\(\frac{25}{100}\)) = 10(\(\frac{40}{100}\))
⇒ 50x + 25y = 400 ⇒ 2x+y= 16 … (2)
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பின் அணி வடிவம்
⇒ AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\),
X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l}
10 \\
16
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B|A| = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) = 1 – 2 = -1
⇒ X = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\)adj A.B
⇒ X = -1\(\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{l}
10 \\
16
\end{array}\right]\)
= –\(\left[\begin{array}{c}
10-16 \\
-20+16
\end{array}\right]\)
⇒ X = –\(\left[\begin{array}{l}
-6 \\
-4
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{l}
6 \\
4
\end{array}\right]\)
50% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து 6 லிட்டர் மற்றும் 25% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து 4 லிட்டர் சேர்க்க வேண்டும்.

கேள்வி 4.
ஒரு மீன் தொட்டியை பம்பு A மற்றும் பம்பு B என்பன ஒன்றாகச் சேர்ந்து 10 நிமிடங்களில் நீரை நிரப்பும். பம்பு B ஆனது நீரை உள்ளே அல்லது வெளியே ஒரே வேகத்தில் அனுப்ப இயலும். எதிர்பாராதவிதமாக பம்பு B ஆனது நீரை வெரை வெளியே அனுப்பினால் தொட்டி நிரம்ப 30 நிமிடங்கள் ஆகும் எனில் ஒவ்வொரு பம்பும் தொட்டியை தனித்தனியாக நிரப்ப எவ்வளவு காலம் எடுத்துக் கொள்ளும்? (கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்).
தீர்வு:
பம்பு A தொட்டியை நிரப்ப, நிமிடங்கள் எடுத்துக் கொள்ளும் மற்றும் பம்பு B தொட்டியை நிரப்பy நிமிடங்கள் எடுத்து கொள்ளும் என்க. 1 நிமிடத்தில் A ஆல் \(\frac{1}{x}\) அலகும் மற்றும் B ஆல் \(\frac{1}{y}\) அலகும் நிரப்ப முடியும்.

∴ \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = 10
மற்றும் \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{y}\) = 30
\(\frac{1}{x}\) = aமற்றும் \(\frac{1}{y}\)=b என பிரதியிட
⇒ a + b = \(\frac{1}{10}\) …… (1)
மற்றும் a-b = \(\frac{1}{30}\) ….. (2)


A 15 நிமிடங்களிலும், B 30 நிமிடங்களிலும் தொட்டியை நிரப்பும்.

கேள்வி 5.
ஒரு குடும்பத்திலுள்ள மூன்று நபர்கள் இரவு உணவு சாப்பிட ஓர் உணவகத்திற்குச் சென்றனர். இரு தோசைகள், மூன்று இட்லிகள் மற்றும் இரு வடைகளின் விலை ₹150. இரு தோசைகள், இரு இட்லிகள் மற்றும் நான்கு வடைகளின் விலை 1 200. ஐந்து தோசைகள், நான்கு இட்லிகள் மற்றும் இரண்டு வடைகளின் விலை ₹250. அக்குடும்பத்தினரிடம் ₹ 350 இருந்தது மற்றும் அவர்கள் மூன்று தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் ஆறு வடைகள் சாப்பிட்டனர். அக்குடும்பத்தினர் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியுமா?
(உமது விடையை கிராமரின் விதிக்கொண்டு நிரூபி)?
தீர்வு:
ஒரு தோசையின் விலை ₹x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ₹y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ₹z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x + 3y + 2z = 150
2x + 2y + 4z = 200
5x + 4y +2z = 250

C₃, லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது,

= 100[2(4 – 10) – 3(2 – 10) + 1(10 – 20)]
= 100[2(- 6) – 3(-8) + 1(- 10)]
= 100[- 12 + 24 – 10] = 100 [2] = 200.

= 50 [2(10 – 16) – 3(10- 20) + 3(8 – 10)]
= 50[2(- 6) – 3(-10) +3(-2)]
= 50 [- 12 + 30 – 6] = 50 [12] = 600.

ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ₹ 30, ஒரு ! இட்லியின் விலை ₹ 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ₹30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
= 3x + 6y + 6z = 3(30) + 6(10) + 6(30)
= 90 + 60 + 180 = ₹330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ₹350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தை கொண்டு செலுத்த முடியும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.2

கேள்வி 1.
மூன்று சீரான நாணயங்கள் ஒரே நேரத்தில் சுண்டப்படுகின்றன. கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கைக்கான நிகழ்தகவு நிறை சார்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
X என்பது தலைகளின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.

p(x = 0)
p(தலை இல்லை) = p(TTT)= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)

p(x = 1) = p(1 தலை) = p(THT, HTT, TTH)
= \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)
∵ p(H) = \(\frac{1}{2}\) p(T) = \(\frac{1}{2}\)

p(x = 2) = p(2 தலைகள்) = p(HHT, HTH, THH)
= \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

p(x = 3) = p(3 தலைகள்) = p(HHH) = \(\frac{1}{8}\)
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0,1, 2, 3.
நிகழ்தகவு நிறை சார்பு

கேள்வி 2.
ஓர் அறுபக்க பகடையின் ஒரு பக்கத்தில் ‘1’ எனவும், இரு பக்கங்களில் ‘3’ மூன்று எனவும், மற்றும் ஏனைய மூன்று பக்கங்களில் ‘5’ எனவும் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. பகடை இருமுறை வீசப்படுகிறது. இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறது.

(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
(iii) P(4 ≤ X < 10)
(iv) P(X ≥ 6)
தீர்வு:
பகடையின் மீதுள்ள எண்கள் 1, 3, 3, 5, 5, 5 இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறதெனில், அது எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 2, 4, 6, 8, 10.
கூறுவெளி S

கூறுவெளி S -சிலிருந்து நமக்கு கிடைப்பது

p(x = 2) = \(\frac{1}{36}\)
p(x = 4) = \(\frac{4}{36}\)
p(x = 6) = \(\frac{10}{36}\)
p (x = 8) = \(\frac{12}{36}\)
p(x = 10) = \(\frac{9}{36}\)

(i) நிகழ்தகவு நிறைச்சார்பு

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
F(x)x = p(x ≤ x)
F(2) =\(\frac{1}{36}\)
F(4) = \(\frac{1}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) = \(\frac{5}{36}\)
F(6) = \(\frac{1}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) + \(\frac{10}{36}\) = \(\frac{15}{36}\) = \(\frac{5}{12}\)
F(8) = \(\frac{15}{36}\) + \(\frac{12}{36}\) = \(\frac{27}{36}\) = \(\frac{9}{12}\) = \(\frac{3}{14}\)
F(10) = \(\frac{27}{36}\) + \(\frac{9}{36}\) = \(\frac{36}{36}\) = 1
∵ குவிவு பரவல் சார்பு
F(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<2 \\
\frac{5}{36}, & x \leq 2 \\
\frac{5}{12}, & x \leq 0 \\
\frac{3}{4}, & x \leq 8 \\
1, & x \leq 10
\end{array}\right.\)

(iii) p(4 ≤ x < 10) = p(x = 4) + p(x = 6) + p(x = 8)
= \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{5}{18}\) + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{2+5+6}{18}\) = \(\frac{13}{18}\)

(iv) p(r ≥ 6) = p(x = 6) + p(x = 8) + (p = 10)
= \(\frac{5}{18}\) + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{31}{36}\)

கேள்வி 3.
மகன் மற்றும் மகளுக்கு சமவாய்ப்பு நிகழ்தகவுகள் எனக் கருதி 4 குழந்தைகள் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள மகள்களின் எண்ணிக்கைக்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பினையும் குவிவு பரவல் சார்பினையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி = {4 குழந்தைகள்}
கொடுக்கப்பட்ட P(G) = P(B) = \(\frac{1}{2}\)
X குடும்பத்தில் உள்ள மகள்களின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.
P(x = 0) = P(மகள் இல்லை)
= P(BBB) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{16}\)

P(x = 1) = P(1 மகள்)
= 4C₁ × P = 4 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(x = 2) = P(2 மகள்கள்)
= 4C₂ × P(GGBB)
= \(\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)

P(x = 3) = P(3 மகள்கள்)
= 4C₃ × P(GGGB)
= 4 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)

P(x = 4) = P(4 மகள்கள்)
= P(GGGG) = \(\frac{1}{16}\)
நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4}, & x=1,3 \\
\frac{1}{16}, & x=0,4 \\
\frac{3}{8}, & x=2
\end{array}\right.\)
குவிவு பரவல் சார்பு
F(0) = \(\frac{1}{16}\)
F(1) = \(\frac{1}{16}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{16}\)
F(2) = \(\frac{5}{16}\) + \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{5}{16}\) + \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{11}{16}\)
F(3) = \(\frac{11}{16}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{11}{16}\) + \(\frac{4}{16}\) = \(\frac{15}{16}\)
F(4) = \(\frac{15}{16}\) + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{16}{16}\) = 1
F(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\frac{0}{16}, & x<0 \\
\frac{1}{16}, & x \leq 0 \\
\frac{5}{16}, & x \leq 1 \\
\frac{11}{16}, & x \leq 2 \\
\frac{15}{16}, & x \leq 3 \\
1, & x \leq 4
\end{array}\right.\)

கேள்வி 4.
ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி 0, 1, மற்றும் 2 மதிப்புகளை மட்டுமே கொள்ளும் என்க.

(i) k – இன் மதிப்பு
(ii) குவிவு பரவல் சார்பு
(iii) P(X ≥ 1) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1,2.
ஆதலால் f (x) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு.

⇒ \(\frac{8}{k}\) = 1
⇒ k = 8
∵ f(x) = \(\frac{x^{2}+1}{k}\)
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(ii)
F(0) = \(\frac{1}{8}\)
F(1) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)
F(2) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{2}{8}\) + \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{8}{8}\) = 1
குவிவு பரவல் சார்பு

(iii) p(x ≥ 1) = p(x = 1) + p(x = 2) = \(\frac{2}{8}\) + \(\frac{5}{8}\)
p(x ≥ 1) = \(\frac{7}{8}\)

கேள்வி 5.
F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
0 & -\infty<x<-1 \\
0.15 & -1 \leq x<0 \\
0.35 & 0 \leq x<1 \\
0.60 & 1 \leq x<2 \\
0.85 & 2 \leq x<3 \\
1 & 3 \leq x<\infty
\end{array}\right.\)
எனக்கொடுக்கப்பட்ட ஒருதனிநிலைசமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு சார்பிற்கு
(i) நிகழ்தகவு சார்பு
(ii) P(X ≥ 1) மற்றும்
(iii) P(X ≥ 2).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட F(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
0 & -\infty<x<-1 \\
0.15 & -1 \leq x<0 \\
0.35 & 0 \leq x<1 \\
0.60 & 1 \leq x<2 \\
0.85 & 2 \leq x<3 \\
1 & 3 \leq x<\infty
\end{array}\right.\)
சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக்கொள்ளும் மதிப்புகள் -1, 0, 1,2,3
X என்ற தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியிலிருந்து
f(x) = p(X = x)
∴ f(-1) = p(X = -1) = F(-1) – F(0)
= 0.15-0 = 0.15
f(0) = p(X = 0) = F(0) – F(-1)
0.35 -0.15 = 0.20
f(1) = p(X = 1) = F(1) – F(0)
0.60-0.35 = 0.25
f(2) = p(X = 2) = F(2) – F(1)
= 0.85-0.60 = 0.25
f(3) = p(X = 3) = F(3) – F(2)
= 1-0.85 = 0.15

(i) ∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(ii) p(X < 1)
= p(X = -1) + p(X = 0) = 0.15 +0.20 = 0.35

(iii) p(X ≥ 2)
= p(X = 2) + p(X = 3) = 0.25 + 0.15 = 0.40

கேள்வி 6.
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

எனில்
(i) k மதிப்பு
(ii) P(2 ≤ X < 5)
(iii) P(3 < X) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

(i) f(x) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு ஆதலால்
\(\sum_{i=1}^{5}\) f(x_i) = 1
⇒ k² + 2k² + 3k² + 2k + 3k = 1
⇒ 6k² + 5k = 1
⇒ 6k² + 5k – 1 =0
⇒ (k+ 1)(6k – 1) = 0
⇒ k=-1 அல்ல து k = \(\frac{1}{6}\) [∵ k = -1 என்பது சாத்தியமில்லை]
⇒ k = \(\frac{1}{6}\)

(ii) p(2 ≤ x < 5)
= p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4)
= 2k² + 3k² + 2k = 5k² + 2k
= 5(\(\frac{1}{36}\)) + 2(\(\frac{1}{6}\)) = \(\frac{5}{36}\) + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5+12}{36}\) = \(\frac{17}{36}\)

(iii) p(3 < x) = p(x > 3)
= p(x = 4) + p(x = 5) = 2k + 3k = 5k
= 5(\(\frac{1}{6}\)) = \(\frac{5}{6}\)

கேள்வி 7.
F(x) =
என்பது ஒரு தனிநிலை – சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பு எனில்
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
(ii) P(X < 3) மற்றும்
(iii) P(X = 2).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பு f(x) =

(i) சமவாய்ப்பு மாறி X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3, 4.
தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறிக்கு நம்மிடம்
f(x) = p(X = x)
∴ f(0) = F(0) = \(\frac{1}{2}\)
f(1) = F(1) – F(0)
= \(\frac{3}{5}\) – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{6-5}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)

f(2) = F(2) – F(1)
= \(\frac{4}{5}\) – \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)

f(3) = F(3) – F(2)
= \(\frac{9}{10}\) – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{9-8}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)

f(4) = F(4) – F(3)
= 1 – \(\frac{9}{10}\) = \(\frac{1}{10}\)
∴ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேரியச்சமன்பாட்டுத்தொகுப்புகளை நேர்மாமாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க:
(i) 2x + 5y = – 2, x + 2y = -3
(ii) 2x – y = 8,3x + 2y = – 2
(iii) 2x+3y-z=9, x+y+z=9, 3x-y-z=-1
(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x-4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13.
தீர்வு:
(i) 2x + 5y=-2, x + 2y =-3
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
= \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\) = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
⇒ AX = B இங்கு
A = \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\), B = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
X = \(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\)
⇒ X = A^-1B

∴ தீர்வுகணம் {-11, 4}

(ii) 2x – y = 8, 3x+2y=-2
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\)
B = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B.
இப்பொழுது |A|= \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\) = 4 + 3 = 7

∴ x = 2, y = – 4
எனவே, தீர்வுகணம் {2,-4}

(iii) 2x+3y-z=9, x+y+7=9, 3x-y-7=-1.
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\),
X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B



∴ x= 2, y = 3, z = 4
∴ தீர்வு கணம் {2,3,4}

(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x -4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A =\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\)
X = \(\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
⇒ X = A^-1B

=1 (-8 – 10) – 1 (12 – 25) + 1 (12 + 20)
= 1 (-18) – 1 (- 13) + 1 (22) =-18 + 13 +32= 27



∴ x = 3, y = -2, z = 1
∴ தீர்வு கணம் {3,-2, 1}

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\), எனில் பெருக்கற்பலன் AB மற்றும் BA காண்க. இதன் மூலம் x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2 என்ற நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\).
B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)


ஆகையால் AB = BA = 4.I₃ என அறிவோம்.
⇒ (\(\frac{1}{4}\)A)B = B(\(\frac{1}{4}\)A) = I
⇒ B^-1 = \(\frac{1}{4}\) = I
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது,


∴ x = 2, y = 1, z =-1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1,-1}.

கேள்வி 3.
ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட மாத ஊதியத்தில் ஒரு பணியில் அமர்த்தப்படுகிறார். ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஒரு நிலையான ஊதிய உயர்வு அவருக்கு வழங்கப்படுகிறது. 3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹19,800 மற்றும் 9 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹23,400 எனில் அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் மற்றும் ஆண்டு உயர்வு எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x+9y= 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
1 & 9
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{l}
19800 \\
23400
\end{array}\right]\)


∴ x= 18000, y = 600.
எனவே அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹ 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹600.

கேள்வி 4.
ஆடவரும் 4 மகளிரும் சேர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட வேலையை 3 நாட்களில் செய்து முடிப்பார்கள். அதே வேலையை 2 ஆடவரும் 5 மகளிரும் சேர்ந்து 4 நாட்களில் முடிப்பார்கள். எனில் அவ்வேலையை ஓர் ஆடவர் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனித்தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு எத்தனை நாட்களாகும் என்பதை நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க.
தீர்வு:
ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
\(\frac{4}{x}\) + \(\frac{4}{y}\) = \(\frac{1}{3}\) மற்றும் \(\frac{2}{x}\) + \(\frac{5}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{x}\) = s மற்றும்
\(\frac{1}{y}\) = t என பிரதியிடு
∴ 4s + 4t = \(\frac{1}{3}\)

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம்



ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து ! முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

கேள்வி 5.
A, B மற்றும் C என்ற பொருட்களின் விலை ஓர் அலகிற்கு முறையே ₹x, y, மற்றும் 7 ஆகும். P என்பவர் B-ல் 4 அலகுகள் வாங்கி, A-ல் 2 அலகையும் C-ல் 5 அலகையும் விற்கிறார். Q என்பவர் C-ல் 2 அலகுகள் வாங்கி A-ல் 3 அலகுகள் மற்றும் B-ல் 1 அலகையும் விற்கிறார். R என்பவர் A-ல் 1 அலகை வாங்கி , B-ல் 3 அலகையும் C அலகில் ஒரு அலகையும் விற்கிறார். இவ்வணிகத்தில் P, Q மற்றும் R முறையே ₹ 15,000,11,000 மற்றும் 14,000 வருமானம் ஈட்டுகின்றனர் எனில் A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை ₹x, ₹y மற்றும் ₹z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x – 4y + 5z = 15000
3x+y-2z = 1000
-x+ 3y + z = 4000
சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் அணி வடிவம்

= 2 (1 + 6) + 4 (3 – 2) +5 (9+ 1)
= 2 (7) + 4 (1) + 5(10) = 14+4+ 50 = 68.



∴x = 2000, y = 1000, z = 3000.
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலைகள் முறையே ₹2000, ₹1000 மற்றும் ₹3000 ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 11 நிகழ்தகவு பரவல்கள் Ex 11.1

கேள்வி 1.
X என்பது மூன்று சீரான நாணயங்களை ஒரே சமயத்தில் ஒரு முறைச் சுண்டும் போது விழும் பூக்களின் எண்ணிக்கை என்க. சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க
தீர்வு:
மூன்று சீரான நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டும்
போது கூறுவெளி S = {HHH, HHT, THH, HTH, HTT, THT, TTH, TTT}
இங்கு X என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது என்க.
X (0 பூ) = {HHH} = 1
X (1 பூ) = {HHT, THT, HTH} = 3
X (2 பூக்கள்) = {HTT, THT, TTH} = 3
X (3 பூக்கள்) = {TTT} = 1
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3.

கேள்வி 2.
52 சீட்டுகட்டுகளை உடைய ஒரு சீட்டுக்கட்டிலிருந்து இரு சீட்டுகள் ஒரே சமயத்தில் சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்படுகின்றன. அவ்வாறு எடுக்கப்பட்ட சீட்டுகள் கருப்பாக இருப்பின் சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி s == {26 கருப்பு சீட்டுகள், 26 சிவப்பு சீட்டுகள்}
X எடுக்கப்பட்ட கருப்பு சீட்டுகள் என்க.
X (கருப்பு சீட்டு இல்லை) = 26 × 25 = 650
இரண்டு சிவப்பு சீட்டுகள் எடுத்தல்)
X (1 கருப்பு சீட்டு) = 26 × 26 = 676 [1 கருப்பு சீட்டு மற்றும் சிவப்பு சீட்டு]
X (2 கருப்பு சீட்டுகள்) = 26 × 25 = 650 (இரண்டு கருப்பு சீட்டுகள் எடுத்தல்]
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 1, 2.

கேள்வி 3.
ஒரு கூடையில் 5 மாங்கனிகள் மற்றும் 4 ஆப்பிள்கள் உள்ளன. அதிலிருந்து மூன்று பழங்கள் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. அவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கும் பழங்கள் ஆப்பிள்கள் எனில், சமவாய்ப்பு மாறியான X-இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு. பிம்பங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {5 மாங்கனிகள், 4 ஆப்பிள்கள்}
X எடுக்கப்பட்ட ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கை

கேள்வி 4.
6 சிவப்பு மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் உள்ள ஒரு கொள்கலனிலிருந்து இரு பந்துகள் ! சீரான முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. ! அவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிவப்பு பந்திற்கும் ₹ 15 வெல்வதாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு கருப்பு பந்திற்கும் ₹ 10 தோற்பதாகவும் கொள்க. வெல்லும் தொகையை X குறிப்பதாகக் கொண்டால் X – இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S = {6R, 8B}.
X வெல்லும் தொகையை குறிக்கிறது என்க.
X (சிவப்பு பந்து) = ₹15, X (கருப்பு பந்து) = -₹10
X (இரண்டும் சிவப்பு பந்துகள்) = 2 (15) = ₹ 30
X (1 சிவப்பு மற்றும் | கருப்பு பந்து) = 15 – 10 == ₹5
X (இரண்டும் கருப்பு பந்துகள்) = 2 (-10) =-₹ 20.
∴ X எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 30, 5, -20.

X இன் நேர்மாறு பிம்பம் (இரண்டும் சிவப்பு பந்துகள் )
6C₂ = \(\frac{\not 6 \times 5}{\not{2} \times 1}\) = 15
ஒன்று சிவப்பு மற்றும் ஒன்று கருப்பு பந்தின் நேர்மாறு
பிம்பம் = 6C₁ × 8C₁ = 48
X இன் நேர்மாறு பிம்பம் (இரண்டும் கருப்பு பந்துகள்) = 8C₂
= \(\frac{\not 8 \times 7}{\not{2} \times 1}\) = 28.

கேள்வி 5.
ஆறு பக்க பகடை ஒன்றின் ஒரு பக்கத்தில் ‘2’ எனக் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் இரண்டு பக்கங்களில் ‘3’ எனவும், மீதமுள்ள மூன்று பக்கங்களில் ‘4’ எனவும் உள்ளது. இருமுறை பகடை உருட்டப்படுகிறது. X என்பது இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத் தொகையை குறிக்கிறது எனில், X-இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையையும் காண்க.
தீர்வு:
கூறுவெளி S= {(2, 2) (2, 3) (2, 3) (2, 4) (2, 4) (2, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 3) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 3) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 3) (4, 4) (4, 4) (4, 4)}
இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத் தொகை X என்க.
19 சுராவன் 12 ஆம் வகுப்பு – கணதவியல் நகாத
X (4) = {(2, 2)} = 1
X (5) = {(2, 3) (2, 3) (3, 2) (3, 2)} = 4
X (6) = {(2, 4) (2, 4) (2, 4) (3, 3) (3, 3) (3, 3) (3, 3) (4, 2) (4, 2) (4, 2)}
X (7) = {(3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (4, 3) (4, 3)(4, 3) (4, 3) (4, 3) (4, 3)}
X (8) = {(4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4) (4, 4)}

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.3

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினை | கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும் :

கேள்வி 1.
ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி S என்ற ஒரு கணத்தின் மீது ஒரு சார்பாக பின்வருவனவற்றிலிருந்து பெறப்படுகிறது
(1) S → S
(2) (S × S) → S
(3) S →(S × S)
(4) (S× S) → (S × S)
விடை:
(2) (S × S) → S

கேள்வி 2.
கழித்தலின் கீழ் பின்வரும் கணம் அடைவு பெறவில்லை .
(1) ℝ
(2) ℤ
(3) ℕ
(4) ℚ
விடை:
(3) ℕ

கேள்வி 3.
பின்வருபவைகளில் எது ℕ-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.
(1) கழித்த ல்
(2) பெருக்கல்
(3) வகுத்தல்
(4) அனைத்தும்
விடை:
(2) பெருக்கல்

கேள்வி 4.
மெய் எண்க ளின் கணம் ℝ – ன் மீது ‘*’ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் எது ℝ-ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?
(1) a * b = min (a.b)
(2) a * b = max (a, b)
(3) a * b = a
4) a * b = a^b
விடை:
(4) a * b = a^b
குறிப்பு : a = 0, b = 0 என்க, = 0⁰ ∉ R. (4) a * b = a^b

கேள்வி 5.
என்ற ஈருறுப்புச் செயலி a * b = \(\frac{ab}{7}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. * எதன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி ஆகாது?
(1) ℚ⁺
(2) ℤ
(3) ℝ
(4) ℂ
விடை:
(3) ℤ
குறிப்பு :a= 3, b = 2 என்க.
⇒ a * b = 3 * 2 = \(\frac{3(2)}{7}=\frac{6}{7}\) ∉ z

கேள்வி 6.
ℚ என்ற கணத்தில் a◉b = a + b + ab. என வரையறு பின்ன ர் 3◉(y◉5) =7?
(1) y = \(\frac{2}{3}\)
(2) y = \(\frac{-2}{3}\)
(3) y = \(\frac{-3}{2}\)
(4) y = 4
விடை:
(2) y = \(\frac{-2}{3}\)
குறிப்பு : ⓧ b=a + b + ab
∴ 3 ⓧ [y ⓧ 5) =7 = 3 ⓧ (y + 5 + 5y) = 7
⇒ 3 + y + 5 + 5y + 3[y + 5 + 5y) = 7
⇒ 8 + 6y + 3y +15 + 15y = 7
⇒ 23 + 24y = 7 ⇒ 24y = 7- 23 = -16
⇒ y = \(\frac{-16}{24}=\frac{-2}{3}\)

கேள்வி 7.
ℝ-ன் மீது a * b = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ? எனில், *ஆனது
(1) பரிமாற்று விதிக்கு கட்டுப்படும் ஆனால் சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்யாது.
(2) சேர்ப்பு விதிக்கு கட்டுப்படும் ஆனால் பரிமாற்று விதியை நிறைவு செய்யாது.
(3) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யும்.
(4) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யாது.
விடை:
(3) பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யும்.

குறிப்பு : a * b = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) = \(\sqrt{b^{2}+a^{2}}\) = b * a
மேலும் a * (b * c) = a * \(\sqrt{b^{2}+c^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)
(a * b) * c = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

கேள்வி 8.
பின்வரும் கூற்றுகளில் எது T மெய்மதிப்பை பெற்றிருக்கும்?
(1) sin.x ஓர் இரட்டைச் சார்பு.
(2) ஒவ்வொரு சதுர அணியும் பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகும்.
(3) ஒரு கலப்பெண் மற்றும் அதன் இணை எண்ணின் பெருக்கற்பலன் முற்றிலும் கற்பனை.
(4) \(\sqrt{5}\) ஒரு விகிதமுறா எண்
விடை:
(4) \(\sqrt{5}\) ஒரு விகிதமுறா எண்

கேள்வி 9.
பின்வருபவைகளில் எது மெய்மதிப்பு F ஐ பெற்றிருக்கும்?
(1) சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்
(2) சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு விகிதமுறா எண்
(3) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்
(4) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது 1/2 ஒரு விகிதமுறா எண்
விடை:
(3) சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{2}\) ஒரு முழு எண்

கேள்வி 10.
ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் 3 தனிக் கூற்றுகள் உட்படுத்தப்பட்டிருந்தால் அம்மெய்மை அட்டவணையின் நிரைகளின் எண்ணிக்கை
(1) 9
(2) 8
(3) 6
(4) 3
விடை:
(2) 8
குறிப்பு : நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8

கேள்வி 11.
(p ∨ q) → (p ∧ q)-ன் எதிர்மறை கூற்று எது?
(1) (p ∧ q) → (p ∨ q)
(2) ¬(p ∨ q) → (p ∧ q)
(3) (¬p ∨ -q) → (¬p ∧ ¬q)
(4) (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)
விடை:
(4) (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)
குறிப்பு : (p ∨ q) → (p ∧ q)
¬[(p ∨ q) → (p ∧ q)] → (¬p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q)

கேள்வி 12.
(p ∨ q) + r -ன் நேர்மாறுக் கூற்று எது
(1) ¬r → (¬p ∧ -q)
(2) ¬r → (p ∨ q)
(3) r → (p ∧ q)
(4) p → (q ∨ r)
விடை:
(1) ¬r → (¬p ∧ -q)
குறிப்பு : (p ∨ q) → r
நேர்மாறுக் கூற்று ¬r → (¬p ∧ ¬q)

கேள்வி 13.
(p ∧ q] ∨ ¬q -ன் மெய்மை அட்டவணை கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

விடை:
(3) T T FT
குறிப்பு:

கேள்வி 14.
(p ∨ ¬q)ன் மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் வரும் மெய் மதிப்பு ‘F’ விளைவுகளின் எண்ணிக்கை
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(3) 3
குறிப்பு:

கேள்வி 15.
பின்வருபவைகளில் எது சரியல்ல ? p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகளுக்கு பின்வரும் தர்க்க சமானமானவைகள் பெறப்படுகிறது.
(1) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
(2) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(3) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(4) ¬(¬p) ≡ p
விடை:
(3) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
குறிப்பு : ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q [-(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

கேள்வி 16.

விடை:
(2) F T T T
குறிப்பு:

கேள்வி 17.
¬(p ∨ q) ∨ [p ∨ (p∧ ¬ r)) -ன் இருமம்
(1) ¬(p ∧ q] ∧ [p ∨ [p ∧ ¬r)]
(2) (p ∧ q] ∧ [p ∧ (p ∨ ¬r)]
(3) ¬(p ∧ q] ∧ [p ∧ (p ∧ r)]
(4) ¬(p ∧ q) ∧ [p ∧ (p ∨¬r)]
விடை:
(4) ¬(p ∧ q) ∧ [p ∧ (p ∨¬r)]

கேள்வி 18.
p ∧ (¬p ∨ q) என்ற கூற்று
(1) ஒரு மெய்மம்
(2) ஒரு முரண்பாடு
(3) p ∧ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
(4) p ∨ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
விடை:
(3) p ∧ q -க்கு தர்க்க சமானமானவை
குறிப்பு:

கேள்வி 19.
பின்வரும் ஒவ்வொரு கூற்றிற்கும் அதன் மெய் மதிப்பை தீர்மானிக்க.
(a) 4 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 3 = 9
(b) 3 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 1 = 7
(c) 4 + 5 = 9 மற்றும் 1 + 2 = 4
(d) 3 + 2 = 5 மற்றும் 4 + 7 = 11

விடை:
(1) F T F T
குறிப்பு :
(1) 4 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 3 = 9 (F ∧ T)
(2) 3 + 2 = 5 மற்றும் 6 + 1 = 7 (T ∧ T) = T
(3) 4 + 5 = 9 மற்றும் 1 + 2 = 4 (T ∧ F) = F
(4) 3 + 2 = 5 மற்றும் 4 + 5 = 11 (T ∧ T) = T

கேள்வி 20.
பின்வருபவைகளில் எது உண்மையல்ல ?
(1) ஒருகூற்றின்மறுப்பின்மறுப்பு அக்கூற்றேயாகும்.
(2) ஒரு மெய்மை அட்டவணையில் இறுதி நிரல் முழுவதும் T எனில் அது ஒரு மெய்மமாகும்.
(3) ஒரு மெய்மை அட்டவணையில் இறுதி நிரல் முழுவதும் F எனில் அது ஒரு முரண்பாடாகும்.
(4) p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில் p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மாகும்
விடை:
(4) p மற்றும் பு ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில் p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மாகும்
குறிப்பு:
p மற்றும் q ஏதேனும் இரண்டு தனி கூற்றுகள்
எனில் p ⇔ q ஒரு மெய்மம்.
p ⇔ q ஒரு நிச்சயமின்மை என அறிவோம்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2

கேள்வி 1.
p என்பது “ஜுபிடர் ஒரு கோளாகும்” மற்றும் q என்பது “இந்தியா ஒரு தீவு”. பின்வரும் கூற்றுகளுக்குரிய வார்த்தைகளுடன் கூடிய வாக்கியங்களை அமைக்க.
(i) p
(ii) p ∧ ¬q
(iii) ¬p ∨ q
(iv) p → q
(v) p ↔ q
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டp : ஜூபிடர் ஒரு கோளாகும் மற்றும் q : இந்தியா ஒரு தீவு
(i) ¬p: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல.
(ii) p ∧ ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் மற்றும் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(iii) p ∨ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல அல்லது இந்தியா ஒரு தீவு.
(iv) p → ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(v) p ↔ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு.

கேள்வி 2.
p மற்றும் ஏ என்ற கூற்று மாறிகளைக் கொண்டு பின்வரும் ஒவ்வொரு வாக்கியத்தையும் குறியீட்டு அமைப்பில் எழுதுக.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.
(iii) 19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல.
தீர்வு:
p: 19 ஒரு பகா எண்
q : ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ¬p ∧ 4 முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ ¬q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமமில்லை .
(iii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல ¬p.

கேள்வி 3.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்.
(iii) 5 + 5= 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
தீர்வு:
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க.
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
p: 6 + 2 = 5 என்க .
q : பாலின் நிறம் வெண்மை என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝕋 என்பதால் p → q -ன் மெய் மதிப்பு 𝕋 ஆகிறது.

(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்
p : சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது என்க.
q : \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
p ∨ q இன் மெய்மதிப்பு 𝔽 ஏனெனில் இரண்டு கூற்றுகளின் முடிவுகளும் 𝔽.

(iii) 5 + 5 = 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
P: 5 + 5 = 9 என்பது மெய்
q : பூமி ஒரு கோள் என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝕋 என்பதால் ¬p ∨ q -ன் மெய் மதிப்பு 1 ஆகிறது.

(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
p: 11 ஒரு பகா எண்.
q : செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝔽 என்பதால் p ∨ q-ன். மெய்மதிப்பு 𝔽 ஆகிறது.

கேள்வி 4.
பின்வரும் வாக்கியங்களில் எது கூற்று?
(i) 4 + 7 = 12
(ii) நீ என்ன செய்து கொண்டிருக்கிறாய்?
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ
(iv) மயில் நமது தேசிய பறவை
(v) இந்த மலை எவ்வளவு உயரம்!
தீர்வு:
வாக்கியங்கள்
(i) 4 +7 = 12
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ மற்றும் 1.
(iv) மயில், நமது தேசிய பறவை என்ற கூற்றுகள் மெய் அல்லது பொய்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் கூற்றுகள் சம்பந்தமான மறுதலை, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மாறுகளை எழுதுக.
(i) x , y என்ற எண்க ள் x = y, என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் .x² = y²
(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர் இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
தீர்வு:
(i) x , y என்ற எண்கள் x = y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x² = y²
மறுதலைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² = y² என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x = y மறுதலைக் ! கூற்று
எதிர்மறைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x ≠ y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர்.x² ≠ y² எதிர்மறைக் கூற்று
நேர்மாறுக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² ≠ y² என்றவாறு ! உள்ளது எனில், பின்னர் x² ≠ y² நேர்மாறுக் கூற்று.

(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர், இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
மறுதலைக் கூற்று:
ஒரு நாற்கரம் ஒரு செவ்வகம் எனில், பின்னர் இது ஒரு சதுரமாகும்.
எதிர்மறைக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது செவ்வகமும், இல்லை .
நேர்மாறுக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது சதுரமும் இல்லை .

கேள்வி 6.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மை – அட்டவணைகளை அமைக்க.
(i) ¬p ∧ ¬q
(ii) ¬(p ∧ ¬q)
(iii) (p ∨ q) ∨ ¬q
(iv) (¬p → r) ∧ (p ↔ q)
தீர்வு:
(i) –p ∧ ¬q

கேள்வி 7.
பின்வரும் கூட்டு கூற்றுகளில் எவைகள் மெய்மம் அல்லது முரண்பாடுகள் அல்லது நிச்சயமின்மை என்று காண்க.
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)
(ii) (p ∨ q) ∧ ¬p → q
(iii) (p → q) ↔ (-p → 4)
(iv) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
தீர்வு:
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)

கேள்வி 8.

தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (7), ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.
:. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

கேள்வி 9.
q → p ≡ ¬p → ¬q என நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளன.
q → p = ¬p → ¬q.

கேள்வி 10.
p → q மற்றும்பு q → p ஆகியவைகள் சமானமற்றவை எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (4) ஒரே விதமாக இல்லை

கேள்வி 11.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளது.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q

கேள்வி 12.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → p) என்பது ஒரு மெய்மம் அல்லது ஒரு முரண்பாடு எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகள் p → (q → p)
= p → (¬q ∨ p)
[∴ எடுத்துக்காட்டு 12.17ன் படி p → q = ¬p ∨ q]
= (¬p) ∨ (¬q ∨ p) (மீண்டும் எடுத்துக்காட்டு 12.17]
= (¬p ∨ -q) ∨ p (சேர்ப்பு விதி)]
= (¬p ∨ p) ∨ ¬q [பரிமாற்று விதி)]
= 𝕋 ∨ ¬q [¬p ∨ p மெய்மம்)]
= 𝕋 [ 𝕋 ∨ -q] மெய்மம்

கேள்வி 13.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p என்ற கூற்றுகள் தர்க்க சமானமானவை எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p.

நிரல் (5) மற்றும் (7) நிரல் ஒரே விதமாக உள்ளது.
∴ ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும்d ¬p தர்க்க சமமானவை.

கேள்வி 14.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → r) = (p ∧ q) → r என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
நிரூபிக்க p → (q → r) = (p ∧ q) → r உதாரணம் 12.17லிருந்து p → q = ¬p ∨ q என அறிவோம் …………..(1)
LHS = p → (q → r) எனக் கொள்க.
= p → (¬q ∨ r) [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
= =p ∨ (¬q ∨ r) [மீண்டும் (1) ஐ பயன்படுத்தி]
= (¬p ∨ ¬q) ∨ r [சேர்ப்புப்பண்பை பயன்படுத்தி]
= ¬(p ∧ q) ∨ r (டீமார்கனின் விதியைப் பயன்படுத்தி]
= (p ∧ q) → r [(1) -ஐ பயன்படுத்தி]
= RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r) என்பதை மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல் (6) மற்றும் நிரல் (8) ஒரே விதமாக உள்ள ன.
∴ p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.1

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் * ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியா எனத் தீர்மானிக்க .
(i) ℝ-ன் மீது a * b = a . |b|
(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5} – ன் மீது a * 5 = (a, b) -ல் சிறியது.
(iii) ℝ -ன் மீது (a*b) = a \(\sqrt{b}\)
தீர்வு:
(i) ℝ -ன் மீது a = a . |b|
கொடுக்கப்பட்ட ℝ -ன் மீது a* b = a • |b| a, b ∈ ℝ என்க
பிறகு a * b = a. |b| ∈ ℝ.
ஆதலால் a • |b| = ab, b> 0 எனில்
= -ab, b < 0 எனில்
∴ a * (b) = a . |b| ∈ ℝ
ஆம் * ஆனது ℝ-ன் மீதான ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5} – ன் மீது a * b = (a, b) -ல் சிறியது.
a, b ∈ A என்க
பிறகு (a, b) -ல் சிறியது. = a அல்லது b மற்றும் a, b ∈ A
∴ a * b = (a,b)-ல் சிறியது ∈ A
ஆம் * ஆனது ℝ-ன் மீதான ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

(iii) ℝ -ன் மீது (a * b) = a \(\sqrt{b}\)
a, b = ℝ என்க [∴ குறை எண்களின் வர்க்க மூலம் ℝ-ல் இல்லை]
a * b = a \(\sqrt{b}\) = ℝ, b < 0 எனில்
எனவே* ஆனது ℝ-ன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

கேள்வி 2.
ℤ -ன் மீது ⓧ என்ற செயலி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. (m ⓧ n)=mⁿ + n^m: ∀m, I n ∈ ℤ. *ஆனது -ன் மீது அடைவுப் பண்பை பெற்றுள்ளதா?
தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட m ⦻ n = mⁿ + n^m ∀m, n ∈ ℤ m, n ∈ ℤ என்க .
m = -3, n = 2 எனக் கொள்க.
∴ m ⓧ n = (-3)² + 2^-3
= 9 + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{72+1}{8}\) = \(\frac{73}{8}\) ∉ ℤ
∴ ⓧஆனது, ℤ-ன் மீது அடைவு பெறவில்லை .

கேள்வி 3.
ℝ-ன் மீது * ஆனது (a*b) = a + b + ab – 7 என வரையறுக்கப்பட்டால் * ;ℝ – ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், 3 * (\(\frac{-7}{15}\)) காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a* b = a + b + ab – 7

கேள்வி 4.
A = {a + \(\sqrt{5}\) b: a,b ∈ ℤ} என்க. வழக்கமான பெருக்கல் A -ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகுமா என பரிசோதிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = {a + \(\sqrt{5}\)b, a, b ∈ z}
C = a + \(\sqrt{5}\) b என்க
B = c + \(\sqrt{5}\) d ∈ A
இங்கு a, b, c, d ∈ ℤ
∴ C . B = (a + \(\sqrt{5}\) b). (c + \(\sqrt{5}\) d)
= ac + \(\sqrt{5}\) ad + cb \(\sqrt{5}\) + 5bd
= (ac + 5 bd) + \(\sqrt{5}\) (ad + bc) = A [∵ ac + 5 bd ∈ ℤ மற்றும் ad + bc ∈ ℤ]
∴ C. B ∈ A Va, b, c, d, ∈ ℤ
∴ வழக்கமான பெருக்கல் A-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

கேள்வி 5.
(i) *என்ற ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ℚ -ன் மீது பின்வருமாறு வரையறுக்கப் படுகிறது. இந்த * ஆனது, அடைவுப் பண்பு, பரிமாற்றுப் பண்பு . சேர்ப்புப் பண்பு ஆகியவற்றை நிறைவு செய்கிறதா எனச் சோதிக்க
a*b=(\(\frac{a+b}{2}\)); ∀a, b ∈ ℚ.
(ii) *ஆனது, சமனிப் பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவை, ℚ -ன் மீது உண்மையாகுமா எனச் சோதிக்க.
a*b=(\(\frac{a+b}{2}\)); ∀ a, b ∈ ℚ
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a* b = \(\frac{a+b}{2}\) ∀a. b ∈ ℚ.
(i) அடைவுப் பண்பு :
a, b ∈ ℚ என்க
∴ a * b = \(\frac{a+b}{2}\) ∈ ℚ
[∵ கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ℚ-ல் அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது]
ℚ-ல் * அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது.

(ii) பரிமாற்றுப் பண்பு
a, b = ℚ என்க.
பிறகு a * b = \(\frac{a+b}{2}\) = \(\frac{b+a}{2}\) = b * a
∴ a * b = b * a ∀a, b ∈ ℚ
∴ Qஇல் * பரிமாற்றுப் பண்புடையதாகும்.

சேர்ப்புப் பண்பு
a, b, c ∈ ℚ என்க
a * (b * c) = (a * b) * c
a = 2, b = 3, c =-5 என்க
∴ a * (b * c) = 2 * (3 * -5)
= 2* (\(\frac{3-5}{2}\))
= 2 * (-1) = \(\frac{2+(-1)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) …..(1)

(1) மற்றும் (2)லிருந்து, a * (b * c) = (a * b) * c
∴ ℚ இல் * சேர்ப்புப் பண்பு இல்லை.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட a * b = \(\frac{a+b}{2}\), இங்கு a, b ∈ ℚ
a, b ∈ ℚ என்க
a * e = e * a = a என்ற உறுப்பை பின்வருமாறு காண வேண்டும்.
a = 5 என்க, பிறகு 5 * e = 5

சமனி உறுப்பு ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாறுவதால், ℚ-வில் சமனி உறுப்பு இல்லை
∴ * க்கு ℚ -வில் சமனி பண்பு இல்லை .
∴ * க்கு ℚ- வில் எதிர்மறை பண்பு இல்லை .
எனவே சமனி மற்றும் எதிர்மறை பண்பு ஈருறுப்பு செயலி * க்கு இல்லை .

கேள்வி 6.
* என்ற ஈருறுப்புச் செயலி ஆனது A = {a, b, c} என்ற கணத்தின் மீது பரிமாற்று விதிக்கு கட்டுப்பட்டால் பின்வரும் பட்டியலைப் பூர்த்தி செய்க.

தீர்வு:
A இல் கொடுக்கப்பட்ட * பரிமாற்று பண்புடையது
கொடுக்கப்பட்ட b * a = c ⇒ a * b = c
கொடுக்கப்பட்ட c * a = a ⇒ a * c = a
கொடுக்கப்பட்ட b * c = a ⇒ c * b = a
எனவே

கேள்வி 7.
A = {a, b, c, d} என்ற கணத்தின் மீது * என்ற ஈருறுப்புச் செயலியை பின்வரும் பட்டியலுடன் கருதுக.

இது மாற்றுப்பண்பு மற்றும் சேர்ப்புப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளதா?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = {a, b, c, d} மற்றும் * பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

அட்டவணையிலிருந்து
(i) a * b = C மற்றும் ba = d
⇒ A இல் * பரிமாற்று பண்பை பெறவில்லை .
(ii) a * (b * c) = (a * b) * C என்பதை சரிபார்க்க
⇒ a * (b) = c * c
⇒ c # a
∴ A இல் * ஆனது சேர்ப்பு பண்பை நிறைவு செய்யவில்லை.

கேள்வி 8.
A = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\), B = \(\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\), C = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right)\) என்பவைகள் ஒரே மாதிரியான வகையினை உடைய ஏதேனும் மூன்று பூலியன் அணிகள் எனில்,
(i) A ∨ B
(ii) A ∧ B
(iii) (A ∨ B) ∧ C
(iv) (A ∧ B)∨C
ஆகியவைகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\),

கேள்வி 9.
(i) M = \(\left\{\left(\begin{array}{ll}
x & x \\
x & x
\end{array}\right): x \in \mathbb{R}-\{0\}\right\}\) என்க.
* என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M-ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில்,
* ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

(ii) M = \(\left\{\left(\begin{array}{ll}
x & x \\
x & x
\end{array}\right): x \in \mathbb{R}-\{0\}\right\}\)* என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க.
* ஆனது M -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில்,
* ஆனது M -ன் மீது சமனிப்பண்பு, மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனவும் சோதிக்க. மற்றும் * என்பது அணி பெருக்கல்
தீர்வு:

∴ M இல் * ஆனது அடைவுப் பண்புடையது.
பரிமாற்று பண்பு

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A * B = B * A
∴ M-ல் *க்கு பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு .
சேர்ப்புப் பண்பு



∴ M இல் அடைவுப் பண்பு நிறைவு செய்யப்படுகிறது.
சமனி 2 × 2 அணிகளின் சமனி I = \(\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\) ∉ M
∴ M இல் *க்கு சமனி உறுப்பு இல்லை .
எதிர்மறை :
சமனி உறுப்பு இல்லை எனவே எதிர்மறை பண்பும் இல்லை .

கேள்வி 10.
(i) A = ℚ\{1} என்க. A-ன் மீது* பின்வ ருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. xy = x + y – xy.
* ஆனது A-ன்மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A-ன் மீது
* ஆனது பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

(ii) A = Q\{1} என்க. A-ன் மீது * பின்வ ருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.xy = x + y – xy.
* ஆனது A -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A-ன் மீது
* ஆனது சமனிப்பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட A = {Q\ {1}}
x * y = x + y – xy
எனுமாறு A இல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x, y ≠ 1 என்க
∴ x * y = x + y – xy
இங்கு x + y – xy # 1
x + y -.xy = 1 என்க
x + y – xy – 1 = 0
(x – 1) – y(x – 1) = 0
(x – 1) (1 – y) = 0
x = 1 அல்லது y = 1 இது தவறாகும். [∵ x, y # 1]
∴ நமது அனுமானம் தவறு.
∴ x + y – xy # 1
A இல் * ஆனது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி.
பரிமாற்றுப் பண்பு
x, y ∈ A ⇒ x, y # 1 என்க .
∴ x * y = x + y – xy’
மற்றும் y * x = y + x – yx
⇒ x + y = y * x ∀x, y ∈ A .
*க்கு A இல் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு.
சேர்ப்புப் பண்பு x, y, z ∈ A ⇒ x, y, z + 1 என்க .
கருது (x * y) * z = (x + y – xy) * z
= x + y – xy + z – (x + y – xy)z
= x + y – xy + z – xz – yz +xyz
= x + y + z – xy – yz – zx + xyz ………….. (1)
= x + y + z – yz – x (y + z – yz)
= x + y + z – yz – zy – xz + xyz …..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x * y) * z = x * (y * z) A இல் *க்கு சேர்ப்புப் பண்பு உண்டு.

(ii) சமனிப் பண்பு
e ∈ A என்ற உறுப்பை பின்வருமாறு காண வேண்டும்.
a * e = e * a = a
⇒ a + e – ae = a
⇒ e – ae = 0
⇒ e(1 – a) = 0
⇒ e = \(\frac{0}{1-a}\) = 0 ∈ A
* க்கு A இல் சமனி உண்டு .

எதிர்மறை பண்பு
ஒவ்வொரு a ∈ Aக்கும் a’ ∈ A ஆனது பின்வருமாறு
உள்ள து a * d’ = a’ * a = e
⇒ a + a’ – aa’ = 0 [∵ e = 0]
⇒ a + a'(1 – a) = 0
⇒ a'(1 – a) = -a
a’ = \(\frac{-a}{1-a}\)
நிரூபிக்க \(\frac{-a}{1-a}\) ≠ 1
\(\frac{-a}{1-a}\) = 1 என்க
⇒ -a = 1 – a
⇒ -a – a + a = 1 ⇒ 0 ≠ 1
∴ நமது அனுமானம் தவறு.
⇒ \(\frac{-a}{1-a}\) ≠ 1
∴ x ∈ Aக்கு A இல் எதிர்மறை பண்பு உண்டு.