Category: Class 12

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 1.
w ≠ 1 என்பது ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலம் என நிறுவுக.
தீர்வு:

கேள்வி 2.
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{5}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{5}\) = –\(\sqrt{3}\) கணக்காட்டுக
தீர்வு:


(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 3.

தீர்வு:

கேள்வி 4.
2 cos α = x + \(\frac{1}{x}\) மற்றும் 2 cos β = y + \(\frac{1}{y}\) எனக் கொண்டு. கீழக்காண்பவைகளை நிறுவுக.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2cos α = x + \(\frac{1}{x}\)
⇒ 2 cos α = \(\frac{x^{2}+1}{x}\)
⇒ x² + 1 = 2x cos α

(i) \(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\) = 2cos(α – β)

= cos(α – β) + i sin(α – β)
= cos(α – β) + i sin(α – β) + cos(α – β) – i sin(α – β)
= 2 cos(α – β)

(ii) xy – \(\frac{1}{x y}\) = 2sin(α + β)
xy = (cos α + i sin β) (cos α + i sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac{1}{xy}\) = cos(α + β) – i sin (α + β)

= 2i sin(α + β)

(iii) \(\frac{\boldsymbol{x}^{m}}{\boldsymbol{y}^{n}}\) – \(\frac{y^{n}}{x^{m}}\) = 2i sim (mα – nβ)
x^m = (cos α + sin α)^m = cos mα + i sin mα
[டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
yⁿ = (cos β + i sin β)ⁿ = cos nβ + i sin nβ

(iv)
x^m yⁿ + \(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = 2 cos(mα + nβ)
x^m yⁿ = (cos α +i sin mα) (cos n β+ i sin nβ)
= cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ)
\(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = cos(mα + nβ) – i sin(mα + nβ)

= 2 cos(mα + nβ)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.

தீர்வு:
z³ = – 27 =(- 1 × 3)3 = – 1 × 3³


எனவே, மூலங்கள் 3 cis \(\frac{\pi}{3}\), – 3,3 cis 5\(\frac{\pi}{3}\)

கேள்வி 6.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில் (z – 1)³ + 8 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -1, 1 – 2ω, 1 – ω² எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (z – 1)³ + 8 = 0
(z – 1)³ = -8 = -1 × 2³


= 2 [cos π + i sinπ] = -2
⇒ z = – 2 + 1 = -1 …. (2)
k = 2 எனில்,

(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து, மூலங்கள் -1, 1–2ω² மற்றும் 1 – 2ω² ஆகும்.

கேள்வி 7.
ன் மதிப்பு காண்க
தீர்வு:

கேள்வி 8.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i) (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶ = 128
(ii) (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….(1 + \(\omega^{2^{11}}\))
தீர்வு:
(i) (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶ = 128
LHS = (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶
= (1 + ω² – ω)⁶ + (-ω² + ω²)⁶
[∵ 1 + ω + ω² = 0]
⇒ 1 + ω = -ω²
⇒ 1 + ω² = -ω
= (-ω – ω)⁶ + (-2ω²)⁶
= (-2ω)⁶ + (-2ω²)⁶
= 2⁶.ω⁶ + 2⁶.ω¹²
= 2⁶[(ω³)² + ω³)⁴]
= 2⁶[1 + 1] [∵ω³ = 1]
2⁶ × 2¹ = 2⁷ = 128 = RHS

(ii) (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\)) = 1 LHS = (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\))

12 உறுப்புகள் உள்ளன.
=(1 + ω) (1 + ω²) (1 + ω) (1 + \(\omega^{2^{1}}\))….
12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)⁶ (1 + ω²)⁶ (-ω)⁶(-ω²)⁶
= (ω³)⁶ = 16 = 1 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 9.
z = 2 – 2i, எனில், ஆதியைப் பொருத்து 7 -ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் 3-ன் மதிப்பை கீழக்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
(i) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{3}\)
தீர்வு:
(1) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
கொடுக்கப்பட்ட z = 2 – 2i
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
z = 2 – 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க

2 – 2i என்ற கலப்பெண் IV -ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்

z e^iθ என்பது z ஆதியை பொறுத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்.
∴ z ஐ சுற்றுவதால், z \(e^{i \frac{\pi}{3}}\)

(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
θ = 2\(\frac{\pi}{3}\) எனில்

(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{2}\)

கேள்வி 10.
\(\sqrt[4]{-1}\) இன் மதிப்புகள் ±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(1 ± i) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
z = (-1)^{\(\frac{1}{4}\)} என்க
⇒ z = (cos π + i sin π)^{\(\frac{1}{4}\)}
[∵ cos π = -1 மற்றும் sin π = 0 ]

= – cos \(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)


இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை

எனவே நான்கு மூலங்கள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8

கேள்வி 1.
3x -2y +6 = 0, x = -3, x = 1 மற்றும் X – அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 3x-2y+6 = 0
2y = 3x + 6 ⇒ y = \(\frac{3x+6}{2}\)

∴ பரப்பு = \(\int_{-3}^{-2}-y d x+\int_{-2}^{1} y d x\)
[∵ x – அச்சுக்கு கீழ் உள்ள பரப்பு]

∴ A = 7.5 ச.அலகுகள்

கேள்வி 2.
2x – y + 1 = 0 , y = -1, y = 3 மற்றும் X- அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + 1 = 0
⇒ 2x = y – 1 ⇒ x = \(\frac{y-1}{2}\)

[∵ X- அச்சுக்கு இடது புறத்தில் உள்ள பரப்பு]

= 2 ச. அலகுகள்

கேள்வி 3.
வளைவரை 2 + x – x² + y = 0, x- அச்சு,x = -3 மற்றும் x = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
2 + x – x² + y = 0
⇒ y = x² – x – 2

∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-3}^{-1} y d x+\int_{-1}^{2}-y d x+\int_{2}^{3} y d x\)


∴ பரப்பு = 16 ச. அலகுகள்

கேள்வி 4.
கோடு y = 2x + 5 மற்றும் பரவளையம் y = x² – 2x ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y = x² – 2x ……….. (1)
மற்றும் கோடு y = 2x + 5 ………… (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, பரவளையத்திற்கு

x² – 2x = 2x + 5
⇒ x² – 4x-5 =0
⇒ y = (x – 5) (x + 1) = 0
⇒ கோட்டிற்கு x = 5, -1


= 36 ச.அலகுகள்

கேள்வி 5.
வளைவரைகள் y = sin x, y = cos x மற்றும் கோடுகள் x = 0 மற்றும் x = π ஆகியவற்றுக்கு இடையே அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் y = sinx …. (1)
y = cos x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, sinx = cos x

⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)

∴ தேவையான பரப்பு = 2 \(\begin{array}{l}
\frac{3 \pi}{4} \\
\int \\
\frac{\pi}{4}
\end{array}\) (sinx – cos x)dx
[∵ X – அச்சை பொறுத்த சமச்சீராக உள்ளது]

கேள்வி 6.
y = tan x, y = cot x மற்றும் கோடுகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
y = tanx, y = cot x.
y = tanx மற்றும் y = cot x வெட்டிக் கொள்ளும்
tan x = cot x = x = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) (tan x – cot x)dx

[∵ log 1 = 0]

கேள்வி 7.
பரவளையம் y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ⇒ x = y + 2
y = x – 2

∴ y ²= y + 2 ⇒ y² – y – 2 = 0
⇒ (y – 2) (y + 1) = 0
⇒ y = – 1, 2
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-1}^{2}\) (x₁ – x₂)dy

பரப்பு = \(\frac{9}{2}\) ச.அலகுகள்

கேள்வி 8.
ஒரு குடும்பத் தலைவர், x = 0 , x = 4 , y = 4 மற்றும் y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் சதுரநிலத்தின் பரப்பை y = 4x மற்றும் x = 4y என்ற வளைவரைகளின் வாயிலாக தன்னுடைய மனைவி, மகள் மற்றும் மகன் ஆகியோர்களுக்கு மூன்று சமபாகங்களாகப் பிரிக்க விரும்புகிறார். அவ்வாறு பிரிக்க இயலுமா? பிரிக்க இயலும் எனில் ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளுக்கான சமன்பாடுகள்
y² = 4x மற்றும் x² = 4y

= \(\frac{4}{3}(4)(2)-\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}-\frac{32}{6}=\frac{64-32}{6}=\frac{32}{6}\)
= \(\frac{16}{3}\) ச. அலகுகள்
ஆம் 3 சமபாகங்களாக பிரிக்கலாம். மகன், மகள் மற்றும் மனைவி ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும்
பரப்பு \(\frac{16}{3}\) ச.அலகுகள்.

கேள்வி 9.
P என்பது y = (x – 2)² + 1 என்ற வளைவரைக்கு ஒரு மீச்சிறு புள்ளி. Q என்ற புள்ளியானது, PQ-ன் சாய்வு 2 உள்ளவாறு வளை வரையின் மேல் உள்ளது எனில் வளைவரைக்கும் நாண் PQ – க்கும் இடையில் அடைபடும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
(y – 1) = (x – 2)²
⇒ y = (x – 2)² + 1 ………… (1)
அதனுடைய முனை (2, 1) ஆனது மீச்சிறு புள்ளி Pஆகும்.
Q(x, y) ஆனது பரவளையத்தின் மேல் உள்ள புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு PQ = 2
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}\) = 2 [∵ சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)]
⇒ y – 1 = 2 (x – 2) ⇒ y – 1 = 2x – 4 ⇒ y = 2x – 4 + 1
⇒ y = 2x + 3 ………….(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x – 2)² + 1 = 2x – 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x – 3 ⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0 ⇒ x = 2, 4

கேள்வி 10.
x² + y² = 16 என்ற வட்டத்திற்கும் y = 6x என்ற பரவளையத்திற்கும் பொதுவான அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 16 …….. (1)
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 6x ……(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 6x – 16 = 0 ⇒ (x + 8) (x – 2) = 0
⇒ x = -8, 2

∴ தேவையான பரப்பு
= 2 \(\begin{array}{l}
2 \\
\int \\
0
\end{array}\) பரவளையத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு + \(\begin{array}{l}
4 \\
\int \\
2
\end{array}\) வட்டத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு

= \(\frac{4}{3}[4 \pi+\sqrt{3}]\) ச. அலகுகள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.7

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக:
கேள்வி 1.
(i) \(\int_{0}^{\infty} x^{5} e^{-3 x} d x\)
(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{-\tan x}}{\cos ^{6} x} d x\)
தீர்வு:

கேள்வி 2.
\(\int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}} x^{3} d x\) = 32, α > 0 எனில் 0-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.6

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :

தீர்வு:

(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{7} x d x\)
I_n = \(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{7} x d x=\frac{n-1}{n} \mathrm{I}_{n-2}\), n ≥ 2
∴ I₇ = \(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{7} x d x=\frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1=\frac{16}{35}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.5

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :
(i) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\)
(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}} \frac{d x}{5+4 \sin ^{2} x}\)
தீர்வு:
(i) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\)
I = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+5 \cos ^{2} x}\) என்க
u = tanx என பிரதியிடு ⇒ du = sec² x dr பகுதி மற்றும் தொகுதியை cos²r ஆல் வகுக்க கிடைப்பது

(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}} \frac{d x}{5+4 \sin ^{2} x}\)
பகுதி மற்றும் தொகுதியை cos²x ஆல் வகுக்க கிடைப்பது

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.4

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக

தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடலின் மதிப்பு காண்க :

தீர்வு:
(i) \(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}\)
\(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}=\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-2^{2}}\)

(ii) \(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)

(iii) \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} d x\)
(தொகுதி மற்றும் பகுதியை 1-3 ஆல் பெருக்க)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)

கேள்வி 2.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடல்களை, தொகையிடலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க :


(xi) \(\int_{0}^{\pi}\) x[sin² (sin x) + cos² (cos x)] dx
தீர்வு:

= -f(x)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7

கேள்வி 1.
கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் வடிவினைக் காண்க.

(i) 2+i2\(\sqrt{3}\)
(ii) 3-i\(\sqrt{3}\)
(iii) -2-i2
(iv) \(\frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}\)
தீர்வு:
(i) 2 +i2\(\sqrt{3}\)
2+i 2\(\sqrt{3}\) = x + iy = r (cos θ + i sin θ) என்க
r = எண் மதிப்பு = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

2 + i2\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் முதலாம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x, y இரண்டும் மிகை) அதன் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac{\pi}{3}\)
அதன் துருவ வடிவம் 2 +i2\(\sqrt{3}\)

(ii) 3 – i\(\sqrt{3}\)
x + iy = 3 – i\(\sqrt{3}\) என்க.
= r (cos θ + i sin θ)

3 – i\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
[∵ x → + ve, y → – ve]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = -α
⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ துருவ வடிவம்
3-i\(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{3}\)

(iii) – 2 – i2
x + iy = -2- 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க

-2 – 2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியின் அமைவதால்
[x குறை y குறை]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = α – π
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)-π=\(\frac{\pi-4 \pi}{4}\)=\(-\frac{3 \pi}{4}\)
அதன் துருவ வடிவம்

(iv)

(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II-ம் கால் பகுதியில்
அமைவதால் [x → குறை y → மிகை)
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(-\frac{3 \pi}{4}\)

எனவே துருவ வடிவம்

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
(ii)
தீர்வு:
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
[ ∵ (cos θ₁ + i sin θ₁) (cos θ₂ + i sin θ₂)
= cos (θ₁ + θ₂) +i sin (θ₁ + θ₂)

(ii)

கேள்வி 3.
(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) …… (x_n + iy_n) = a + ib எனில்,

தீர்வு:

இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,

(ii)
(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₁) …. (x_n + iy_n) = a + ib
arg((x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂)…….(x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg(x₁ + iy₁) + arg(x₂ + iy₂) + ….. + arg(x_n + iy_n) = arg(a + ib)
(∵ arg(z₁z₂….z_n) = arg z₁ + arg z₂ + … + arg z_n)
⇒ tan^-1\(\left(\frac{y_{1}}{x_{1}}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{y_{2}}{x_{2}}\right)\) + ….. + tan^-1\(\left(\frac{y_{n}}{x_{n}}\right)\)
= tan^-1\(\left(\frac{b}{a}\right)\) + 2kπ _k∈ℤ

கேள்வி 4.

தீர்வு:

அதாவது \(\frac{1+z}{1-z}\) = cos 2θ + i sin 2θ
⇒ \(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = cos 2θ + i sin 2θ …… (1)
மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது,
\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = |cos 2θ + i sin2θ| ⇒ |\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\)|
= \(\sqrt{\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta}\) = 1

கற்பனை பகுதியை தனியாக எடுக்க கிடைப்பது

⇒ \(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\) = sin 2θ
∴ y ஆனது tan 8 ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
⇒ y = tan θ
∴ z = 0 + i tan θ = z ⇒ tan θ

கேள்வி 5.
cos α + cos β + cos γ = sin α + sin β + sin γ = 0, எனில்,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ) மற்றும்
(ii) sin 3γ + sin 3β + sin 3γ= 3 sin (α + β + γ) என நிறுவுக.
தீர்வு:
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos γ = sin α +sin β + sin γ = 0
⇒ (cos α + cos β + cos γ) + i (sin α + sin β+ sin γ)=0
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos γ + i sin γ
a + b + c = 0, எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³ = 3[(cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ
⇒ 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i [sin 3α + sin 3β + sin 3γ)]
= 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
மற்றும் sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3sin (α + β + γ) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
z = x + iy மற்றும் arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\) எனில்,
x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x + iy மற்றும்
arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (z – i) – arg(z + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + iy – i) – arg(x + iy + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + i(y – 1)) – arg((x + 2) + iy) = \(\frac{\pi}{4}\)


⇒ -x + 2y – 2 = x² + 2x + y² – y
⇒ x² + 2x + y² – y + x – 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6

கேள்வி 1.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\)
= 1 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப் பாதை மெய் அச்சு எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x+iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\) =1 ⇒ \(\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|\) = 1
⇒ \(\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|\) = 1

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y – 4)² = x² + (y + 4)²

⇒ 8y + 8y = 0
⇒ 16y = 0
⇒ y = 0 [∵ 16 ≠ 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
∴z-ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

கேள்வி 2.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left(\frac{2 z+1}{i z+1}\right)\) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x – 2y = 0 எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z = x+iy

பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது

கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,

⇒ – 2x² – x + 2y – 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x – 2y = 0
எனவே z -ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x- 2y = 0

கேள்வி 3.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy – ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) [Re (iz)]² = 3
(ii) Im [(1 – i) z + 1] = 0
(iii) |z + i| = |z – 1|
(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
தீர்வு:
(i) [Re (iz)]² = 3
iz = i (x + iy) = ix +i²y = ix – y = -y + ix
⇒ Re (iz) = -y
[Re (iz)]² = 3 ⇒ (-y)² = 3
⇒ y² = 3.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது y² = 3

(ii) Im [[1- i) z + 1] = 0
(1 – i) z + 1 = (1 – i) (x + iy) + 1
= x + iy – ix – iy + 1
= x + iy – ix + y + 1
= (x + y + 1) + i(y – x)
∴I_m[(1 – i) z + 1] = y – x = 0.
⇒ x – y = 0.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x – y = 0.

(iii) |z + i| = |z -1|
⇒ |x + iy + il = |x + iy – 1|
⇒ x + i (y + 1) = |(x – 1) + iy|
⇒ \(\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}\) = \(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\)
⇒ x² + (y+ 1)² = (x – 1)² + y²
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ 2y + 2x = 0 ⇒ x + y = 0
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x + y = 0.

(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = \(\frac{1}{z}\) ⇒ z\(\bar{z}\) = 1
⇒ |z|² =1
⇒ x² – y² = 1 தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

கேள்வி 4.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.)
(i) |z – 2 – i| = 3
(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
தீர்வு:
(i) |z – 2 – i| = 3.
⇒ |z – (2 +i)| = 3
இது |z – z₀| =r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் ( 2 + i ) மற்றும் ஆரம் 3 ஆகும்.

(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
2|z + 1 – 2i | = 2
⇒ |z – (-1 + 2i) = 1
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (-1 + 2i) மற்றும் ஆரம் 1 ஆகும்.

(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
⇒ 3|z – 2 + 4i| = 8
⇒ z – (2 – 4i) = \(\frac{8}{3}\)
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 – 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac{8}{3}\) ஆகும்.

கேள்வி 5.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) |z – 4| = 16
(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
தீர்வு:
(i) |z – 4| = 16
கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
⇒ |z – 4| = 16
⇒ |x + iy – 4| = 16
⇒ |(x – 4) + iy| = 16
⇒ \(\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\) = 16
⇒ (x – 4)² + y² = 16
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² – 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² – 8x + y² + 16 – 256 = 0
⇒ x² – 8x + y² – 240 = 0. என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
|x + iy – 4|² – |x + iy – 1|² = 16
⇒ |(x – 4) + iy|² – |(x – 1) + iy|² = 16
⇒ [(x – 4)² + y²] – [(x – 1)² + y²] = 16
⇒ x² – 8x + 16 + y² – [x² – 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 – 16 = 0
⇒ -6x – 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் தொகையீடுகளை கூட்டலின் எல்லைகளாக கணக்கிடுக :
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
(ii) \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x\)
தாவு:
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
இங்கு a = 0, b = 1, f(x) = 5x + 4

∴ \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x=\frac{25}{3}\)