Category: Class 12

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.3

கேள்வி 1.
சார்பு g(x, y) = \(\frac{3 x^{2}-x y}{x^{2}+y^{2}+3}\) க்கு எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால், \(\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\) g (x,y) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

கேள்வி 2.
எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) cos \(\left(\frac{\dot{x}^{3}+y^{3}}{x+y+2}\right)\) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) cos \(\left(\frac{\dot{x}^{3}+y^{3}}{x+y+2}\right)\)
= cos \(\left(\frac{0+0}{0+0+2}\right)\) = cos 0 = 1

கேள்வி 3.
(x, y) + (0, 0)- க்கு f(x, y) = \(\frac{y^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) எனில், \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) f(x, y) = 0 என நிறுவுக.
தீர்வு:

கேள்வி 4.
எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால்,
\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left(\frac{e^{x} \sin y}{y}\right)\) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:

கேள்வி 5.
(x, y) ≠ (0,0)-க்கு g (x, y) = \(\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}\), மற்றும் g(0, 0) = 0 என்க .
(i) ஒவ்வொரு y = mx, m ∈ ℝ நேர்கோட்டுப் பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g(x, y) = 0 என நிறுவுக.
(ii) ஒவ்வொரு y = kx², k ∈ ℝ\{0} பரவளையப் பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g (x, y) = \(\frac{k}{1+k^{2}}\) என நிறுவுக.”
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட

இங்கு , \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g(x, y) = \(\frac{m(0)}{0^{2}+m^{2}}=\frac{0}{m^{2}}\) = 0, m இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்
∴ ஒவ்வொரு y = mx, m ∈ ℝ. நேர்க்கோட்டுப்
பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) (x, y) = 0

கேள்வி 6.
சார்பு f(x, y)= \(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}+1}\), ஒவ்வொரு (x, y) ∈ ℝ² -க்கும் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு:
(a, b) ∈ ℝ² என்பது ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி என்க . f இன் தொடர்ச்சி தன்மையை (a, b)-இல் ஆராய்வோம்.

அதாவது f இல் (a, b) தொடர்ச்சிக்கான மூன்று நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்படுகிறதா சோதிப்போம்.

எனவே f எல்லா மூன்று நிபந்தனைகளும் (a, b) என்ற R² இன் தன்னிச்சையான புள்ளியில் பூர்த்தி செய்வதால் ஆனது R² இன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியுடையது.

கேள்வி 7.
சார்பு g(x, y) = \(\frac{e^{y} \sin x}{x}\), x ≠ 0 மற்றும் g(0, 0) = 1 என்க. புள்ளி (0,0) இல் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட g (x, y) = \(\frac{e^{y} \sin x}{x}\) இங்கு x ≠ 0 மற்றும் g(0, 0) = 1
எல்லா (x, y) ∈ ℝ² க்கும் g சார்பு ஆனது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
g-இல் (0, 0) க்கான ட எல்லை மற்றும் L = g(0, 0) = 1 என சோதிக்க.

(0,0 ) வில் தொடர்ச்சியுடையது என நிரூபிக்கிறது.
∴ புள்ளி (0, 0) g(x, y) தொடர்ச்சியுடையது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.4

கேள்வி 1.
தீர்க்க:
(i) (x – 5)(x – 7)(x + 6)(x + 4) = 504
தீர்வு:
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறுவரிசைப்படுத்த
(x – 5) (x + 4) (x – 7) (x + 6) = 504
⇒(x² – x – 20) (x² – x – 42) = 504

பிரதியிடு x² – x = y
⇒ (y – 20) (y – 42) = 504
⇒ y² – 62y + 840 – 504 = 0
⇒ y² – 62y + 336 = 0
⇒ (y – 56) (y – 6) = 0
⇒ y = 56, 6
நிலை (i) y = 56 எனில், x² – x = 56

⇒ x² – x – 56 = 0
⇒ (x – 8) (x + 7) = 0
⇒ x = 8, -7
நிலை (ii)
y = 6 எனில்,
x² – x = 6

⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x = 3, – 2
எனவே மூலங்கள் -2, 3, 8, -7.

(ii) (x – 4)(x – 7)(x – 2)(x + 1) = 16
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (x – 4) (x – 7) (x – 2) (x + 1) = 16
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைப்படுத்த
(x – 4) (x – 2) (x – 7) (x + 1) = 16
⇒ (x² – 6x + 8) (x² – 6x – 7) = 16
பிரதியிடு x² – 6x = y
⇒ (y + 8) (y – 7) = 16
⇒ y² + y – 56 – 16 = 0
⇒ y² + y – 72 = 0

⇒ (y + 9) (y – 8) = 0
⇒ y = -9, 8
நிலை (i)
y = -9 எனில்,
x² – 6x = -9
⇒ x² – 6x + 9 = 0
⇒ (x – 3)² = 0
⇒ x = 3, 3
நிலை (ii)
y = 8 எனில்,

⇒ x² – 6x = 8
⇒ x² – 6x – 8 = 0

∴ மூலங்கள் 3.3.3 + \(\sqrt{17}\) மற்றும் 3 – \(\sqrt{17}\)

கேள்வி 2.
தீர்க்க : (2.3 – 1)(x + 3)(x – 2)(2x + 3) + 20 = 0
நீர்வு:
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைப்படுத்த
(2x – 1) (2x + 3) (x + 3) (x – 2) + 20 = 0
⇒ (4x² + 6² – 2x – 3) (x² – 2x + 3x – 6) + 20 =0
⇒ (4x² + 4x – 3) (x² + x – 6) + 20 = 0
பிரதியிட x² + x = y
⇒ (4y – 3) (y – 6) + 20 = 0
⇒ 4y² – 24y – 3y + 18 + 20 = 0
⇒ 4y² – 27y + 38 = 0
⇒ (y – 2) (4y – 19) = 0
y = 2, \(\frac{19}{4}\)

நிலை (i)
y = 2 எனில்,
x² + x = 2
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = -2, 1

நிலை (ii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு வகையீடு dy காண்க :
(i) y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
(ii) y = (3 + sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
(iii) y = e^x2-5x+7 cos (x² – 1)
தீர்வு:
y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
கொடுக்கப்பட்ட y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
வகையீடு எடுக்க

(ii) y = (3+sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
கொடுக்கப்பட்ட y = (3+sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
வகையீடு எடுக்க
dy = \(\frac{2}{3}(3+\sin 2 x)^{\frac{2}{3}-1}(\cos 2 x)(2) d x\)
dy = \(\frac{4}{3} \cdot \frac{\cos 2 x}{(3+\sin 2 x)^{\frac{1}{3}}} d x\)

(iii) y = e^{x2 – 5x + 7} cos (x² – 1)
கொடுக்கப்பட்ட y = e^{x2 – 5x + 7} cos (x² – 1)
வகையீடு எடுக்க
dy = ( e^{x2 – 5x + 7} (-sin (x² – 1)(2x)) + cos (x² – 1) e^{x2 – 5x + 7} (2x -5))dx
= e^{x2 – 5x + 7} [(2x – 5) cos (x² – 1) – 2x sin (x² -1)]dx

கேள்வி 2.
f(x)= x + 3x என்ற சார்பிற்கு ரி காண்க மற்றும்
(i) x = 2, dx = 0.1
(ii) x = 3 மற்றும் dx = 0.02 எனும் போது df -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
(i) x= 2, dx = 0.1
வகையீடு எடுக்க
df = (2x + 3) dx
x = 2 எனில், dx = 0.1
df = (2(2) + 3) (0.1)
= 7(0.1) = 0.7

(ii) x= 3 மற்றும் dx = 0.02
x = 3 எனில் dr = 0.02,
df = (6+ 3) (0.02)
= 9(0.02)
= 0.18

கேள்வி 3.
f என்ற சார்பிற்கு கொடுக்கப்பட்ட x, ∆x மதிப்புகளுக்கு ∆f மற்றும் df காண்க. மேலும் அவற்றை ஒப்பிடுக.
(i) f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = dx= 0.5
(ii) f(x) = x² + 2x + 3; x=-0.5, ∆x = dx = 0.1
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = dx = 0.5
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = d =0.5
df = f'(x).∆x = (3x² – 4x) ∆R
= [3(2)² – 4(2)] (0.5)
= 4(0.5) = 2.0

∆f = f (x + ∆x) – f(x)
= f(2.5) – f (2)
= [(2.5)³ – 2 (2.5)²] – [2³ – 2(2²)]
= 15.625 – 12.5 – 0 = 3.125

(ii) f(x) = x² + 2x + 3; x =-0.5, ∆x = dx = 0.1
df = f'(x) ∆r = (2x+ 2) (∆x)
x = -0.5, ∆x = dx = 0.1
df = (2(-0.5) + 2)0.1 = 0.1
∆f = f (x + ∆x) – f(x)
= f (-0.5 +0.1) – f (-0.5)
= f (-0.4) – f (-0.5)
= [(-0.4)² + 2 (-0.4) + 3] – [[-0.5)² + 2 (-0.5) + 3]
= (0.16 – 0.8 + 3) – (0.25 – 1 + 3)
= 2.36 – 2.25 = 0.11

கேள்வி 4.
log₁₀e = 0.4343 எனக்கொண்டு log₁₀1003-ன் தோராய மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட log₁₀e = 0.4343
கண்டுபிடிக்க வேண்டியது log₁₀1003
f(x) = log₁₀x, x₀ = 1000, dx = 3
f(1000) = log₁₀¹⁰⁰⁰
= log₁₀¹⁰³ = 3 log₁₀¹⁰
= 3(1) = 3
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) log₁₀^e
f'(1000) = \(\frac{1}{1000}\) log₁₀^e
= \(\frac{1}{1000}\) (0.4343)
∴ L(x) = f(x) + f”(x) (x – x₀)
= 3 + \(\frac{1}{1000}\) (0.4343) (3)
= 3 + \(\frac{1.3029}{1000}\)
= 3 +0.0013029
log₁₀¹⁰⁰³ = 3.0013029

கேள்வி 5.
ஒரு மரத்தின் அடிப்பகுதியின் விட்டம் 30 செ.மீ. அடுத்த ஆண்டு அதன் சுற்றளவு 6 செ.மீ அதிகரிக்கின்றது எனில்
(i) தோராயமாக மரத்தின் விட்டம் எவ்வளவு வளர்ந்துள்ளது?
(ii) அதன் குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பானது எவ்வளவு சதவீதம் அதிகரித்திருக்கும்?
தீர்வு:
(i) மூலை விட்டம் = 30 செ.மீ
ஆரம் = 15 செ.மீ
சுற்றளவு (c) = 2πr
= 2π(3) = 6π செ.மீ
dc = 2πdr
6 செ.மீ = 2πdr
\(\frac{6}{2 \pi}\) செ.மீ = dr
\(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ = dr
மூலைவிட்டத்தின் தோராயமான வளர்ச்சி
2dr = 2 × \(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ
= \(\frac{6}{\pi}\) செ.மீ

(ii) A = πr²
dA = π2r dr
dA = π 2 (15) \(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ.
dA = 90 செ.மீ
பரப்பளவு = πr²
= π × 15 × 15 செ.மீ²
அதிகரிக்கும் சதவீதம் = \(\frac{90}{\pi \times 15 \times 15} \times 100=\frac{40}{\pi} \%\)

கேள்வி 6.
ஒரு குறிப்பிட்ட பறவையின் முட்டை கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமாக உள்ளது. முட்டையின் ஆரம் ஓட்டிற்கு உள்ளே 5 மி.மீ ஆகவும் ஒட்டிற்கு வெளியே 5.3 மி.மீ ஆகவும் உள்ளது எனில் ஓட்டின் தோராய கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\) πr³
⇒ கொடுக்கப்பட்ட r = 5 மி.மீ
dr = (5.3 – 5) = 0.3 மி.மீ
தோராய கன அளவு = \(\frac{4}{3}\) π. 3r² dr
= 4π (5²)(0.3)
= 1001 (0.3)
= 30π மி.மீ³

கேள்வி 7.
மனிதனின் இரத்தக் குழாயின் (தமனியின்) குறுக்கு வெட்டானது வட்ட வடிவம் எனக் கொள்க. ஒரு நோயாளிக்கு இரத்தக் குழாய் விரிவடைவதற்கான மருந்து கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இரத்தக் குழாயின் ஆரம் 2 மி.மீ இலிருந்து 2.1 மி.மீ ஆக அதிகரிக்கும் போது அதன் குறுக்கு வெட்டின் பரப்பு தோராயமாக எந்த அளவு அதிகரிக்கும்? !
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r = 2 மி.மீ
dr = (2.1 – 2) = 0.1 மி.மீ
பரப்பளவு = πr²
தோராயமான பரப்பு dA = 2πrdr
= 2π (2) (0.1)
= 4π (0.1) = 0.4 π மி.மீ.²

கேள்வி 8.
புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட ஒரு நகரத்தின் வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கையின் (ஆயிரங்களில்) அதிகரிப்பு V(t) = 30 + 12t² – t³, 0 ≤ t ≤ 8 என்பதால் மதிப்பிடப்படுகின்றது. இங்கு t என்பது ஆண்டுகளை குறிக்கின்றது. காலம் 4-இலிருந்து 4\(\frac{1}{6}\) வருடமாக இருக்கும் போது ஏற்படும் தோராய வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
V(I) = 30 + 12t² – t³, 0 ≤ t ≤ 8
கொடுக்கப்பட்ட t = 4, dt = 4 \(\frac{1}{6}\) – 4 = 1
தோராயமாக வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம்
= (24t – 3t²) dt
= [24(4)- 3(4)²]\(\frac{1}{6}\)
= (96 – 48)\(\frac{1}{6}\) = \(\frac{48}{6}\) = 3
தோராயமாக வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம் = 8000.

கேள்வி 9.
ஒரு மனிதன் : மணி நேரத்தில் கற்கும் வார்த்தைகளுக்கான தொடர்பு ) = 52\(\sqrt{x}\), 0 ≤ x ≤ 9 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. x -ன் மதிப்பு பின்வருமாறு மாறும் போது கற்றல் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கையில் ஏற்படும் தோராய மாற்றத்தைக் காண்க.
(i) 1 இலிருந்து 1.1 மணி?
(ii) 4 இலிருந்து 4.1 மணி?
தீர்வு:
y = 52\(\sqrt{x}\), 0 ≤ x ≤ 9
(i) கொடுக்கப்பட்ட x = 1, dx = 1.1 – 1 = 0.1
தோராயமாக கற்ற வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை
= \(52 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{26}{\sqrt{x}} d x\)
= \(\frac{26}{\sqrt{1}}\) (0.1) = 2.6
≅ 3 வார்த்தைகள்

(ii) x = 4 எனில், dx = 4.1 – 4 = 0.1
தோராயமாக கற்ற வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை
\(=\frac{26}{\sqrt{x}} d x=\frac{26}{\sqrt{4}}(0.1)=\frac{26}{2}(0.1)\)
= 13(0.1) = 1.3
≅ 1 வார்த்தை .

கேள்வி 10.
ஒரு வட்ட வடிவத் தகடு வெப்பத்தினால் சீராக விரிவடைகின்றது என்க. அதன் ஆரம் 10.5 செ.மீ – இலிருந்து 10.75 செ.மீ – ஆக அதிகரிக்கும் போது அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய அதிகரிப்பு மற்றும் தோராய சதவீத அதிகரிப்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r = 10.5 செ.மீ
dr = 10.75 – 10.5 = 0.25
பரப்பு = πr²
பரப்பில் ஏற்படும் தோராய மாற்றம் = π (2r) dr
= 2π (10.5) (0.25)
= 5.251 செ.மீ²
பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீத மாற்றம்
= \(\frac{5.25 \pi}{\pi(10.5)(10.5)} \times 100\)
= \(\frac{5.25}{110.25} \times 100\)
= 0.0476 × 100 = 4.76%

கேள்வி 11.
10 செ.மீ பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கன சதுரத்தின் பக்கங்களுக்கு 0.2 செ.மீ கனத்திற்கு வர்ணம் பூசப்படுகின்றது. வகையீடுகளைப் பயன்படுத்தி அந்த கன சதுரத்தின் வர்ணப்! பூச்சிற்கு தோராயமாக எத்தனை கன செ.மீ அளவிற்கு வர்ணம் பயன்படுத்தப்பட்டது எனக் காண்க . மேலும் துல்லியமாக எவ்வளவு வர்ணம் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a = கன சதுரத்தின் பக்க அளவு |
= 10 செ.மீ மற்றும்
dx = 0.2 செ.மீ
கன சதுரத்தின் கன அளவு = a³
தோராயமாக பயன்படுத்தப்பட்ட வர்ணத்தின் கன
செ.மீ அளவு = 3a² da
= 3(10²) (0.2)
= 300\(\left(\frac{2}{10}\right)\) = 60 செ.மீ³
துல்லியமாக பயன்படுத்தப்பட்ட வர்ணத்தின் அளவு
= f (x + ∆x) – f (x)
= f (10.2) – f (10)
= 10.2³ – 10³
= 1061.208 – 1000
= 61.208 செ.மீ³

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1

கேள்வி 1.
f(x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) என்க. x = 27 இல் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க. நேரியல் தோராய மதிப்பை பயன்படுத்தி \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) மற்றும்
x₀ = 27 என்க
∆x = 0.2 என அறிவோம்.
L(x) = f(x₀) + f'(x₀)
(x – x₀) ∀ x ∈ (a, b)
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = f (27) + f'(27) (0.2) …….(1)
இங்கு f (27) = \(\sqrt [ 3 ]{ 27 }\) = 3
f'(x) = \(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\)
∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து, 1
\(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3 +\(\frac{1}{27}\) (0.2)
= 3 + .0074 = 3.0074
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3.0074

கேள்வி 2.
நேரியல் தோராய மதிப்பீட்டு முறையில் பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) (123)^{\(\frac{2}{3}\)}
(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)
(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)
தீர்வு:
(i) (123)^{\(\frac{2}{3}\)}, x₀, = 125, ∆x = – 2 என்க.

(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)

(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)

∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து,
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 3 + \(\frac{1}{27}\)(-1)
= 3 – \(\frac{1}{27}\) = 3 – 0.037
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 2.963

கேள்வி 3.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு , கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = -4
(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x₀ = 1
தர்வு:
(i) f(x) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
f(x₀) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
f(x) = 23 – 5(2) + 12
= 8 – 10 + 12 = 10
f'(x) = 3x² – 5
⇒ f'(x) = 3(2²) – 5 = 7
∴ L (x) = f (x) +f’ (x₀) (x – x)
= 10 + 7(x – 2)
= 10 + 7x – 14
L(x) = 7x – 4

(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = 4
கொடுக்கப்பட்ட g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = 4
g(x₀) = \(\sqrt{(-4)^{2}+9}=\sqrt{16+9}=5\)
g'(x) = \(\frac{1}{2}\left(x^{2}+9\right)^{-\frac{1}{2}}(2 x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\)
∴ g'(x₀ = \(\frac{-4}{\sqrt{(-4)^{2}+9}}=\frac{-4}{5}\)
∴ L(x) = g(x₀) + g'(x₀) (x – x₀)
= \(5-\frac{4}{5}(x+4)=\frac{25-4 x-16}{5}\)
L(x) = \(\frac{9-4 x}{5}\)

(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x₀ = 1

கேள்வி 4.
ஒரு வட்ட தகட்டின் ஆரம் 12.65 செ.மீ-க்குப் பதிலாக 12.5 செ.மீ என அளக்கப்படுகின்றது எனில் அதன் பரப்பு கணக்கிடுவதில் பின்வருவனவற்றை காண்க :
(i) தனிப்பிழை
(ii) சார் பிழை
(iii) சதவீதப் பிழை
தீர்வு:
மெய் மதிப்பு = 12.5 செ.மீ,
தோராய மதிப்பு = 12.65 செ.மீ
வட்ட வடிவ தகட்டின் பரப்பு = πr²
A(12.5) = π(12.5)² = 156.25 1 செ.மீ² –
A(12.65) = π(12.65)² = 160.0225π செ.மீ.²
தோராய மதிப்பு = 12.65 – 12.5 = 0.15

(i) தனிப்பிழை = π(0.15) = 0.0225 1 செ.மீ²
சார் பிழை = A(12.65) – A(12.5)/A(12.5) !

(ii) சார் பிழை = \(\frac{160.0225 \pi-156.25 \pi}{160.0225 \pi}\)
= \(\frac{3.7725 \pi}{160.0225 \pi}\) =0.024 செ.மீ²

(iii)சதவீதப் பிழை = 0.024 × 100 = 2.4%
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\)πr²

கேள்வி 5.
பனிக்கட்டியிலான ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 10 செ.மீ. அதன் ஆரம் 10 செ.மீலிருந்து 9.8 செ.மீ -ஆக குறைகின்றது. பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்பினைக் காண்க :
(i) கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
தீர்வு:
கன அளவில் ஏற்படும் மாற் = \(\frac{4}{3}\) π r³
கொடுக்கப்பட்ட r = 10 செ.மீ.
\(\frac{d r}{d t}\) = -0.2 செ.மீ

(i) கன அளவு
V = \(\frac{4}{3}\) π r³
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= \(\frac{4}{3}\) π . 3r² \(\frac{d r}{d t}\)
= 4π (10)² (-0.2)
= 400 π (-0.2) = -80 1 செ.மீ
∴ கன அளவு 80 1 செ.மீ குறைகிறது.

(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
கோளத்தின் வளைபரப்பு = 4 π r²
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 4 π . 2r. \(\frac{d r}{d t}\)
= 8π (10) (-0.2)
= –\(\frac{80 \pi \times 2}{10}\) = -16 π செ.மீ²
∴ வளைப்பரப்பு 16 1 செ.மீ குறைகிறது.

கேள்வி 6.
l நீளம் உள்ள ஒரு தனி ஊசலின் முழு அலைவு நேரம் T என்பது T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\), என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு 8 ஒரு மாறிலி 1-ல் ஏற்படும் 2 சதவீதப் பிழைக்கு ஏற்ப T-ன் கணக்கீட்டில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க. ,
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தனி பிழை = 2%
⇒ \(\frac{d l}{l} .\) = 2% = \(\frac{2}{100}\) =0.02
கொடுக்கப்பட்ட T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\)
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
log T = log 2π + \(\frac{1}{2}\) log l – \(\frac{1}{2}\) log g
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac{1}{T}\) dT = 0 + \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{l}\) . dl
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = \(\frac{1}{2}\) (.02)
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 0.01
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) × 100 = 0.01 × 100 = 1%

கேள்வி 7.
ஓர் எண்ணின் n -ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதப் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் – மடங்கு ஆகும் எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
அந்த எண் என்க.
y = f(x) = x^{\(\frac{1}{n}\)}
பிறகு \(\frac{1}{n}\) log y = – logx
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது
\(\frac{1}{y}\) dy = \(\frac{1}{n}\) × \(\frac{1}{x}\) dx
அதாவது \(\frac{\Delta y}{y} \simeq \frac{d y}{y}=\frac{1}{n} \cdot \frac{d x}{x}\)
∴ \(\frac{\Delta y}{y} \times 100 \simeq \frac{1}{n}\left(\frac{d x}{x} \times 100\right)\)

அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் ≅ \(\frac{1}{n}\) மடங்கு எனவே ஒரு எண்ணின் 1ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதம் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac{1}{n}\) மடங்கு ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.3

கேள்வி 1.
2x³ – x² – 18x + 9 = 0 எனும் முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களில் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமெனில் சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்க.
தீர்வு:
மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, – α மற்றும் β என்க.
α – α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{1}{2}\)
β = \(\frac{1}{2}\)
மேலும், αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
⇒ α(-α)(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ \(\frac{\alpha^{2}}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) ⇒ α² = 9 ⇒ α = ±3
⇒ α = 3
∴ மூலங்கள் 3,-3 மற்றும் \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 2.
9x³ – 36x² + 44x – 16 = 0 -ன் மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை எனில், சமன்பாட்டைத்
தீர்க்க.
தீர்வு:
இங்கு , a = 9, b = -36, c = 44, d = -16
மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால், மூலங்கள் a – d, a மற்றும் a + d என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{-b}{a}\)
⇒ (a – d) + (a) + (a + d) = \(\frac{-(-36)}{9}\) = 4
⇒ 3a = 4 ⇒ a = \(\frac{4}{3}\) மற்றும்
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = \(\frac{-d}{a}\)
\(\frac{-(-16)}{9}\) = \(\frac{(16)}{9}\)
⇒ (a – d) (a) (a + d) = \(\frac{(16)}{9}\)
(a² – d²) (a) = \(\frac{(16)}{9}\)

∴ மூலங்களாவன a – d, a, a + d
⇒ \(\frac{4}{2}\) – \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{3}\), \(\frac{4}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{3}\), 2.

கேள்வி 3.
3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0 – ன் மூலங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைந்தவை எனில்,
சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0
இங்கு , a = 3, b = -2b, c = 52, d = -24.
மூலங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால்
மூலங்கள் \(\frac{a}{r}\) a, ar. மூலங்களின் கூடுதல் = –\(\frac{b}{a}\)
⇒ \(\frac{a}{r}\) + a + ar = \(\frac{26}{3}\) … (1)
மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = –\(\frac{d}{a}\)

∴ மூலங்கள் \(\frac{a}{r}\), a, மற்றும் ar
⇒ \(\frac{2}{3}\) மற்றும் 2(3) ⇒ \(\frac{2}{3}\), 2 மற்றும் 6

கேள்வி 4.
2x³ – 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k – ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
2x³ – 6x² + 3x + k = 0
இங்கு , a = 2, b = -6, c = 3, d = k
α, β, γ என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α = 2 (β + γ) ⇒ \(\frac{\alpha}{2}\) = β + γ …(1)


k = \(\frac{4}{2}\) ⇒ k = 2

கேள்வி 5.
1 + 2i மற்றும் \(\sqrt{3}\) ஆகியவைஸ்’ x⁶ – 3x⁵ – 5x⁴ + 22x³ – 39x² – 39x + 135, என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் இரு பூச்சியமாக்கிகள் எனில்
அனைத்து பூச்சியமாக்கிகளையும் கண்டறிக.
தீர்வு:
f(x) = x⁶ – 3x⁵ – 5x⁴ + 22x³ – 39x² – 39x + 135 என்க.
கொடுக்கப்பட்ட (1 + 2i) ஒரு மூலம் ⇒ (1 – 2i) யும் ஒரு மூலம்
மேலும், \(\sqrt{3}\) ஒரு மூலம் –\(\sqrt{3}\) ஒரு மூலம்
எனவே f(x)-ன் காரணிகள் [x – (1 + 2i)]
[x – (1 – 2i)] [x – \(\sqrt{3}\)[x + \(\sqrt{3}\)]
[(x-1) – 2i] [(x – 1) + 2i][x – \(\sqrt{3}\)][x + \(\sqrt{3}\)] ((x – 1)² + 2²)(x² – 3)
= (x² – 2x + 1 + 4)(x² – 3)
⇒ f(x) ன் காரணிகள் (x² – 2x + 5)(x² – 3)
⇒ x⁴ – 3x² – 2x³ + 6x + 5x² – 15
⇒ (x⁴ – 2x³ + 2x² + 6x – 15), f(x)-ன் காரணி மற்ற காரணியை காண f(x) ஐ
x⁴ + 2x³ + 2x² + 6x – 15 ஆல் வகுக்க

மற்ற காரணியானது x² – x – 9

எனவே மற்ற மூலங்கள்
1 + 2i, 1 – 2i, \(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), \(\frac{1+\sqrt{37}}{2}\), \(\frac{1-\sqrt{37}}{2}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முப்படி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) 2x³ – 9x² + 10x = 3,
(ii) 8x³ – 2x² – 7x + 3 = 0.
தீர்வு:
கெழுக்களின் கூடுதல்
2 – 9 + 10 – 3 = 12 – 12 = 0 ஆதலால்

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி)
f(x) = (x – 1) (x – 3) (2x – 1) = 0
⇒ x – 1 = 0, x – 3 = 0 or 2x – 1 = 0
⇒ x = 1, x = 3, x = \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 1, 3,\(\frac{1}{2}\)

(ii) f(x) = 8x³ – 2x² – 7x + 3 = 0 என்க இங்கு ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
= 8 – 7 = 1
மற்றும் இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
= -2 + 3 = 1
எனவே, x = – 1 என்பது f(x) ன் ஒரு மூலமாகும் f(x) ஐ (x + 1) ஆல் வகுக்க

∴மற்ற காரணியானது 8x² – 10x + 3

கேள்வி 7.
x⁴ – 14x² + 45= 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
x² = y என பிரதியிடு
⇒ y² – 14y+ 45 = 0

⇒ (y – 9) (y – 5) = 0
⇒ y = 9 (அ) y = 5
⇒ x² = 9 (அ) x² = 5
⇒ x = ±3 (அ) x = ±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் –\(\sqrt{5}\).

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2

கேள்வி 1.
k என்பது மெய்யெண் எனில், 2x² + kx + k = 0 எனும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் இயல்பை, k வழியாக ஆராய்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2.x² + kr +k= 0
இங்கு a = 2, b = k, c = k

∴ பண்புகாட்டி
△ = b² – 4ac = k² – 4 (2)(k)
= k² – 8k = k (k – 8)
k மெய் ஆகையால் k -க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k < 0, k = 0 அல்ல து 8, 0 < k < 8 அல்லது k > 8
நிலை (i) k < 0 எனில், △ = k (k – 8) > 0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k = 0 அல்ல து 8 எனில், △ = 0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் நிலை (iii) 0 < k < 8 எனில், △ = k (k – 8) < 0 கற்பனை மூலங்களை கொண்டிருக்கும் நிலை (iv) k > 8 எனில் , △ = k (k – 8) > 0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை

கேள்வி 2.
2 + \(\sqrt{3} i\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
2 + i\(\sqrt{3}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2 – i
\(\sqrt{3}\) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= 2 + i\(\sqrt{3}\) + 2 – i\(\sqrt{3}\) = 4
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (2 + i\(\sqrt{3}\)) + (2 – i\(\sqrt{3}\))
= 2² + \((\sqrt{3})^{2}\)
[∵ (a + ib)(a – ib) = a² + b²]
= 4 + 3 = 7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(4) + 7 = 0
⇒ x² – 4x + 7 = 0

கேள்வி 3.
2i + 3 -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2i + 3 என்பது ஒரு மூலம்
∴ அதனுடைய இணை 3 – 2i பல்லுறுப்பு கோவைகளின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (3 + 2i) (3 – 2i)
= 3² + 2² = 9 + 4 = 13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(6) + 13 = 0
⇒ x² – 6x + 13 = 0

கேள்வி 4.
\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர்
பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட(\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\)) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= \(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{5}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\))(\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{3}\))²
= 5 – 3 = 2
∴ ஒரு காரணி x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2
மற்றொரு காரணியும் x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2 ஆகும். இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2) (x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 – 2\(\sqrt{5}\)x)(x² + 2 + 2\(\sqrt{5}\)x) = 0
⇒ (x² + 2)² – (2\(\sqrt{5}\)x)² = 0
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 20x² = 0
⇒ x – 16x² + 4 = 0

கேள்வி 5.
ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது என்பதனை நிரூபிக்க.
தீர்வு:
ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப் பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை y = mx + c …(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம் … (2)
(1)ஐ (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m²x² + x(2mc – 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு. இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.10 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.10

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்குவிடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

கேள்வி 1.
\(\int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{\sqrt{4-9 x^{2}}}\)_இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
(2) \(\frac{\pi}{2}\)
(3) \(\frac{\pi}{4}\)
(4) π
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 2.
\(\int_{-1}^{2}|x| d x\) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) \(\frac{3}{2}\)
(3) \(\frac{5}{2}\)
(4) \(\frac{7}{2}\)
விடை:
(3) \(\frac{5}{2}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 3.
ஒவ்வொருா ℤ-க்கும்) \(\int_{0}^{\pi} e^{\cos ^{2} x} \cos ^{3}[(2 n+1) x]\) இன் மதிப்பு –
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) π
(3) 0
(4) 2
விடை:
(3) 0

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{\pi} e^{\cos ^{2} x} \cos ^{3}[(2 n+1) x]\)
e ^cos2s cos³ [(2n + 1)x] என்க
f(-x) = e^cost(-x)2 cos³[(2n + 1)(-x)]
= e^cosx2 – cos³[(2n + 1)x]
= – f (x)
∴ f(x) ஒரு ஒற்றைச் சார்பு

கேள்வி 4.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin² x cosx dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{3}{2}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) 0
(4) \(\frac{2}{3}\)
விடை:
(4) \(\frac{2}{3}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 5.
\(\int_{-4}^{4}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x^{4}+1}{x^{2}}\right)\right] d x\) இன் மதிப்பு
(1) π
(2) 2π
(3) 3π
(4) 4π
விடை:
(4) 4π

குறிப்பு:

கேள்வி 6.
\(\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{2 x^{7}-3 x^{5}+7 x^{3}-x+1}{\cos ^{2} x}\right) d x\) இன் மதிப்பு
(1) 4
(2) 3
(3) 2
(4) 0
விடை:
(3) 2

குறிப்பு:

[∵ இவைகள் ஒற்றைச் சார்புகள்]
= \([\tan x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
= 1 – (-1) = 2

கேள்வி 7.
\(\int_{0}^{x}\) t cos t dt, எனில் \(\frac{d f}{d x}\)
(1) cos x-x sin x
(2) sin x+x cos x
(3) x cos x
(4) x sin x
விடை:
(3) x cos x

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{x}\) t cos t dt
\(\frac{d f}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x} t \cos t d t\right)\) = x cos x
[தொகை நுண்கணிதத்தின் முதலாம் அடிப்படை தேற்றத்தை பயன்படுத்தி]

கேள்வி 8.
y² = 43 என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது
(1) \(\frac{2}{3}\)
(2) \(\frac{4}{3}\)
(3) \(\frac{8}{3}\)
(4) \(\frac{5}{3}\)
விடை:
(3) \(\frac{8}{3}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 9.
\(\int_{0}^{x}\) x (1 – x)⁹⁹ dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{11000}\)
(2) \(\frac{1}{10100}\)
(3) \(\frac{1}{10010}\)
(4) \(\frac{1}{10001}\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{10100}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 10.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+5^{\cos x}}\) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) π
(3) \(\frac{3\pi}{2}\)
(4) 2π
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 11.
\(\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)}\) = 90 எனில் 10 இன் மதிப்பு
(1) 10
(2) 5
(3) 8
(4) 9
விடை:
(4) 9

குறிப்பு:
⇒ \(\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ \(\frac{(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ \(\frac{(n+1)(n) \Gamma(n)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ n² + n – 90 = 0
⇒ (n + 10) (n – 9) = 10, 9
⇒ n = 9

கேள்வி 12.
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\) cos³ 3 x dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{2}{3}\)
(2) \(\frac{2}{9}\)
(3) \(\frac{1}{9}\)
(4) \(\frac{1}{3}\)
விடை:
(2) \(\frac{2}{9}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 13.
\(\int_{0}^{\pi}\) sin⁴ x dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{3\pi}{10}\)
(2) \(\frac{3\pi}{8}\)
(3) \(\frac{3\pi}{4}\)
(4) \(\frac{3\pi}{2}\)
விடை:
(2) \(\frac{3\pi}{8}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\int_{0}^{\infty}\) e^-3x x² dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{7}{27}\)
(2) \(\frac{5}{27}\)
(3) \(\frac{4}{27}\)
(4) \(\frac{2}{27}\)
விடை:
(4) \(\frac{2}{27}\)

^{குறிப்பு:}

கேள்வி 15.
\(\int_{a}^{a} \frac{1}{4+x^{2}} d x=\frac{\pi}{8}\)எனில் 14 இன் மதிப்பு
(1) 4
(2) 1
(3) 3
(4) 2
விடை:
(4) 2

குறிப்பு:

கேள்வி 16.
y² = x(a – x) என்ற வளைவரையில் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x- அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு
(1) πa³
(2) \(\frac{\pi a^{3}}{4}\)
(3) \(\frac{\pi a^{2}}{5}\)
(4) \(\frac{\pi a^{3}}{6}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi a^{3}}{6}\)

குறிப்பு:
கன அளவு

கேள்வி 17.
f(x) = \(\int_{1}^{x} \frac{e^{\sin u}}{u} d u\), x > 1 மற்றும் \(\int_{1}^{3} \frac{e^{\sin x^{2}}}{x} d x=\frac{1}{2}[f(a)-f(1)]\) எனில் பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு
(1) 3
(2) 6
(3) 9
(4) 5
விடை:
(3) 9

குறிப்பு:

கேள்வி 18.
\(\) (sin^-1x)² இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 1
(2) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) + 2
(3) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) + 1
(4) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 2
விடை:
(4) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 2

குறிப்பு:

கேள்வி 19.
\(\int_{0}^{a}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2} d x\) இன் மதிப்பு

விடை:
(2) \(\frac{3 \pi a^{4}}{16}\)

குறிப்பு:
I = \(\int_{0}^{a}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2} d x\)
x = a sin θ என பிரதியிட ⇒ dx = a cos θ dθ

கேள்வி 20.
\(\int_{0}^{x} f(t) d t=x+\int_{x}^{1} t f(t) d t\), எனில் f(1) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 2
(3) 1
(4) \(\frac{3}{4}\)
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{x} f(t) d t=x+\int_{x}^{1} t f(t) d t\)
இருபுறமும் X-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது
f(x) = 1 – x f (x)
∴ f(1) = 1- f (1)
2f(1) = 1
f(1) = \(\frac{1}{2}\) [தொகை நுண் கணிதத்தின் முதலாம் அடிப்படை தேற்றத்தை பயன்படுத்தி]

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.1

கேள்வி 1.
ஒரு கனச் சதுரப் பெட்டியின் பக்கங்களை 1, 2, 3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால் கனச்சதுரப் பெட்டியின் கொள்ளவைவிட 52 கன அலகுகள் அதிகமுள்ள கனச் செவ்வகம் கிடைக்கிறது. எனில், கன செவ்கத்தின் கொள்ளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம் x + 1, x + 2, மற்றும் x + 3
[∵ 1, 2, 3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால்]
மேலும் கொள்ளளவு = V + 52
[V என்பது அதிகரிப்பதால் 52]
∴ V + 52 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) —- (1)
⇒ V = (x + 1) (x + 2) (x + 3) – 52
இங்கு α = -1, β = -2, γ = -3
⇒ V = x³ – x² (α + β + γ) + x (αβ + βγ + γα) – αβγ – 52
⇒ v = x³ – x²(-1 – 2 – 3) + x (2 + 6 + 3) – (-1) (-2)(-3) – 52
⇒ V = x³ – x²(-6) + x(11) + 6 – 52.
⇒ x³ = x³ + 6x² + 11x + 6 – 52

⇒ 06x² + 11x – 46 = 0
⇒ (6x + 23)(x – 2) = 0
⇒ (6x + 23) (x – 2) = 0
⇒ x = 2
∵ கனச்சதுரத்தின் கொள்ளளவு = x³ = 2³ = 8 கன அலகுகள்
[∵ x = \(\frac{-23}{6}\) என்பது சாத்தியமில்லை x ஆனது கனத்தின் பக்கத்தை குறிக்கிறது]

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட மூலங்களைக் கொண்டு முப்படி சமன்பாடுகளை உருவாக்குக.
(i) 1,2, மற்றும் 3
(ii) 1,1, மற்றும் – 2
(iii) 2, \(\frac{1}{2}\) மற்றும் 1
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் 1,2 மற்றும் 3
இங்கு α = 1, β = 2 மற்றும் γ= 3
α, β, γ என்பது மூலங்களாக உடைய ஒரு முப்படி சமன்பாடு
x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ = 0
⇒ x³ – (1 + 2 + 3) x² + (2 + 6 + 3)x – 6 = 0
⇒ x³ – 6x² + 11x – 6 = 0.

(ii) இங்கு α = 1, β = 1 மற்றும் γ = -2
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³ – (1 + 1 – 2)x² + (1 – 2 – 2)x – (1)(1)(-2) = 0
x³ – 0x² – 3x + 2 = 0
x³ – 3x + 2 = 0.

(iii) இங்கு α = 2, β = -2 மற்றும் γ = 4
∴ முப்படி சமன்பாடு
x³ – (2 – 2 + 4)x² + (-4 – 8 + 8)x – (2)(-2)(4) = 0
⇒ x³ – 4x² – 4x + 16 = 0

கேள்வி 3.
x³ + 2x² + 3x + 4 = 0, எனும் முப்படி சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α, β மற்றும் γ எனில் கீழ்க்காணும் மூலங்களைக் கொண்டு முப்படி சமன்பாடுகளை உருவாக்குக.
(i) 2α, 2β மற்றும் 2γ,
(ii) \(\frac{1}{\alpha}\), \(\frac{1}{\βeta}\) மற்றும் \(\frac{1}{\gamma}\)
(iii) -α, -β மற்றும் -γ
தீர்வு:
x³ + 2x² + 3x + 4 = 0 மூலங்கள் α, β, γ
∴ α + β + γ = – x² – ன் கெழு = -2 …. (1)
αβ + βγ + γα = x -ன் கெழு = 3 … (2)
-αβγ = +4 ⇒ αβγ = -4 …..(3)
(i) 2α, 2β, 2γ வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்க
2α + 2β + 2γ = 2 (α + β + γ) = 2 (- 2) = -4 [(1) லிருந்து]
4αβ + 4βγ + 4γα = 4 (αβ + βγ + γα) = 4(3) = 12 [(2) லிருந்து]
(2α) (2β) (2γ) = 8(αβγ) = 8( 4) = -32 [(3) லிருந்து]
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³ – (2α + 2β + 2γ) x² + (2αβ + 2βγ + 2γα) x – (2α) (2β) (2γ) = 0
⇒ x³ – (-4)x² + 12x + 32 = 0
⇒ x +4x² + 12x + 32 = 0

(ii) \(\frac{1}{\alpha}\), \(\frac{1}{\beta}\), \(\frac{1}{\gamma}\) வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்க


∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு

4 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது
4x³ + 3x² + 2x + 1 = 0

(iii) – α – β – γ γவை மூலங்களாக உடைய சமன்பாடு
∴ -α – β – γ = – (α + β + γ)
= -(-2) = 2
αβ + βγ + γα = 3
(- α) (- β) (- γ) = – (αβγ) =-(-4) = 4
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³ – (-α – β – γ) x² + (αβ + βγ + γα)
x- [(-α) (- β) (-γ)] = 0
⇒ x³ – (2)x² + 3x – 4 = 0
⇒ x³ – 2x² + 3x – 4 = 0

கேள்வி 4.
3x³ – 16x² + 23x – 6 = 0 எனும் சமன்பாட்டின் இரு மூலங்களின் பெருக்கல் 1 எனில் சமன்பாட்டினைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³ – 16x² + 23x – 6 = 0
α, \(\frac{1}{\alpha}\) மற்றும் γ என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
[ ∵ இரண்டு மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் 1]
(1) → x³ – \(\frac{16}{3}\)x² + \(\frac{23}{3}\) – 2 =0 ….(1)
(1) ஒப்பிடும் போது

என (3)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது
α + \(\frac{1}{\alpha}\) + 2 = \(\frac{16}{3}\)
⇒ α + \(\frac{1}{\alpha}\) = \(\frac{16}{3}\) – 2 = \(\frac{16-16}{3}\) = \(\frac{10}{3}\)
⇒ \(\frac{\alpha^{2}+1}{\alpha}\) = \(\frac{10}{3}\)
3x² + 3 = 10α
3α² – 10α + 3 = 0

α = \(\frac{-10}{3}\)
அல்லது α = \(\frac{1}{3}\)
(3α + 10) (3α – 1) = 0
α = \(\frac{-10}{3}\) சாத்தியமில்லை
⇒ α = \(\frac{1}{3}\)
[∵ α = \(\frac{-10}{3}\) (5)ஐ நிறைவு செய்யவில்லை]
∴ மூலங்கள் 3, \(\frac{1}{3}\), 2.

கேள்வி 5.
2x⁴ – 8x³ + 6x² – 3 = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x⁴ – 8x³ + 6x² – 3 = 0
இங்கு a = 2, b = -8, c = 6, d = 0, e =-3
α, β, γ மற்றும் δ என்பது சமன்பாடு (1)-ன் மூலங்கள் என்க.
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,

இப்பொழுது (a + b + c + d) = a² + b² + c² + d² + 2 (ab + ac + ad + bc + cd)
⇒ α² + β² +γ² + δ² = (a + β + γ + δ)²
– 2(αβ + αγ + αδ+ βγ + βδ + γδ)
α² + β² + γ² + δ² = 4² – 2(3) = 16 – 6 = 10

கேள்வி 6.
x³ – 9x + 14x + 24 = 0 எனும் சமன்பாட்டின் இரு மூலங்கள் 3 : 2 என்ற விகிதத்தில் அமைந்தால், சமன்பாட்டை தீர்க்க.
தீர்வு:
α, β, γ என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{\alpha}{\beta}\) = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2α = 3β ⇒ α = \(\frac{3}{2}\)β
∴ \(\frac{3}{2}\)β, β, γ என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,

[(2)ஐ பயன்படுத்தி]

4 ஆல் பெருக்க 6β² + 90β – 25β² = 56
19β² – 90β + 56 = 0
(β – 4)(19β – 14) = 0
⇒ β = 4
β = \(\frac{14}{19}\)



β = \(\frac{14}{9}\) எனில் மற்ற மூலங்கள் \(\frac{3}{2}\)β, β, \(\frac{18-5 \beta}{2}\)
[(2)-ன் படி]

கேள்வி 7.
α, β மற்றும் γ ஆகியன ax³ + bx² + cx + d = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மூலங்களாக இருப்பின், கெழுக்கள் வாயிலாக \(\sum \frac{a}{\beta \gamma}\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட ax³ + bx² + cx + d = 0 -ன் மூலங்கள் α, β மற்றும் γ
∴ α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = –\(\frac{d}{a}\)

கேள்வி 8.
α, β, γ மற்றும் δ ஆகியன 2x⁴ + x³ – 7x² + 8 = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில், α + β + γ + δ மற்றும் α β γ δ ஆகியவற்றினை மூலங்களாகவும் முழு எண்களை கெழுக்களாகவும் கொண்ட ஓர் இருபடி சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாடு
2x⁴ + 5x³ – 7x² + 8 = 0
இங்கு a = 2, b = 5, c = -7, d = 0, e = 8
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
α + β + γ + δ = –\(\frac{b}{a}\) = –\(\frac{5}{2}\)
αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = \(\frac{c}{a}\) = –\(\frac{7}{2}\)
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = –\(\frac{d}{a}\) = 0
aβγδ = \(\frac{e}{a}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4
கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α + β + γ + δ மற்றும் αβγδ
∴ மூலங்களின் கூடுதல் = (α + β + γ + δ) (αβγδ)

∴ தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x\(\left(\frac{3}{2}\right)\) – 10 = 0
⇒ 2x² – 3x – 20 = 0

கேள்வி 9.
lx² + nx + n = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் p மற்றும் q எனில், \(\sqrt{\frac{p}{q}}\) + \(\sqrt{\frac{q}{p}}\) + \(\sqrt{\frac{n}{1}}\) = 0 எனக்
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட lx² + nx + n = 0 – ன் மூலங்கள் p, q.
இங்கு a = l, b = +n, c = n


இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காண, கிடைப்பது
\(\sqrt{\frac{p}{q}}\) + \(\sqrt{\frac{q}{p}}\) + \(\sqrt{\frac{n}{1}}\) = 0

கேள்வி 10.
x² + px +q= 0 மற்றும் x² + p’x + q’ = 0 ஆகிய இரு சமன்பாடுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான மூலம் இருப்பின், அம்மூலம் \(\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{q-q^{\prime}}\) அல்லது \(\frac{\boldsymbol{q}-\boldsymbol{q}^{\prime}}{\boldsymbol{p}^{\prime}-\boldsymbol{p}}\) அல்லது
\(\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p}\) ஆகும் எனக்
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + px + q = 0 …. (1)
மற்றும் x² + p’x + q’ = 0 …. (2)
α என்பது (1) மற்றும் (2)-ன் பொது மூலம்
∴ α² + pα + q = 0 … (3)
மற்றும் α² + p’ α + q’ = 0 … (4)
(3) மற்றும் (4) ஐ குறுக்கு பெருக்கல் முறையில் தீர்க்க கிடைப்பது

கேள்வி 11.
ஒரு எண்ணை அதன் கனமூலத்தோடு கூட்டினால் 6 கிடைக்கிறது. எனில் அந்த எண்ணைக் காணும் வழியை கணிதவியல்
கணக்காக மாற்றுக.
தீர்வு:
அந்த எண் x என்க. ∴ \(\sqrt[3]{x}\) + x = 6
⇒ \(\sqrt[3]{x}\) = 6 – x
இருபுறமும் 3 ஆம் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது
\(\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\) = (6 – x)³
x = 6³ – 3(6²)x + 3(6)(x²) – x³
[∵ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
⇒ x = 216 – 108x + 18x² – x³
⇒ x³ + 108x – 18x – 216 + x = 0
⇒ x³ + 18x² + 109x – 216 = 0 என்ப து
தேவையான கணிதவியல் கணக்கு.

கேள்வி 12.
12 மீட்டர் உயரமுள்ள ஒரு மரம் இரு பகுதிகளாக முறிந்துள்ளது. முறிந்த இடம் வரை இருக்கும் கீழ்ப்பகுதி, உடைப்பின் மேற்பகுதியின் நீளத்தின் கனமூலம் ஆகும். இந்தத் தகவலை கீழ்ப்பகுதியின் நீளம் காணும் வகையில் கணிதவியல் கணக்காக மாற்றுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட மரத்தின் உயரம் 12 மீ.
கீழ்ப்பகுதியின் நீளம் ‘x’ மீ, உடைப்பின் மேல்பகுதியின் நீளம் (12 – x) மீ என்க.

இருபுறமும் 3-ன் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
⇒ x³ = 12 – x
⇒ x³ + x – 12 = 0 என்பது தேவையான கணிதவியல் கணக்கு.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9

கேள்வி 1.
y = 2x², y = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை X- அச்சைப் பொருத்துச் சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்ப பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = 2x²
கன அளவு = π \(\int_{a}^{b}\) y² dx
= \(\pi \int_{0}^{1}\left(2 x^{2}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{1} 4 x^{4} d x\)
= \(4 \pi\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{4 \pi}{5}(1-0)\)
V = \(\frac{4\pi}{5}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 2.
y = e^-2x, y = 0, x = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = e^-2x
தேவைப்படும் கன அளவு

V = \(\frac{\pi}{4}\) (1 – e^-4) கன அலகுகள்

கேள்வி 3.
x² = 1 + y மற்றும் y = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பை : அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y + 1 = x²
மேல் நோக்கி திறந்த வரைவளையத்தின் முனை (0, -1)

தேவையான கன அளவு = \(\int_{-1}^{3}\) x² dy
= π \(\int_{-1}^{3}\) (1 + y) dy

V = 81 கன அலகுகள்

கேள்வி 4.
y = x மற்றும் y = x² என்ற வளைவரைக்குள் அடைபடும். அரங்கத்தின் பரப்பு R, எனில் பரப்பு R-ஐ x – அச்சைப் பொருத்து 360° சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு கோடு y = x மற்றும்
பரவளையம் y = x²

இந்த கோட்டை X-அச்சை பொறுத்து 360° சுழற்ற கிடைக்கும் கன அளவு

கேள்வி 5.
ஒரு கொள்கலன் (container) ஆனது நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டம் (frustum of a cone) வடிவில் படத்தில் உள்ளவாறு அமைந்துள்ளது எனில் அதன் கன அளவைத் தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.

தீர்வு:
y = x என்ற கோட்டை x = a மற்றும் x = b க்கு இடையே x – அச்சை பொறுத்து சுழற்றுவதால் நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு கிடைக்கப் பெறுகிறது.

∴ இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = b – a
∴ கன அளவு = \(\pi \int_{a}^{b} x^{2} d x=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b}\)
= \(\frac{\pi}{3}\) [b³ – a³]
= \(\frac{\pi}{3}\) (b – a) (b² + ab + a²)
h = b – a, r = a மற்றும் R = b என பிரதியிட கிடைக்கும், நேர்வட்ட கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு.
= \(\frac{\pi}{3}\) [h(R² + rR + r²)] கன அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட h = 2 மீ, r= 1 மீ, R = 2 மீ
தேவையான கன அளவு = \(\frac{\pi}{3}\) [2(4 + 2 + 1)]
= \(\frac{\pi}{3}\) (14)
= \(\frac{14\pi}{3}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 6.
ஒரு தர்பூசணியானது நீள்வட்ட திண்ம வடிவில் (ellipsoid shape) உள்ளது. இந்த நீள்வட்ட தின்மத்தை பெற நெட்டச்சின் நீளம் 20 செ.மீ . குற்றச்சின் நீளம் 10 செ.மீ கொண்ட நீள்வட்டத்தை நெட்டச்சைப் பொருத்து சுழற்ற வேண்டும் எனில் தர்பூசணியின் கன அளவை தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2a = 20 செ.மீ = a = 10 செ.மீ; 2b = 10 செ.மீ ⇒ b = 5 செ.மீ
∴ நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு , \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{25}=1-\frac{x^{2}}{100}=\frac{100-x^{2}}{100}\)
⇒ y² = \(\frac{25}{100}\) (100 – x²)

\(\frac{1000 \pi}{3}\) கன அலகுகள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9

சரியான அல்லது மிகப்பொருத்தமான விடையை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³-ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) -1
(4) 1
விடை:
(1) 0
குறிப்பு:
= iⁿ (1 + i + i² + i³)
= 1ⁿ (1 + i – 1 – i) = iⁿ (0)

கேள்வி 2.
\(\sum_{i=1}^{13}\left(i^{n}+i^{n-1}\right)\)-ன் மதிப்பு
(1) 1 + i
(2) i
(3) 1
(4) 0
விடை:
(1) 1 + i
குறிப்பு:
= (i + i⁰) + (i² + i¹) + (i³ + i²) + (i⁴ + i³) +…+ (i¹³ + i¹²)
= (i + i² + + +….+ i¹³) + (1 + i + i²+…+i¹²)

கேள்வி 3.
z, iz, மற்றும் z + iz என்ற கலப்பெண்கள் ஆர்கண்ட் தளத்தில் உருவாக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
(2) |z|²
(3) \(\frac{3}{2}\)|z|²
(4) 2|z|²
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
குறிப்பு:
z = x+ iy, iz = i (x + iy) = y + ix,
z + iz = (x – y) + i (x + y)
A = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
-y & x & 1 \\
x-y & x+y & 1
\end{array}\right|\)

கேள்வி 4.
ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac{1}{i-2}\) எனில், அந்த கலப்பெண்
(1) \(\frac{1}{i+2}\)
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
(3) \(\frac{-1}{i-2}\)
(4) \(\frac{1}{i-2}\)
விடை:
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
குறிப்பு:
\(\bar{z}\) =\(\frac{1}{1-2}\)என்க ⇒ \(\bar{z}\) = \(\frac{1}{-i-2}\) ⇒ z = \(\frac{-1}{i+2}\)

கேள்வி 5.
z = \(\frac{(\sqrt{3}+i)^{3}(3 i+4)^{2}}{(8+6 i)^{2}}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(3) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 6.
z எனும் பூஜ்ஜியமற்ற கலப்பெண்ணிற்கு 2iz² = \(\bar{z}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)
குறிப்பு:
|2iz² |= |\(\bar{z}\)| ⇒ 2|i||z|²=|z| [∵ |\(\bar{z}\)| = |z|]
⇒ 2(1)|z| = 1
⇒ | z | ஐ நீக்க]
⇒ | z | = \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 7.
|z – 2 + i| ≤ 2 எனில், |z|-ன் மீப்பெரு மதிப்பு
(1) \(\sqrt{3}\) – 2
(2) \(\sqrt{3}\) + 2
(3) \(\sqrt{5}\) – 2
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
விடை:
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
குறிப்பு:
|z – 2 + i| ≥ |z| – |2 – i|

கேள்வி 8.
|z – \(\frac{3}{z}\)| = 2 எனில், |z| -ன் மீச்சிறு மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 5
விடை:
(1) 1

கேள்வி 9.
|z| = 1 எனில், \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) ன் மதிப்பு
(1) z
(2) \(\bar{z}\)
(3) \(\frac{1}{z}\)
(4) 1
விடை:
(1) 1
குறிப்பு:

கேள்வி 10.
|z| – z = 1 + 2i என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
(2) –\(\frac{3}{2}\) + 2i
(3) 2 – \(\frac{3}{2}\)i
(4) 2 + \(\frac{3}{2}\)i
விடை:
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
குறிப்பு:
z = x + iy என்க .
∴|z| = 1 + 2i + z
⇒ x² + y² = 1 + 2i +z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = 1 + 2i + z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = (1 + x) + i + (2 + y)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
⇒ x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)² + 2i(1+x) (2+y)
கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த
(1+x) (2 +y) = 0
⇒ x = – 1 அல்ல து y =-2
மெய் பகுதிகளை சமப்படுத்த,
x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)²
y = -2 என பிரதியிடு,
x² + 4 = (1 + x)² – 0
⇒ x² + 4 = 1 + x² + 2x ⇒ 2x = 3
⇒ x = \(\frac{3}{2}\) z = \(\frac{3}{2}\) – 2i

கேள்வி 11.
|z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3 மற்றும் |9z₁z₂ + 4z₁z₂ + z₂z₃| = 12 எனில், |z₁ + z₂ + z₃|-ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(2) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 12.
z என்ற கலப்பெண்ணானது ஆகவும் z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ, எனவும் இருந்தால், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
[[z| = 1 எனில் மட்டுமே கிடைப்பது z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ

கேள்வி 13.
z₁, z₂ மற்றும் z₃ என்ற கலப்பெண்கள் z₁ + z₂ + z₃ = 0 எனவும் , |z₁| = |z₂|, = |z₃| = 1 ஆகவும் இருந்தால் ன் மதிப்பு
(1) 3
(2) 2
(3) 1
(4) 0
விடை:
(4)
குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
\(\frac{z-1}{z+1}\) முழுவதும் கற்பனை

கேள்வி 15.
z = x + iy என்ற கலப்பெண்ணிற்கு |z + 2| = |z – 2| எனில், z-ன் நியமப்பாதை
(1) மெய் அச்சு
(2) கற்பனை அச்சு
(3) நீள் வட்டம்
(4) வட்டம்
விடை:
(2) கற்பனை அச்சு
குறிப்பு:
|z + 2| = |z – 2| ⇒ |x + iy + 2| = |x + iy – 2|

⇒ 8x = 0 ⇒ x = 0 இது கற்பனை அச்சு

கேள்வி 16.
\(\frac{3}{-1+i}\) என்ற் கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{-5 \pi}{6}\)
(2) \(\frac{-2 \pi}{3}\)
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
(4) \(\frac{-\pi}{2}\)
விடை:
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
குறிப்பு:


[ ∵ \(\frac{-3}{2}\)(1 + i) III-ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்
θ = α – π

கேள்வி 17.
(sin 40° + i cos 40°)⁵-ன் முதன்மை வீச்சு
(1) -110°
(2) -70°
(3) 70°
(4) 110°
விடை:
(1) -110°
குறிப்பு:
= [cos 40° – i sin 40]
= i⁵[cos 40°) + i sin 40°]⁵
=i [cos 5(- 40°) + i sin 5(- 40°)]
= i [cos (- 200°) + i sin (- 200°)]
= (cos 90° +isin 90°)
(cos (- 200°) + isin(- 200°)]
[∵ i = cos 90° + i sin 90°]
= cos (90° – 200°) + i sin (90° – 200°)
= cos (-110°) + i sin (-110°)

கேள்வி 18.
(1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i)… (1 + ni) = x + iy எனில், 2.5.10 … (1 + n²) -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) i
(3) x² + y²
(4) 1 + n²
விடை:
(3) x² + y²
குறிப்பு:

வர்க்க ப்படுத்த, 2 5 10……..(1 + n²) = x² + y²

கேள்வி 19.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் (1 + ω)⁷ = A + Bω எனில், (A, B) என்பது
(1) (1, 0)
(2) (-1, 1)
(3) (0, 1)
(4) (1, 1)
விடை:
(4) (1, 1)
குறிப்பு:
(1 + ω)⁶ . (1 + ω)¹ = A + Bω
⇒ (-ω²)⁶ (1 + ω) = (A + Bω)
⇒ 1 (1 + ω) = A + Bω [∵ (ω²)ω⁶ = ω¹² = 1]
⇒ A = 1, B = 1

கேள்வி 20.
\(\frac{(1+i \sqrt{3})^{2}}{4 i(1-i \sqrt{3})}\) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{2 \pi}{3}\)
(2) \(\frac{\pi}{6}\)
(3) \(\frac{5 \pi}{3}\)
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
குறிப்பு:

[நான்காம் கால்பகுதியில் θ =-α]

கேள்வி 21.
x² + x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β எனில், α²⁰²⁰ + β²⁰²⁰ -ன் மதிப்பு
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(2) -1
குறிப்பு:
x² + x + 1 = 0

கேள்வி 22.
\(\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}\) ன் எல்லா நான்கு மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(3) 1
குறிப்பு:
cos \(\frac{3}{4}\)(2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)) + i sin (2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)),
k = 0, 1, 2, 3
k = 0, 1, 2, 3 எனில்,
மூலங்கள் cis \(\frac{\pi}{4}\), cis 7\(\frac{\pi}{4}\), cis 13\(\frac{\pi}{4}\) மற்றும் cis 19\(\frac{\pi}{4}\)
∴ பெருக்கற் பலன் = cis (\(\frac{\pi}{4}\) + 7\(\frac{\pi}{4}\) + 13\(\frac{\pi}{4}\) + 19\(\frac{\pi}{4}\))
= cis \(\left(\frac{40 \pi}{4}\right)\) = cis 10π
= cos 10π + i sin 10π = 1 + i (0) = 1

கேள்வி 23.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & -\omega^{2}-1 & \omega^{2} \\
1 & \omega^{2} & \omega^{7}
\end{array}\right|\) = 3k எனில், k -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) -1
(3) \(\sqrt{3} i\)
(4) – \(\sqrt{3} i\)
விடை:
(4) – \(\sqrt{3} i\)
குறிப்பு:

(ω² – ω) – 1(ω – ω²) + 1(ω² – ω) = 3k
⇒ ω² – ω – ω + ω² + ω² – ω = 3k
⇒ 3ω² – 3ω = 3k ⇒ k = ω – ω

கேள்வி 24.

விடை:
(1) cis \(\frac{2 \pi}{3}\)
குறிப்பு:

[∵ 1 – \(\sqrt{3} i\) IV-ம் கால்பகுதியில் அமைந்தால், θ = -α]

கேள்வி 25.
ω = cis \(\frac{2 \pi}{3}\) எனில் \(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வெவ்வேறான மூலங்களின் எண்ணிக்கை
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(1) 1
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0
C → C₁ +C₂ + C₃ செயல்படுத்த கிடைப்பது

⇒ z + (1 + ω + ω²) ஒரு மூலம்