Category: Uncategorized

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 5th Maths Guide Pdf Term 3 Chapter 6 பின்னங்கள் InText Questions Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 5th Maths Solutions Term 3 Chapter 6 பின்னங்கள் InText Questions

பக்க. எண்: 47

முயற்சி செய்

i. அடிக்கப்பட்ட சதுரத்தை பின்னமாகக் குறிப்பிடுக.

விடை:
\(\frac{2}{5}\)

ii. வட்டத்திற்கு வெளியே இருக்கும் வடிவங்களை பின்னமாக குறிப்பிடுக.

விடை:
\(\frac{2}{5}\)

பக்க. எண்: 48

முயற்சி செய்

i. \(\frac{3}{7}\) இல் __________ என்பது தொகுதி __________ என்பது பகுதி,
விடை:
\(\frac{3}{7}\) இல்   3   என்பது தொகுதி   7   என்பது பகுதி,

ii. \(\frac{6}{10}\) இல் தொகுதி __________ மற்றும் பகுதி __________ ஆகும்.
விடை:
\(\frac{6}{10}\) இல் தொகுதி    6   மற்றும் பகுதி   10    ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 5th Maths Guide Pdf Term 3 Chapter 2 எண்கள் InText Questions Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 5th Maths Solutions Term 3 Chapter 2 எண்கள் InText Questions

பக்க. எண்: 11

சூழ்நிலை 1:

கேள்வி 1.
இரண்டு திராட்சைக் கொத்துகள் உள்ளன. A மற்றும் B என்ற இரண்டு திராட்சைக் கொத்துகளிலும் உள்ள திராட்சைகளின் எண்ணிக்கையை உத்தேசமாகக் காண்க.

கொத்து A இல் உள்ள திராட்சைகளின் எண்ணிக்கை ___________
விடை :
110

கொத்து B இல் உள்ள திராட்சைகளின் எண்ணிக்கை ____________
விடை :
60

திராட்சைகளின் எண்ணிக்கையைச் சரியாக எண்ணி எழுதுக கொத்து Aஇல் உள்ள திராட்சைகளின் சரியான எண்ணிக்கை ________
விடை :
118

கொத்து B இல் உள்ள திராட்சைகளின் சரியான எண்ணிக்கை __________
விடை :
64

பக்க. எண்: 12

செயல்பாடு 1:

கேள்வி 1.
கட்டங்களைப் பூர்த்தி செய்து மகிழ்க (தனித்தனியாக)

விடை :

பக்க. எண்: 16

கேள்வி 1.
இதனை முயல்க கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்களின் உத்தேச மதிப்புகளை எழுதி வகுத்த பிறகு, அவற்றின் உத்தேச மதிப்பிற்கும் உண்மையான மதிப்பிற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் காண்க

விடை :

பக்க. எண்: 19

செயல்பாடு : 2

A. பின்வரும் குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி எண் வரிசைகளுக்கு வண்ணமிடுக.

கேள்வி 1.

1. பகா எண்கள் வரிசைக்கு ஆரஞ்சு நிறத்தில் வண்ணமிடுக.
2. ஒற்றை எண்கள் வரிசைக்கு வண்ணம் தீட்டுக.
3. உயர்ந்த எண்கள் வரிசைக்கு ஆரஞ்சு நிற வண்ணமிடுக.
4. இரட்டை எண்கள் வரிசைக்கு வண்ணமிடுக.
5. நீல நிறத்தில் வண்ண மிடுக.
6. 8 இன் மடங்கள் வரிசைக்கு நீலநிற வண்ண மிடுக எண் சக்கரத்தை நிரப்புவோம்.

விடை :

B. எண் சக்கரத்தில் நிரப்புவோம்.

கேள்வி 1.

விடை :

C. கொடுக்கப்பட்ட நான்கு அடிப்படைச் செயல்களைப் பயன்படுத்தி எண் 20 கிடைக்குமாறு வட்டங்களை நிரப்புக.

கேள்வி 1.

விடை :

D. கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

கேள்வி 1.
5, 10, 15, ___ , 25.
விடை :
20

கேள்வி 2.
30, 24, ___ , 12, 6
விடை :
18

கேள்வி 3.
7, 9, 11, ___ , 15, ___, 17
விடை :
13, 15

கேள்வி 4.
1, 4, 9, ___ , 25
விடை :
16

கேள்வி 5.
1, 4, 7, ___ , 13, ___, 19
விடை :
11, 17

E. பின்வருவனற்றிற்கு விடையளி:

கேள்வி 1.
BOOK என்பது 43 எனில் PEN என்பது ____________
விடை :
16 + 5 + 14 = 35

கேள்வி 2.
SCHOOL என்பது 1938151512 எனில், CLASS என்பது ____________
விடை :
31211919

கேள்வி 3.
BAG என்பது 10 எனில், BOOK என்பது ____________
விடை :
2 + 15 + 15 + 11 = 43

கேள்வி 4.
LION என்பது 50 எனில், TIGER என்பது ____________
விடை :
20 + 9 + 7 + 5 + 18 = 59

கேள்வி 5.
HEN என்பது 8514 எனில், COCK என்பது ____________
விடை :
315311

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 4 வாழ்வியல் கணிதம் Ex 4.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 4 வாழ்வியல் கணிதம் Ex 4.5

கேள்வி 1.
ஒரு பழ வியாபாரி வாங்கிய மாம்பழங்களில் 10% அழுகியிருந்தன. மீதமிருந்த மாம்பழங்களில் 33\(\frac { 1 }{ 3 }\)% -ஐ விற்றுவிட்டார். தற்போது 240 மாம்பழங்கள் தொடக்கத்தில் இருக்கின்றன எனில், முதலில் அவர் வாங்கிய மொத்த மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
x என்பது மொத்த மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கை என்க.
அழுகிய மாம்பழங்கள் = 10% x x
= \(\frac{10 x}{100}=\frac{x}{10}\)
அவரிடம் உள்ளது = 240


மொத்த மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கை 400 ஆகும்.

கேள்வி 2.
ஒருமாணவர் 31% மதிப்பெண்களைப் பெற்று 12 மதிப்பெண்கள் குறைவாக பெற்றதால் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவில்லை . தேர்ச்சி பெற 35% மதிப்பெண்கள் தேவை எனில், தேர்வின் மொத்த மதிப்பெண்களைக் காண்க.
தீர்வு :
மதிப்பெண்ணை x என்க
தேர்ச்சி பெறுவதற்கான மதிப்பெண் = \(\frac{35 x}{100}\) = 35%
பெற்ற மதிப்பெண்கள் = \(\frac{31 x}{100}\)

x = 300
அதிகபட்ச மதிப்பெண் 300 ஆகும்.

கேள்வி 3.
சுல்தானா, ஒரு பொது அங்காடியில் பின்வரும் – பொருள்களை வாங்கினார். அவர் செலத்திய மொத்த இரசீதுத் தொகையைக் கணக்கிடுக.
i) 5% சரக்கு மற்றும் சேவை வரியுடன் ₹800 மதிப்பிலான மருந்துகள்.
ii) 12% சரக்கு மற்றும் சேவை வரியுடன் ₹650 மதிப்பிலான அழகு சாதனப்பொருள்கள்.
iii) 0% சரக்கு மற்றும் சேவை வரியுடன் ₹900 மதிப்பிலான தானியங்கள்
iv) 18% சரக்கு மற்றும் சேவை வரியுடன் ₹1750 மதிப்பிலான கருப்புக் கண்ணாடி
v) 28% சரக்கு மற்றும் சேவை வரியுடன் ₹28500 மதிப்பிலான காற்றுப் பதனி (AC)
தீர்வு:

(i) மொத்த ரசீது
தொகை = மருந்து மதிப்பு+ ச.சேவை .வரி 5%
= 800 + 800 x \(\frac { 5 }{ 100 }\)
= 800 + 40 = ₹840

(ii) மொத்த ரசீது தொகை
= அழகுசாதன
பொருளின் விலை + ச.சேவை .வரி 12%
= 650 + 650 x \(\frac { 12 }{ 100 }\)
100 = 650 + 78 = ₹728

(iii) மொத்த ரசீது தொகை = தானியங்களின் மதிப்பு + ச.சேவை. வரி 0%
= 900 + 900 x \(\frac { 0 }{ 100 }\)
= 900 + o = ₹900

(iv) மொத்த ரசீது தொகை = கருப்பு கண்ணாடியின் மதிப்பு + ச.சேவை. வரி 18%
= 1750 + 1750 x \(\frac { 18 }{ 100 }\)
= 1750 + 315
= ₹2065

(v) மொத்த ரசீது தொகை = காற்றுப் பதினியின் மதிப்பு + ச.சேவை.வரி 28%
= 28500 + 28500 x \(\frac { 28 }{ 100 }\)
= 28500 + 7980
= ₹36480

கேள்வி 4.
P இன் வருமானம் Q ஐக் காட்டிலும் 25% அதிகம் எனில், Q இன் வருமானம் P ஐக் காட்டிலும் எத்தனை சதவீதம் குறைவு?
தீர்வு :
Qன் வருமானம் x என்க
P = x + xன் 25%
= x + \(\frac{25}{100}\)x
= x + \(\frac{x}{4}\)
P = \(\frac{5 x}{4}\)
Pன் வருமான சதவீதம் = \(\frac{5 x}{4}\) x 100
= 125x
Qன் வருமான சதவீதம் = 100x
வித்தியாசம் = 125x – 100x
= 25x
Qன்வருமானம் Pன்வருமானத்தை விட 25% குறைவு.

கேள்வி 5.
வைதேகி, இரு சேலைகளை தலா ₹2200 இக்குவிற்றாள். ஒன்றின் மீது 10% இலாபத்தையும் மற்றொன்றின் மீது 12% நட்டத்தையும் அடைந்தாள் எனில், சேலைகளை விற்றதில் அவளின் இலாபம் அல்லது நட்டம் சதவீதத்தைக் காண்க.

தீர்வு:
ஒரு சேலையின் விலை = ₹ 2200
இரு சேலைகளின் விலை = ₹2200 x 2
= ₹ 4400
அடக்க விலை = 10%, வி.வி =₹ 2200
im 16

100x வி.வி அ.வி =
” 100+ இலாபம்% _ 100 x 2200 _ 100 x 2000
100 + 10 110
அ.வி = =₹ 2000
நட்டம் = 12%
im 17
= ₹ 2500
மொத்த அடக்கவிலை = 2000 + 2500
=₹4500
நட்டம் = அ.வி – வி.வி
= 4500 – 4400
= ₹100
im 18
= 2.22%

கேள்வி 6.
32 ஆண்கள் நாளொன்றுக்கு 12 மணி நேரம் வேலை செய்து ஒரு வேலையை 15 நாள்களில் முடிப்பர் எனில், அந்த வேலையின் இரு மடங்கை எத்தனை ஆண்கள் நாளொன்றுக்கு 10 மணி நேரம் வேலை செய்து 24 நாள்களில் முடிப்பர்?
தீர்வு :

ஆண்கள் செய்யும் வேலை

= 8 x 3
= 24 ஆண்கள்
வேலையின் இருமடங்கை செய்யும் ஆண்கள் எண்ணிக்கை இருமடங்காகும்.
= 2 x 24
= 48 ஆண்கள்

கேள்வி 7.
அமுதா, ஒருசேலையை 18 நாள்களில் நெய்வார். அஞ்சலி, அனிதாவை விட நெய்வதில் இரு மடங்கு திறமைசாலி . இருவரும் இணைந்து நெய்தால், அந்தச் சேலையை எத்தனை நாள்களில் நெய்து முடிப்பர்?
தீர்வு :
அமுதா நெய்த வேலை = 18 நாட்கள்
அஞ்சலி நெய்த சேலை = 9 நாட்கள்
இருவரும் சேர்ந்து = \(\frac{a b}{a+b}\)

= 6 நாட்கள்

கேள்வி 8.
P மற்றும் Q ஆகியோர் ஒரு வேலையை முறையை 12 மற்றும் 15 நாள்களில் முடிப்பர். P ஆனவர் அந்த வேலையைத் தனியேத் தொடங்கிய பிறகு, 3 நாள்கள் கழித்து Q ஆனவர் அவருடன் சேர்ந்து வேலையானது முடியும் வரை அவருடன் இருந்தார் எனில், வேலையானது எத்தனை நாள்கள் நீடித்தது?
தீர்வு :
P மற்றும் Q செய்த மொத்த வேலை = 60
P மட்டும் செய்த வேலை = \(\frac { 60 }{ 12 }\) = 5
Q மட்டும் செய்த வேலை = \(\frac { 60 }{ 15 }\) = 4
P ஆனவர் கூடுதலாக 3 நாட்கள் செய்த வேலை = 3 x 5 = 15
P மற்றும் Q விட்டுவிட்ட வேலை = 60 – 15 = 45
P மற்றும் Q சேர்ந்து செய்த வேலை = 5 + 4 = 9
P மற்றும் Q சேர்ந்து செய்த வேலையின்
45 நேரம் = \(\frac { 45 }{ 9 }\) = 5 நாட்கள்
நீடித்த நாட்கள் 5 + 3 = 8 நாட்கள்

மேற்சிந்தனைக் கணக்குகள்

கேள்வி 9.
ஒரு பின்னத்தின் தொகுதியை 50% அதிகரித்தும் பகுதியை 20% குறைத்தால், அந்த பின்னமானது \(\frac { 3 }{ 5 }\) ஆக மாறுகிறது எனில், அசல் பின்னத்தைக் காண்க.
பின்னத்தை \(\frac { x }{ y }\) என்க.
தொகுதி :

கேள்வி 10.
கோபி, ஒரு மடிக்கணினியை 12% இலாபத்திற்கு விற்றார். மேலும், அதை ₹1200 இக்கு கூடுதலாக விற்றிருந்தால், இலாபம் 20% ஆக இருந்திருக்கும். மடிக்கணினியின் அடக்க விலையைக் காண்க.
தீர்வு :
பொருளின் விலை 100% என்க.
விற்பனை இலாபம் 12% எனில் மொத்த இலாபம் 112% மற்றும்

20% இலாபம் எனில் மொத்த இலாபம் 120%
எனவே 120% – 112% =₹1200
8% = 1200
எனவே 100% = \(\frac{1200}{8}\) x 100
= ₹ 15000
∴ மடிக்கணினியின் அடக்கவிலை ₹15000

கேள்வி 11.
₹ 180 ஐக் குறித்த விலையாகவும், ₹108ஐ விற்பனை விலையாகவும் கொண்ட ஒரு பொருளுக்கு கடைக்காரர் இரண்டு தொடர் தள்ளுபடிகளை அளிக்கிறார். இரண்டாவது தள்ளுபடியின் 8% எனில், முதல் தள்ளுபடியின் சதவீதத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
x என்பது முதல் தள்ளுபடி சதவீதம் என்க.
குறித்த விலை = ₹ 180
முதல்தள்ளுபடி x % =180 x \(\frac { x }{ 100 }\) = ₹ 1.8x
வி.வி = கு.வி – தள்ளுபடி
= 180 -1.8x
இரண்டாவது தள்ளுபடி 25% = (180-1.8.x) x \(\frac { 25 }{ 100 }\)
= \(\frac { 1 }{ 4 }\) (180 – 1.8x) = வி.வி
வி.வி = (180 -1.8 x) – (180 – 1.8x)\(\frac { 1 }{ 4 }\)
=(180-1.8x) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(180 – 1.8x) x \(\frac { 3 }{ 4 }\) = ₹ 108
(180 – 1.8x) = \(\frac{108 \times 4}{3}\) = 144
180 – 1.8x = 144
1.8x = 180 – 144 = 36
x = \(\frac { 36 }{ 1.8 }\)
x = 20%

கேள்வி 12.
ஒர் அசலானது, கூட்டு வட்டி முறையில் 2 ஆண்டுகளில் அதைப்போன்று 1.69 மடங்கு ஆகிறது எனில் வட்டி வீதத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

r = 0.3 x 100
r = 30%

கேள்வி 13.
ஒரு சிறு தொழில் நிறுவனம், 40 ஆண்களைப் பணியமர்த்தி 150 நாள்களில் 540 விசைப்பொறி இறைப்பிகளைத் (Motor Pumps) தயாரித்து வழங்க ஓர் ஒப்பந்தத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது. 75 நாள்களுக்குப் பிறகு, அந்நிறுவனத்தால் 180 விசைப்பொறி இறைப்பிகளை மட்டுமே தயாரிக்க முடிந்தது. வேலையானது ஒப்பந்தத் தின்படி நேரத்திற்கு முடிய வேண்டுமெனில், கூடுதலாக எத்தனை ஆண்களை அந்நிறுவனம் பணியமர்த்த வேண்டும்?
தீர்வு :

கூடுதலாக 20 ஆண்களை பனியமர்த்த வேண்டும்.

கேள்வி 14.
P என்பவர் தனியே ஒரு வேலையின் \(\frac { 1 }{ 2 }\) பகுதியை 6 நாள்களிலும், Q என்பவர் தனியே அதே வேலையின் \(\frac { 2 }{ 3 }\) பகுதியை 4 நாள்களிலும் முடிப்பர். இருவரும் இணைந்து அந்த வேலையின் \(\frac { 3 }{ 4 }\) பகுதியை எத்தனை நாள்களில் முடிப்பர்?
தீர்வு :
P என்பவர் தனியே ஒரு வேலையில் \(\frac { 1 }{ 2 }\) பகுதியை = 6 நாட்கள்
முழுவேலையை = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}\)
= \(\frac{1}{12}\)
Q என்பவர் தனியே செய்த வேலையின் நாட்கள்
= \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{6}\)
P + Q இருவரும் இணைந்து செய்த வேலை

ஆனால் \(\frac { 3 }{ 4 }\) பகுதியின் வேலையை செய்து முடிக்க ஆகும் காலம் = \(\frac { 3 }{ 4 }\) x 4
= 3 நாட்கள்

கேள்வி 15.
X என்பவர் தனியே ஒரு வேலையை 6 நாள்களிலும், Y என்பவர் தனியே அதே வேலையை 8 நாள்களிலும் முடிப்பர். X மற்றும் Y ஆகியோர் இந்த வேலையை ₹48000 இக்கு ஒப்புக் கொண்டனர். Z என்பவரின் உதவியுடன், அவர்கள் அந்த வேலையை 3 நாள்களில் முடித்தனர் எனில், தொகையில் Z இன் பங்கு எவ்வளவு? தீர்வு :
(x + y + z) ன் ஒரு நாள் வேலை = \(\frac { 1 }{ 3 }\) —— (1)
X தனியே செய்த வேலை = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Y தனியே செய்த வேலை = \(\frac { 1 }{ 8 }\)
(X + Y) ன் ஒரு நாள் வேலை = \(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\)
= \(\frac{8+6}{6 \times 8}\)
= \(\frac{14}{48}=\frac{7}{24}\) ——– (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட

ஒரு நாள் செய்த வேலை அளவு =

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
விரிவாக்குக :
(i) (3m + 5)²
(ii) (5p – 1)²
(iii) (2n – 1)(2n + 3)
(iv) 4p² – 25q²
தீர்வு :
(i) (3m + 5)²
இங்கு a = 3m
b = 5
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(3m + 5)² = (3m)² + 2 (3m)(5) + (5)²
= 9m² + 30m + 25.

(ii) (5p – 1)²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
இங்கு a= 5p
b = 1|
(5p – 1)² = (5p)² – 2(5p)(1) + (1)²
= 25p² – 10p + 1.

(iii) (2n – 1) (2n + 3)
இங்கு x = 2n
a = -1
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
(2n- 1) (2n + 3) = (2n)² + (- 1+ 3) (2n) = (- 1)(3)
= 4n² + 4n – 3.

(iv) 4p² – 25q²
a² – b² = (a + b) (a-b)
4p² – 25q² = (2p)² – (5q)²
= (2p + 5q) (2p – 5q)

கேள்வி 2.
விரிவாக்குக:
(i) (3 + m)³
ii) (2a + 5)³
(iii) (3p + 4q)³
(iv) (52)³
(v) (104)³
தீர்வு :
(i) (m + 3)³
இங்கு a = m, b = 3
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(m + 3)³ = (m)³ + 3(m)² (3) + 3(m)(3)² + (3)³
= m³ + 9m² + 27m + 27.

(ii) (2a + 5)³
இங்கு a = 2a, b = 5
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(2a +5)³ = (2a)³ + 3(2a)²(5) + 3(2a)(5)² + (5)³
= 8a³ + 30a² + 150a + 125.

(iii) (3p+ 4q)³
இங்கு a = 3p,b = 4a
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(3p + 4q)³ = (3p)³ + 3(3p)² (4q) + 3(3p)(4q)² + (4q)³
= 27p³ + 108p²q + 144pq² + 64q³

(iv) (52)³ = (50 + 2)³
இங்கு a = 50, b = 2
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(50 + 2)³ = (50)³ + 3(50)²(2) + 3(50) (2)² + (2)³
= 125000 + 3(2500) (2) + 3(50)4 + 8
= 125000 + 15000 + 600 + 8
= 140608.

(v) (104)³ = (100 + 4)³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
இங்கு a = 100, b = 4
(100 + 4)³ = (100)³ + 3(100)² (4) + 3(100) (4)² + (4)³
= 1000000 + 3(10000)4 + 3(100)(16) + 64
= 1124864.

கேள்வி 3.
விரிவாக்குக :
(i) (5 – x)³
(ii) (2x – 4y)³
(iii (ab – c)³
(iv) (48)³
(v) (97xy)³
தீர்வு :
(i) (5-x)³
இங்கு a = 100
(a-b)³ = a³– 3a²b + 3ab² + b³
b = 4
(5 – x)³ = (5)³ – 3(5)² (x) + 3(5) (x)² – (x)³
= 125 – 3(25) x + 3(5) x² – x³
= 125 – 75 x + 15 x² – x³

(ii) (2x -4y)³
இங்கு a = 2x
b = 4y
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(2x – 4y)³ = (2x)³ – 3(2x)² (4y) + 3(2x) (4y)²– (4y)³
= 8x³ – 3(4x²)(4y) + 3(2x)(16y²) – 64y³
= 8x³ – 48x²y + 96xy² – 64y³

(iii) (ab – c)³
இங்கு a = ab, b = c
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(ab-c)³ = (ab)³ -3(ab)² (c) + 3(ab) (c²) – c³
= a³b³ – 3(a²b²) (c) + 3 (ab) (c²) – c³
= a³b³ – 3a²b²c + 3abc² – c

(iv) (48)³ = (50-2)³
இங்கு
a =50, b = 2
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(48)³ = (50 – 2)³ = (50)³ – 3(50)² (2) + 3(50) (2)² – (2)³
= 125000 – 3(2500)(2) + 3(50)(4) – 8
= 125000 – 15000 + 600 – 8
= 110592.

(v) (97xy)³ = (97)³x³y³.
இங்கு a = 100, b = 3
(97)³ = (100 – 3)³
(a- b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(100 – 3)³ = (100)³-3 (100)²(3) + 3(100)(3)² – (3)³
= 1000000 – 3(10000)(3) + 3(100)(9) – 27
= 1000000 – 90000 + 2700 – 27
=912673.
(97xy)³ = 912673x³y³.

கேள்வி 4.
சுருக்குக : (p – 2)(p + 1)(p – 4)
தீர்வு :
(p – 2)(p + 1)(p – 4)
(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc
(p- 2)(p + 1)(p-4) = (p)³ + (-2+1-4)(p)² + (-2-4+ 8) (p) + (- 2)(1)(-4)
= p³ – 5p² + 2p + 8.

கேள்வி 5.
(x +1) செ.மீ பக்க அளவுள்ள கனச்சதுரத்தின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
கனச்சதுரத்தின் கன அளவு = பக்³கன் அலகுகள்.
= (x + 1)³ செ.மீ³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(x + 1 )³ = (x)³ + 3(x)²(1) + 3(x)(1)² + (1)³
= x³ + 3x² + 3x +1.
கனச்சதுரத்தின் கன அளவு = (x³ + 3x² + 3x + 1) செ.மீ³

கேள்வி 6.
(x+2), (x-1) மற்றும் (x-3) ஆகிய பக்க அளவுகள் கொண்ட கனச்செவ்வகத்தின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
செவ்வகத்தின் கன அளவு = (x + 2)(x – 1)(x – 3)கன அலகுகள்.
(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² +(ab + bc + ca)x + abc
(x + 20(x – 1)(x – 3) = x³ + (2 – 1 – 3)x² + (-2 + 3 – 6) x +(2)(-1)(-3)
= x³ – 2x² – 5x + 6

கொள்குறி வகை வினாக்கள்

கேள்வி 7.
x² – y² = 16 மற்றும் (x+y) = 8 எனில் (x-y) என்பது …
(அ) 8
(ஆ) 3
(இ) 2
(ஈ) 1
விடை :
(இ) 2

கேள்வி 8.
\(\frac{(a+b)\left(a^{3}-b^{3}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)}\) = ……………….
(அ) a² – ab + b²
(ஆ) a² + ab + b²
(இ) a² + 2ab + b²
(ஈ) a² – 2ab + b²
விடை :
(ஆ) a² + ab + b²

கேள்வி 9.
(p + q) (p² – pq + q²) என்பது …… க்கு சமம்
(அ) p³+ q³
(ஆ) (p + q)³
(இ) p³ – q³
(ஈ) (p – q)³
விடை :
(அ) p³ + q³

கேள்வி 10.
(a-b) = 3 மற்றும் ab = 5 பிறகு a³ – b³ =
(அ) 15
(ஆ) 18
(இ) 62
(ஈ) 72
விடை :
(ஈ) 72

கேள்வி 11.
a³ +b³ = (a + b³)
(அ) 3a (a+b)
(ஆ) 3ab (a-b)
(இ) -3ab (a+b)
(ஈ) 3ab (a+b)
விடை :
(ஈ) 3ab (a+b)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Ex 8.4

கேள்வி 1.
P(A) = \(\frac { 2 }{ 3 }\) P(B) = \(\frac { 2 }{ 5 }\) P(A∪B} = \(\frac { 1 }{ 3 }\) எனில் P(A∩B)
P(A) = \(\frac { 2 }{ 3 }\) P(B) = \(\frac { 2 }{ 5 }\) P(A∪B} = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றப்படி
P (A∪B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

விடை :
P(A∩B) = \(\frac{11}{15}\)

கேள்வி 2.
A மற்றும் B ஆகியவை இரு நிகழ்ச்சிகள். மேலும் P (A) = 0.42, P (B) = 0.48 மற்றும் P (A ∩ B) = 0.16. எனில் i) P (A இல்லை ) ii) P (B இல்லை ) iii) P (A அல்லது B) ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு :
P(A) = 0.42 P (B) = 0.48
P(A ∩ B) = 0.16
(i) P (A இல்லை ) = P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P (A)
= 1 – 0.42 = 0.58

(ii) P (B இல்லை ) = P (\(\overline{\mathrm{B}}\)) = 1 – P (B)
= 1 – 0.48 = 0.52

(iii) P (A அல்லது B) = P (A∪B)
= P(A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 0.42 + 0.48 – 0.16
= 0.90 – 0.16 = 0.74
P(A∪B) = 0.74

கேள்வி 3.
ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையில் A , B ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் மேலும் P (A இல்லை ) = 0.45 P (A∪ B) = 0.65 எனில் P (B) ஐக் காண்க .
தீர்வு :
P(A இல்லை) = P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 0.45 P (A∪ B) = 0.65
∴ P (A) = 1 – P(\(\overline{\mathrm{A}}\))
= 1 – 0.45 = 0.55
A, B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனில்
P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
0.65 = 0.55 + P (B)
P (B) = 0.65 – 0.55 = 0.10
விடை :
P (B) = 0.1

கேள்வி 4.
A மற்றும் B யில் குறைந்தது ஏதாவது ஒன்று நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு 0.6 A மற்றும் B ஒரே நேரத்தில் நடைபெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.2 எனில் P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P (\(\overline{\mathrm{B}}\)) ஐக் காண்க.
தீர்வு : P (A∪B) = 0.6 P (A ∩ B) = 0.2
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றப்படி,
P(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
0.6 = P (A) + P (B) – 0.2
0.6 + 0.2 = P (A) + P (B)
0.8 = 1 – P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) + 1 – P (\(\overline{\mathrm{B}}\))
= 2 – (P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P (\(\overline{\mathrm{B}}\)))
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P (\(\overline{\mathrm{B}}\)) = 2 – 0.8 = 1.2
விடை :
P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P (\(\overline{\mathrm{B}}\) ) = 1.2.

கேள்வி 5.
நிகழ்ச்சி A க்கான நிகழ்தகவு 0.5 மற்றும் B-க்கான நிகழ்தகவு 0.3 A மற்றும் B ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனில் A ம் Bம் நிகழாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
P(A) = 0.5, P(B) = 0.3
A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= 0.5 + 0.3 = 0.8
P(Aம் Bம் நிகழாமலிருக்க ) = \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\)
= \(P(\overline{A \cup B})\)
= 1 – P(A∪B)
= 1 – 0.8 = 0.2
விடை :
A யும் B யும் நிகழாமலிருக்க இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 0.2

கேள்வி 6.
இரண்டு பகடைகள் ஒரு முறை உருட்டப்படுகின்றன. முதல் பகடையில் முகமதிப்பு இரட்டைப்படை எண் அல்லது முகமதிப்புகளின் கூடுதல் 8 ஆகக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க
தீர்வு :
2 பகடைகள் ஒரு முறை உருட்டப்படுகின்றன.
S = { (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)}
n(S) = 36
A ஆனது இரட்டைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
A = {(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)}
n(A) = 18
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{18}{36}\)
B ஆனது முகமதிப்பின் கூடுதல் 8 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
B = {(2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2}}
n(B) = 5
P(B) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{5}{36}\)
A∩B = {(2, 6) (4, 4) (6, 2)}
n(A∩B) = 3 P(A∩B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}=\frac{3}{36}\)
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம்படி,
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{18}{36}+\frac{5}{36}-\frac{3}{36}\)
= \(\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\)
தீர்வு :
P(இரட்டை எண் அல்லது கூடுதல்)
= \(\frac{5}{9}\)

கேள்வி 7.
நன்கு கலைத்து அடுக்கிய 52 சீட்டுகளைக் கொண்ட கட்டிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது சிவப்பு இராசாவாக அல்லது கருப்பு இராணியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க. தீர்வு :
52 சீட்டுகள் உள்ள சீட்டுக்கட்டிலிருந்து
n(S) = 52
A ஆனது சிவப்பு ராஜா கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(A) = 2
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{52}\)
Bஆனது கருப்பு இராணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(B) = 2
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{52}\)
A யும் B யும் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி
எனவே, P(A∪B) = P(A) + P(B)
= \(\frac{2}{52}+\frac{2}{52}\)
= \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
விடை :
P(சிவப்பு இராஜா அல்லது கருப்பு இராணி) = \(\frac{1}{13}\)

கேள்வி 8.
ஒரு பெட்டியில் 3, 5, 7, 9,…….. 35, 37 என்ற எண்கள் குறிக்கப்பட்ட சீட்டுகள் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்படும் ஒரு சீட்டு ஆனது 7ன் மடங்காக அல்லது பகா எண்ணாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
ஒரு பெட்டியில் குறிக்கப்பட்ட சீட்டு
எண்க ள் 3, 5, 7,… 37.
S = {3, 5, 7, 9, 11, 13,….35, 37} ⇒ n(S) = 18
A ஆனது 7ன் மடங்கு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
A = {7, 21, 35} ⇒ n(A) = 3
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{18}\)
B ஆனது பகா எண்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க
B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
n(B) = 11
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{11}{18}\)
A ∩ B = {7}
n(A∩B) = 1
P(A∩B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}=\frac{1}{18}\)
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றப்படி,
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{3}{18}+\frac{11}{18}-\frac{1}{18}\)
= \(\frac{13}{18}\)
விடை :
P(7 ன் மடங்கு அல்லது பகா எண்கள்) = \(\frac{13}{18}\)

கேள்வி 9.
சீரான மூன்று நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படுகின்றன. அதிகபட்சம் 2 பூக்கள் அல்லது குறைந்த பட்சம் 2 தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
மூன்று முறை நாணயங்கள் சுண்டப்படுகிறது.
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
n(S) = 8
A ஆனது அதிகபட்சம் 2 பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
A = {HHH, HHT, FITH, THH, TTH, THT, FITT}
n(A) = 7
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{8}\)
B ஆனது குறைந்தபட்சம் 2 தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
B = {HHH, HHT, HTH, THH}
n(B) = 4
P(B) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{4}{8}\)
A ∩ B = {HHH, HHT, HTH, THH}
n(A ∩ B) = 4
P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}=\frac{4}{8}\)
நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் படி,
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{7}{8}+\frac{4}{8}-\frac{4}{8}\)
= \(\frac{7}{8}\)
விடை :
P(அதிகபட்சம் 2 பூக்கள் அல்லது குறைந்தபட்சம் 2 தலைகள்) = \(\frac{7}{8}\)

கேள்வி 10.
ஒருவருக்கு மின்சார ஒப்பந்தம் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு – மற்றும் குழாய்கள் பொருத்துவதற்கான ஒப்பந்தம் கிடைக்காமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{5}{8}\) ஆகும். மேலும் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒரு ஒப்பந்தம் கிடைக்கப்பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{5}{7}\) எனில் இரண்டு ஒப்பந்தங்களும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு :
A ஆனது மின்சார ஒப்பந்தம் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும் B ஆனது குழாய்கள் பொருந்துவதற்கான ஒப்பந்தம் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(A) = \(\frac{3}{5}\) P(B’) = \(\frac{5}{8}\) மற்றும் P(A∪B) = \(\frac{5}{7}\)
P(B) = 1 – P(B’)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

விடை :
P(இரண்டு ஒப்பந்தங்களும் கிடைப்பதற்கு) = \(\frac{73}{280}\)

கேள்வி 11.
8000 மக்கள் தொகை கொண்ட ஒரு நகரத்தில் 1300 பேர் 50 வயதிற்கு மேற்பட்டவர்கள் மற்றும் 3000 பேர் பெண்கள். மேலும் 50 வயதிற்கு மேற்பட்ட பெண்கள் 30 உள்ளனர். எனவும் தெரியவருகிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒரு நபர், பெண்ணாக அல்லது 50 வயதிற்கு மேற்பட்டவராக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
மொத்த மக்கள் தொகை = 8000
n(S) = 8000
A ஆனது பெண்ணாக தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
n(A) = 3000
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3000}{8000}\)
B ஆனது 50 வயதிற்கு மேற்பட்டவரை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
A∩B = 30%
n(A∩B) = \(\frac{30}{100} \times 3000\) = 900

தீர்வு : பெண்ணாக அல்லது 50 வயதிற்கு
மேற்பட்டவராக இருப்பதற்கான
நிகழ்தகவு – \(\frac{17}{40}\)

கேள்வி 12.
ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படுகிறது. சரியாக இரண்டு தலைகள் அல்லது குறைந்தபட்சம் ஒரு பூ அல்லது அடுத்தடுத்து இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
மூன்று முறை நாணயம் சுண்டப்படுகிறது.
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
n(S) = 8
A ஆனது சரியாக இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
A = {HHT, HTH, THH} = n(A) = 3
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
Bஆனது குறைந்தபட்சம் ஒரு பூ கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
B = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
n(B) = 7
P(B) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{7}{8}\)
C ஆனது அடுத்தடுத்த இரண்டு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
C = {HHT, THH, HHH} ⇒ n(C) = 3
P(C) = \(\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
A ∩ B = {HHT, HTH, THH}
n(A ∩ B) = 3
P(A ∩ B) = \(\frac{3}{8}\)
B ∩ C = {HHT, THH}
n(B ∩ C) = 2
P(B ∩ C) = \(\frac{2}{8}\)
C ∩ A = {HHT, THH}
n(C ∩ A) = 2
P(C ∩ A) = \(\frac{2}{8}\)
A ∩ B ∩ C = {HHT, THH}
n(A ∩ B ∩ C) = 2
P(A ∩B ∩ C) = \(\frac{2}{8}\)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B) -P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)
= \(\frac{3}{8}+\frac{7}{8}+\frac{3}{8}-\frac{3}{8}-\frac{2}{8}-\frac{2}{8}+\frac{2}{8}\)
= \(\frac{8}{8}\) = 1
விடை :
சரியாக இரண்டு தலைகள் அல்லது குறைந்த பட்சம் ஒரு பூ அல்லது அடுத்தடுத்த இரண்டு தலைகள் கிடைக்க நிகழ்தகவு = 1

கேள்வி 13.
A, B, C என்பன ஏதேனும் மூன்று நிகழ்ச்சிகள் மேலும் B கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு A ன் நிகழ்தகவைப் போல இருமடங்காகவும் C கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு A ஐ விட மூன்று மடங்காகவும் உள்ளன. மேலும் P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\) P(B ∩ C) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) P(A ∩C) = \(\frac { 1 }{ 8 }\), P(A∪B∪C) = \(\frac{9}{10}\) P(A∩E∩c) = \(\frac{1}{15}\) எனில் P(A), P(B) மற்றும் P(C) ஐக் காண்க
தீர்வு :
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\) P(B ∩ C) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) P(A ∩C) = \(\frac { 1 }{ 8 }\),
P(A∪B∪C) = \(\frac{9}{10}\)
P(A∩E∩c) = \(\frac{1}{15}\)
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P (A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C) + P(A∩B∩C)

P(A)+P(B)+P(C) = \(\frac{11}{8}\) ——– (1)
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது P(B) = 2 P(A) மற்றும் P(C) = 3 P(A)
(1) ல் பிரதியிட
P(A) + 2P(A) + 3P(A) = \(\frac{11}{8}\)
6P(A) = \(\frac{11}{8}\)
P(A) = \(\frac{11}{8}\)

விடை :
P(A) = \(\frac{11}{8}\), P(B) = \(\frac{11}{24}\), P(C) = \(\frac{11}{16}\)

கேள்வி 14.
35 மாணவர்கள் உள்ள ஒரு வகுப்பில் ஒவ்வொருவருக்கும் 1 முதல் 35 வரை எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மாணவர்களும் மாணவிகளுக்கும் உள்ள விகிதமானது 4:3 ஆகும். வரிசை எண்கள் மாணவர்களில் தொடங்கி மாணவிகளில் முடிவடைகிறது. ஒருவர் வகுப்பிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார். அவர் பகா எண்ணை வரிசை எண்ணாக கொண்ட மாணவராகவோ அல்லது பகு எண்ணை வரிசை எண்ணாகக் கொண்ட மாணவியாகவோ அல்லது இரட்டை எண்ணை வரிசை எண்ணாகக் கொண்டவராகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.
தீர்வு :
மொத்த மாணவர்கள் எண்ணிக்கை = 35
n(S) = 35
மாணவர்கள் மற்றும் மாணவிகள் விகிதம் = 4:3
மாணவர்கள் எண்ணிக்கை 4x என்க
மாணவிகள் எண்ணிக்கை 3x என்க
4x + 3x = 35
7x = 35
x = 5
மாணவர்கள் எண்ணிக்கை = 4 x 5 = 20
மாணவிகளின் எண்ணிக்கை = 3 x 5 = 15
வரிசை எண் மாணவர்களில் தொடங்கி மாணவியில் முடிகிறது
மாணவர்களின் வரிசை எண் 1, 2, 3…. 20
மாணவிகளின் வரிசை எண் 21, 22, 23,…..35

A ஆனது பகா எண்ணை வரிசை எண்ணாகக் கொண்ட மாணவரை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
n(A) = 8
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8}{35}\)

B ஆனது பகு எண் வரிசை எண்ணாகக் கொண்ட மாணவியை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35}
n(B) = 12
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{12}{35}\)

C ஆனது இரண்டை எண்ணை வரிசை எண்ணாகக் கொண்டவரை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34}
n(B) = 17
P(B) = \(\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{17}{35}\)
A ∩ B = { } n(A∩B) = 0, P(A∩B) = 0
B ∩ C = {22, 24, 26, 28, 30, 32, 34}
n(B∩C) = 7 P(B∩C) = 7/5
C∩A = {2} n(C∩A) = 1, P(C∩A) = 1/35
A∩B∩C = {} n(A∩B∩C) = 0, P(A∩B∩C) = 0
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C)-P(A∩C) + P(A∩B∩C)

விடை :
பகா எண் வரிசைஎண் மாணவர் (அ)
பகுஎண் வரிசை எண் மாணவி (அ)
இரட்டைப்படை
எண் வரிசை எண் தேர்ந்தெடுக்க = \(\frac{29}{35}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Ex 8.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 8 புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் Ex 8.1

கேள்வி 1.
கீழ்காணும் தரவுகளுக்கு வீச்சு மற்றும் வீச்சுக் கெழுவைக் காண்க
(i) 63,89,98,125,79,108,117,68
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளை ஏறுவரிசையில் எழுத,
63,68,79,89,98,108,117,125
மிகப்பெரிய மதிப்பு L = 125
மிகச்சிறிய மதிப்பு S = 63
வீச்சு = L – S = 125 – 63 = 62
வீச்சுக்கெழு = \(\frac{\mathrm{L}-\mathrm{S}}{\mathrm{L}+\mathrm{S}}\)
= \(\frac{125-63}{125+63}=\frac{62}{188}\) = 0.33
விடை :
வீச்சு = 62
வீச்சுக்கெழு = 0.33

(ii) 43.5,13.6,18.9,38.4,61.4,29.8
தீர்வு :
ஏறுவரிசையில் கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளை எழத 13.6,18.9,29.8,38.4,43.5,61.4
மிகப்பெரிய மதிப்பு L = 61.4,
மிகச்சிறிய மதிப்பு S= 13.6
வீச்சு = L-S
61.4 – 13.6 = 47.8
வீச்சுக்கெழு = \(\)
= \(\frac{\mathrm{L}-\mathrm{S}}{\mathrm{L}+\mathrm{S}}\)
= \(\frac{61.4-13.6}{61.4+13.6}\)
\(\frac{47.8}{75}\) = 0.64
விடை :
வீச்சு = 47.8 வீச்சுக்கெழு = 0.64

கேள்வி 2.
ஒரு தரவின் வீச்சு மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பு ஆகியன முறையே 36.8 மற்றும் 13.4 எனில் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் காண்க?
தீர்வு :
வீச்சு R = 36.8
மிகச்சிறிய மதிப்பு S = 13.4
R = L – S
36.8= L – 13.4
L = 36.8 + 13.4 = 50.2
விடை :
மிகப்பெரிய மதிப்பு = 50.2

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின் வீச்சைக் காண்க

தீர்வு :
மிகப்பெரிய மதிப்பு L = 650
மிகச்சிறிய மதிப்பு S =400
வீச்சு R = L-S
= 650 – 450 = 250
விடை :
R = 250.

கேள்வி 4.
ஓர் ஆசிரியர் மாணவர்களை அவர்களின் செய்முறைப் பதிவேட்டின் 80 பக்கங்களை நிறைவு செய்து வருமாறு கூறினார். எட்டு மாணவர்கள் முறையே 32,35,37,30,33,36,3537 பக்கங்கள் மட்டுமே நிறைவு செய்திருந்தனர். மாணவர்கள் நிறைவு செய்யாதப் பக்கங்களின் திட்டவிலக்கத்தைக் காண்க.
(i) தீர்வு :
ஊகச் சராசரி முறை :
நிறைவு செய்யாத பக்கங்கள் முறையே
60-32, 60-35, 60-37, 60 – 30, 60 – 33, 60-36, 60 – 35, 60 – 37
ஊகச் சராசரி A = 25 n = 8
= 28, 25, 23, 30, 27, 24, 25, 23

திட்டவிலக்கம் :


விடை :
நிறைவு செய்யாத
பக்கங்களின் திட்டவிலக்கம் = 2.34

கேள்வி 5.
10 ஊழியர்களின் ஊதியம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஊதியங்களின் விலக்கவர்க்கச் சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கம் காண்க :
₹310, ₹290, ₹320, ₹280, ₹300, ₹290, ₹320, ₹310, 1280
சராசரி முறை :

விலக்க வர்க்கச் சராசரி
σ² = \(\)
= \(\frac{2000}{9}\)
= 222.22
திட்டவிலக்கம் = σ = \(\sqrt{\frac{\Sigma \mathrm{d}_{\mathrm{i}}^{2}}{\mathrm{n}}}\)
= \(\sqrt{222.22}\) = 14.91
விடை :
விலக்க வர்க்கச் சராசரி = 222.22
திட்டவிலக்கம் = 14.91

கேள்வி 6.
ஒரு சுவர் கடிகாரம் 1 மணிக்கு 1 முறையும், 2 மணிக்கு 2 முறையும், 3 மணிக்கு 3 முறையும் ஒலி எழுப்புகிறது எனில் ஒரு நாளில் அக்கடிகாரம் எவ்வளவு முறை ஒலி எழுப்பும்? மேலும் கடிகாரம் எழுப்பும் ஒலி எண்ணிக்கைகளின் திட்டவிலக்கம் காண்க.
தீர்வு :
ஒரு நாளில் கடிகாரம் எழுப்பும் ஒலி எண்ணிக்கை.
= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12).
= \(2\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]\)
\(2\left(\frac{12 \times 13}{2}\right)\)
= 2 x 78 = 156
திட்ட விலக்கம் :
முதல் n இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம் = \(2 \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}\)
\(\sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}\)


விடை :
திட்ட விலக்கம் = 6.9

கேள்வி 7.
முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

விடை :
முதல் 21 இயல் எண்க ளின் திட்டவிலக்கம் = 6.05

கேள்வி 8.
ஒரு தரவின் திட்டவிலக்கம் 4.5 ஆகும். அதில் இருக்கும் தரவுப்புள்ளி ஒவ்வொன்றிலும் 5 ஐ கழிக்க கிடைக்கும் புதிய தரவின் திட்டவிலக்கம் காண்க.
தீர்வு :
σ = 4.5
ஒவ்வொன்றிலும் 5 ஐ கழிக்க, திட்ட விலக்கம் மாறாது .
∴ புதிய திட்டவிலக்கம் 4.5
விடை : புதிய திட்டவிலக்கம் σ = 4.5

கேள்வி 9.
ஒரு தரவின் திட்டவிலக்கம் 3.6 ஆகும். அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் 3 ஆல் வகுக்கும் கோது கிடைக்கும் புதிய தரவின் திட்டவிலக்கம் மற்றும் விலக்க வர்க்கச் சராசரியைக் காண்க.
தீர்வு :
σ = 3.6
ஒவ்வொரு புள்ளியையும் 3 ஆல் வகுக்க, கிடைக்கும் புதிய திட்டவிலக்கமும் 3 ஆல் வகுபடும்.
புதிய திட்டவிலக்கம் σ = \(\frac{3.6}{3}\) = 1.2
∴ புதிய விலக்கவர்க்க சராசரி σ² = (1.2)²
= 1.44
விடை :
திட்ட விலக்கம் = 1.2
புதிய விலக்கவர்க்க சராசரி = 1.44

கேள்வி 10.
ஒரு வாரத்தில் ஐந்து மாவட்டங்களில் வெவ்வேறு இடங்களில் பெய்த மழையின் அளவானது
பதிவு செய்யப்பட்டு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது கொடுக்கப்பட்ட மழையளவின் தரவிற்கு திட்டவிலக்கம் காண்க. \

தீர்வு :
ஊகச் சராசரி முறை A = 60

விடை :
திட்ட விலக்கம் ≅ 7.76

கேள்வி 11.
வைரஸ் காய்ச்சலைப் பற்றிய கருத்துக் கணிப்பில், பாதிக்கப்பட்ட மக்களின் எண்ணிக்கை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இத்தரவின் திட்டவிலக்கம் காண்க.

வயது (வருடங்க ளில்) 0 – 10/10 -20 20 – 30/30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 பாதிக்கப்பட்ட மக்களின்
தீர்வு :
ஊகச் சராசரி முறை A = 35

விடை :
σ ≅ 14.6

கேள்வி 12.
ஒரு தொழிற்சாலையில் தயாரிக்கப்பட்ட தட்டுகளின் விட்ட அளவுகள் (செ.மீ)ல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இதன் திட்டவிலக்கம் காண்க.

தீர்வு :
படி விலக்க முறை
A = 30.5
C = 4
d_i = \(\frac{x_{\mathrm{i}}-30.5}{4}\)

விடை :
S.D σ ≅ 6

கேள்வி 13.
50 மாணவர்கள் 100 மீட்டர் தூரத்தை கடக்க எடுத்துக்கொண்ட கால அளவுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் திட்டவிலக்கம் காண்க.

தீர்வு :
படிவிலக்க முறை
A = 11
C = 1
d_i = \(\frac{x_{1}-A}{c}=\frac{x_{i}-11}{1}\)

விடை :
S.D σ ≅ 1.24

கேள்வி 14.
100 மாணவர்கள் கொண்ட ஒரு குழுவில், அவர்கள் எடுத்த மதிப்பெண்களின் சராசரி மற்றும்
திட்ட விலக்கமானது முறையே 60 மற்றும் 15 ஆகும். பின்னர் 45 மற்றும் 72 என்ற இரு மதிப்பெண்களுக்குப் பதிலாக முறையே 40 மற்றும் 27 என்று தவறாகப் பதிவு செய்யப்பட்டது தெரிய வந்தது. அவற்றைச் சரி செய்தால் கிடைக்கப்பெறும் புதிய தரவின் சராசரியும் திட்ட விலக்கமும் காண்க.
தீர்வு :
n = 100
\(\bar{x}\) = 60
σ = 15
சரியான மதிப்புகள் 45 மற்றும் 72 தவறான மதிப்புகள் 40 மற்றும் 27
\(\bar{x}=\frac{\Sigma x}{n}\) ⇒ n x \(\bar{x}\)
∴ தவறான கூடுதல் = 100 x 60 = 600
திருத்தப்பட்ட கூடுதல் = தவறான கூடுதல் – தவறான மதிப்புகள் + சரியான மதிப்புகள்
= 6000 – 40 – 27 + 45 + 72
= 6050

15² = \(\frac{\Sigma x_{\mathrm{i}}^{2}}{100}\) – 60²
\(\frac{\Sigma x_{\mathrm{i}}^{2}}{100}\) = 15² + 60² = 225 + 3600 = 3825
\(\Sigma x_{i}^{2}\)ன் திருத்தப்பட்ட மதிப்பு
= 3825 x 100 = 382500
\(\Sigma x_{i}^{2}\)ன் திருத்தப்பட்ட மதிப்பு
= 382500 – (40)² – (27)² + 45² + 72² \
= 382500 – 1600 – 729 + 2025 + 5184
= 382500 – 2329 + 7209
= 387380
திருத்தப்பட்ட திட்டவிலக்கம்

விடை :
திருத்தப்பட்ட சராசரி = 60.5,
திருத்தப்பட்ட திட்டவிலக்கம் σ ≅ 14.6

கேள்வி 15.
ஏழு தரவுப் புள்ளிகளின் சராசரி மற்றும் விலக்கச் சராசரி வர்க்கச் சராசரி முறையே 8,16 ஆகும். அதில் ஜந்து தரவுப் புள்ளிகள் 2,4, 10, 12 மற்றும் 14 எனில் மீதம் உள்ள இரு தரவுப் புள்ளிகளைக் கண்டறிக. 310, 290, 320, 280, 300, 290, 320, 310, 280
தீர்வு :
இரு தரவுப் புள்ளிகள் p மற்றும் ஏ என்க.
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 8 மற்றும் σ² = 16, n = 7
ஐந்து தரவுப் புள்ளிகள் முறையே 2, 4, 10, 12 மற்றும் 14.

xi	Xi2
2	4
4	16
10	100
12	144
14	196
P	p2
q	q2

Σx = 42 + p + q
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 82
\(\sum x_{1}^{2}\) = 460 + p +q
\(\frac{\Sigma x}{n}\) = 8
\(\frac{42+p+q}{7}\) = 8
42 + p +q = 56
p + q = 56 – 42 = 14
p + q = 14 —–(1)
திட்ட விலக்கம்

460 + p² + q² = 560
p² + q² = 560 – 460 = 100
(p + q)² – 2pq = 100
14² – 2pq = 100 196 – 2pq = 100
2pq = 96
pq= 48 –(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க
(2) லிருந்து ⇒ q = \(\frac{48}{\mathrm{P}}\) (i) ல் பிரதியிட
(1) = p + \(\frac{48}{\mathrm{P}}\) = 14
\(\frac{p^{2}+48}{p}\) = 14 ⇒ p² + 48 = 14p
p² – 14p + 48 = 0
(p – 8) (p – 6) = 0
p – 8 = 0 (அல்ல து) p – 6 = 0
∴ p = 8 p = 6.
p = 8, எனில் q = \(\frac{48}{8}\) = 6
p = 6, எனில் q = \(\frac{48}{6}\) = 8
விடை :
இரு தரவுப்புள்ளிகள் 6 மற்றும் 8.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Unit Exercise 6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Unit Exercise 6

கேள்வி 1.
(i) நிரூபிக்கவும் \(\cot ^{2} \mathrm{~A}\left[\frac{\sec \mathrm{A}-1}{1+\sin \mathrm{A}}\right]+\operatorname{Sec}^{2} \mathrm{~A}\left[\frac{\operatorname{Sin} \mathrm{A}-1}{1+\mathrm{Sec} \mathrm{A}}\right]=0\)
தீர்வு:
இடப்பக்கம்

ii) \(\frac{\tan ^{2} q-1}{\tan ^{2} q+1}\) = 1 – 2cos²q
தீர்வு :
இடப்பக்கம்

= 1 – cos²q – cos²q
1-2cos² = வலப்பக்கம்

கேள்வி 2.
\(\left[\frac{(1+\sin q)-\cos q}{(1+\sin q)+\cos q}\right]^{2}=\frac{1-\cos q}{1+\cos q}\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
இடப்பக்கம்

கேள்வி 3.
x sin³θ + ycos³θ = sinθ cosθ மற்றும் xsinθ = ycosθ
= y cose, எனில் x² + y² = 1 என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
⇒ x sin³θ+ y cos³θ = sin θ cosθ
⇒ x sinθ (sin²θ) + ycosθ (cos²θ) = sinθ cosθ
(∵ x sinθ= y cosθ)
⇒ x sinθ (sin²θ+ cos²θ) = sinθ cosoθ
⇒ x = cosθ
கணக்கின் படி, x sin θ = y cosθ
⇒ cosθ sin θ = y cosθ
∴ y = sinθ
இடப்பக்கம் x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1

கேள்வி 4.
a cosθ – b sinθ = C, எனில் (a sinθ + bcosθ) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\) என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு :
வலப்பக்கம் = a² + b² – c²
= a² + b² – [a cosθ – b sinθ]2
= a² + b² -[a² cos²θ + b²sin²θ – 2ab sinθ cosθ
= a² + b² – a² cos2θ – b²sin²θ + 2ab sinθ cosθ
= a²[1-cos²θ] + b²[1-sin²θ]+ 2 ab sinθ cosθ)
= a² sin²θ + b²cos²9 + 2ab sinθ cosθ
= [asinθ + bcosθ] ²
= (a sinθ + b cosθ]² = a² + b² – c²
இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காண.
a sinθ + b cosθ = \(\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\) நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
80மீ உயரமுள்ள மரத்தின் உச்சியில் ஒரு பறவை இருக்கிறது. தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து பறவையின் ஏற்றக்கோணம் 45. பறவை ஒரே உயரத்தில் கிடைமட்டத்தில் பறந்து செல்கிறது. 2வினாடிகள் கழித்து அதே புள்ளியிலிருந்து பறவையின் ஏற்றக்கோணம் 30 எனில், பறவை பறக்கும் வேகத்தினைக் காண்க . ( √ 3 = 1.732)
தீர்வு:
tan θ =
tan 45° = \(\frac{80}{x}\)
x = 80
tan 30° = \(\frac{80}{x+y}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{80}{x+y}\)
x + y = 80√ 3
y = 80√ 3 – x = 80√ 3 – 80
y = ( √ 3 – 1)80 = (1.732-1)80 = 0.732:8 = 58.56
நேரம் x வேகம் = தொலைவு
2 x வேகம் = 58.56
வேகம் = 29.28 மீ/வி

கேள்வி 6.
விமானம் ஒன்று புவிப் பரப்பிற்கு இணையாக 600மீ உயரத்தில் 175 மீ/வி வேகத்தில் செல்கிறது. புவியின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் 37 ஆகும். அதே புள்ளியிலிருந்து ஏற்றக்கோணம் 53°-க்கு அதிகரிக்க எவ்வளவு நேரம் தேவைப்படும் ? (tan 53° = 1.3270, tan 37° = 0.7536)
தீர்வு :
tan θ =
0.7536 = \(\)
tan 37° = \(\)
(0.7536) (x + y) = 600
tan 53° = \(\)
1.3270 = \(\)
x = \(\)
x = 452.15
0.7536x + 75361 = 600
0.7536 X 452.15 + 0.7536y = 600
0.75.36y = 600 – 340.74
0.7356y = 259.26
y = \(\frac{259.26}{0.7356}\)
y = 344.03
தொலைவு = 344.03
நேரம் x வேகம் = 344.03

நேரம் = 1.97 வி

கேள்வி 7.
ஒரு பறவை A என்ற இடத்திலிருந்து 30 கி.மீ தொலைவில் B என்ற இடத்திற்கு 35, கோணத்தில் பறக்கிறது. B-ல் 48 கோணத்திலிருந்து விலகி 32கி.மீ தொலைவில் உள்ள C என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது.
i) A-ன் வடக்குப் புறமாக B-ன் தொலைவு எவ்வளவு?
ii) A-ன் மேற்குப் புறமாக B-ன் தொலைவு எவ்வளவு?
iii) B-ன் வடக்குப் புறமாக C-ன் தொலைவு எவ்வளவு?
iv) B-ன் கிழக்குப் புறமாக (-ன் தொலைவு எவ்வளவு?
sin 55° = 0.8192, cos55° = 0.5736
sin42° = 0.6691, cos 42° = 07431
தீர்வு:

i) sin 55° = \(\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AB}}\) ( ΔABB’ ல்)
0.8192 = \(\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{30}\)
BB’ = 30 x 0.8192 = 24.58கி.மீ.

ii) ΔABB’ல் cos 55° = \(\frac{\mathrm{AB}^{\prime}}{\mathrm{AB}}\)
0.5736 = \(\frac{\mathrm{AB}^{\prime}}{30}\)
AB’ = 30 x 0.5736 = 17.21கி.மீ

iii) B – ன் வடக்குப் புறமாக என் தொலைவு என்பது CD ஆகும்.
ΔBCD-ல் sin 42° = \(\frac{B D}{B C}\)
0.6691 = \(\frac{C D}{32}\)
CD = 32 x 0.6691 = 21.41 கி.மீ

iv) B ன் கிழக்குப் புறமாக என் தொலைவு என்பது BD ஆகும்.
ΔBDCல், cos 42° = \(\frac{B D}{B C}\)
0.7431 = \(\frac{B D}{32}\)
BD = 0.7431 x 32 = 23.78 கி.மீ

கேள்வி 8.
கலங்கரை விளக்கம் இருக்கும் இடத்திலிருத்து கடலில் எதிரெதிர்த் திசையில் இரு கப்பல்கள் பயணம் செய்கின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து இரு கப்பல்களின் இறக்கக் கோணங்கள் முறையே 60° மற்றும் 45′ கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
200 (\(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\)) மீ எனில், கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் காண்க.
தீர்வு :

tanθ =
tan 45° = \(\frac { h }{ y }\)
1 = \(\frac { h }{ y }\)
y = h
tan 60° = \(\frac { h }{ y }\)

கேள்வி 9.
ஒரு தெருவில் கட்டடமும், சிலையும் எதிரெதிர்த் திசையில் 35 மீ இடைவெளியில் அமைந்துள்ளன.
கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து, சிலை உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 24 மற்றும் சிலை அடியின் இறக்கக்கோணம் 34 எனில், சிலையின் உயரம் என்ன?
(tan24° = 0.4452, tan 34° = 0.6745)
தீர்வு :

tan 24° = \(\frac{\mathrm{y}}{35}\)
h = 0.4452 x 35
y = 15.58 மீ)
tan 34° = \(\frac{\mathrm{x}}{35}\)
x = 0.6745 x 35
x = 23.61 மீ
சிலையின் உயரம் = x + y = 23.61 + 15.58மீ
= 39.19 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1

கேள்வி 1.
கீழ்க்கண்ட புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு காண்க. i) (1, -1), (-4, 6) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்க வும். A (1, – 1), B (-4, 6), C (-3,-5) என்பன முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.
ΔABCன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(6+20+3) – (4-18-5)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)(29- (-19) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [29 + 19)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 48
= 24 ச.அலகுகள்

ii) (-10, -4), (-8, -1) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும்.
A(-10, -4), B(-8, -1) என்ப ன C(-3, -5)
முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.

ΔACB ன் பரப்பளவு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(50+3+32) – (12+40+10)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[85 – 62]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 23
= 11.5 ச. அலகுகள்

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமா என தீர்மானிக்கவும்.
i) (-\(\frac { 1 }{ 2 }\), 3), (-5, 6) மற்றும் (-8, 8)
தீர்வு :
A(-\(\frac { 1 }{ 2 }\),3), B(-5, 6), C(-8,8) ஆகியன
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(-3-40-24) – (-15-48-4)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[-67 – (-67)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[-67 + 67)] = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

ii) (a,b+c), (b, c+a) மற்றும் (c, a+b)
தீர்வு :
A(a, b+c), B(b, c+a), C(c, a+b) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {{a(c+a) + b(a+b) + c[b+c)) – (b(b+c) + c(c+a) = a(a+b))}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [ac + a² + ba + b + cb + c² – [b² + bc + c² + ac + a² + ab)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [ac + a² + ba + b + cb + c² – b² – bc – c² – ac – a² – ab]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0 = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

கேள்வி 3.
வரிசையில் அமைந்த முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளும், அதன் பரப்புகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.’p’ யின் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு :
i) A(0,0), B(p,8), C(6,2) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பளவு = 20 ச.அ

[0 + 2p + 0] – [0 + 48 + 0] = 20 x 2
2p – 48 = 40
2p = 40 + 48
P = \(\frac{88}{2}\)
p = 44

ii) A(p, p), B(5, 6), C(5, -2) என்பன முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு = 32 ச.அ

[6p – 10 + 5p] – [5p + 30 – 2p] = 32 x 2
(11p – 10) – (3p + 30) = 32 x 2
11p- 10 – 3p – 30 = 32 x 2
8p-40 = 32 x 2
8p = 64 + 40
8p = 104
p = 104/8
p = 13

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்தவை எனில், ‘a’ யின் மதிப்பைக் காண்க.
i) (2, 3), (4, a) மற்றும் (6,-3)
ii) (a,2-2a),(-a+1, 2a) மற்றும் (-4-a,6-2a)
தீர்வு :
A (2, 3), B (4, a) மற்றும் (6, -3) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

(2a-12+18) – (12-6a-6) = 0 x 2 = 0
(2a+6) – (6 – 6a) = 0
2a + 6 – 6 + 6a = 0
8a = 0
a = 0

ii) A (a, 2-2a), B (-a+1, 2a) மற்றும் C (-4-2, 6-2a) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும். எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

\(\frac { 1 }{ 2 }\) {(2a-+(-a+1)(6-2a)+(-4-a) (2-2a))
((2-2a)(-a+1)+(2a)(-4-a)+a(6-2a})} = 0
(2a² – 6a + 2a² + 6 – 2a – 8 + 8a – 2a + 2a² )-(-2a + 2 + 2a² – 2a – 8a – 2a² + 6a – 2a²)} = 0 x 2 = 0
(6a² – 2a – 2) – (-2a² – 6a + 2) = 0
6a² – 2a – 2 + 2a² + 6a – 2 = 0
8a² + 4a – 4 = 0
2a² + a – 1 = 0
(2a-1) (a+1) = 0
a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), -1
a என் மதிப்பு \(\frac { 1 }{ 2 }\) (அல்லது) -1

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க?
i) (-9, -2), (-8, -4) (2, 2) மற்றும் (1, – 3)
ii) (-9, 0), (-8, 6) (-1, -2) மற்றும் (-6,-3)
தீர்வு :
i) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். A(-9, -2), B(-8, -4), C(2, 2) மற்றும் D(1, -3) என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே, நாற்கரம் ABDC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(36+24+2-4) – (16-4-6-18)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {58 – (-12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (58 +12) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 70
= 35 ச. அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 35 ச. அலகுகள்

ii) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். புள்ளிகளை எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க. A (-9, 0), B (-8, 6), C (-1, – 2) மற்றும் D (-6, -3 என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே நாற்கரத்தின் பரப்பளவு (ADCB)

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(27+12-6+0) – (0+3+16-54)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [33 – (-35) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(33 + 35)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 68
= 34 ச.அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 34 ச. அலகுகள்

கேள்வி 6.
(-4, -2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 28 சதுர அலகுகள் எனில், K ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
நாற்கரத்தின் முனைகள் (-4, – 2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3). மற்றும் அதன் பரப்பு 28 ச.அலகுகள்

\(\frac { 1 }{ 2 }\)(-4k+6+9-4) – (6+3k-4-12)} = 28
(-4k+11) – (3k – 10) = 28 x 2 -4k+11-3k+10 = 56
-7k + 21 = 56
-7k = 56-21
k = \(\frac{35}{-7}\)
k = -5

கேள்வி 7.
A(-3, 9), B (a, b) மற்றும் C(4, – 5) என்ப ன ஒரு கோட்டமைந்த புள்ளிகள் மற்றும் a+b = 1, எனில், a மற்றும் b யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகள் ஆகும். எனவே. பரப்பளவு = 0

(-3b-5a+36) – (9a+4b+15) = 0 x 2
-3b – 5a + 36 – 9a – 4b – 15 = 0
-14a-7b+21 = 0
÷by (-7) 2a+b-3 = ) —–(1)
கொடுக்கப்பட்டது a+b = 1 ——-(2)
(1) – (2)

a = 2 ஐ சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட
a + b = 1
2 + b = 1
b = 1 – 2 = -1
b = -1
விடை : a = 2, b = -1

கேள்வி 8.
ΔABC ன் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் AC ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P(11,7) , Q(13.5, 4) மற்றும் R(9.5, 4) என்க . முக்கோணத்தின் முனை புள்ளிகள் A,B மற்றும் C காண்க. மேலும், AABC – யின் பரப்பை APQR யின் பரப்புடன் ஒப்பிடுக.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் முனைகளை A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) மற்றும் C(x₃, y₃) என்க.
P,Q, R என்பன AB, BC, CA என்ற முக்கோண பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும்.
AB ன் நடுப்புள்ளி = P
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) = (11, 7)
x மற்றும் y ஐ சமன்படுத்துக.
\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) = 11; \(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\) = 7
x₁ + x₂ = 22 —-(1); y₁ + y₂ = 14 —–(2)

இதே போல்
x₂ + x₃ = 19 —-(3);
y₂ + y₃ = 8 —-(4)
x₃ + x₁ = 27 —-(5);
y₃ + y₁ = 8 —–(6)
சேர்த்து (2)+(4)+(6)
= 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 30
= y₁ + y₂ + y₃ = 15 ——(8)
சமன்பாடு (3) ஐ சமன்பாடு (7)ல் பிரதியிட
x₁ + x₂ + x₃ = 34
x₁ + 19 = 34
x₁ = 34 – 19
x₁ = 15

x₁ = 15 ஐ சமன்பாடு (5)ல் பிரதியிட
x₃ + x₁ = 27
x₃ + 15 = 27
x₃ = 27 – 15
x₃ = 12

x₃ = 12 ஐ சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட,
x₂ + x₃ = 19
x₂ + 12 = 19
x₂ = 19 – 12)
சமன்பாடு (4) ஐ சமன்பாடு (8) ல் பிரதியிட
y₁ + y₂ + y₃ = 15
y₁ + 8 = 15
y₁ = 15 – 8
y₁ = 7

y₁ = 7 ஐ சமன்பாடு (6)ல் பிரதியிட
y₃ + y₁ = 8
y₃ + 7 = 8
y₃ = 8 – 7
y₃ = 1

y₃ = 1 சமன்பாடு (4) ல் பிரதியிட
y₂ + y₃ = 8
y₂ + 1 = 8
y₂ = 8 – 1
y₂ = 7
முக்கோணத்தின் முனைகள் A(15, 7), B(7, 7), மற்றும் C(12, 1)
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(105+7+84) – (49+84+15)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (196 – 148) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 48 = 24 அலகுகள்
Δ POR ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(44+54+66.5) – (94.5+38+44)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (164.5 – 176.5)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (-12) = -6
(பரப்பளவு ஒரு போதும் குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது. எனவே, இதன் பரப்பை மிகை எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.)
ΔABC ன் பரப்பு = 4 x ΔPQR ன் பரப்பு
24 = 4 x 6
24 = 24 நிரூபிக்கப்பட்டது

கேள்வி 9.
நாற்கர வடிவ நீச்சல் குளத்தின் கான்கிரீட் உள்முற்றமானது படத்தில் காட்டியுள்ள படி அமைக்கப்பட்டுள்ளது எனில், உள்முற்றத்தின் பரப்பு காண்க.

தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் A(-4, -8), B(8, -4), C(6, 10) மற்றும் D(-10, 6)ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(16+80+36+80) – (-64-24-100-24)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) 212 x 424
= 212 ச. அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் E(-3, -5), F(6, -2), G(3, 7) மற்றும் H(-6, 4) ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(6 + 42 + 12 + 30) – (-30 – 6 – 42 – 12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 180
= 90 ச.அலகுகள்
உளமுற்றத்தின் பரப்பு = ABCD ன் பரப்பு – EFGH ன் பரப்பு
= 212 – 90 = 122 ச.அலகுகள்

கேள்வி 10.
A(-5, -4) , B(1, 6) மற்றும் C(7, -4) ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணவடிவக் கண்ணாடிக்கு வர்ணம் பூசப்படுகிறது. 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது எனில் கண்ணாடியின் முழுப்பகுதியையும் ஒரு முறை வர்ணம் பூச எத்தனை வாளிகள் தேவைப்படும்?
தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க.

ΔACB ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(20+42-4) – (-28-4-30)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[58 – (-62]] = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (58 + 62)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120
= 60 ச.அலகுகள்
6 ச.அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது.
கண்ணாடி முழுவதும் வர்ணம் பூச தேவைப்படும் வாளிகள் = 60/6 = 10 வாளிகள்
10 வாளிகள் தேவைப்படும்.

கேள்வி 11.
படத்தை பயன்படுத்திப் பரப்பைக் காண்க.
(i) முக்கோணம் AGF
(ii) முக்கோணம் FED
(iii) நாற்கரம் BCEG.

தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட A(-5, 3), G(-4.5, 0.5) மற்றும் F(-2, 3) ஆகியவை முக்கோணத்தின் முனைகள்.
ΔAGFன் பரப்பளவு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(-2.5-13.5-6) – (-13.5-1-15)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {–22 – (-29.5)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 75
= 3.75 ச.அலகுகள்

ii) முக்கோணம் FEDன் பரப்பு முனைகள் F(-2, 3), E(1.5, 1) மற்றும் D(1, 3)

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(-2+4.5+3) – (-4.5+1-6)}
= 3 ச. அலகுகள்

iii) நாற்கரத்தின் முனைகள் B(-4,-2), C(2,-1), E(1.5, 1) மற்றும் G(-4.5, 0.5)
நாற்கரம் BCEG ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(4+2+0.75+9) – (-4-1.5-4.5-2}}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {15.75 – (-12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x {15.75+12} = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 27.75
= 13.875 ச. அலகுகள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.7

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றின் வர்க்கமூலம் காண்க.
i) \(\frac{400 x^{4} y^{12} z^{16}}{100 x^{8} y^{4} z^{4}}\)
ii) \(\frac{7 x^{2}+2 \sqrt{14} x+2}{x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}}\)
iii) \(\frac{121(a+b)^{8}(x+y)^{8}(b-c)^{8}}{81(b-c)^{4}(a-b)^{12}(b-c)^{4}}\)
தீர்வு :

கேள்வி 2.
கீழ்காணும் கோவைகளின் வர்க்கமூலம் காண்க.
i) 4x² + 20x + 25
ii) 9x² – 24xy + 30xz – 40yz + 25z² + 16y²
iii) (4x² – 9x + 2) (7x² – 13x – 2) (28x² – 3x – 1)
iv) (2x² + \(\frac{17}{6}\) x+1) ( \(\frac{3}{2}\)x² + 4x + 2) ( \(\frac{4}{3}\)x² + \(\frac{11}{3}\) x + 2)
தீர்வு :
i) 4x² + 20x + 25
= (2x + 5)²
∴ \(\sqrt{4 x^{2}+20 x+25}\) = |2x + 5|

ii) 9x² + 16y² + 25z² – 24xy + 30xz – 40yz = (3x – 4y + 5z)²
∴ \(\sqrt{9 x^{2}+16 y^{2}+25 z^{2}-24 x y+30 x z-40 y z}\) = |3x – 4y + 5z|

iii) 4x² – 9x + 2 = (4x – 1) (x – 2)
7x² – 13x – 2 = (x – 2) (7x + 1)
28x² – 3x – 1 = (4x – 7) (7x + 1)
∴ \(\sqrt{\left.4 x^{2}-9 x+2\right)\left(7 x^{2}-13 x-2\right)\left(28 x^{2}-3 x-1\right)}\)
\(\sqrt{(4 x-1)^{2}(x-2)^{2}(7 x+1)^{2}}\)
= |(4x – 1) (x – 2) (7x + 1)|

iv) (2x² + \(\frac{17}{6}\) x+1) ( \(\frac{3}{2}\)x² + 4x + 2) ( \(\frac{4}{3}\)x² + \(\frac{11}{3}\) x + 2)
= \(\left(\frac{12 x^{2}+17 x+6}{6}\right)\left(\frac{3 x^{2}+8 x+4}{2}\right)\left(\frac{4 x^{2}+11 x+6}{3}\right)\)
= \(\frac{1}{36}\)(12x² + 17x + 6) (3x² + 8x + 4) (4x² + 11x + 6)
= \(\frac{1}{36}\)(4x + 3) (3x + 2) (3x + 2) (x + 2) (x + 2) (4x + 3)
∴ வர்க்கமூலம் = \(\frac{1}{6}\) |(4x + 3) (3x + 2) (x + 2) |

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5

கேள்வி 1.
சுருக்குக.
(i) \(\frac{4 x^{2} y}{2 z^{2}} \times \frac{6 x z^{3}}{20 y^{4}}\)
(ii) \(\frac{\mathrm{P}^{2}-10 \mathrm{p}+21}{\mathrm{P}-7} \times \frac{\mathrm{P}^{2}+\mathrm{P}-12}{(\mathrm{P}-3)^{2}}\)
(iii) \(\frac{5 t^{3}}{4 t-8} \times \frac{6 t-12}{10 t}\)
தீர்வு :

கேள்வி 2.
சுருக்குக
(i) \(\frac{x+4}{3 x+4 y} \times \frac{9 x^{2}-16 y^{2}}{2 x^{2}+3 x-20}\)
(ii) \(\frac{x^{3}-y^{3}}{3 x^{2}+9 x y+6 y^{2}} \times \frac{x^{2}+2 x y+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)
தீர்வு :

கேள்வி 3.
சுருக்குக
(i) \(\frac{2 a^{2}+5 a+3}{2 a^{2}+7 a+6} \div \frac{a^{2}+6 a+5}{-5 a^{2}-35 a-50}\)
(ii) \(\frac{b^{2}+3 b-28}{b^{2}+4 b+4} \div \frac{b^{2}-49}{b^{2}-5 b-14}\)
(iii) \(\frac{x+2}{4 y} \div \frac{x^{2}-x-6}{12 y^{2}}\)
(iv) \(\frac{12 t^{2}-22 t+8}{3 t} \div \frac{3 t^{2}+2 t-8}{2 t^{2}+4 t}\)
தீர்வு :

கேள்வி 4.
x = \(\frac{a^{2}+3 a-4}{3 a^{2}-3}\) மற்றும் y = \(\frac{a^{2}+2 a-8}{2 a^{2}-2 a-4}\) எனில் , x²y² – ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
x²y² = \(\frac{x^{2}}{y^{2}}\)

கேள்வி 5.
p(x) = x² – 5x – 14 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை (x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுக்க \(\frac{x-7}{x+2}\) எனும் விடை கிடைக்கிறது எனில், q(x) – ஐக் காண்க .
தீர்வு :
கணக்கின் படி \(\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{x-7}{x+2}\)
⇒ q(x) = p(x) ÷ \(\frac{x-7}{x+2}\)
= (x² – 5x – 14) x \(\frac{x+2}{x-7}\)
= (x – 7) (x + 2) x \(\frac{x+2}{x-7}\)
= (x + 2)²
= x²+ 4x + 4