Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.12

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.12 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.12

கேள்வி 1.
ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் \(\frac { 24 }{ 5 }\) எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.
தீர்வு :
அந்த எண் x என்க
அதன் தலைகீழி \(\frac { 1 }{ x }\)
கணக்கின் படி
x – \(\frac{1}{x}=\frac{24}{5}\)
⇒ \(\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{24}{5}\)
⇒ 5(x² – 1) = 24x
⇒ 5x² – 24x – 5 = 0
⇒ (5x + 1) (x – 5) = 0
∴ x = 5 (அ) – \(\frac { 1 }{ 5 }\)
அந்த எண் 5 (or) – \(\frac { 1 }{ 5 }\)

கேள்வி 2.
12 மீ x 16 மீ அளவுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வக வடிவப் பூங்காவைச் சுற்றி ‘ ‘ மீட்டர் அகலமுள்ள நடைபாதை அமைக்கப்படும்போது, அதன் மொத்த பரப்பு 285 சதுர மீட்டராக அதிகரிக்கிறது. நடைபாதையின் அகலத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விபரங்களின் படி
(2ω + 16) (2ω + 12) = 285
= 4ω² + 56ω + 192 = 285
= 4ω² + 56ω – 93 = 0
= (2ω + 31) (2ω – 3) = 0

2ω + 31 = 0
ω = \(-\frac{31}{2}\)
& 2ω – 3 = 0
ω = \(\frac{3}{2}\)
அகலம் ω = \(-\frac{31}{2}\) (குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது)
∴ பாதையின் அகலம் ω = 1.5 மீ

கேள்வி 3.
ஒரு பேருந்து 90 கி.மீ தொலைவைச் சீரான வேகத்தில் கடக்கிறது. அதன் வேகம் 15 கி.மீ/ மணி அதிகரிக்கப்பட்டால், பயண நேரம் 30 நிமிடங்கள் குறைகிறது எனில், பேருந்தின் வேகத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :
பேருந்தின் வேகத்தை x கி.மீ/மணி என்க
∵ 90 கி.மீ தொலைவை சீரான வேகத்தில் கடக்க ஆகும் நேரம் (T₁) = \(\frac{90}{x}\) hrs
அதன் வேகம் 15கி.மீ/மணி அதிகரிக்கும் போது, பேருந்தின் புதிய வேகம் = (x + 15) கி.மீ/ மணி
∵ 90 கி.மீ தொலைவை கடக்க ஆகும் நேரம் (T₂) = \(\frac{90}{x+15}\)
கணக்கின் படி, பயண நேரம் 30 நிமிடங்கள் குறைகிறது.
∵ T₁ – T₂ = \(\frac{1}{2}\)
[∵ 30 நிமிடங்கள் = \(\frac{1}{2}\) மணிநேரம்]

2700 = x² + 15x
x² + 15x – 2700 = 0
(x + 60) (x – 45) = 0
∵ x = – 60, 45
∵ x = ஆனது குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது
∵ x = 45
பேருந்தின் உண்மையான
வேகம் 45 கி.மீ/மணி

கேள்வி 4.
ஒரு பெண்ணிண் வயது அவரது சகோதரியின் வயதைப் போல இருமடங்கு ஆகும். ஐந்து ஆண்டுகளுக்கப் பின் இரு வயதுகளின் பெருக்கற்பலன் 375 எனில், சகோதரிகளின் தற்போதைய வயதைக் காண்க.
தீர்வு :
தற்போதைய வயது
அவரது சகோதரியின் வயதை x என்க
∵ அந்த பெண்ணின் வயது 2x
ஜந்து ஆண்டுகளுக்குப் பின்
அவரது சகோதரியின் வயது = x + 5
அந்த பெண்ணின் வயது = 2x + 5
கணக்கின் படி,
இரு வயதுகளின் பெருக்கற்பலன் = 375

= (x + 5) (2x + 5) = 375
= 2x² + 15x – 350 = 0 –
= (2x + 35) (x – 10)= )
x = 10, \(-\frac{35}{2}\)
∵ x ஆனது குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது
∵ x = 10
சகோதரியின் தற்போதைய வயது 10
பெண்ணின் வயது 20

கேள்வி 5.
20 மீ விட்டமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் கம்பம் ஒன்று பொருத்தப்பட வேண்டும். ஏதேனும் ஒரு விட்டத்தின் இரு முனைகளில் பொருத்தப்பட்டுள்ள மற்றும் Q எனும் கதவுகளில் இருந்து கம்பத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வித்தியாசம் 4 மீ உள்ளவாறு கம்பம் நடமுடியுமா? ஆம் எனில், இரு கதவுகளிலிருந்து கம்பத்தை எவ்வளவு தொலைவில் பொருத்த வேண்டும்?
தீர்வு :

ஆம், இருக்க இயலும்
கம்பத்திற்கும், கதவு p க்கும் இடைப்பட்ட |தொலைவை x என்க
∵ கம்பத்திற்கும், கதவு Q க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு x – 4
படத்திலிருந்து x² + (x – 4)² = 20² (பிதாகரஸ் தேற்றப்படி)

⇒ x² + x² – 8x + 16 = 400
⇒ 2x² – 8x – 384 = 0
÷ 2 ⇒ x² – 43 – 192 = 0
⇒ (x – 16) (x +12) = 0
தூரம் குறை எண்ணாக இருக்காது ∴ x = 16
∴ P மற்றும் Q என்ற இரு கதவுகளிலிருந்து 16மீ, மற்றும் 12மீ தொலைவில் கம்பத்தை பொருத்த வேண்டும்

கேள்வி 6.
2x² எண்ணிக்கையுடைய கருப்பு தேனீக்களின் கூட்டத்திலிருந்து கூட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கமூலம் எண்ணிக்கை கொண்ட தேனீக்கள் ஒரு மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீண்டும் கூட்டத்திலிருந்து ஒன்பதில் எட்டுப் பங்கு கொண்ட தேனீக்கள் அதே மரத்துக்குச் செல்கின்றன. மீதமுள்ள இரண்டு தேனீக்கள் மணம் கமழும் மலரில் சிக்கிக் கொண்டன எனில், மொத்தத் தேனீக்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை?
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட விபரங்களின் படி,
2x² – x – \(\frac{8}{9}\) (2x²) = 2
⇒ 18x² – 9x – 16x² = 18
⇒ 2x² – 9x – 18 = 0
⇒ (x – 6) (2x + 3) = 0
∴ x = 6, \(\frac{-3}{2}\)
இங்கு x = \(\frac{-3}{2}\) இருக்க இயலாது, x = 6
∴ மொத்த தேனீக்களின் எண்ணிக்கை 72 [2x² = 2 x 6² = 72]

கேள்வி 7.
70 மீ இடைப்பட்ட தொலைவில் உள்ள இரு அரங்குகளில் இசை ஒலிக்கப்படுகிறது. முதல் அரங்கில் 4 பாடகர்களும் இரண்டாம் அரங்கில் 9 பாடகர்களும் பாடுகிறார்கள். சம ஒலி அளவில் இசையைக் கேட்க விரும்பும் ஒரு நபர் இரு அரங்கங்களுக்கு இடையே எங்கு நிற்க வேண்டும்?(குறிப்பு ஒலி அளவுகளின் விகிதமும், இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வர்க்கத்தின் விகிதமும் சமம்).
தீர்வு :
படத்திலிருந்து

⇒ 5x = 140
∴ x = 28
∴ சம ஒலி அளவில் இசையைக் கேட்க அந்த நபர் இரு அரங்கங்களில் இருந்து 28மீ.
42மீ இடையில் நிற்க வேண்டும்.

கேள்வி 8.
10 மீ பக்க அளவுள்ள சதுர வடிவ நிலத்தின் நடுவில், ஒரு சதுர மலர் மேடையும் அதனைச் சுற்றிச் சீரான அகலமுள்ள சரளை பாதையும் அமைக்கப்படுகிறது. ஒரு சதுர மீட்டர் மேடை மற்றும் பாதை அமைக்க முறையே ₹ 3 மற்றும் ₹ 4 என்றவாறு மொத்தச் செலவு ₹ 364 எனில், சரளை பாதையின் அகலம் என்ன?
தீர்வு :
சதுர மலர் மேடையின் பக்கத்தை x என்க கணக்கின் படி.
ஒரு சதுர மீட்டர் மேடை மற்றும் பாதை அமைக்க முறையே ₹ 3 மற்றும் ₹ 4 என்றவாறு மொத்தச் செலவு ₹364.
∴ 3x² + 4(10² – x²) = 364
⇒ 3x² + 4(100 – x²) = 364
⇒ 3x² + 400 – 4x² = 364
⇒ – x² = – 36
x² = 36
∴ x = 6

∴ சரளை பாதையின் அகலம் \(\frac{10-x}{2}=\frac{10-6}{2}\) = 2மீ

கேள்வி 9.
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் 25 செ.மீ மற்றும் அதன் சுற்றளவு 56 செ.மீ எனில், முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் அளவைக் காண்க.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் நீளத்தை x செ.மீ என்க.
கணக்கின் படி, சுற்றளவு = 56 செ.மீ
⇒ AB + BC + AC = 56
⇒ x + BC + 25 = 56
∴ BC = 31 – x

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (31 – x)² = 25²
= x² + 961 – 62x + x² = 625
= 2x² – 623 + 336 = 0
÷2 = x² – 31x + 168 = 0
(x – 24) (x – 7) = 0
∴ x = 24, 7
x ஆனது சிறியது ∴ x = 7செ.மீ சி: