Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.5

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

i) 73 இன் கனத்திலுள்ள ஒன்றுகளின் இலக்கம் ………………….. ஆகும்.
விடை:
7

ii) ஓர் ஈரிலக்க எண்ணின் கனத்தில் அதிகபட்சமாக ………………….. இலக்கங்கள் இருக்கும்
விடை :
6

iii) 3333 உடன் மிகச்சிறிய எண்ணான ………………….. ஐ கூட்டினால், அது ஒரு முழு கன எண்ணாகும்.
விடை:
42

iv) 540 × 50 இன் கன மூலம் ………………….. ஆகும்.
விடை :
90

v) 0.000004913 இன் கனமூலம் ………………….. ஆகும்.
விடை :
0.017

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக:

i) 24 இன் கனமானது 4 என்ற இலக்கத்தில் முடியும்
விடை:
சரி

ii) 1729 இலிருந்து 103 ஐ கழித்தால் 93 கிடைக்கும்
விடை :
சரி

iii) 0.0012 இன் கனமானது 0.000001728 ஆகும்.
விடை :
தவறு

iv) 79570 என்ற எண்ணானது ஒரு முழு கன எண்ணல்ல
விடை :
சரி

v) 250047 இன் கன மூலமானது 63 ஆகும்.
விடை :
சரி

கேள்வி 3.
1944 ஒரு முழு கன எண்ண ல்ல என நிருபிக்க
தீர்வு :

1944 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
1944 ஐ பகா காரணிகளை
மூன்றின் தொதிகளாக பிரித்தால்
3 x 3 மட்டும் மீதமாக இருக்கும்
ஆகவே அதை முழு கன எண்ணாக
ஆக்க நமக்கு மேலும் ஒரு 3 தேவை
எனவே 1944 ஆனது முழு கன
எண்ணல்ல

கேள்வி 4.
10985 ஐ எந்த மிகச் சிறிய எண்ணால் வகுக்க, ஈவு ஆனது ஒரு முழு கன எண்ணாகும் எனக் காண்க.
தீர்வு :

10985 = 13 × 13 × 13 × 5
10985 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால் முழு கன எண் கிடைக்கும்.

கேள்வி 5.
200 உடன் எந்த மிகச் சிறிய எண்ணைப் பெருக்க, ஒரு முழு கன எண் கிடைக்கும் எனக் காண்க.
தீர்வு :

200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5
200 ஐ முழு கன எண்ணாக்க ஒரு 5 தேவை.
மிகச்சிறிய எண் 5 ஆகும்.

கேள்வி 6.
24 × 36 × 80 × 25 இன் கனமூலம் காண்க.
தீர்வு :

= \(\sqrt[3]{24 \times 36 \times 80 \times 25}\)
= \(\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5}\)
= 2 × 3 × 2 × 2 × 5
= 12 × 10
= 120

கேள்வி 7.
பகாக் காரணிப்படுத்தல் மூலம் 729 மற்றும் 6859 ஆகியவற்றின். கன மூலத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

கேள்வி 8.
46656 இன் கனமூலத்தின் வர்க்க மூலம் என்ன ?
தீர்வு :

கேள்வி 9.
ஓர் வர்க்க எண்ணின் கனமானது 729 எனில், அந்த எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
அந்த எண்
x என்க
(x²)³ = 729
x⁶ = 729
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
x⁶ = 3⁶
x = 3
√3 = 1.732

கேள்வி 10.
எந்த இரு மிகச் சிறிய முழு வர்க்க எண்களைப் பெருக்கினால் ஒரு முழு கன எண் கிடைக்கும் எனக் காண்க.
தீர்வு :
1=1²
4 = 2²
9 = 3²
16 = 4²
25 = 5²
2² × 4² = 4 × 16 = 64 = 4³
∴ அந்த எண்கள் 4 மற்றும் 16.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.6

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

i) (- 1)இரட்டை முழு எண் என்பது …………………. ஆகும்
விடை :
1

ii) a ≠ 0 எனில் a⁰ …………………. ஆகும்
விடை :
20^-3

iii) 4^-3 x 5^-3 = …………………. ஆகும்
விடை :
\(\frac{-1}{128}\)

iv) (- 2)^-7 =…………………. ஆகும்
விடை :
– 243

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக.

i) 8^x = \(\frac{1}{64}\), எனில் X இன் மதிப்பு – 2
விடை :
சரி

ii) \((256)^{\frac{-1}{4}} \times 4^{2}\) இன் சுருங்கிய வடிவம் \(\frac { 1 }{ 4 }\) ஆகும்.
விடை :
தவறு

iii) படி விதியைப் பயன்படுத்தி (3⁷)^-2 = 3⁵ ஆகும்
விடை :
தவறு

iv) 2 x 10^-4 இன் திட்ட வடிவம் 0.0002 ஆகும்
விடை :
சரி

v) 123.456 இன் அறிவியல் குறியீடு 1.23456 x 10^-2 ஆகும்
விடை :
தவறு

கேள்வி 3.
மதிப்பு காண்க.
(i) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)
(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}\)
(iii) \(\left(\frac{-5}{6}\right)^{-3}\)
iv) (2^-5 x 2⁷) ÷ 2^-2
v) (2^-1 x 3^-1) ÷ 6^-2
தீர்வு :

iv) (2^-5 x 2⁷) ] 2^-2
= (2^-5-7) x 2^-2 = 2^-12 x 2^-2)

v) (2^-1 x 3^-1 ) ÷ 6^-2
= (6^-1) + 6^-2 = 6^{-1- (-2)} = 6^-1+2
= 6¹ = 6

கேள்வி 4.
மதிப்பு காண்க
(i) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{4} \times\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}\)
(ii) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} \div\left(\frac{4}{5}\right)^{-3}\) ∵ a^m x aⁿ = a^m+n]
(iii) \(2^{7} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\) [
தீர்வு :

(iii) 2⁷ x \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\)
= 2⁷ x 2³ = 2⁷⁺³ = 2¹⁰
= 1024

கேள்வி 5.
மதிப்பு காண்க (i) (5° + 6^-1) x 3²
(ii) (2^-1 x 3^-1) ÷ 6^-1
(iii) (3^-1 + 4^-2 + 5^-3)⁰
தீர்வு :
(i) (5° + 6^-1) x 3²
= \(\left(1+\frac{1}{6}\right) \times 9=\left(\frac{6+1}{6}\right) \times 9=\frac{7}{6} \times \varnothing^{3}=\frac{21}{2}\)
(ii) (2^-1 x 3^-1) ÷ 6^-1 = ((2 x 3)^-1) ÷ 6^-1 = 6^-1+1 = 6⁰
(iii) (3^-1 + 4^-2 + 5^-3)⁰ = 1

கேள்வி 6.
(i) (3²)³ x (2 x 3⁵)^-2 x (18)²
(ii) \(\frac{9^{2} \times 7^{3} \times 2^{5}}{84^{3}}\)
(iii) \(\frac{2^{8} \times 2187}{3^{5} \times 32}\)
தீர்வு :
(i) (3²)³ x (2 x 3⁵)^-2 x (18)²
= 3⁶ x (2^-2) x (3⁵)^-2 x (2 x 3²)²
= 3⁶ x 2^-2 x 3^-10 x 2² x 3⁴
= 3^{6-10 +4} x 2^{-2 + 2}
= 3⁰ x 2⁰ = 1 × 1 = 1

= 2^{-8 + 4-5} x 3^5-7
= 2^-9 x 3^-2
= \(\frac{2^{-9}}{3^{2}}\)

(iii) \(\)
\(\)
= 2^8-5 x 3^7-5 = 2³ x 3²
= 8 × 9 = 72

கேள்வி 7.
x இக்கு தீர்வு காண்க : (i) \(\frac{2^{2 x-1}}{2^{x+2}}\)
(ii) \(\frac{5^{5} \times 5^{-4} \times 5^{x}}{5^{12}}=5^{-5}\)
தீர்வு :
(i) \(\frac{2^{2 x-1}}{2^{x+2}}\) = 4
2(^{2x – 1) – (x + 2)} = 2²
2^{2x – 1 – x – 2} = 2²
2^x-3 = 2²
x – 3 = 2
x = 2 + 3
x = 5

ii) \(\frac{5^{5} \times 5^{-4} \times 5^{x}}{5^{12}}=5^{-5}\)
5^{+5-4+x- 12} = 5^-5
5^{5- 16 + x} = 5^-5
5^-11+x = 5^-5
– 11 + x = – 5
x = – 5 + 11
x = 6

கேள்வி 8.
அடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கம் செய்க : (i) 6054.321 (ii) 897.14
தீர்வு :
(i) 6054.321
= 6 × 1000 + 0 × 100 + 5 × 10 + 4 × 1 + 3 × 10^-1 + 2 × 10^-2+ 1 x 10^-3
= 6 × 10³ + 5 × 10¹ + 4 × 10⁰ + 3 × 10^-1 + 2 × 10^-2 + 1 × 10^-3
(ii) 897.14 = 8 × 10² + 9 × 10¹ + 7 × 10° + 1 × 10^-1 + 4 × 10^-2

கேள்வி 9.
எண்ணைத் திட்ட வடிவில் காண்க.
(i) 8 × 10⁴ + 7 × 10³ + 6 × 10² + 5 × 10¹ + 2 × 1 + 4 × 10^-2 + 7 × 10^-4
(ii) 5 × 10³ + 5 × 10¹ + 5 × 10^-1 + 5 × 10^-3
தீர்வு :
(i) 8 × 10⁴ +7 × 10³ + 6 × 10² + 5 × 10¹ + 2 × 1 + 4 × 10^-2 + 7 × 10^-4
= 87652.0407
(ii) 5 × 10³ + 5 × 10¹ + 5 × 10^-1 + 5 × 10^-3
= 5050.505
(iii) ஹைட்ரஜன் அணுவின் ஆரம் 2.5 x 10^-11 மீ.
தீர்வு :
2.5 × 10^-11 = 0.000000000025
= 0.000000000025

கேள்வி 10.
பின்வரும் எண்களை அறிவியல் குறியீட்டில் எழுதவும்
(i) 467800000000
(ii) 0.000001972
(iii) 1642.398
(iv) பூமியின் கன அளவு சுமார் 1,083,000,000,000 கன கிலோ மீட்டர்கள் ஆகும்.
(v) நீ ஒரு வாளியில் தூசுத் துகள்களைக் கொண்டு நிரப்பினால், முழு பூமியின் பகுதியில் வாளியிலுள்ள தூசுத் துகள்களின் எடையானது 0.0000000000000000000000016 கி.கி ஆக இருக்கும்.
தீர்வு :
(i) 467800000000 = 4.678 × 10¹¹
(ii) 0.000001972 = 1.972 × 10^-6
(iii) 1642.398 = 1.642398 × 10³
(iv) 1,083,000,000,000 = 1.083 × 10¹² கன கி.மீ
(v) 0.0000000000000000000000016 = 1.6 × 10^-24

மேற்சிந்தனைக் கணக்குகள்

கேள்வி 11.
(-4)^-1 உடன் எந்த எண்ணைப் பெருக்கினால், பெருக்கலானது 10^-1 என ஆகும்?
அ) \(\frac{2}{3}\)
ஆ) \(\frac{-2}{5}\)
இ) \(\frac{5}{2}\)
ஈ) \(\frac{-5}{2}\)
விடை :
ஆ) \(\frac{-2}{5}\)

கேள்வி 12.
(- 2)^-3 x (- 2)^-2 என்பது ………. ஆகும்
அ) \(\frac{-1}{32}\)
ஆ) \(\frac{1}{32}\)
இ) 32
ஈ) – 32
விடை :
அ) \(\frac{-1}{32}\)

கேள்வி 13.
எது சரியல்ல?
அ) \(\left(\frac{-1}{4}\right)^{2}=4^{-2}\)
ஆ) \(\left(\frac{-1}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\)
இ) \(\left(\frac{-1}{4}\right)^{2}=16^{-1}\)
ஈ) \(-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=16^{-1}\)
விடை
ஈ) \(-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=16^{-1}\)

கேள்வி 14.
\(\frac{10^{x}}{10^{-3}}=10^{9}\) எனில் x ஆனது ………. ஆகும்
அ) 4
ஆ) 5
இ) 6
ஈ) 7
விடை :
இ) 6

கேள்வி 15.
0.0000000002020 இன் அறிவியல் குறியீடு …….. ஆகும்
அ) 2.02 x 10⁹
ஆ) 2.02 x 10^-9
இ) 2.02 x 10^-8
ஈ) 2.02 x 10^-10
விடை :
ஈ) 2.02 x 10^-10

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.7

கேள்வி 1.
பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வகுத்து ஈவு மற்றும் மீதியைக் காண்க.
(i) (4x³ + 6x² – 23x + 18) ÷ (x + 3)
விடை:

ஈவு = 4x² – 6x – 5
மீதி = 33

(ii) (8y³ – 16y² + 16y – 15) ÷ (2y – 1)
விடை:

ஈவு = 4y² – 6y + 5
மீதி = -10

(iii) (8x³ – 1) ÷ (2x – 1)
விடை:

ஈவு = 4x² + 2x + 1
மீதி = 0

(iv) (-18z + 14z² + 24z³ + 18) ÷ (3z + 4)
விடை:
(24z³ + 14z² – 18z + 18) ÷ (3z + 4)

ஈவு = 8z² – 6z + 2
மீதி = 10

கேள்வி 2.
செவ்வகத்தின் பரப்பு x² + 7x +12. அதன் அகலம் x + 3 எனில், அதன் நீளம் காண்க.
விடை:
செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = x² + 7x + 12
அகலம் = x + 3
பரப்பளவு = நீளம் × அகலம்

நீளம் = (x + 4) அலகுகள்,

கேள்வி 3.
இணைகரத்தின் பரப்பளவு 25x² – 16. அதன் அடிப்பக்கம் 5x + 4 எனில், அதன் உயரம் காண்க.
விடை:
இணைகரத்தின் பரப்பளவு = அடிப்பக்கம் × உயரம்
25x² – 16 = (5x + 4 ) × உயரம்

ஈவு = 5x – 4
மீதி = 0
உயரம் = (5x – 4) அலகுகள்.

கேள்வி 4.
x + 5 விவரங்களின் கூடுதல் x³ + 125 எனில், விவரங்களின் சராசரியைக் காண்க.
விடை:

சராசரி = x² – 5x + 25
மீதித்தேற்றம்: பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) இன் படி ஒன்றோ அல்லது அதற்கு மேலாகவோ இருக்கும். மேலும் p(x) ஆனது நேரிய கோவை x-a ஆல் வகுபடும் எனில் அதன் மீதி p(a)
ஆகும். இங்கு a ஒரு மெய்யெண்.

கேள்வி 5.
தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்தி ஈவு மற்றும் மீதி காண்க.
(i) (x³ + x² – 7x – 3) ÷ (x – 3)
விடை :
P(x) = x³ + x² – 7x – 3 என்க.

ஈவு = x² + 4x + 5
மீதி = 12

(ii) (x³ + 2x² – x – 4) ÷ (x + 2)
விடை:
P(x) =x³ + 2x² – x – 4 என்க.

ஈவு = x² + 0x – 1 = x² – 1
மீதி = -2

(iii) (3x³ – 2x² + 7x – 5) ÷ (x + 3)
விடை :
P(x) = 3x³ – 2x² + 7x – 5 என்க.

ஈவு = 3x² – 11x + 40
மீதி = -125

(iv) (8x⁴ – 2x² + 6x + 5) ÷ (4x + 1)
விடை :
P(x) = 8x⁴ – 2x² + 6x + 5 என்க.

கேள்வி 6.
(8x⁴ – 2x² + 6x – 7) ஐ (2x+1) ஆல் வகுக்கக்கிடைக்கும் ஈவு 4x³ + px² – qx+3 எனில், p, q மற்றும் மீதியைக் காண்க.
விடை :
P(x) = 8x⁴ – 2x² + 6x – 7 என்க.

ஈவு = 8x³ – 4x² + 0x + 6 = 4x³ – 2x³ + 3
x² இன் கெழு – 2 = p
p = -2
x இன் கெழு 0 =q
q = 0
மீதி = -10

கேள்வி 7.
(3x³ + 11x² + 34x + 106) ஐ (x – 3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு 3x² + ax + b எனில், a, b மற்றும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
P(x) = 3x³ + 11x² + 34x + 106 என்க.

ஈவு = 3x² + 20x + 94
x இன் கெழு 20 = a
a = 20
மாறிலி 94 = b
b = 94
மீதி = 388

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.6

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x² + 10x + 24
விடை:
x² + 10x + 24
=x² + 4x + 6x + 24
= x (x + 4) + 6(x + 4)
= (x + 4) (x + 6)

(ii) z² + 4z – 12
விடை : z² + 4z – 12
= z² + 6z – 2z – 12
= z (z + 6) – 2(z + 6)
= (z + 6) (z – 2)

(iii) p² – 6p – 16
விடை:
p² – 6p – 16
= p² – 8p + 2p – 16
= p (p – 8) + 2(p – 8)
= (p – 8) (p + 2)

(iv) t² +72 – 17t
விடை : t² +72 – 17t
= t² – 8t – 9t + 72

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றை காரணிப்படுத்துக.
i) 2a² + 9a + 10
விடை:
2a² + 9a + 10
= 2a² + 4a + 5a + 10
= 2a (a + 2) + 5(a +2)
= (a + 2) (2a +5)

(ii) 5x² – 29xy – 42y²
விடை:
5x² – 29xy – 42y²
= 5x² – 35xy + 6xy – 42y²
= 5x (x – 7y) + 6y (x – 7y)
= (5x + 6y) (x – 7y)

(iii) 8x² – 18x + 9
விடை:
8x² – 18x + 9
(2x – 3) (4x – 3)

(iv) 6x² + 16xy + 8y²
விடை:
6x² + 16xy + 8y²
= 6x² + 12xy +4xy + 8y²
= 3x (2x + 4y) + 2y (2x + 4y)
= (3x + 2y) (2x + 4y)

(v) 12x² + 36x²y + 27x²y²
விடை:
12x² + 36x²y + 27x²y²
= 3x² (4 + 12y + 9y²)
= 3x² (9y² + 12y + 4)
= 3x² (9y² + 6y + 6y + 4)
= 3x² (3y (3y + 2) + 2 (3y + 2)
= 3x² (3y + 2) (3y + 2)

(vi) (a + b)² + 9(a + b) + 18
விடை:
(a + b)² + 9(a + b) = 18
a + b = x என்க.
x² + 9x + 18
x² + 6x + 3x + 18
x (x + 6) + 3 (x + 6)
(x + 3) (x + 6)
(a + b + 3) (a + b + 6)

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றை காரணிப்படுத்துக.
(i) (p – q)² – 6(p – q) – 16
விடை:
(p – q)² – 6(p – q) – 16
p – q = y என்க.
= y² – 6y – 16
= y² – 8y + 2y – 16
= y (y – 8) + 2(y – 8)
= (y – 8) (y + 2)
= (p – q – 8) (p – q + 2)

(ii) m² + 2mn – 24n²
விடை:
m² + 2mn – 24n²
m² + 6mn – 4mn – 24n²
m (m + 6n) – 4n (m + 6n)
(m – 4n) (m + 6n)

(iii) √5 a² + 2a – 3√5
விடை:
√5a² + 2a – 3√5
= √5a² + 5a – 3a – 3√5
= a√5 (a + √5 )-3(a + √5)
= (a√5 – 3) (a + √5)

(iv) a⁴ – 3a² + 2
விடை:
a⁴ – 3a² + 2
= a⁴ – 2a² – a² + 2.
= a² (a² – 2) -1 (a² – 2)
= (a² – 1) (a² – 2)
= (a – 1) (a + 1) (a² – 2)

(v) 8m³ – 2m²n – 15mn²
விடை:
8m³ – 2m²n – 15mn²
= m (8m² – 2mn – 15n²)
= m (8m² – 12mn + 10mn – 15n²)
= m (4m (2m – 3n) + 5n (2m – 3n)
= m (4m + 5n) (2m – 3n)

(vi) \(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x y}\)
விடை:
\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x y}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.5

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
i) 2a² + 4a²b + 8a²c
விடை:
2a² + 4a²b + 8a²c
= 2a² (1 + 2b + 4c)

(ii) ab – ac – mb + mc
விடை:
ab – ac – mb + mc
= a(b – c) – m(b – c)
= (a – m) (b – c)

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x² + 4x +4
விடை:
x² + 4x + 4
= x² + 2x + 2x + 4
= x (x + 2) + 2 (x + 2)
= (x + 2) (x + 2)

(ii) 3a² – 24ab + 48b²
விடை:
3a² – 24ab + 48b²
= 3(a² – 8ab + 16b²)
= 3(a² – 4ab – 4ab + 16²)
= 3(a(a – 4b) – 4b (a – 4b))
= 3 (a – 4b) (a – 4b)
= 3 (a – 4b)²

(iii) x⁵-16x
விடை: x⁵ – 16x
= x(x⁴ – 16)
= x((x²)² – (4)²
= x(x² + 4) (x² – 4)
= x (x² + 4) (x² – 2²)
= x (x⁴ + 4) (x + 2) (x – 2)

(iv) m²+ \(\frac{1}{m^{2}}\) – 23
விடை:

(v) 6 – 216x²
விடை:
6 – 216x²
= 6 (1 – 36x²)
= 6 (1² – (6x)²)
= 6 (1 – 6x) (1 + 6x)

(vi) a² + \(\frac{1}{a^{2}}\) -18
விடை:

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
i) 4x² + 9y² + 25z² + 12xy + 30yz + 20xz
விடை:
4x² + 9y² + 25z² + 12xy + 30yz + 20xz
= (2x)² + (3y)² + (5z)² + 2 × 2x × 3y +2 × 3y × 5z + 2 × 5z × 2x
= (2x + 3y + 5z)²

(ii) 25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
விடை:
25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
விடை:
25x² + 4y² + 9z² – 20xy + 12yz – 30xz
= (-5x)² + (2y)² + (3z)² + 2 × (-5x) × 2y + (2 × 2y × 3z) + 2 × 3z × – 5x
= (-5x + 2y + 3z)²
= (5x – 2y – 3z)²

கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) 8x³ + 125y³
விடை:
8x³ + 125y³
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)
= (2x)³ + (5y)³
= (2x + 5y)³ – 3 × 2x × 5y (2x + 5y)
= (2x + 5y)³ – 30xy (2x + 5y)
(அல்லது)

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
8x³ + 125y³
= (2x)³ + (5y)³
= (2x + 5y) (2x)² – 2x × 5y + (5y)²
= (2x + 5y) (4x² – 10xy + 25y²)

(ii) 27x³ – 8y³
விடை:
27x³ – 8y³
= (3x)³ – (2y)³
= (3x – 2y) (3x)² + 3x × 2y + (2y)²)
– = (3x – 2y) (9x² + 6xy + 4y)²

(iii) a⁶ – 64
விடை :
a⁶ – 64
= a⁶ – 2⁶
= (a + 2) (a – 2) (a² – 2a + 4) (a² + 2a + 4)

கேள்வி 5.
பின்வருவனற்றைக் காரணிப்படுத்துக.
(i) x³ + 8y³ + 6xy -1
விடை:
x³ + 8y³ + 6xy – 1
= x³ + (2y)³ – (1)³ + 6xy
= (x + 2y – 1) (x² +4y² + 1 – 2xy + 2y +x)

(ii) l³ – 8m³ – 27n³ – 18lmn
விடை:
l³– 8m³ – 27n³ – 18lmn
= (l³ + (-2m)³ + (-3n)³ – 3 × l × -2m × -3n
= (l – 2m – 3n) (l² + 4m² + 9n² + 2lm – 6mn + 3nl)
= t (t – 8) – 9(t – 8)
= (t – 8) (t – 9)

(v) y² – 16y – 80
விடை: y² – 16y – 80
= y² – 20y + 4y – 80
= y (y – 20) + 4(y – 20)
= (y + 4) (y – 20)

(vi) a² + 10a – 600
விடை:
a² + 10a – 600
= a² + 30a – 20a – 600
= a (a + 30) – 20(a+ 30)
= (a – 20) (a + 30)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.4

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

i) 77 இன் வர்க்கத்திலுள்ள ஒன்றுகள் இலக்கமானது ………………… ஆகும்
விடை :
9

ii) 242 மற்றும் 252 ஆகியவற்றிற்கிடையே …………… எண்ணிக்கையிலான வர்க்கமற்ற எண்கள் உள்ளன
விடை :
48

iii) 300 இக்கும் 500 இக்கும் இடையே ………………… முழு வர்க்க எண்கள் உள்ளன
விடை :
5

iv) ஓர் எண்ணில் 5 அல்லது 6 இலக்கங்கள் இருப்பின், அந்த எண்ணின் வர்க்கமூலத்தில் ……… இலக்கங்கள் இருக்கும்.
விடை :
3

v) \(\sqrt{180}\) இன் மதிப்பானது ……… மற்றும் …… என்ற முழுக்களிடையே இருக்கும்
விடை :
13,14

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக :

i) ஒரு வர்க்க எண்ணானது 6 இல் முடியும் எனில், அதன் வர்க்கமூலமானது ஒன்றாம் இலக்கமாக எண் 6 ஐப் பெற்றிருக்கும்.
விடை :
சரி

ii) ஒரு வர்க்க எண்ணானது கடைசியில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களைப் பெற்றிருக்காது.
விடை :
சரி

iii) 961000 இன் வர்க்கத்தில் உள்ள பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 9 ஆகும்.
விடை :
தவறு

iv) 75 இன் வர்க்கமானது 4925 ஆகும்
விடை :
தவறு

v) 225 இன் வர்க்க மூலம் 15 ஆகும்
விடை :
சரி

கேள்வி 3.
பின்வரும் எண்களின் வர்க்கம் காண்க
(i) 17 (ii) 203 (iii) 1098
தீர்வு :
(i) 17² = 289
(ii) 203² = 41209
(iii) 1098² = 1205604

கேள்வி 4.
பின்வரும் எண்களில் ஒவ்வொன்றும் முழு வர்க்கமா என ஆராய்க.
(i) 725
(ii) 190
(iii) 841
(iv) 1089
தீர்வு :
(i) 725 = 5 x 5 x 29

= 5² x 29
இரண்டாவது பகாக் காரணியான 29 க்கு சோடி இல்லை
எனவே 725 ஆனது ஒரு முழுவர்க்க எண் அல்ல

(ii) 190 = 2 x 5 x 19
பகக் காரணிகளான 2,5,29
க்கு சோடிகள் இல்லை எனவே 190 ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் அல்ல

(iii) 841 = 29 x 29
= 29²

841 என்பது முழுவர்க்க எண் ஆகும்.

(iv) 1089 = 3 x 3 x 11 x 11
= 3² x 11²
எனவே 1089 என்பது
முழுவர்க்க எண் ஆகும்

கேள்வி 5.
பகாக் காரணிப்படுத்துதல் முறையில் வர்க்கமூலத்தைக் காண்க.
(i) 144
(ii) 256
(iii) 784
(iv) 1156
(v) 4761
(vi) 9025
தீர்வு :
\(\sqrt{144}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}\)
= 2 x 2 x 3 = 12

(ii) \(\sqrt{256}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\)
= 2 x 2 x 2 x 2
= 16

(iii) \(\sqrt{784}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7}\)
= 2 x 2 x 7
= 28

(iv) \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7}\)
= 2 x 17
= 34

(v) \(\sqrt{4761}=\sqrt{3 \times 3 \times 23 \times 23}\)
= 3 x 23 = 69

(vi) \(\sqrt{9025}=\sqrt{5 \times 5 \times 19 \times 19}\)
= 5 x 19 = 95

கேள்வி 6.
நீள் வகுத்தல் முறையில் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
i) 1764
ii) 6889
iii) 11025
iv) 17956
v) 418609
தீர்வு :

கேள்வி 7.
பின்வரும் எண்களின் வர்க்க மூலங்களின் தோராய மதிப்பை, அருகிலுள்ள முழு எண்ணிற்கு மதிப்பிடவும்:
i) </440 ii) 1/800 iii) 1020
தீர்வு :
(i) \(\sqrt{440} \simeq 21\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 21 ஆகும்

ii) \(\sqrt{800}=28\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 28 ஆகும்

iii) \(\sqrt{1020}=32\)
அருகிலுள்ள முழு எண் 32 ஆகும்

கேள்வி 8.
பின்வரும் தசம எண்கள் மற்றும் பின்னகளின் வர்க்க மூலத்தைக் காண்க.
i) 2.89
ii) 67.24
iii) 2.0164
iv) \(\frac{144}{225}\)
v) \(7 \frac{18}{49}\)
தீர்வு :

கேள்வி 9.
6666 இலிருந்து எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கழித்தால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும் எனக் காண்க. அவ்வாறு கிடைத்த முழு வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் காண்க.
தீர்வு :

6666லிருந்து 105 ஐக் கழித்தால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும்.
∴ 6666 – 105 = 6561 என்பது முழு வர்க்க எண். அவற்றின் வர்க்க மூலம் 81 ஆகும்.

கேள்வி 10.
1800 ஐ எந்த மிகச் சிறிய எண்ணால் பெருக்கினால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாகும் எனக் காண்க. அவ்வாறு கிடைத்த முழு வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் காண்க.
தீர்வு :
1800 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 3 x 3
= 2² x 5² x 3² x 2
பகா காரணி 2 க்கு சோடி இல்லை 1800 ஐ 2 ஆல் பெருக்கவும்
1800 x 2 = 3600
= 2² x 2² x 5² x 3²
= 6² x 10² = 602
∴ \(\sqrt{3600}\) = 60

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 11.
43இன் வர்க்க மானது …….. என்ற இலக்கத்தில் முடியும்.
(அ) 9
(ஆ) 6
(இ) 4
(ஈ) 3
விடை :
(அ) 9

கேள்வி 12.
24² உடன் …….. ஐக் கூட்டினால் 25² ஐ பெறலாம்.
(அ) 4²
(ஆ) 5²
(இ) 6²
(ஈ) 7²
விடை :
(ஈ) 7²

கேள்வி 13.
\(\sqrt{48}\) இன் தோராய மதிப்பானது ………………. இக்குச் சமம்
(அ) 5
(ஆ) 6
(இ) 7
(ஈ) 8
விடை :
(இ) 7

கேள்வி 14.
\(\sqrt{128}-\sqrt{98}+\sqrt{18}=\)
(அ) \(\sqrt{2}\)
(ஆ) \(\sqrt{8}\)
(இ) \(\sqrt{48}\)
(ஈ) \(\sqrt{32}\)
விடை :
(ஈ) \(\sqrt{32}\)

கேள்வி 15.
123454321 இன் வர்க்கமூலத்திலுள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையானது ……………… ஆகும்.
(அ) 4
(ஆ) 5
(இ) 6
(ஈ) 7
விடை :
(ஆ) 5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பவற்றை விரிவாக்குக.
(i) (2x +3y + 4z)²
(ii) (-p + 2q + 3r)²
(iii) (2p + 3) (2p – 4) (2p – 5)
(iv) (3a + 1) (3a – 2) (3a + 4)
விடை:
(i) (2x + 3y + 4z)²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(2x + 3y + 4z)²
= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2 × 2x × 3y + 2 × 3y
× 4z + 2 × 4z × 2x
= 4x² + 9y² + 16z² + 12xy + 24yz + 16zx

(ii) (-p + 2q + 3r)²
= (-p)² + (2q)² + (3r)² + 2 × -p × 2q + 2 × 2q
× 3r + 2 × 3r × -p
= p² + 4q² + 9r² – 4pq + 12qr – 6rp

(iii) (2p + 3) (2p – 4) (2p – 5)
= (2p)³ + (3 – 4 – 5) (2p)² + (3 × (-4) + -4 × -5 + -5 × 3 ) 2p + 3 × -4 × -5
= 8p³ – 24p² + (-12 + 20 – 15) 2p + 60
= 8p³ – 24p² -7 × 2p + 60
= 8p³ – 24p² – 14p + 60

(iv) (3a + 1) (3a – 2) (3a + 4)
= (3a)³ + (4 – 2 + 4) (3a)² + 1 × -2 + (-2) × 4 + 4 × (1) 3a + 1 × -2 4
= 27a³ + 54a² + (-2 – 8 + 4) 3a – 8
= 27a³ + 54a² – 18a – 8)

கேள்வி 2.
முழுவதும் விரிவாக்காமல் x² இன் கெழு , x இன் கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளை இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திக் காண்க.
(i) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
(ii) (2x + 3) (2x – 5) (2x – 6)
விடை :
(i) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
x³ + 18x² + 107x + 210
x² இன் கெழு = 18
x இன் கெழு = 107
மாறிலி = 210

(ii) (2x + 3) (2x – 5) (2x – 6)
= (2x)³ + (3 – 5 – 6) (2x)² + (3 × -5 + (-5 × -6) + (-6 × 3) 2x + 3 × -5 × -6
= 8x³ – 32x² + (-15 + 30 – 18) 2x + 90
= 8x³ – 32x² – 6x + 90
x ²இன் கெழு = -32
x இன் கெழு = -6
மாறிலி = 90

கேள்வி 3.
(x + a) (x + b) (x + c) = x³ + 14x² + 59x + 70 எனில், கீழ்க்காண்பனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
(i) a + b + c
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
(iii) a² + b² + c²
(iv) \(\frac{a}{b c}+\frac{b}{a c}+\frac{c}{a b}\)
விடை :
(x + a) (x + b) (x + c)
= x³ + (a + b + c) x² + (ab + bc + ca) x + abc a + b + c = 14
= x³ + 14x² + 59x + abc
x² இன் கெழு = 14
x இன் கெழு = 59
மாறிலி = abc
(i) a + b + c = 14
(ii) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
(iii) \(\frac{b a+b c+a c}{a b c}=\frac{59}{70}\)

(iii) a² + b² + c² + 2ab + 2ca + 2bc = (a + b + c)²
a² + b² + c² + 2ab + 2ca + 2bc = (a + b + c)²
a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2ab – 2bc – 2ca (14)² – 2(ab + bc + ca) = (a² + b² + c²)
196 – 2(59) = a² + b² +c²
196 – 118 = a² + b² + c²
a² + b² + c² = 78

(iv) = a(a²cb) + b(bcab) + c(bc × ac)/(abc)²
= a³cb + b³ca + c³ab / (abc)²
= a²(abc) + b²(abc) + c²(abc) / (abc)²
\(=\frac{a b c\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)}{(a b c)(a b c)}\)
\(=\frac{78}{70}\)

கேள்வி 4.
விரிவுப்படுத்துக.
(3a – 4b)³
(a – b)3 = a³ – b³ – 3ab (a – b)
(3a – 4b)³ = (3a)³ – (4b)3 – 3 x 3a × 4b (3a – 4b)
= 27a³ – 64b³ – 36ab (3a – 4b)
27a³ – 64b³ – 108a²b + 144ab²

கேள்வி 5.
இயற்கணித முற்றொருமைகளைப்பயன்படுத்திப் பின்வருவனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
(98)³ = (100 – 2)³
(100 – 2)³ = (100)³ – (2)³ – 3 × 100 × 2 (100 – 2)
= 1000000 – 8 – 60000 + 1200
= 1001200 – 60008
= 941192

(ii) (1001)³ = (1000 + 1)³
= (1000)³ + (1)³ + 3 × 1000 × (1000 + 1 )
= 1000000000 + 1 + 3000000 + 3000
= 1003003001

கேள்வி 6.
(x + y + z) = 9 மற்றும் (xy + yz + zx) = 26 எனில்,x² + y² + z² இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
(9)² = x² + y² + z² + 2(26)
81 = x² + y² + z² + 52
81 – 52 = x² + y² + z²
x² + y² + z² = 29

கேள்வி 7.
3a + 4b = 10 மற்றும் ab = 2 எனில்,27a³ + 64b³ இன் மதிப்புக் காண்க
விடை:
27a³ + 64b³ = (3a)³ + (4b)³
(3a)³ + (4b)³ = (3a + 4b)³ – 3 × 3a × 4b(3a + 4b)
= (10)³ – 36ab × (3a + 4b)
= 1000 – 36 × 2 × 10
= 1000 – 720
= 280

கேள்வி 8.
x – y = 5 மற்றும் xy = 14 எனில், x³ – y³ இன் மதிப்புக் காண்க.
விடை:
x³ – y³ = (x – y)³ + 3 × x × y (x – y)
= (5)³ + 3xy (x – y)
= 125 + 3 × 14 × 5
= 125 + 210
= 335

கேள்வி 9.
(a + \(\frac{1}{a}\)) = G எனில், a³+ \(\frac{1}{\mathrm{a}^{3}}\) இன் மதிப்புக் காண்க.
விடை:

கேள்வி 10.
(x² + \(\frac{1}{x^{2}}\)) = 23 எனில், x + \(\frac{1}{x}\) மற்றும்
= x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\)ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
விடை:

கேள்வி 11.
(y – \(\frac{1}{y}\))³ = 27 எனல், y³ – \(\frac{1}{x^{3}}\) இன் மதிப்பு காண்க.
விடை:

கேள்வி 12.
சுருக்குக.
(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² + 16c² – 6ab – 12bc-8ca)
(ii) (x – 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz – 3xz)
விடை:
(i) (2a + 3b + 4c) (4a² + 9b² +16c² – 6ab – 12bc – 8ca)
a³ + b³ + c³ – 3abc
= (2a)³ + (3b)³ + (4c)³ – 3 × 2a × 3b × 4c
= 8a³ +27b³ + 64c³ – 72abc

(ii) (x – 2y + 3z) (x² + 4y² + 9z² + 2xy + 6yz – 3xz)
a³ + b³ + c³ – 3abc
= (x)³ = (-2y)³ + (3z)³ – 3 × x × -2y × 3z
= x³ – 8y³ + 27z³ + 18xyz

கேள்வி 13.
முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க.
(i) 7³ – 10³ + 3³
(ii) 729 – 216 – 27
(iii) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
(iv) 1 + \(\frac{1}{8}-\frac{27}{8}\)
விடை:
(i) 7³ – 10³ + 3³
x = 7
y = -10
z = 3 என்க
x + y + z = 7 – 10 + 3
= 0
x + y + z = 0 எனில்
x³ + y³ + Z³ = 3xyz
7³ – 10³ + 3 = 3 × 7 × -10 × 3
= -630

(ii) 729 – 216 – 27
= 9³ – 6³ – 3³
x = 9, y = -6, z = -3 என்க
x + y + z = 9 – 6 – 3
= 0
x + y + z = 0 எனில் x³ + y³ + z³ = 3xyz
9³ – 6³ – 3³ = 3 × 9 × -6 × -3
= 486

கேள்வி 14.
2x – 3y – 4z = 0 எனில், 8x³ – 27y³ – 64z³) ஐக்காண்க.
விடை:
8x³ – 27y³ – 64z³
=(2x)³ – (3y³ – (4z)³
2x – 3y – 4z = 0 எனில்,
8x³ – 27y³ – 64z³
= 3 × 2x × -3y × -4z
= 72xyz

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
\(\frac{-5}{7}\) மற்றும் \(\frac{8}{9}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான அடைவுப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
a = \(\frac{-5}{7}\), b = \(\frac{8}{9}\) என்க
a + b = \(\frac{-5}{7}+\frac{8}{9}=\frac{-45+56}{63}=\frac{11}{63}\) ∈ Q
ab = \(\frac{-5}{7} \times \frac{8}{9}=\frac{-40}{63} \mathrm{Q}\)

கேள்வி 2.
\(\frac{-10}{11}\) மற்றும் \(\frac{-8}{33}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கானப் பரிமாற்றுப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
கூட்டல் பரிமாற்றுப் பண்பு
a + b = b + a
இடப்பக்கம் = a+b =
\(\left(\frac{-10}{11}\right)+\left(\frac{-8}{33}\right)=\frac{(-30)+(-8)}{33}=\frac{-38}{33}\)
வலப்பக்கம் = b+a= \(\left(\frac{-8}{33}\right)+\left(\frac{-10}{11}\right)=\frac{(-8)+(-30)}{33}=\frac{-38}{33}\)
பெருக்கல் பரிமாற்றப் பண்பு. இடப்பக்கம்
a x b = \(\left(\frac{-10}{11}\right) \times\left(\frac{-8}{33}\right)=\frac{80}{363}\)
வலப்பக்கம்
= b x a = \(\left(\frac{-8}{33}\right) \times\left(\frac{-10}{11}\right)=\frac{80}{363}\)
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 3.
\(\frac{-7}{9}, \frac{5}{6}\) மற்றும் \(\frac{-4}{3}\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குக் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கானச் சேர்ப்புப் பண்பினைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
a = \(\frac{-7}{9}\) b = \(\frac{5}{6}\) மற்றும் C = \(\frac{-4}{3}\)
கூட்டல் சேர்ப்பு பண்பு :
a + ( b + c ) = (a + b) + c

(1), (2) லிருந்து a+(b+c)=(a+b) + c நிரூபிக்கப்பட்டது.
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்
பெருக்கல் சேர்ப்பு பண்பு :
a x (b x c) = (a x b) x c
இடப்பக்கம்

வலப்பக்கம்

(1), (2) லிருந்து
a x (b x c) = (a x b) x c நிரூபிக்கப்பட்டது இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 4.
விகிதமுறு எண்களுக்கான a x (b + c)= (axb) +(a x c) என்ற பங்கீட்டுப் பண்பினை a = \(\frac { -1 }{ 2 }\)
b = \(\frac { 2 }{ 3 }\), c = \(\frac { -5 }{ 6 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்கு சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு :
பங்கீட்டுப் பண்பு
a x (b+c) = (a x b) + (a x c)
இடப்பக்கம் ⇒ b + c
\(\frac{2}{3}+\frac{(-5)}{6}=\frac{4+(-5)}{6}=\frac{-1}{6}\)
வலப்பக்கம் a x (b+c)
= \(\left(\frac{-1}{2}\right) \times\left(\frac{-1}{6}\right)=\frac{1}{12}\)
வலப்பக்கம்

இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 5.
கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான சமனிப் பண்பினை \(\frac { 15 }{ 9 }\) மற்றும் \(\frac { -18 }{ 25 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குச் சரிபார்க்க வும்.
தீர்வு :
a = \(\frac { 15 }{ 9 }\), b = \(\frac { -18 }{ 25 }\)
கூட்டலுக்கான சமனிப் பண்பு
0 + a = a + 0 = a
இடப்பக்கம்
= 0 + a = 0 + \(\frac { 15 }{ 9 }\) = \(\frac { 15 }{ 9 }\) = a
வலப்பக்கம்
= a + 0 = \(\frac { 15 }{ 9 }\) + 0 = \(\frac { 15 }{ 9 }\) = a ……. (2)
(1), (2) லிருந்து
0 + a = a + 0 = a
0 + b = b + 0 = b
இடப்பக்கம்
= 0 + b = 0 + ( \(\left(\frac{-18}{25}\right)=\frac{-18}{25}\) ) = b ……………… (1)
வலப்பக்கம்
= b + 0 = \(\left(\frac{-18}{25}\right)+0=\frac{-18}{25}\) = b ……………. (2)
(1) & (2) லிருந்து 0 + b = b + 0 = b
பெருக்கலுக்கான சமனிப்பண்பு :
1 x a = a x 1 =a
இடப்பக்கம் = 1 x a = 1 x \(\frac{15}{19}=\frac{15}{19}\) = a ….. (1)
வலப்பக்கம் = a x 1 = \(\) = a ………(2)
(1) & (2) லிருந்து 1 x a = a x 1 = a
1 x b = b x 1 = b
இடப்பக்கம்
1 x b = 1 x \(\left(\frac{-18}{25}\right)=\frac{-18}{25}\) = b …………………(1)
வலப்பக்கம்
= b x 1 = \(\left(\frac{-18}{25}\right) \times 1=\frac{-18}{25}\) = b ……………….(2)
(1) & (2) லிருந்து
1 x b = b x 1 = b

கேள்வி 6.
கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான நேர்மாறு பண்பினை \(\frac { -7 }{ 17 }\) மற்றும் \(\frac { 17 }{ 27 }\) ஆகிய விகிதமுறு எண்களுக்குச் சரிபார்க்கவும்.
கூட்டலுக்கான நேர்மாறு பண்பு :
தீர்வு :
a + (-a) = 0 = (-a) + a
a = \(\frac { -7 }{ 17 }\) b = \(\frac { 17 }{ 27 }\)
இடப்பக்கம் = a + (-a)
\(\left(\frac{-7}{17}\right)+\left(\frac{7}{17}\right)=\frac{-7+7}{17}=\frac{0}{17}\) = 0 ….(1)

(1) & (2) லிருந்து a + (-a) = 0 = (-a) + a
(ii) இடப்பக்கம் = b + (-b)

(1) & (2) லிருந்து b + (-b) = 0 = (-b) + b
பெருக்கலுக்கான நேர்மாறு பண்பு :
a x \(\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\) x a = 1
(i) இடப்பக்கம் =

(1) & (2) லிருந்து
a x \(\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\) x a = 1

(ii) இடப்பக்கம் =


(1) & (2) லிருந்து
b x \(\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\) x b = 1

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 7.
விகிதமுறு எண்களுக்கு, ………. என்ற எண்ணால் அடைவுப் பண்பானது வகுத்தலுக்கு உண்மையாகாது.
(அ) 1
(ஆ)-1
(இ) 0
(ஈ) 1/2
விடை :
(இ) 0

கேள்வி 8.
\(\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right) \neq\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right)-\frac{5}{6}\) என்பது, கழித்தலானது, விகிதமுறு எண்களின் ……… பண்பினை நிறைவு செய்யாது என்பதை விளக்குகிறது.
(அ) பரிமாற்று
(ஆ) அடைவு
(இ) பங்கீட்டு
(ஈ) சேர்ப்பு
விடை :
(ஈ) சேர்ப்பு

கேள்வி 9.
பின்வருவனவற்றுள் எது கூட்டலின் நேர்மாறுப் பண்பினை விளக்குகிறது?
\(\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\) = 0
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{8}+0=\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{8}-0=\frac{1}{8}\)
விடை :
\(\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\) = 0

கேள்வி 10.
\(\frac{3}{4} \times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}-\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}\) என்பது, பெருக்கலானது …………….. இன் மீது பங்கீடு செய்கிறது என்பதை
விளக்குகிறது.
(அ) கூட்டல்
(ஆ) கழித்தல்
(இ) பெருக்கல்
(ஈ) வகுத்தல்
விடை :
(ஆ) கழித்தல்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 1 எண்கள் Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 1 எண்கள் Ex 1.2

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக :
(i) \(\frac{-5}{12}+\frac{7}{15}\) இன் மதிப்பு ……… ஆகும்
(ii) \(\frac{16}{-30}, \frac{-8}{15}\) இன் மதிப்பு ……….. ஆகும்
(iii) \(\frac{-18}{36}, \frac{-20}{44}\) இன் மதிப்பு ………… ஆகும்
(iv) …………… என்ற விகிதமுறு எண்ணிற்கு தலைகீழி கிடையாது.
(v) -1 இன் பெருக்கல் நேர்மாறு ………….. ஆகும்.
விடை :
(i) \(\frac{1}{20}\)
(ii) 1
(iii) 1
(iv) 0
(v) -1

கேள்வி 2.
சரியா? தவறா? எனக் கூறுக. –
(i) எல்லா விகிதமுறு எண்களும் ஒரு கூட்டல் தலைகீழியைப் பெற்றிருக்கும்.
(ii) 0 மற்றும் -1 ஆகியன அவற்றின் கூட்டல் நேர்மாறுகளுக்குச் சமமான விகிதமுறு எண்கள் ஆகும்.
(iii) \(\frac{-11}{-17}\) இன் கூட்டல் நேர்மாறு \(\frac{11}{17}\) ஆகும்
(iv) தன்னைத்தானே தலைகீழியாகக் கொண்ட விகிதமுறு எண் -1 ஆகும்.
(v) அனைத்து விகிதமுறு எண்களுக்கும் பெருக்கல் நேர்மாறு உண்டு.
விடை :
(i) சரி
(ii) தவறு
(iii) தவறு
(iv) சரி
(v) தவறு

கேள்வி 3.
கூடுதலைக் காண்க
(i) \(\frac{7}{5}+\frac{3}{5}\)
(ii) \(\frac{7}{5}+\frac{5}{7}\)
(iii) \(\frac{6}{5}+\left(\frac{-14}{15}\right)\)
(iv) \(-4 \frac{2}{3}+7 \frac{5}{12}\)
விடை :

கேள்வி 4.
\(\frac{-17}{11}\) இலிருந்து \(\frac{-8}{44}\) ஐக் கழிக்கவும்.
தீர்வு :

கேள்வி 5.
மதிப்பு காண்க.
(i) \(\frac{9}{132} \times \frac{-11}{3}\)
(ii) \(\frac{-7}{27} \times \frac{24}{-35}\)
தீர்வு :
(i) \(\frac{9}{132} \times \frac{-11}{3}\)
= \(\frac{-1}{4}\)
(ii) \(\frac{-7}{27} \times \frac{24}{-35}\)
= \(\frac{8}{45}\)

கேள்வி 6.
வகுக்கவும் (i) \(\frac{-21}{5}\) ஜ \(\frac{-7}{-10}\) ஆல்
(ii) \(\frac{-3}{-13}\) ஜ – 3 ஆல் (iii) -2 ஜ \(\frac{-6}{15}\)ஆல்
தீர்வு :

கேள்வி 7.
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\) , b = \(\frac { 2 }{ 3 }\), (ii) a = \(\frac { -3 }{ 5 }\) ,b = \(\frac { 2 }{ 15 }\) எனில் (a + b) = (a – b) ஐக் காண்க.
தீர்வு :
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\) , b = \(\frac { 2 }{ 3 }\)

(ii) a = \(\frac { -3 }{ 5 }\) ,b = \(\frac { 2 }{ 15 }\)

கேள்வி 8.
\(1 / 2+(3 / 2-2 / 5) \div 3 / 10 \times 3\) ஐச் சுருக்கி, அது 11 மற்றும் 12க்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு விகிதமுறு எண் என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு :
im 2
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை சுருக்கும் போது 11.5 கிடைப்பதால் அது 11 மற்றும் 12க்கு இடையில் அமையும்.

கேள்வி 9.
சுருக்குக.
(i) \(\left[\frac{11}{8} \times\left(\frac{-6}{33}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{5} \div \frac{9}{20}\right)\right]-\left[\frac{4}{7} \times \frac{-7}{5}\right]\)
தீர்வு :

(ii) \(\left[\frac{4}{3} \div\left(\frac{8}{-7}\right)\right]-\left[\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}\right]+\left[\frac{4}{3} \times\left(\frac{-1}{4}\right)\right]

கேள்வி 10.
ஒரு மாணவர் ஓர் எண்ணை [latex]\frac { 4 }{ 3 }\) ஆல் வகுப்பதற்குப் பதிலாக \(\frac { 4 }{ 3 }\) ஆல் பெருக்கி சரியான விடையைக் காட்டிலும் 70ஐக் கூடுதலாகப் பெற்றார். அந்த எண்ணைக் காண்க. தீர்வு :

அந்த எண் 120

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 11.
\(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\left(\frac{-7}{12}\right)\) இன் திட்ட வடிவம் …………………….. ஆகும்.
(அ) 1
(ஆ) \(\frac{-1}{2}\)
(இ) \(\frac{-1}{12}\)
(ஈ) \(\frac{1}{22}\)
விடை :
(அ) 1

கேள்வி 12.
\(\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{2}\) = ………………..
(அ) \(\frac{15}{64}\)
(ஆ) 1
(இ) \(\frac{5}{8}\)
(ஈ) \(\frac{1}{16}\)
விடை :
(இ) \(\frac{5}{8}\)

கேள்வி 13.
\(\frac{3}{4} \div\left(\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\right)\) = …………………
(அ) \(\frac{13}{10}\)
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)
(இ) \(\frac{3}{2}\)
(ஈ) \(\frac{5}{8}\)
விடை :
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)

கேள்வி 14.
\(\frac{3}{4} \times\left(\frac{5}{8} \div \frac{1}{2}\right)\) = ………………………….
(அ) \(\frac{5}{8}\)
(ஆ) \(\frac{2}{3}\)
(இ) \(\frac{15}{32}\)
(ஈ) \(\frac{15}{16}\)
விடை :
(ஈ) \(\frac{15}{16}\)

கேள்வி 15.
இவற்றுள் எந்த விகிதமுறு எண்ணிற்கு கூட்டல் நேர்மாறு உள்ளது?
(அ) 7
(ஆ) \(\frac{-5}{7}\)
(இ) 10
(ஈ) இவை அனைத்திற்கும்
விடை :
(ஈ) இவை அனைத்திற்கும்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.3

கேள்வி 1.
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை g(x) = x – 2 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மடங்கா எனச் சரிபார்க்க.
(i) p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3; g(x) = x – 2
விடை:
p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3
g(x) = x – 2 எனில் x = 2
p(2) = (2)³ – 5 × (2)² + 4 × 2 – 3
= 8 – 5 × 4 + 8 – 3
= 16 – 23
= -7 ≠ 0
p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவை g(x) இன் மடங்கு அல்ல.

கேள்வி 2.
மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, p(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
i. p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1; g(x) = x + 1
ii. p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3;g(x) = 2x – 1
iii. p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50; g(x) = x – 3
விடை:
(i) p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1 g(x) = x + 1               g(x) = 0
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – 4(-1) – 1                        x + 1 = 0
=-1 – 2(1) + 4 – 1                                              x = -1
= -1 – 2 + 4 – 1                                                = 0
= 0
p(-1) = 0
மீதி = o

(ii) p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3
விடை:

(iii) p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50
p(3) = (3)³ – 3 × (3)² + 4 × 3 + 50
= 27 – 3 × 9 + 12 + 50
= 27 – 27 + 12 + 50
= 62
மீதி = 62

கேள்வி 3.
3x³ – 4x² + 7x – 5 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x + 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 3x³ – 4x² + 7x – 5 என்க
p(-3) = 3(-3)³ – 4 × (-3)² + 7 × (-3) – 5
= 3 × (-27) – 4 × 9 + (-21) – 5
= – 81 – 36 – 21 – 5
= – 143
மீதி = -143

கேள்வி 4.
x²⁰¹⁸ + 2018 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை x – 1 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க.
விடை:
x²⁰¹⁸ + 2018 = p(x) என்க g(x) = x – 1
g(x) = x – 1                             g(x) = 0
p(1) = 1²⁰¹⁸ + 2018               x – 1 = 0
= 1 + 2018                             x = 1
= 2019
மீதி = 2019

கேள்வி 5.
2x³ – kx² + 3x + 10 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால் k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = 2x³ – kx² + 3x + 10 என்க
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுத்தால்,
மீதி = 0
p(2) = 0
p(2) = 2(2)³ – k(2)² + 3(2) + 10
0 = 2 × 8 – k × 4 + 6 + 10
0 = 16 – 4k + 16
0 = 32 – 4k
4k = 32
k = \(\frac{32}{4}\)
k= 8
p(x) ஐ x – 2 ஆல் மீதியின்றி வகுக்கும் போது k = 8

கேள்வி 6.
2x³ + ax² + 4x – 12 மற்றும் x³ + x² – 2x + a என்ற இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளை (x – 3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதிகள் சமமானால், a இன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும், அதன் மீதியைக் காண்க.
விடை:
மீதித் தேற்றத்தின்படி, மீதி = f(3)
f(x) = 2x³ + ax² + 4x – 12
f(3) = 2(3)³ + a(3)² + 4(3) – 12
f(3) = 2 × 27 + a(9) + 12 – 12
f(3) = 54 + 9a + 12 – 12
= 54 + 9a …………… (1)
g(x) = x³ + x² – 2x + a
g(3) = (3)³ + (3)² – 2 × 3 + a
g(3) = 27 + 9 – 6 + a
g(3) = 30 + a …………….(2)
மீதிகள் சமமாக இருப்பதால்
(1) = (2)
f(3) = g(3)
54 + 9a = 30 + a
9a – a = 30 – 54
8a = -24
a = \(\frac{-24}{8}\)
a = -3
a = -3 ஐ ? இல் பிரதியிட
30 + a = g(3)
30 + (-3) = g(3)
27 = g(3)
மீதி = 27

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு (x – 1) என்பது காரணியா எனக் காண்க.
(i) x³ + 5x² – 10x + 4
(ii) x⁴ + 5x² – 5x + 1
விடை :
i) p(x) = x³ + 5x² – 10x + 4 என்க .
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி. எனில்
P(1) = 0. x – 1 இன் பூஜ்ஜியம் காண
P(1) = 1+ 5 – 10 + 4                     x – 1 = 0
= 10 – 10                                       x = 1
= 0
ஆகவே, x – 1 என்பது x³ + 5x² – 10x + 4 இன் ஒரு காரணியாகும்.

(ii) p(x) = x⁴ + 5x² – 5x + 1 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
மீதி P(1) = 0
P(1) = 1 + 5 – 5 + 1
= 2
ஆகவே, x – 1 என்பது x⁴ + 5x² – 5x + 1 இன் ஒரு காரணியல்ல.

கேள்வி 8.
காரணித் தோற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 5) என்பது ஒரு காரணி எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = 2x³ – 5x² – 28x + 15 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 5) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(5) = 0.
P(5) = 2 × (5)³ – 5(5)² – 28 × 5 + 15
= 2 × 125 – 5 × 25 -28 × 5 + 15
= 250 – 125 – 140 + 15
= 265 – 265
= 0
எனவே, x – 5 என்பது 2x³ – 5x² – 28x + 15 இன் ஒரு காரணி ஆகும்.

கேள்வி 9.
x³ – 3x² – mx + 24 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x + 3) என்பது ஒரு காரணி எனில், m இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = x³ – 3x² – mx + 24 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 3) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(-3) = 0
P(-3) = (-3)³– 3(-3)² – m(-3) + 24
0 = -27 – 3 × 9 + 3m + 24
0 = -27 – 27 + 3m + 24
0 = -54 + 24 + 3m
0 = -30 + 3m
3m = 30
m = 10

கேள்வி 10.
ax² + 5x + b என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x – 2) மற்றும் (x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)) ஆகியவை காரணிகள் எனில், a = b எனக்காட்டுக.
விடை:
p(x) = ax² + 5x + b என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்
P(2) = 0.
P(2) = a × (2)² + 5 × 2 + b
P(2) = 4a + 10 + b …………… (1)
x – \(\frac { 1 }{ 2 }\) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில் மீதி
P(\(\frac { 1 }{ 2 }\)) = 0.

\(\frac { a }{ 2 }\) = -1
a = -2
a = -2 ஐ (1) இல் பிரதியிட
4a + 10 + b = 0
4 × (-2) + 10 + b = 0
-8 + 10 + b = 0
2 + b = 0
b = -2 ∴ a = b

கேள்வி 11.
(x – 1) என்பது kx³– 2x² + 25x – 26 மீதியின்றி வகுக்குமெனில் (வகுத்தி) k இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
p(x) = kx³ – 2x² + 25x – 26 என்க.
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x – 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
p(1) = 0.
P(1) = k(1)³ – 2(1)² + 25 × 1 – 26
0 = k – 2 + 25 – 26
0 = k – 28 + 25
0 = k – 3
k = 3

கேள்வி 12.
x² – 2x – 8 என்பது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு எனில், (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன அவற்றின் பக்கங்களா என்பதைக் காரணித்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சரிபார்க்க.
விடை:
p(x) = x² – 2x – 8 என்க
காரணித்தேற்றத்தின் படி
(x + 2) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி எனில்,
P(-2) = 0.
P(-2) = (-2)² – 2 (-2) – 8
= 4 + 4 – 8|
= 0
(x – 4) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி, எனில்,
P(4) = 0.
P(4) = (4)² – 2 × (4) – 8
= 16 – 8 – 8
= 16 – 16)
= 0
எனவே (x + 2) மற்றும் (x – 4) என்பன செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் ஆகும்.