Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேர்கோடுகளின் சாய்வைக் காண்க.
(i) 5y – 3 = 0,
(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
தீர்வு :
(i) 5y – 3 = 0,

(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
m = \(\frac{-7}{0}\) = ∞ = வரையறுக்கப்படாதது.

கேள்வி 2.
(i) y = 0.7x – 11 க்கு இணையாக
(ii) x = -11 க்கு செங்குத்தாக அமையும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடானது y = 0.7x – 11
⇒ 0.7x – y – 11 = 0
m = \(\frac{-0.7}{-1}\) = 0.7
இணை கோடுகளின் சாய்வு சமம் என்பதால் 0.7x-y-11 = (0 க்கு இணையாக உள்ள நேர்கோட்டின் சாய்வு 0.7

(ii) கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x =-11
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x = -11
⇒ x + 0y + 11 = 0
m= \(\frac{-1}{0}\) = வரையறுக்க முடியாது.
நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் அதன் பெருக்கல் பலன் (-1) ஆகும்.
ஆனால், இங்கே சாய்வானது வரையறுக்க முடியாத நிலையில் உள்ளது.

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனச் சோதிக்கவும்.
(i) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{1}{7}\) = 0 மறும் \(\frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{1}{10}=0\)
தீர்வு :

இங்கே இரு நேர்கோடுகளின் சாய்வுகள் சமமாக உள்ளது.m₁ = m₂ எனவே, இரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானது.

(ii) 5x +23y+14 = 0 மற்றும் 23x -5y +9 = 0
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 5x + 23y + 14 = 0
m₁ = \(\frac{-5}{23}\)
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 23x – 5y + 9 = 0
m₂ = \(\frac{-23}{-5}=\frac{23}{5}\)
இங்கே இரண்டு நேர்கோடுகளும் m₁ x m₂ = -1
m₁ x m₂ = \(\frac{-5}{23} \times \frac{23}{5}\) = =-1 என்பதை நிரூபிக்கிறது. எனவே இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குதாக உள்ளது.

கேள்வி 4.
12y = -(p + 3)x +12, 12x -7y = 16 ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் ‘p’ ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 12y = -(p + 3)x + 12
12y = -(p + 3)x + 12
(p + 2)x + 12y – 12 = 0
m₁ = \(\frac{-(p+3)}{12}\)
கொடுக்கப்பட்ட மற்றொரு நேர்கோடு 12x – 7y = 16
12x – 7y – 16 = 0
m₂ = \(\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் m₁ x m₂ = -1 \(\frac{-(p+3)}{12} \times \frac{12}{7}\) = -1
-(p + 3) = -7
p + 3 = 7
p = 7 – 3 = 4
p = 4

கேள்வி 5.
Q(3, 2) மற்றும் R(-5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்கு இணையானதும், P(-5,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

Q(3, -2), R(-5, 4)
ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{y+2}{4+2}=\frac{x-3}{-5-3}\)
\(\frac{y+2}{6}=\frac{x-3}{-8}\)
-8(y + 2) = (x – 3)6
-8y – 16 = 6x – 18
8y + 16 – 6x – 18 = 0
6x + 8y – 2 = 0
÷by 2 ⇒ = 3x+4y-1 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1)க்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, தேவையான சமன்பாடு 3x + 4y + k = 0 —–(2)
(-5, 12) புள்ளி வழி செல்கிறது.
3(-5) + 4(2) + k = 0
-15 + 8 + k = 0
-7 + k = 0
k = 7
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 4y + 7 = 0

கேள்வி 6.
(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானதும் (6,-2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:

(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு,
\(\frac{y-7}{-3-7}=\frac{x-6}{2-6}\)
\(\frac{y-7}{-10}=\frac{x-6}{-4}\)
-4(y – 7) = -10(x – 6)
-4y + 28 = -10x + 60
10x – 60 – 4y + 28 = 0
10x – 4y – 32 = 0
÷ by 2 ⇒ 5 – 2y – 16 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
2x + 5y + k = 0
(6, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது
2(6) + 3(-2) + k = 0
12 – 10 + k = 0
2 + k = 0
k = -2
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு
2x + 5y – 2 = 0

கேள்வி 7.
ΔABC யின் முனைகள் A(-3, 0), B(10,-2) மற்றும் C(12, 3) எனில், A மற்றும் B யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க
தீர்வு :

படத்தின் AD மற்றும் BE ஆனது குத்துகோடுகள் ஆகும்.
A(-3, 0), B(10, -2) மற்றும் C(12, 3)
i) BC சாய்வு m₁ = \(\frac{3+2}{12-10}=\frac{5}{2}\)
m₁ = \(\frac{5}{2}\)
இங்கே BC ⊥^r AD செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{-2}{5}\) x m₂ = -1
இங்கே சாய்வு மற்றும் புள்ளி A(-3, 0) ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 0 = \(\) (x + 3)
5y = -2x – 6
2x + 6 + 5y = 0
2x + 5y + 6 = 0

ii) ACன் சாய்வு m₁ = \(\frac{3-0}{12+3}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)
AC ⊥^r BE க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{1}{5}\) x m₂ = -1
m₂ = -5
சாய்வு – 5 மற்றும் புள்ளி B(10,-2) நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x-x₁)
y + 2 = -5(x – 10)
y + 2 = -5x + 50
5x + y + 2 – 50 = 0
5x + y – 48 = 0
தேவையான குத்துகோடுகள் 2x+5y+6 = 0 5x+y-48 = 0

கேள்வி 8.
A(-4,2) மற்றும் B(6-4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துகோட்டின் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு :

மையக்குத்துக் கோடானது கோட்டுத்துண்டு மையப்பகுதி வழியாகவே செல்லும்.
D என்பது மையப்புள்ளி ஆகும்.
AB ன் மையப்புள்ளி
\(\left(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\) = (1,-1)
D(1, -1)
AB ன் சமன்பாடு
\(\frac{y-2}{-4-2}=\frac{x+4}{6+4}\)
\(\frac{y-2}{-6}=\frac{x+4}{10}\)
10(y – 2) = -6(x + 4)
10y – 20 = – 6x – 24
6x + 10y – 20 + 24 = 0
6x + 10y + 4 = 0
÷ by 2 = 3x+5y+2 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 5x – 3y + k = 0
D(1, -1) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
5(1) – 3(-1) + k = 0
5 + 3 + k = 0
k = -8
தேவையான மைய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 5x – 3y – 8 = 0

கேள்வி 9.
7x+3y=10,5x-4y=1 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், 13x + 5y +12 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நோகோடுகள்
7x + 3y = 10 ——(1)
5x – 4y = 1 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 1
x = 1 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட
7x + 3y = 10
7(1) + 3y = 10
3y = 10 – 7
3y = 3
y = 1
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் (1, 1)
தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y + 12 = 0
விற்கு இணையாக உள்ளது எனவே.
தேவையான நேர்கோடானது
13x + 5y + k = 0
(1, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
13(1) + 5(1) + k = 0
13 + 5 + k = 10
18 + k = 0
k = -18
தேவையான நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு
13x + 5y – 18 = 0

கேள்வி 10.
5x-6y=2,3x+2y=10 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும் 4x – 7y + 13 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகள்
5x – 6y = 2 ——(1)
3x + 2y = 10 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = \(\frac{16}{7}\) ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
5x – 6y = 2
5(\(\frac{16}{7}\)) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 2 = 6y
\(\frac{80-14}{7 \times 6}\) = y
\(\frac{66}{7 \times 6}\) = y
y = \(\frac{11}{7}\)
இரு கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி
(1) & (2) is ( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) )
தேவையான நேர்கோடானது 4x – 7y + 13 = 0
விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
தேவையான நேர்கோடானது 7x + 4y + k = 0
( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) ) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
7x + 4y + k = 0

தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y – 18 = 0
7x + 4y – \(\frac{156}{7}\) = 0
\(\frac{49 x+28 y-156}{7}\) = 0
49x + 28y – 156 = 0

கேள்வி 11.
7x -3y = -12 மற்றும் 2y = x + 3 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும், 3x +y +2 = 0 மற்றும் x -2y -4 = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு நேர்கோடுகள்
3x + y + 2 = 0 ——(1)
x – 2y – 4 = 0 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 0
x = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
3x + y + 2 = 0
0 + y + 2 = 0
y = -2
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (0, -2)
மற்றொரு இரண்டு நேர்கோடுகள்
7x – 3y = -12 ⇒ 7x-3y+12 = 0 —-(3)
2y = x + 3 ⇒ x – 2y + 3 = 0 —-(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ தீர்க்க

11y – 9 =0
11y = 9
y = 9/11

இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி ( \(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\) )

இரண்டு வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளிகளையும் முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு

15 x 11(y + 2) = -31 x 11x
165(y + 2) = -341x
165y + 330 = -3418
341x +165y 330 = 0
÷by 11 ⇒ 31x – 15y + 30 = 0
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 31x – 15y + 30 = 0

கேள்வி 12.
8x + 3y = 18, 4x + 5y = 9 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் வழியாகவும், (5,-4) மற்றும் (-7, 6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள்
8x + 3y = 18 ——(1)
4x + 5y = 9 ——(2)
(1) மற்றும் (2)

y = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
8x + 3y = 18
8x + 0 = 18
x = 18/8
x = 9/4
வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ள (9/4, 0)
(5, -4), (-7, 6) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் மையப்புள்ளி

-13y = -4x – 9
4x + 13y – 9 = 10
தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 13y – 9 = 0