Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 1 உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.4

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் சார்பைக் குறிக்கின்றனவா எனத் தீர்மானிக்கவும். விடைகளுக்கான காரணத்தையும் கொடுக்கவும்.

தீர்வு:
(i)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே இது சார்பு அல்ல.

(ii)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே இது ஒரு சார்பு.

(iii)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது இது ஒரு சார்பு அல்ல.

(iv)

குத்துக்கோடானது வரைபடத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே இது ஒரு சார்பு

கேள்வி 2.
f : A → B என்ற சார்பானது f(x) = \(\frac { x }{ 2 }\) -1, என
வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2, 4, 6, 10, 12} B = {0, 1, 2, 4, 5, 9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
(ii) அட்டவணை
(iii) அம்புக்குறி படம்
(iv) வரைபடம்
தீர்வு :
f(x) = \(\frac { x }{ 2 }\) – 1 எனில்
f(2) = \(\frac { 2 }{ 2 }\) – 1 = 1 – 1 = 0
f(4) = \(\frac { 4 }{ 2 }\) – 1 = 2 – 1 = 1
f(6) = \(\frac { 6 }{ 2 }\) – 1 = 3 – 1 = 2
f(10) = \(\frac { 10 }{ 2 }\) – 1 = 5 – 1 = 4
f(12) = \(\frac { 12 }{ 2 }\) – 1 = 6 – 1 = 5

i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
f = {(2, 0) (4, 1) (6, 2) (10, 4) (12, 5)}
ii) அட்டவணை

iii) அம்புக்குறி படம்

iv) வரைபடம்

கேள்வி 3.
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} என்ற சார்பினை
i) அம்புக்குறி படம்
ii) அட்டவணை
iii) வரைப்படம் மூலமாகக் குறிக்கவும்.
தீர்வு :
i) அம்புக்குறி படம்

ii) அட்டவணை

iii) வரைபடம்

கேள்வி 4.
f: N → N என்ற சார்பு f(x) = 2x – 1 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான ஆனால் மேல் சார்பு இல்லை எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
f(x) = 2) – 1
f(1) = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 6-1 = 5
f(4) = 2 x 4 – 1 = 8 – 1 = 7
துணை மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4, ………..} —– (1)
வீச்ச கம் = {1, 3, 5, …………….} ——– (2)
(1) ≠ (2)
∴ எனவே இது 1 – 1 சார்பு ஆனால் மேல் சார்பு இல்லை .

கேள்வி 5.
f : N → N என்ற சார்பு f(m) = m2 + m + 3 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
N = {1,2,3,……..}
f(m) = m² + m + 3
f(1) = 1² + 1 + 3 = 5
f(2) = 2² + 2 + 3 = 9
f(3) = 3² + 3 + 3 = 15
∴ f = {(1,5), (2,9), (3,15) ……}
∴ f ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 6.
A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = N என்க. மேலும் f : A → B ஆனது f(x) = x³ என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில்.
i) f -யின் வீச்சகத்தைக் காண்க.
ii) f எவ்வகை சார்பு எனக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = x³ எனில்
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27
f(4) = 4³ = 64

i) வீச்சகம் = {1, 8, 27, 64}
ii) ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு

கேள்வி 7.
கீழே கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு சார்பும் இருபுறச் சார்பா, இல்லையா? உன் விடைக்கான காரணத்தைக் கூறுக. i) f : R → R ஆனது f(x) = 2x + 1
ii) f : R – R ஆனது f(x) = 3 – 4x²
தீர்வு :
i) f(x) = 2(x) = 1
f(0) = 2 x (0 + 1 = 1
f(1) = 2 x 1+1 = 3
f(2) = 2 x 2+ 1 = 5
f(3) = 2 x 3+ 1 = 7
வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறான உருவங்களைக் கொண்டுள்ளது.
∴ இது 1 – 1 சார்பு
மேலும் n (A) = n (B) என்பதால் இது மேல் சார்பு ஆகும்.
∴ f(x) = 2x+1 ஆனது இருபுறச் சார்பு ஆகும்.
(ii) f(x) = 3 – 4x²
f(1) = 3 – 4(1²) = -1
f(2) = 3 – 4(2²) = -13
f(3) = 3 – 4(3²) = -33
f(4) = 3 – 4(4²) = -61
f(-1) = 3 – 4(-1)² = -1
இங்கு f(1) = f (-1)
ஆனால் 1 ≠ -1
∴ f(x) ஆனது இரு புறச் சார்பு அல்ல

கேள்வி 8.
A = {-1, 1} மற்றும் B = {0, 2} என்க மேலும், f : A → B ஆனது f(x) = ax + b. என் வரையறுக்கப்பட்ட மேல் சார்பு எனில் , a மற்றும் b ஐக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = ax + b
கணக்கின் படி f(-1) = 0
⇒ a(-1) + b = 0
-a + b = 0 …………………….(1)
மேலும் f(1) = 2
⇒ a(1) + b = 2
a + b = 2 ……………………. (2)
1 + 2
– a + b + a + b = 0 + 2
⇒ 2b = 2
b = 1
b ன் மதிப்பை (உ)ல் பிரதியிட
a = 1

கேள்வி 9.
f என்ற சார்பானது
\(f(x)=\left\{\begin{aligned}
x+2 ; & x>1 \\
2 ; &-1 \leq x \leq 1 \\
x-1 ; &-3<x<-1
\end{aligned}\right.\)
என வரையறுக்கப்பட்டால்
i) f(3)
ii) f (0)
iii) f(-1.5)
iv) f(2) + f(-2)
ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
x+2 & \text { if } x=\{2,3,4,5 \ldots \ldots\} \\
2 & \text { if } x=\{-1,0,1\} \\
x-1 & \text { if } x=\{-2\}
\end{array}\right.\)

(i) f(3) = x + 2
= 3 + 2 = 5
ii) f(0) = 2
iii) f(-1.5) = x – 1
= -1.5 – 1
= -2.5
iv) f(2) + f (-2)
= x + 2 + x – 1
= 2 + 2 + (- 2) – 1
= 4 – 3

கேள்வி 10.
f : [-5,9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
6 x+1 ; & -5 \leq x<2 \\
5 x^{2}-1 ; & 2 \leq x<6 \\
3 x-4 ; & 6 \leq x \leq 9
\end{array}\right.\) என வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
(i) f(-3) + f(2)
ii) f(7) – f(1)
iii) 2f(4) + f(8)
iv) \(\frac{2 f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)}\)
தீர்வு :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
6 x+1 \text { if } x=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\} \\
5 x^{2}-1 \text { if } x=\{2,3,4,5\} \\
3 x-4 \text { if } x=\{6,7,8,9\}
\end{array}\right.\)
f(-3) = 6x +1
= 6 (-3) + 1 = -18 + 1 = -17
f(2) = 5x² – 1
= 5(2²) – 1 = 5 x 4 – 1 = 20 – 1 = 19
f(7) = 3x – 4)
= 3(7) – 4 = 21 – 4 = 17

f(1) = 6x + 1
= 6 (1) + 1 = 7

f(4) = 5x² -1
= 5 x 4² – 1 = 5 x 16 – 1 = 80 – 1 = 79

f(8) = 3x – 4
= 3(8) – 4 = 24 – 4 = 20

f(-2) = 6x + 1
= 6 (-2) + 1 = -12 + 1 = -11

f(6) = 3x – 4)
= 3(6) – 4 = 18 – 4 = 14

i) f(-3) + f(2) = -17 + 19 = 2
ii) f (7) – f(1) = 17 – 7 = 10
iii) 2f(4) + f(8) = 2 x 79 + 20
= 158 + 20 )
= 178

கேள்வி 11.
புவியீர்ப்பு விசையின் காரணமாக : வினாடிகளில் ஒரு பொருள் கடக்கும் தூரமானது S(t) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² + at + b எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு a, b ஆகியவை மாறிலிகள் (8 ஆனது புவியீர்ப்பு விசையின் காரணமாக ஏற்படும் முடுக்கம்). S(t) ஆனது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பாகுமா என ஆராய்க.
தீர்வு :
s{t) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² + at + b என்க
t = 0 எனில் S (o) = b
t = 1 எனில் s(1) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) g x 1² + a x 1 + b
\(\frac { 1 }{ 2 }\) = g + a + b
S(t₁) = S(t₂) எனில்
t = 2 எனில் S(2) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) g(2²) + a x 2 + b
= \(\frac { 4g }{ 2 }\) + 2a + b
இங்கு ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் S(t)ன் மதிப்பு வேறுபட்டுள்ளது.
∴ S(t) ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.

கேள்வி 12.
t என்ற சார்பானது செல்சியஸில் (C) உள்ள வெப்பநிலையையும், பாரன்ஹீட்டில் (F) உள்ள வெப்பநிலையையும் இணைக்கும் சார்பாகும். மேலும் அது t(C) = F என வரையறுக்கப்பட்டால், (இங்கு F = \(\frac { 9C }{ 5 }\) + 32)
(i) t(0)
(ii) t(28)
(iii) t(-10)
(iv) t(C) = 212 ஆக இருக்கும் போது C – ன் மதிப்பு
(v) செல்சியஸ் மதிப்பும் பாரன்ஹீட் மதிப்பும் சமமாக இருக்கும் போது வெப்பநிலை ஆகியவற்றைக் கண்டறிக. தீர்வு :
கணக்கின் படி t(C) = F
F = \(\frac { 9C }{ 5 }\) + 32
(i) t(0) = \(\frac { 0 }{ 5 }\) + 32 = 32°F
(ii) t(28) =\(\frac{9 \times 28}{5}\) + 32
= \(\frac{252}{5}\) + 32
= 50.4 + 32 = 82.4°F

(iii) \(\frac{9(-10)}{5}\) + 32
= \(\frac{-90}{5}\) + 32
= -18 + 32 = 24

iv) t(C) = 212
c = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\) + 32 = 212
= 180
9C = 180 x 5
= 900
∴C = 100°C

v) செல்சியஸ் மதிப்பும் பாரன்ஹீட் மதிப்பும்
சமமாக இருக்கும் போது வெப்பநிலை
C = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\) +32
C – 32 = \(\frac{9 \mathrm{C}}{5}\)
5(C – 32) = 9C
5C – 160 = 9C
5C – 9C = 160
-4C = 160
C = -40