TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.1

கேள்வி 1.
கீழ்க்கண்ட புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு காண்க. i) (1, -1), (-4, 6) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்க வும். A (1, – 1), B (-4, 6), C (-3,-5) என்பன முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.
ΔABCன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(6+20+3) – (4-18-5)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)(29- (-19) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [29 + 19)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 48
= 24 ச.அலகுகள்

ii) (-10, -4), (-8, -1) மற்றும் (-3, -5)
தீர்வு :
படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும்.
A(-10, -4), B(-8, -1) என்ப ன C(-3, -5)
முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.

ΔACB ன் பரப்பளவு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(50+3+32) – (12+40+10)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[85 – 62]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 23
= 11.5 ச. அலகுகள்

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமா என தீர்மானிக்கவும்.
i) (-\(\frac { 1 }{ 2 }\), 3), (-5, 6) மற்றும் (-8, 8)
தீர்வு :
A(-\(\frac { 1 }{ 2 }\),3), B(-5, 6), C(-8,8) ஆகியன
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(-3-40-24) – (-15-48-4)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[-67 – (-67)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[-67 + 67)] = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

ii) (a,b+c), (b, c+a) மற்றும் (c, a+b)
தீர்வு :
A(a, b+c), B(b, c+a), C(c, a+b) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {{a(c+a) + b(a+b) + c[b+c)) – (b(b+c) + c(c+a) = a(a+b))}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [ac + a² + ba + b + cb + c² – [b² + bc + c² + ac + a² + ab)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [ac + a² + ba + b + cb + c² – b² – bc – c² – ac – a² – ab]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0 = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

கேள்வி 3.
வரிசையில் அமைந்த முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகளும், அதன் பரப்புகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.’p’ யின் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு :
i) A(0,0), B(p,8), C(6,2) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பளவு = 20 ச.அ

[0 + 2p + 0] – [0 + 48 + 0] = 20 x 2
2p – 48 = 40
2p = 40 + 48
P = \(\frac{88}{2}\)
p = 44

ii) A(p, p), B(5, 6), C(5, -2) என்பன முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.
ΔABC ன் பரப்பு = 32 ச.அ

[6p – 10 + 5p] – [5p + 30 – 2p] = 32 x 2
(11p – 10) – (3p + 30) = 32 x 2
11p- 10 – 3p – 30 = 32 x 2
8p-40 = 32 x 2
8p = 64 + 40
8p = 104
p = 104/8
p = 13

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்தவை எனில், ‘a’ யின் மதிப்பைக் காண்க.
i) (2, 3), (4, a) மற்றும் (6,-3)
ii) (a,2-2a),(-a+1, 2a) மற்றும் (-4-a,6-2a)
தீர்வு :
A (2, 3), B (4, a) மற்றும் (6, -3) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

(2a-12+18) – (12-6a-6) = 0 x 2 = 0
(2a+6) – (6 – 6a) = 0
2a + 6 – 6 + 6a = 0
8a = 0
a = 0

ii) A (a, 2-2a), B (-a+1, 2a) மற்றும் C (-4-2, 6-2a) ஆகிய கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும். எனவே, ΔABC ன் பரப்பளவு = 0

\(\frac { 1 }{ 2 }\) {(2a-+(-a+1)(6-2a)+(-4-a) (2-2a))
((2-2a)(-a+1)+(2a)(-4-a)+a(6-2a})} = 0
(2a² – 6a + 2a² + 6 – 2a – 8 + 8a – 2a + 2a² )-(-2a + 2 + 2a² – 2a – 8a – 2a² + 6a – 2a²)} = 0 x 2 = 0
(6a² – 2a – 2) – (-2a² – 6a + 2) = 0
6a² – 2a – 2 + 2a² + 6a – 2 = 0
8a² + 4a – 4 = 0
2a² + a – 1 = 0
(2a-1) (a+1) = 0
a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), -1
a என் மதிப்பு \(\frac { 1 }{ 2 }\) (அல்லது) -1

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க?
i) (-9, -2), (-8, -4) (2, 2) மற்றும் (1, – 3)
ii) (-9, 0), (-8, 6) (-1, -2) மற்றும் (-6,-3)
தீர்வு :
i) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். A(-9, -2), B(-8, -4), C(2, 2) மற்றும் D(1, -3) என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே, நாற்கரம் ABDC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(36+24+2-4) – (16-4-6-18)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {58 – (-12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (58 +12) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 70
= 35 ச. அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 35 ச. அலகுகள்

ii) நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும். புள்ளிகளை எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க. A (-9, 0), B (-8, 6), C (-1, – 2) மற்றும் D (-6, -3 என்பன முனைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

எனவே நாற்கரத்தின் பரப்பளவு (ADCB)

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(27+12-6+0) – (0+3+16-54)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [33 – (-35) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(33 + 35)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 68
= 34 ச.அலகுகள்
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 34 ச. அலகுகள்

கேள்வி 6.
(-4, -2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 28 சதுர அலகுகள் எனில், K ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
நாற்கரத்தின் முனைகள் (-4, – 2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3). மற்றும் அதன் பரப்பு 28 ச.அலகுகள்

\(\frac { 1 }{ 2 }\)(-4k+6+9-4) – (6+3k-4-12)} = 28
(-4k+11) – (3k – 10) = 28 x 2 -4k+11-3k+10 = 56
-7k + 21 = 56
-7k = 56-21
k = \(\frac{35}{-7}\)
k = -5

கேள்வி 7.
A(-3, 9), B (a, b) மற்றும் C(4, – 5) என்ப ன ஒரு கோட்டமைந்த புள்ளிகள் மற்றும் a+b = 1, எனில், a மற்றும் b யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகள் ஆகும். எனவே. பரப்பளவு = 0

(-3b-5a+36) – (9a+4b+15) = 0 x 2
-3b – 5a + 36 – 9a – 4b – 15 = 0
-14a-7b+21 = 0
÷by (-7) 2a+b-3 = ) —–(1)
கொடுக்கப்பட்டது a+b = 1 ——-(2)
(1) – (2)

a = 2 ஐ சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட
a + b = 1
2 + b = 1
b = 1 – 2 = -1
b = -1
விடை : a = 2, b = -1

கேள்வி 8.
ΔABC ன் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் AC ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P(11,7) , Q(13.5, 4) மற்றும் R(9.5, 4) என்க . முக்கோணத்தின் முனை புள்ளிகள் A,B மற்றும் C காண்க. மேலும், AABC – யின் பரப்பை APQR யின் பரப்புடன் ஒப்பிடுக.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் முனைகளை A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) மற்றும் C(x₃, y₃) என்க.
P,Q, R என்பன AB, BC, CA என்ற முக்கோண பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும்.
AB ன் நடுப்புள்ளி = P
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) = (11, 7)
x மற்றும் y ஐ சமன்படுத்துக.
\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) = 11; \(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\) = 7
x₁ + x₂ = 22 —-(1); y₁ + y₂ = 14 —–(2)

இதே போல்
x₂ + x₃ = 19 —-(3);
y₂ + y₃ = 8 —-(4)
x₃ + x₁ = 27 —-(5);
y₃ + y₁ = 8 —–(6)
சேர்த்து (2)+(4)+(6)
= 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 30
= y₁ + y₂ + y₃ = 15 ——(8)
சமன்பாடு (3) ஐ சமன்பாடு (7)ல் பிரதியிட
x₁ + x₂ + x₃ = 34
x₁ + 19 = 34
x₁ = 34 – 19
x₁ = 15

x₁ = 15 ஐ சமன்பாடு (5)ல் பிரதியிட
x₃ + x₁ = 27
x₃ + 15 = 27
x₃ = 27 – 15
x₃ = 12

x₃ = 12 ஐ சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட,
x₂ + x₃ = 19
x₂ + 12 = 19
x₂ = 19 – 12)
சமன்பாடு (4) ஐ சமன்பாடு (8) ல் பிரதியிட
y₁ + y₂ + y₃ = 15
y₁ + 8 = 15
y₁ = 15 – 8
y₁ = 7

y₁ = 7 ஐ சமன்பாடு (6)ல் பிரதியிட
y₃ + y₁ = 8
y₃ + 7 = 8
y₃ = 8 – 7
y₃ = 1

y₃ = 1 சமன்பாடு (4) ல் பிரதியிட
y₂ + y₃ = 8
y₂ + 1 = 8
y₂ = 8 – 1
y₂ = 7
முக்கோணத்தின் முனைகள் A(15, 7), B(7, 7), மற்றும் C(12, 1)
ΔABC ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(105+7+84) – (49+84+15)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (196 – 148) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 48 = 24 அலகுகள்
Δ POR ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(44+54+66.5) – (94.5+38+44)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (164.5 – 176.5)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (-12) = -6
(பரப்பளவு ஒரு போதும் குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது. எனவே, இதன் பரப்பை மிகை எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.)
ΔABC ன் பரப்பு = 4 x ΔPQR ன் பரப்பு
24 = 4 x 6
24 = 24 நிரூபிக்கப்பட்டது

கேள்வி 9.
நாற்கர வடிவ நீச்சல் குளத்தின் கான்கிரீட் உள்முற்றமானது படத்தில் காட்டியுள்ள படி அமைக்கப்பட்டுள்ளது எனில், உள்முற்றத்தின் பரப்பு காண்க.

தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் A(-4, -8), B(8, -4), C(6, 10) மற்றும் D(-10, 6)ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(16+80+36+80) – (-64-24-100-24)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) 212 x 424
= 212 ச. அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் E(-3, -5), F(6, -2), G(3, 7) மற்றும் H(-6, 4) ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(6 + 42 + 12 + 30) – (-30 – 6 – 42 – 12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 180
= 90 ச.அலகுகள்
உளமுற்றத்தின் பரப்பு = ABCD ன் பரப்பு – EFGH ன் பரப்பு
= 212 – 90 = 122 ச.அலகுகள்

கேள்வி 10.
A(-5, -4) , B(1, 6) மற்றும் C(7, -4) ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணவடிவக் கண்ணாடிக்கு வர்ணம் பூசப்படுகிறது. 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது எனில் கண்ணாடியின் முழுப்பகுதியையும் ஒரு முறை வர்ணம் பூச எத்தனை வாளிகள் தேவைப்படும்?
தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து எதிர் கடிகார திசையில் எடுத்து கொள்க.

ΔACB ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(20+42-4) – (-28-4-30)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[58 – (-62]] = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (58 + 62)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120
= 60 ச.அலகுகள்
6 ச.அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி தேவைப்படுகிறது.
கண்ணாடி முழுவதும் வர்ணம் பூச தேவைப்படும் வாளிகள் = 60/6 = 10 வாளிகள்
10 வாளிகள் தேவைப்படும்.

கேள்வி 11.
படத்தை பயன்படுத்திப் பரப்பைக் காண்க.
(i) முக்கோணம் AGF
(ii) முக்கோணம் FED
(iii) நாற்கரம் BCEG.

தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட A(-5, 3), G(-4.5, 0.5) மற்றும் F(-2, 3) ஆகியவை முக்கோணத்தின் முனைகள்.
ΔAGFன் பரப்பளவு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(-2.5-13.5-6) – (-13.5-1-15)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {–22 – (-29.5)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 75
= 3.75 ச.அலகுகள்

ii) முக்கோணம் FEDன் பரப்பு முனைகள் F(-2, 3), E(1.5, 1) மற்றும் D(1, 3)

= \(\frac { 1 }{ 2 }\){(-2+4.5+3) – (-4.5+1-6)}
= 3 ச. அலகுகள்

iii) நாற்கரத்தின் முனைகள் B(-4,-2), C(2,-1), E(1.5, 1) மற்றும் G(-4.5, 0.5)
நாற்கரம் BCEG ன் பரப்பு

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {(4+2+0.75+9) – (-4-1.5-4.5-2}}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) {15.75 – (-12)}
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x {15.75+12} = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 27.75
= 13.875 ச. அலகுகள்

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.1

கேள்வி 1.
\(\frac{11}{3}\) ஐ மிகச் சரியாகக் காட்டும் அம்புக்குறி எது?

விடை:
\(\frac{11}{3}\) = 3\(\frac{2}{3}\) அம்புக்குறி D ஆனது \(\frac{11}{3}\) மிகச்சரியாகக் காட்டுகிறது.

கேள்வி 2.
\(\frac{-7}{11}\) மற்றும் \(\frac{2}{11}\) என்ற எண்களுக்கிடையே எவையேனும் மூன்று விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.
விடை:
\(\frac{}{11}\) மற்றும் \(\frac{2}{11}\) ஆகிய எண்களுக்கிடையே உள்ள மூன்று விகிதமுறு எண்கள்
\(\frac{-6}{11}\), \(\frac{-5}{11}\), \(\frac{1}{11}\)

கேள்வி 3.
பின்வரும் எண் இணைகளுக்கு இடையே எவையேனும் ஐந்து விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.
(i) \(\frac{1}{4}\) மற்றும் \(\frac{1}{5}\)
விடை:

(ii) 0.1மற்றும் 0.11
விடை:

(iii) -1மற்றும் -2
விடை:
-1.1, -1.2, -1.3, -1.4……..-1.9

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.7

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

கேள்வி 1.
கீழ்க்க ண்டவற்றில் சரியானது எது?
(1) {7} ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(2) 7 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(3) 7 ∉ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(4) {7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
விடை:
(ஆ) 7 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

கேள்வி 2.
கணம் P = {x/x ∈ Z, – 1x < 11} என்ப து
(1) ஓருறுப்புக் கணம்
(2) அடுக்குக் கணம்
(3) வெற்றுக் கணம்
(4) உட்கணம்
விடை:
(அ) ஒருறுப்புக் கணம்

கேள்வி 3.
U = {x|x ∈ ℕ, x < 10} மற்றும் A = {x|x ∈ ℕ, 2 ≤ x < 6} எனில் (A’)’ என்ப து
(1) {1, 6, 7, 8, 9}
(2) {1, 2, 3, 4}
(3) {2, 3, 4, 5}
(4) {}
விடை:
(இ) {2, 3, 4, 5}

கேள்வி 4.
B⊆A எனில் n(A∩B) என்பது
(1) n(A – B)
(2) n(B)
(3) n(B – A)
(4) n(A)
விடை:
(ஆ) n(B)

கேள்வி 5.
கணம் A = (x, y, z} எனில், A இன் வெற்றுக் கணமில்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
(1) 8
(2) 5
(3) 6
(4) 7
விடை:
(4) 7

கேள்வி 6.
பின்வருவனவற்றுள் சரியானது எது?
(1) φ{a, b}
(2) φ E {a, b}
(3) {a} = {a, b}
(4) a{a, b}
விடை:
(அ) φ {a, b}

கேள்வி 7.

(1) A ≠ B
(2) A = B
(3) A ⊂ B
(4) B ⊂ A
விடை:
(ஆ) A = B

கேள்வி 8.
B- A என்பது B , எனில் A∩B என்பது
(1) A
(2) B
(3) U
(4) φ
விடை:
(4) φ.

கேள்வி 9.
அருகில் உள்ள படத்திலிருந்து n(P(A∆B)] ஐக் காண்க.
(1) 8
(2) 16
(3) 32
(4) 64

விடை:
(3) 32

கேள்வி 10.
n(A) = 10 மற்றும் n(B) = 15, எனில் கணம் A ∩B உள்ள குறைந்த பட்ச மற்றும் அதிகபட்ச உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும்
(1) {10, 15}
(2) {15, 10}
(3) {10, 0}
(4) {0, 10}
விடை:
(4) {0, 10}

கேள்வி 11.
A= {φ} மற்றும் B = P(A) எனில், A∩B ஆனது
(1) {φ, {φ}}
(2) {φ}
(3) φ
(4) {0}
விடை:
(2) {φ}

கேள்வி 12.
ஒரு வகுப்பில் உள்ள 50 மாணவர்களில் 35 பேர் சுண்டாட்டம் (Carrom) விளையாடுபவர்கள் மற்றும் 20 பேர் சதுரங்கம் விளையாடுபவர்கள் எனில், இந்த இரண்டு விளையாட்டையும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கை.
(1) 5
(2) 30
(3) 15
(4) 10
விடை:
(1) 5

கேள்வி 13.
U = {x : x ∈N மற்றும் x < 10}, A = {1, 2, 3, 5, 8} B = {2, 5, 6, 7, 9} எனில், n [(A∪B)] என்பது
(1) 1
(2) 2
(3) 4
(4) 8
விடை:
அ)1

கேள்வி 14.
P, Q மற்றும் R என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில், P – (Q∩R) என்பது
(1) P – (Q∪R)
(2) (P∩Q) – R
(3) (P – Q) ∪ (P – R)
(4) (P – Q) ∩ (P – R)
விடை:
(3) (P – Q) ∪ (P – R)

கேள்வி 15.
கீழ்க்காண்பவற்றில் எது சரி?
(1) A – B = A∩B
(2) A – B=B – A
(3) (A∪B)^| =A^|∪B^|
(4) (A∩B)^| = A^|∪B^|
விடை:
(1) (A∩B)^| =A^|∪B^|

கேள்வி 16.
n (A∪B∪C) = 100, n(A) = 4x, n(B) = 6x, n(C) = 5x, n (A∩B) = 20, n (B∩C) = 15, n (A∩C) = 25 மற்றும் n (A∩B∩C) = 10 எனில், x இன் மதிப்பு
(1) 10
(2) 15
(3) 25
(4) 30
விடை:
(1) 10

கேள்வி 17.
A, B மற்றும் C என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில், (A – B) ∩ (B – C) இக்குச் சமமானது.
(1) A மட்டும்
(2) B மட்டும்
(3) C மட்டும்
(4) φ
விடை:
(4) φ

கேள்வி 18.
J என்பது மூன்று பக்கங்களைக் கொண்ட உருவங்களின் கணம், K என்பது ஏதேனும் இரண்டு பக்கங்கள் சமமாக உள்ள உருவங்களின் கணம் மற்றும் L என்பது ஒரு கோணம் செங்கோணமாக உள்ள உருவங்களின் கணம் எனில், J∩K∩L என்பது
(1) இருசமபக்க முக்கோணங்களின் கணம்
(2) சமபக்க முக்கோணங்களின் கணம்
(3) இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்
(4) செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்
விடை:
(3) இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்

கேள்வி 19.
கொடுக்கப்பட்ட வென்படத்தில் நிழலிடப்பட்ட பகுதியானது
(1) Z – (X∪Y)
(2) (X∪Y)∩Z
(3) Z – (X∩Y)
(4) Z∪(X∩Y)

விடை:
இ) Z – (X∩Y)

கேள்வி 20.
ஒரு நகரில், 40 % மக்கள் ஒரு வகை பழத்தை மட்டும், 35 % மக்கள் இரண்டு வகை பழங்களை மட்டும், 20 % மக்கள் மூன்று வகை பழங்களையும் விரும்புகிறார்கள் எனில், மேற்கண்ட மூன்று வகை பழங்களையும் விரும்பாதவர்களின் சதவீதம் என்ன?
(1) 5
(2) 8
(3) 10
(4) 15
விடை:
அ) 5

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.6

கேள்வி 1.
(i) n(A) = 25, n(B) = 40, n(A∪B) = 50 மற்றும் n(B’) = 25, எனில், n(A∩B) மற்றும் n(∪) காண்க.
(ii) n(A) = 300, n(A∪B) = 500,n(A∩B) = 50 மற்றும் n(B’) = 350 எனில், n(B) மற்றும் n(∪) காண்க.
விடை:
(i) n(A) = 25, n(B)= 40, n(A∪B) = 50
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
= 25 + 40 – 50
= 65 – 50
= 15
n(U) = n(B)+n(B’)
= 40 + 25
= 65

(ii) n(A) = 300, n(A∪B) = 500, n(A∩B) = 50
n(B’) = 350
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
50 = 300 + n(B) – 500
50 = n(B) – 200
n(B) = 50 + 200
= 250
n(U) = n(B) + n(B’)
= 250 + 350
= 600

கேள்வி 2.
U = {x : x ∈ N, x ≤ 10}, A = {2, 3, 4, 8, 10} மற்றும் B = {1, 2, 5, 8, 10} எனில், n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) என்பதைச் சரிபார்க்க.
விடை:
U = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = (2, 3, 4, 8, 10}
n(A) = 5
B = {1, 2, 5, 8, 10}
n(B) = 5
A∪B = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 10}
n(A∪B) = 7
A∩B ={2, 8, 10}
n(A∩B) = 3
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
= 5 + 5 – 3
= 10 – 3
= 7
n(A∪B) = 7
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 3.
n(A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n (A∩C) + n (A∩B∩C) என்பதைக் கீழ்க்காணும் கணங்களுக்குச் சரிபார்க்க.
விடை:
i) A = {a, c, e, f, h}
B = {c, d, e, f}
C = {a, b, c, f}
n (A)= 5
n (B) = 4
n (C) = 4
A∩B = {c, e, f}
n(A∩B) = 3
(B∩C) = {c, f}
(A∩C) = {a, c, f}
n(B∩C) = 2
n(A∩C) = 3
A∪B∪C = {a, b, c, d, e, f, h}
n (A∪B∪C) = 7
A∩B∩C = {c, f}
n (A∩B∩C) = 2
n(A∪B∪C) = n(A) + n (B) + n (C) – n
(A∩B) – n (B∩C) – n
(A∩C) + n (A∩B∩C)
= 5 + 4 + 4 – 3 – 2 – 3 + 2
= 15 – 8

ii) A = {1, 3, 5}
B = {2, 3, 5, 6}
C = {1, 5, 6, 7}
n (A) = 3
n (B) = 4
n (C)= 4
A∩B = {3, 5}
B∩C = {5, 6}
A∩C = {1, 5}
(A∪B∪C) = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
n (A∪B∪C)= 6
(A∩B∩C) = {5}
n(A∩B∩C) = 1
n (A∩B) = 2
n (B∩C) = 2
n (A∩C) = 2
n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n
(A∩B) – n (B∩C) – n
(A∩C) + n (A∩B∩C)
= 3 + 4 + 4 – 2 – 2 – 2 + 1
= 12 – 6
= 6 (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 4.
ஒரு வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களும் இசை அல்லது நாடகம் அல்லது இரண்டிலும் பங்கேற்கிறார்கள். 25 மாணவர்கள் இசையிலும், 30 மாணவர்கள் நாடகத்திலும், 8 மாணவர்கள் இசை மற்றும் நாடகம் இரண்டிலும் பங்கேற்கிறார்கள் எனில்
(i) இசையில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
(ii) நாடகத்தில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
(iii) வகுப்பில் உள்ள மொத்தமாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
விடை:
M என்பது இசையில் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் கணம் மற்றும் D என்பது நாடகத்தில் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் கணம் என்க. n(M) = 25, n(D) = 30, n(M∩D) = 8
(i) இசையில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
n(M – D) = n(M) – n(M∩D)
= 25 – 8
= 17

(ii) நாடகத்தில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
n(D – M) = n(D) – n(M∩D)
= 30 – 8
22

(iii) வகுப்பில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
n(M∪D) = n(M) + n(D) – n(M∩D)
= 25 + 30 – 8
= 55 – 8
= 47

கேள்வி 5.
45 பேர் கொண்ட ஒரு குழுவில் ஒவ்வொருவரும் தேநீர் அல்லது குளம்பி (Coffee) அல்லது இரண்டையும் விரும்புகிறார்கள். 35 நபர்கள் தேநீர் மற்றும் 20 நபர்கள் குளம்பி விரும்புகிறார்கள். கீழ்க்காணும் நபர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
(i) தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள்.
(ii) தேநீரை விரும்பாதவர்கள்.
(iii) குளம்பியை விரும்பாதவர்கள்.
விடை:
n(∪) = 45
T என்பது தேநீர் விரும்புபவர்களின் கணம் என்க.
n(T) = 35
C என்பது குளம்பி விரும்புபவர்களின் கணம் என்க.
n(C) = 20
(i) தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள்.
n(C) = 20
n(T∪C) = 45
35 = n(T)
20 = n(C)
n(T∪C) = x
n(T∪C) = n(T) + n(C) – n(T∩C)
45 = 35 + 20 – x
45 = 55 – x
x = 55 -4 5
x = 10
n(T∩C) = 10
தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் வரும்புபவர்களின் எண்ணிக்கை = 10

(ii) தேநீரை விரும்பாதவர்களின் எண்ணிக்கை
n(C – T) = n(C) – n(T∩C)
= 20 – 10
= 10

(iii) குளம்பியை விரும்பாதவர்களின் எண்ணிக்கை
n(T – C) = n(T) – n(T∩C)
= 35 – 10
= 25

கேள்வி 6.
ஒரு தேர்வில் கணிதத்தில் 50% மாணவர்கள் தேர்ச்சி பெற்றனர் மற்றும் 70% மாணவர்கள் அறிவியலில் தேர்ச்சி பெற்றனர். மேலும் 10% இரண்டிலும் தேர்ச்சி பெறாதோர். 300 மாணவர்கள் இரு பாடங்களிலும் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளனர். இந்த இரு தேர்வை மட்டுமே மாணவர்கள் எழுதியிருந்தால் தேர்வெழுதிய மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
n(∪) = 100
n(M∪S) = 100 – 10
n(M∪S) = n(M) + n(S) – n(M∩S)
90 = 50 + 70 – x
90 = 120 – x
x = 120 – 90
= 30%
தேர்வு எழுதியவர்கள் = \(\frac{100}{30}\)×300
= 1000 பேர்

கேள்வி 7.
A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்கள் n(A – B) = 32 + x, n(B – A) = 5x மற்றும் n(A∩B) = x, என அமைகின்றன. இத்தரவினை வென்படம் மூலம் குறிக்கவும். n(A) = n(B), எனில் x இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
(i) n(A) = n(B)
(தரவு)

32 + 2x = 6x
32 = 4x
4x = 32
x = \(\frac{32}{4}\)
x = 8

(ii) n(A∪B) = n(A – B) + n(A∩B) + n(B – A)
= 32 + x + x + 5x
= 32 + 2x + 5x
= 32 + 7x
= 32 + 7 × 8
= 32 + 56
n(A∪B) = 88

கேள்வி 8.
500 மகிழுந்து உரிமையாளர்களைப் பற்றிய ஆய்வில், 400 பேர் மகிழுந்து A ஐயும் 200 பேர் மகிழுந்து B ஐயும், 50 பேர் இரு வகையான மகிழுந்துகளையும் வைத்துள்ளனர் எனில் இது சரியான தகவலா? விடை:
n(A) = 400
n(B) = 200
n(A∩B) = 50
n(A∪B) = 500
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
= 400 + 200 – 50
= 550
ஆனால், n(A∪B) = 500. எனவே இது சரியான தகவலல்ல.

கேள்வி 9.
ஒரு குடியிருப்பில், 275 குடும்பங்கள் தமிழ்ச் செய்தித்தாளும், 150 குடும்பங்கள் ஆங்கிலச் செய்தித்தாளும், 45 குடும்பங்கள் இந்தி செய்தித்தாளும் வாங்குகின்றனர். 125 குடும்பங்கள் தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலச் செய்தித்தாள்களையும், 17 குடும்பங்கள் ஆங்கிலம் மற்றும் இந்தி செய்தித்தாள்களையும், 5 குடும்பங்கள் தமிழ் மற்றும் இந்தி செய்தித் தாள்களையும், 3 குடும்பங்கள் மூன்று செய்தித்தாள்களையும் வாங்குகிறார்கள். குடியிருப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு குடும்பமும் குறைந்தது ஒரு செய்தித்தாளையாவது வாங்குகிறார்கள் எனில்,
i) ஒரு செய்தித்தாளை மட்டும் வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை,
ii) குறைந்தது இரண்டு செய்தித்தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை,
iii) குடியிருப்பில் உள்ள மொத்தக் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க.
விடை:
T, E, மற்றும் H என்பன முறையே தமிழ், ஆங்கிலம் மற்றும் இந்தி செய்தித் தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்களின் கணம் என்க.
n (T) = 275
n (E) = 150
n (H) = 45
n (T∩E) = 125
n (E∩H) = 17

n(T∩H) = 5
n (T∩E∩H) = 3
i)ஒரு செய்தித்தாளை மட்டும் வாங்கும் குடும்பங்கள்
= 148 + 11 + 26
= 185

ii) குறைந்தது இரண்டு செய்தித்தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்கள்
= 122 + 3 + 14 + 2
= 141

iii) குடியிருப்பில் உள்ள மொத்தக் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை
n (T∪E∪H) = n (T) + n (E) + n (H) – n (T∩E) – n (E∩H) – n (T∩H) + n (T∩E∩H)
= 275 + 150 + 45 – 125 – 17 – 5 + 3
= 473 – 147
= 326

கேள்வி 10.
1000 விவசாயிகளிடம் நடத்தப்பட்ட ஆய்வில், 600 விவசாயிகள் நெல் பயிரிட்டதாகவும், 350 விவசாயிகள் கேழ்வரகு பயிரிட்டதாகவும், 280 விவசாயிகள் மக்காச்சோளம் பயிரிட்டதாகவும் தெரிவித்தனர். மேலும், 120 விவசாயிகள் நெல் மற்றும் கேழ்வரகு, 100 விவசாயிகள் கேழ்வரகு மற்றும் மக்காச்சோளம், 80 விவசாயிகள் நெல் மற்றும் மக்காச்சோளப் பயிர்களையும் பயிரிட்டனர். ஒவ்வொரு விவசாயியும் மேற்கண்டவற்றில் குறைந்தது ஒரு பயிராவது பயிர் செய்தார் எனில், மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்ட விவசாயிகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
விடை:
A, B, C என்பன முறையே நெல், கேழ்வரகு, மற்றும் மக்காச்சோளம் பயிரிட்ட விவசாயிகளின் கணம் என்க.
n (A∪B∪C) = 1000
n (A) = 600
n (B) = 350
n (C) = 280
n (A∩B) = 120
n (B∩C) = 100
n (A∩C) = 80
n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
1000 = 600 + 350 + 280 – 120 – 100 – 80 + n (A∩B∩C)
1000 = 1230 – 300 + (A∩B∩C)
1300 – 1230 = n(A∩B∩C)
70 = = n (A∩B∩C)
எனவே, 70 விவசாயிகள் மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்டவர்கள்.

கேள்வி 11.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், n (U) = 125, y ஆனது x ஐப் போல் இருமடங்கு மற்றும் Z ஆனது x ஐ விட 10 அதிகம் எனில், x, y
மற்றும் 2 ஆகியவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
n(U)= 125
y = 2x
Z = x + 10

n (U) = x + y + z + 4 + 6 + 3 + 17 + 5
125 = x + 2x + x + 10 + 35
125 = 4x + 45
4x = 125 – 45
4x = 80
x= \(\frac{80}{4}\)
x = 20
y = 2x
y = 2 × 20
y = 40
Z = x + 10
Z = 20 + 10
Z = 30

கேள்வி 12.
35 மாணவர்கள் கொண்ட ஒரு வகுப்பில் ஒவ்வொருவரும் சதுரங்கம் (Chess), சுண்டாட்டம் (Carrom), மேசை வரிப்பந்து (Table tennis) ஆகிய விளையாட்டுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை விளையாடுகிறார்கள். 22 மாணவர்கள் சதுரங்கமும், 21 மாணவர்கள் சுண்டாட்டமும், 15 மாணவர்கள் மேசை வரிப்பந்தும், 10 மாணவர்கள் சதுரங்கம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்தும், 8 மாணவர்கள் சுண்டாட்டம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்தும், மாணவர்கள் மூன்று விளையாட்டுகளையும் விளையாடுகிறார்கள் எனில்,
(i) சதுரங்கம் மற்றும் சுண்டாட்டம் விளையாடி மேசை வரிப்பந்து விளையாடாதவர்கள்
(ii) சதுரங்கம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
(iii) சுண்டாட்டம் மட்டும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. [குறிப்பு வென்படத்தைப் பயன்படுத்தவும்]
விடை :
A, B, C என்பன முறையே சதுரங்கம், சுண்பாட்டம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்து விளையாடுபவர்களின் கணங்கள் என்க.
n (A∪B∪C) = 35
n (A) = 22
n (B) = 21
n (C) = 15
n (A∩C) = 10
n (A∩B∩C) = 6

n (B∩C) = 8
n(A∩B) = x + 6
n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
35 = 22 + 21 + 15 – (x + 6) – 8 – 10 + 6
35 = 58 – (x + 6) – 18 + 6
35 = 58 – (x + 6) – 12
35 = 58 – 12 – (x + 6)
35 = 46 – x – 6
35 = 40 – x
35 = 40 – 35
x = 5

i) சதுரங்கம் மற்றும் சுண்டாட்டம் விளையாடி மேசை விரிப்பந்தை விளையாடாதவர்கள் = 5
ii) சதுரங்கம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
= 22 – (10 + x)
= 22 – (10 + 5)
= 7
iii) சுண்டாட்டம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
= 21 – (8 + x)
= 21 – (8 + 5)
= 21 – 13
= 8

கேள்வி 13.
ஒரு வகுப்பிலுள்ள 50 மாணவர்கள், பேருந்து மூலமாகவோ அல்லது மிதிவண்டி மூலமாகவோ அல்லது நடந்தோ பள்ளிக்கு வந்தடைகின்றனர். 25 மாணவர்கள் பேருந்து மூலமும், 20 மாணவர்கள் மிதிவண்டி மூலமும், 30 மாணவர்கள் நடந்தும், 10 மாணவர்கள் மூன்று வகைப் பயணங்களிலும் வருகிறார்கள் எனில் எத்தனை மாணவர்கள் சரியாக இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வந்தடைகின்றனர்.
விடை :
A, B, C என்பன பேருந்து, மிதிவண்டி மற்றும் நடந்து பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.
n (A∪B∪C) = 50
n (A) = 25
n (B) = 20
n (C) = 30
n (A∩B∩C) = 10
n (A∩B) = x + 10

n (B∩C) = y + 10
n (A∩C) = z + 10
இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்கள்
n (A∪B∪C) = n(A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
50 = 25 + 20 + 30 – (x +10) – (y + 10) – (z + 10) + 10
50 = 75 – x – 10 – y – 10 – z – 10 + 10
50 = 75 – (x + y + z + 10) – 10
x + y + z + 10 = 75 – 50 – 10
x + y + z + 10 = 75 – 60
x + y + z + 10 = 15
x + y + z = 15 – 10
x + y + z = 5
எனவே, இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 5

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் கோணம் B ஐப் பொறுத்து அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.

விடை:

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில்
i) sin B
ii) sec B
iii)cot B
iv) cos C
v) tan C
vi) cosecC
ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை:

AB² = BD² + DA²
(13)² = (5)² + DA²
169 = 25 + DA²
169 – 25 = DA²
144 = DA²
\(\sqrt{144}\) = DA
12 = DA

AC² = AD² + DC²
(AC)² = (12)² + (16)²
(AC)² = 144 + 256
AC² = 400
AC = \(\sqrt{400}\)
AC = 20

கேள்வி 3.
2cos θ = \(\sqrt{3}\) எனில் , வின் அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.
விடை:
2 cos θ = \(\sqrt{3}\)

AB² = BC² +CA²
AB² = (\(\sqrt{3}\))² + CA²
(2)² = (\(\sqrt{3}\))² +CA²
4 = 3 + CA²
4 – 3 = CA²
1 = CA²
CA = 1

கேள்வி 4.
cos A = \(\frac{3}{5}\) எனில், \(\frac{\sin A-\cos A}{2 \tan A}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:

= \(\frac{3}{40}\)

PQ² = PR² + RQ²
(5)² = (3)² + RQ²
25 = 9 + RQ²
25 – 9 = RQ²
16 = RQ
RQ = \(\sqrt{16}\)
RQ = 4

கேள்வி 5.
cos A = \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) எனில், sin A மற்றும் tan A இன் மதிப்புகளை X இல் காண்க.
விடை:

PQ² = PR² + RQ²
(1 + x²)² = (2x)² + RQ²
1 + x⁴ + 2x² = 4x² + RQ²
1 + x⁴ – 2x² = RQ²
RO = \(\sqrt{1+x^{4}-2 x^{2}}\)
RQ = \(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\)
RQ = 1 – x²

கேள்வி 6.
sin θ = \(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\), எனில், b sin θ = a cos θ என நிறுவுக.
விடை:

b sin θ = a cos θ (நிறுவப்பட்டது)
AC² = AB² + BC²
\(\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\) = AB² + a²
a² + b² = AB² + a²
AB² = a² + b² – a²
AB² = b²
AB = b

கேள்வி 7.
3 cot A = 2 எனில், \(\frac{4 \sin A-3 \cos A}{2 \sin A+3 \cos A}\) மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
3 cot A = 2
cot A = \(\frac{2}{3}\)



PQ² = PR² + RQ²
PQ² = (2)² + (3)²
PQ² = 4 + 9
PQ² = 16
PQ = \(\sqrt{16}\)
PQ = 4

கேள்வி 8.
cos θ : sin θ = 1 : 2, எனில், \(\frac{8 \cos \theta-2 \sin \theta}{4 \cos \theta+2 \sin \theta}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
cos θ : sin θ = 1 : 2

கேள்வி 9.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் θ + Φ = 90° என மெய்பிக்க. இப்படத்தில் மேலும் இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன என்பதை மெய்ப்பித்து, sin α, cos β மற்றும் tan Φ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளையும் காண்க.

விடை:
∆ ACB இல்,
∠C = θ + Φ
sin (θ + Φ)= sin θ cos Φ + cos θ sin Φ
= \(\frac{9}{15} \times \frac{12}{20}+\frac{12}{15} \times \frac{16}{20}\)
= \(\frac{108}{300}+\frac{192}{300}\)
= \(\frac{108+192}{300}\)

= \(\frac{16}{12}\)
= \(\frac{4}{3}\)

கேள்வி 10.
ஒரு மாணவன் ‘0’ என்ற புள்ளியில் தரையில் நின்று கொண்டு ‘P’ என்ற புள்ளியில் உள்ள பட்டத்தை OP = 25மீ என்றவாறு காண்கிறான். P இலிருந்து மேலும் 10மீ தொலைவு நகர்ந்து Q என்ற புள்ளியில் பட்டம் உள்ள போது, தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் ‘கேள்வி’ ஐக் காண்க. (முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்துக).

விடை:
∆ QON இல்
sin θ = \(\frac{\mathrm{கேள்வி}}{\mathrm{OQ}}=\frac{\mathrm{h}}{25+10}\)
sin θ = \(\frac{\mathrm{h}}{35}\) …………… (1)
∆ POM இல்,
sin θ = \(\frac{5}{25}\) ……………… (2)
1 மற்றும் 2 இலிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{5}{25}\)
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{1}{5}\)
h = \(\frac{35}{5}\)
h = 7
தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் = 7 மீ

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
i) \(\left(\frac{\cos 47^{0}}{\sin 43^{\circ}}\right)^{2}+\left(\frac{\sin 72^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}\right)^{2}-2 \cos ^{2} 45^{\circ}\)
ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°

விடை:

= 1 + 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 + 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 + 1 – \(\frac{2}{2}\)
= 1 + 1 – 1
= 0

ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
= \(\frac{\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos \left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-\) \(8 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\sin 31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-8 \times\left(\frac{1}{4}\right)\)
= 1 + 1 + 1 – 2
= 3 – 2
= 1

iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°
= tan (90° – 75°) tan30° tan 45o tan 60° tan 75°
= cot 75° × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 1 × \(\sqrt{3}\) × tan 75°
= \(\frac{1}{\tan 75^{\circ}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times 1 \times \sqrt{3} \times \tan 78^{\circ}\)
= 1

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்க.
i) sin² 60° + cos² 60° = 1
ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
விடை:
i) LHS = sin² 60° + cos² 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\)
= \(\frac{4}{4}\)
= 1
RHS = 1 (சரிபார்க்கப்பட்டது)

ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
LHS = 1 + tan² 30°
= 1 + \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= 1 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)
sec² 30° = \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= \(\frac{4}{3}\)
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
1 – 2 sin² 45° = 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 – 1
= 0
2 cos² 45° – 1 = 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) – 1
= 2 × \(\frac{1}{2}\) – 1
= \(\frac{2}{2}\) – 1
= 1 – 1
= 0
cos 90° =0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
LHS = sin 30° cos 60° + cos30° sin60°
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}\) = 1
sin 90° = 1
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 2.
கீழ்க்காண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
i)
ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
விடை:
i)
= \(\frac{1}{2}+\frac{2}{1}-\frac{5 \times 1}{2 \times 1}\)
= \(\frac{1+4}{2}-\frac{5}{2}\)
= \(\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\)
= 0

ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
= \(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{1}{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= \(\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{9-2}{4}\)
= \(\frac{7}{4}\)

iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3 \times 1\)
= \(\frac{1}{4}\) – 2(\(\frac{1}{8}\)) + 3
= \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{4}\) + 3
= 3

கேள்வி 3.
A = 30° எனில், cos 3A = 4 cos³ A – 3 cosA, என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
விடை:
4 cos³A – 3 cosA மற்றும் A = 30° எனில்,
4 cos³ 30° – 3 cos 30°
= \(4 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}-3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= 0
cos 3 A = cos (3 × 30°) = cos 90°
= 0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 4.
x = 15° எனில், 8 sin 2x. cos 4x. sin 6x இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
8 sin 2x cos 4 x sin 6x, x = 15°
8 sin (2 × 15°) cos (4 × 15°) sin (6 × 15°)
= 8 sin 30° cos 60° sin 90°
= 8 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{8}{4}\) = 2

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4

கேள்வி 1.
முதன்மை மதிப்பு காண்க
(i) sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
(ii) cot^-1\((\sqrt{3})\)
(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:

(ii)
cot^-1\((\sqrt{3})\)
cot^-1\((\sqrt{3})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{3}\) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{6}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ \(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)]
∴ cot^-1\((\sqrt{3})\) = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
cosec^-1\((-\sqrt{2})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{2}\) = cosec θ
⇒ sin θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ sin θ = –\(\frac{\pi}{4}\)
⇒ sin θ = sin\(\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) [∵ sin(-θ) = -sin θ]
⇒ θ = \(\frac{-\pi}{4}\) [∵ \(\frac{\pi}{4}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)\{0} ]

கேள்வி 2.

(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)
(ii) sin^-1(1) + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)
(iii) cot^-1(1)+ sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:
(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)

(ii) sin^-1 + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)

= –\(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\) + cot^-1(2)
= cot^-1(2) + \(\frac{-3 \pi+2 \pi}{6}\) = cot^-1(2) – \(\frac{\pi}{6}\)

(iii)

⇒ y = –\(\frac{\pi}{3}\)
sec^-1\((-\sqrt{2})\) = z என்க
⇒ sec z = –\(\sqrt{2}\) ⇒ cos z = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ cos z = -cos\(\frac{\pi}{4}\) ⇒ cos z = cos \(\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\)
⇒ cos z = cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\) ⇒ z = \(\frac{3 \pi}{4}\)
∴ cot^-1(-1) + sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1(-\(\sqrt{2}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) – \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{3 \pi}{4}\)

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.18

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 9 \\
3 & 4 \\
8 & -3
\end{array}\right]\) , B = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
3 & 3 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) எனில், பின்வருவனவற்றைச் சரிபார்க்க.
i) A + B = B + A
ii) A + (- A) = (- A) + A = 0
தீர்வு :

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 3 & 1 \\
2 & 3 & -8 \\
1 & 0 & -4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 4 \\
1 & 9 & 2 \\
-7 & 1 & -1
\end{array}\right]\) மற்றும் C = \(\left[\begin{array}{rrr}
8 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -1
\end{array}\right]\) எனில் A + (B + C) = (A + B) + C என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\), X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\) எனில், x மற்றும் y ஆகிய அணிகளைக் காண்க.
தீர்வு :
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும்
X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\)
(1) + (2) ⇒  2 × = \(\left[\begin{array}{cc}
10 & 0 \\
3 & 9
\end{array}\right]\)
x = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \\
\frac{3}{2} & \frac{9}{2}
\end{array}\right]\)
X என்ற அணியை (1) ல் பிரதியிட

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 4 & 9 \\
8 & 3 & 7
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
7 & 3 & 8 \\
1 & 4 & 9
\end{array}\right]\) எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) B – 5A
ii) 3A – 9B
தீர்வு :

கேள்வி 5.
பின்வரும் அணிச் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y, மற்றும் z – களின் மதிப்பைக் காண்க.
i) \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 3 x-z \\
x+y+7 & x+y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 6
\end{array}\right]\)
ii) [x y – z z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
தீர்வு:
i) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகள் சமம் ஒத்த
உறுப்புகள் சமம்
∴ x – 3 = 1
x = 4

3x – z = 0
3 x 4 – z = 0
z = 12

x + y + 7 = 1
4 + y + 7 = 1
y = -10

ii) [x y – 7. z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
⇒ [x + y y – Z + 4 z + 6] = [4 8 16]
z + 6 = 16
z = 10

y – z + 4 = 8
y – 10 + 4 = 8
y = 14

x + y = 4
x + 14 = 4
x = -10

கேள்வி 6.
\(\mathbf{x}\left(\begin{array}{c}
4 \\
-3
\end{array}\right)+\mathbf{y}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
4 \\
6
\end{array}\right)\) எனில், x மற்றும் yன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :

∴ 4x – 2y = 4 மற்றும் – 3x + 3y = 6
⇒ 2x – y = 2 —(1)
– x + y = 2 — (2)
(1) & (2) ஐ கூட்ட

x = 4 ஐ (2),ல் பிரதியிட
– 4 + y = 2, y = 6
∴ x = 4
y = 6

கேள்வி 7.
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\) என்ற அணிச் சமன்பாட்டில் பூச்சியமற்ற மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\)

ஒத்த உறுப்பு 12x = 48
∴ x = 4

கேள்வி 8.
x, y ஜத் தீர்க்க – \(\left(\begin{array}{l}
x^{2} \\
y^{2}
\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}
-2 x \\
-y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+5 \\
8
\end{array}\right)\)
தீர்வு :

x² – 4x = + 5 மற்றும் y² – 2y = 8
x² – 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
∴ x = – 1, 5

y² – 2y – 8 = 0
(y – 4) (y + 2) = 0
∴ y = 4, – 2

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.17

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{cccc}
8 & 9 & 4 & 3 \\
-1 & \sqrt{7} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 5 \\
1 & 4 & 3 & 0 \\
6 & 8 & -11 & 1
\end{array}\right]\) என்ற அணியின்
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க
ii) அணியின் வரிசையைக் காண்க.
iii) a₂₂, a₂₃, a₂₄, a₃₄, a₄₃, a₄₄ ஆகிய உறுப்புகளை எழுதுக.
தீர்வு :
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 16
ii) அணியின் வரிசை 4 x 4
iii) a₂₂ = √7, a₂₃ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
a₂₄ = 5, a₃₄ = 0, a₄₃ = -11, a₄₄ = 1

கேள்வி 2.
18 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஓர் அணிக்கு எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்? ஓர் அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில், எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்?
தீர்வு :
18 உறுப்புகள் கொண்ட அணியின் வரிசைகள் 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 18 × 1
அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில் வரிசைகள் 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2, 6 × 1

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றைக் கொண்டு 3 x 3 வரிசையைக் கொண்ட அணி A =(a_ij)- யினைக் காண்க.
i) a_ij = |i – 2j|
ii) a_ij = \(\frac{(i+j)^{3}}{3}\)
தீர்வு :
i) a₁₁ = |1 – 2 x 1 = |1 – 2| = 1
a₁₂ = |1 – 2 x 2 = |1 – 4| = 3
a₁₃ = |1 – 2 x 3| = |1 – 6| = 5
a₂₁ = |2 – 2 x 1| = | 2 – 2| = 0
a₂₂ = |2 – 2 x 2 = |2 -4| = 2

a₂₃ = | 2 – 2 × 3 | = 12 – 6 | = 4
a₃₁ = | 3 – 2 × 1 | = | 3 – 2 | = 1
a₃₂ = | 3 – 2 × 2 | = | 3 – 4 | = 1
a₃₃ = | 3 – 2 × 3 | = | 3 – 6 | = 3
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\)

ii)

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 4 & 3 \\
1 & -7 & 9 \\
3 & 8 & 2
\end{array}\right]\) எனில், A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
A^T= \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 1 & 3 \\
4 & -7 & 8 \\
3 & 9 & 2
\end{array}\right]\)

கேள்வி 5.
A= \(\left[\begin{array}{rr}
\sqrt{7} & -3 \\
-\sqrt{5} & 2 \\
\sqrt{3} & -5
\end{array}\right]\) எனில், – A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
-A = \(\left[\begin{array}{rr}
-\sqrt{7} & 3 \\
\sqrt{5} & -2 \\
-\sqrt{3} & 5
\end{array}\right]\)
-A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
-\sqrt{7} & \sqrt{5} & -\sqrt{3} \\
3 & -2 & 5
\end{array}\right]\)

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) – எனில், (A^T)^T = A என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
(A^T)^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) = A

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y மற்றும் 2 யின் மதிப்பைக் காண்க.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
12 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
3 & 5
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\)
தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x = 5, y = 12, z = 3

ii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y = 6 — (1)
xy = 8 — (2)
5 + z = 5
∴ z = 0

(1) ⇒ y = 6 – x
y = 6 – x ஐ (2) ல் பிரதியிட xy = 8
x (6 – x) = 8
6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0
∴ x = 2 (அ) 4
x = 2 எனில் y = 4
x = 4, எனில் y = 2
∴ x, y மற்றும் 2 ன் மதிப்புகள் 4, 2, 0(or) 2, 4, 0

iii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y + z = 9 — (1)
x+ z = 5 — (2)
y + z = 7 — (3)
(1) ⇒ x + y + z = 9
⇒ x + 7 = 9 (3) லிருந்து
x = 2
(1) ⇒ x + y + z = 9
y + 5 = 9 (2) லிருந்து
∴ y = 4
x = 2, y = 4 ஐ (1) ல் பிரதியிட
z = 3,  ∴ x = 2
y = 4,  z = 3